Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus

Remark 30 Die Umkehrabbildung
1
V von V lautet o¤enbar
1
V ( 1; : : : ; n) = 1v1 + + nvn:
Theorem 31 Seien V; W endlichdimensionale Vektorräume mit dim V = n
und dim W = m. Sei V = fv1; : : : ; vng eine Basis von V und sei W = fw1; : : : ; wmg
eine Basis von W . Dann gibt es eine m n-Matrix A mit der Eigenschaft
L = 1
W A V, so daßfolgendes Diagramm kommutativ wird
d.h. W L = A V.
Proof. Für beliebiges v 2 V gilt
und damit
L
V ! W
V # # W
R n ! R m
A
v = 1v1 + + nvn
L (v) = 1L (v1) + + nL (vn) :
Für jedes v 2 V ist L (v) 2 W , und daher gibt es Koe¢ zienten 1; : : : ; m 2 R
mit
L (v) = 1w1 + + mwm:
Speziell für die Basisvektoren v1; : : : ; vn gibt es Koe¢ zienten aij 2 R mit
L (v1) = a11w1 + a21w2 + + am1wm
L (v2) = a12w1 + a22w2 + + am2wm
.
L (vn) = a1nw1 + a2nw2 + + amnwm:
Für jedes beliebiges x = 1v1 + + nvn 2 V folgt daher
L (x) = 1L (v1) + + nL (vn)
= 1 (a11w1 + + am1wm)
+ 2 (a12w1 + + am2wm)
+
+ n (a1nw1 + + amnwm)
= (a11 1 + a12 2 + + a1n n) w1
+ (a21 1 + a22 2 + + a2n n) w2
+
+ (am1 1 + am2 2 + + amn n) wm:
20