Mathematische Grundlagen - RheinAhrCampus

Abbildung D repräsentiert, betrachten wir nun die Koe¢ zienten der Bilder der
Basis Vn. Es gilt
und daher
Df0 = 0 und
Dfi = ifi 1 für i = 1; : : : ; n;
Vn 1 (Df0) = 0
Vn 1 (Dfi) = iei 1:
Diese Koe¢ zientenvektoren bilden die Spalten der n (n + 1)-Matrix A, also
gilt
0
0 1 0
1
B
A = B
@
0 2
0
. ..
. ..
. ..
0
n 1 0
C :
C
A
0 n
De…nition 34 Sei A : R n ! R m eine m n-Matrix. Der Zeilenrang von A ist
de…niert als die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen, aufgefaßt als Vektoren
des R n , von A. Der Spaltenrang von A ist de…niert als die Maximalzahl linear
unabhängiger Spalten, aufgefaßt als Vektoren des R m , von A. Damit ist der
Spaltenrang von A gleich dim Im A.
Theorem 35 Sei A eine m n-Matrix. Dann gilt
Proof. Für die Matrix
Zeilenrang = Spaltenrang.
A =
0
B
@
a11
.
am1
betrachten wir das Gleichungssystem
Ax = 0:
a1n
.
amn
1
C
A
Der Lösungsraum dieses Gleichungssystems ist gerade
ker A = fx 2 R n jAx = 0g:
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