Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus
Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus
Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Remark 30 Die Umkehrabbildung<br />
1<br />
V von V lautet o¤enbar<br />
1<br />
V ( 1; : : : ; n) = 1v1 + + nvn:<br />
Theorem 31 Seien V; W endlichdimensionale Vektorräume mit dim V = n<br />
und dim W = m. Sei V = fv1; : : : ; vng eine Basis von V und sei W = fw1; : : : ; wmg<br />
eine Basis von W . Dann gibt es eine m n-Matrix A mit der Eigenschaft<br />
L = 1<br />
W A V, so daßfolgendes Diagramm kommutativ wird<br />
d.h. W L = A V.<br />
Proof. Für beliebiges v 2 V gilt<br />
und damit<br />
L<br />
V ! W<br />
V # # W<br />
R n ! R m<br />
A<br />
v = 1v1 + + nvn<br />
L (v) = 1L (v1) + + nL (vn) :<br />
Für jedes v 2 V ist L (v) 2 W , und daher gibt es Koe¢ zienten 1; : : : ; m 2 R<br />
mit<br />
L (v) = 1w1 + + mwm:<br />
Speziell für die Basisvektoren v1; : : : ; vn gibt es Koe¢ zienten aij 2 R mit<br />
L (v1) = a11w1 + a21w2 + + am1wm<br />
L (v2) = a12w1 + a22w2 + + am2wm<br />
.<br />
L (vn) = a1nw1 + a2nw2 + + amnwm:<br />
Für jedes beliebiges x = 1v1 + + nvn 2 V folgt daher<br />
L (x) = 1L (v1) + + nL (vn)<br />
= 1 (a11w1 + + am1wm)<br />
+ 2 (a12w1 + + am2wm)<br />
+<br />
+ n (a1nw1 + + amnwm)<br />
= (a11 1 + a12 2 + + a1n n) w1<br />
+ (a21 1 + a22 2 + + a2n n) w2<br />
+<br />
+ (am1 1 + am2 2 + + amn n) wm:<br />
20