Vorlesung 1

Digitale Regelung
Vorlesung:
Dozent: Professor Ferdinand Svaricek
Ort: Ort: 33/0101
Zeit: Di Di15.00 15.00
– 16.30 Uhr
Uhr
Seminarübungen:
Seminar Seminarübungen: bungen:
Dozent: Alexander Weber
Ort: Ort: 33/0101
Zeit: Mo Mo 9.45 9.45 – 11.15 Uhr Uhr (Beginn: 15.04.2013)
Vorlesungsskript:
http://www.unibw.de/lrt15/Institut/lehre/vorlesung/DR_FT2013.pdf
Prof. Dr.-Ing. Ferdinand Svaricek Digitale Regelung

Motivation
Die reale Welt ist überwiegend berwiegend analog und kontinuierlich.
Die meisten Regler werden aber inzwischen mit Hilfe von
Computern realisiert, die nur zeitdiskrete und
amplitudenquantisierte Signale verarbeiten können. kkönnen.
nnen.
Einfache Realisierung komplexer Regelungs-,
Regelungs Regelungs-, ,
Steuerungs- Steuerungs
Steuerungs-und und
Überwachungsalgorithmen.
berwachungsalgorithmen.
Realisierung in in Software anstatt Hardware ist
kostengünstiger.
kosteng kostengünstiger. nstiger.
Flexibilität Flexibilit Flexibilität t (einfache Anpassung und Änderung nderung der
Algorithmen).
Kürzere rzere Entwicklungszeiten (Rapid Prototyping).
Prototyping
Prototyping). ).
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Einordnung
Die Vorlesung Digitale Regelung befaßt befa befaßt t sich mit
den Grundlagen der Regelung zeitabgetasteter
Systeme (Synonyme: zeitdiskrete Regelung oder
Abtastregelung).
Abtastregelung
Abtastregelung). ).
Die digitale Regelungstechnik befaßt befa befaßt t sich mit der
Analyse und der Synthese zeitdiskreter
Regelkreise.
Sowohl in in modernen Kraftfahrzeugen als auch in
in
modernen Flugzeugen werden Steuerungen und
Regelungen heutzutage überwiegend berwiegend digital
realisiert.
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Steuer- Steuer Steuer-und und
Regelungstechnik
Voraussetzungen
Gewichts- Gewichts Gewichts-und und
Übergangsfunktion
Übergangsfunktion,
bergangsfunktion, ,
Übertragungsfunktion
Übertragungsfunktion, bertragungsfunktion, , Pole und Nullstellen, Nullstellen Nullstellen, ,
Stabilität, Stabilit Stabilität, , PT 1, ,
1 , PT 2 ,…,
2 ,…, , Zustandsraummodelle,…
Zustandsraummodelle
Zustandsraummodelle,…
Grundlagen der Messtechnik
Analog-/Digital
Analog Analog-/Digital-Umsetzer
/Digital-Umsetzer Umsetzer
Fourier-Transformation
Fourier Fourier-Transformation
Transformation
Spektralanalyse
Mathematik
Komplexe Zahlen
Laplace-Transformation
Laplace Laplace-Transformation
Transformation
Matrizenrechnung
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Diskrete Signale und Systeme
Signalarten,
Signalarten Signalarten, , Quantisierung,
Quantisierung
Quantisierung, , Periodische
Signalabtastung,
Signalabtastung
Signalabtastung, , Halteglieder,
Halteglieder
Halteglieder, , Impulsfolge,
Impulsfolge Impulsfolge, ,
Sprungfolge
Lerninhalte
Beschreibung von dynamischen Systemen im
Zeitbereich durch Differenzengleichungen
Spektrum diskreter Signale
Abtasttheorem
Frequenzfaltung, Frequenzfaltung
Frequenzfaltung, , Aliasing
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Lerninhalte (2)
Beschreibung von dynamischen Systemen im
Frequenzbereich durch die z-Transformation
zz-Transformation
Transformation
Vergleich mit dem s-Bereich
Bereich
z-Übertragungsfunktion
bertragungsfunktion
Pole und Nullstellen
Zeitdiskrete Zustandsraumdarstellung
Stabilität Stabilit Stabilitätzeitdiskreter zeitdiskreter
Systeme
w-Transformation
Transformation
Entwurf digitaler Regler
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Historischer Hintergrund
Die Entwicklung der digitalen Signalverarbeitung und
der Regelungstechnik ist eng mit der technischen
Entwicklung der Digitalrechner verknüpft. verkn verknüpft. pft.
1954 Hughes Aircraft Company setzt erstmals einen
Digitalrechner zur Überwachung berwachung eines Autopiloten ein.
1958 Louisiana Power & Light Company setzt erstmals einen
Digitalrechner zur Überwachung berwachung eines Kraftwerks ein.
1959 Imperial Chemical Industries (ICI) erprobt digitale
Regelung (Direct ( (Direct Direct Digital Control) Control Control) ) bei der Produktion von
Sodaasche.
1965 Etwa 1000 Digitalrechner sind im im industriellen Einsatz.
Digital Equipment Corporation (DEC) bringt den
Minicomputer PDP-8 PDP PDP-8 8 (Kosten $18000) auf den Markt.
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Kontinuierlicher Regelkreis
Regelkreis mit Digitalrechner als Regler
Einführung Einf hrung
Abtastregelung bzw. zeit-
diskretes Regelungssystem
Im Im Regelkreis sind Elemente
enthalten, die die Signale nur zu
zu
diskreten Zeitpunkten über
ber-
tragen.
Unterscheidung:
Analoge Signale
Digitale Signale
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Definition: Kontinuierliches analoges Signal
Ein kontinuierliches analoges
Signal kann jeden beliebigen
Wert auf der Amplituden- bzw.
Zeitachse annehmen.
Beschreibung von Signalen
Definition: Kontinuierliches quantisiertes Signal
Ein kontinuierliches quanti-
siertes Signal kann jeden
beliebigen Wert auf der
Zeitachse, Zeitachse Zeitachse, , aber nur bestimmte
Amplitudenwerte annehmen.
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Quantisierung
Bei der gleichförmigen Quantisierung wird der
Quantisierungsbereich in 2w Bei der gleichförmigen
gleichf rmigen Quantisierung wird der
Quantisierungsbereich in 2 gleichgroße Intervalle
aufgeteilt. Hierbei ist w die Anzahl der zur Verfügung
stehenden Bits, man spricht hier auch von der
Wortlänge.
w gleichgroße gleichgro e Intervalle
aufgeteilt. Hierbei ist w die Anzahl der zur Verfügung
Verf gung
stehenden Bits, man spricht hier auch von der
Wortlänge.
Wortl nge.
Beispiel:
Quantisierungsbereich: Quantisierungsbereich
Quantisierungsbereich: 0 – 10 Volt
Wortlänge: Wortl nge: 3 bit
Anzahl der Intervalle: 2 3 = 8
Intervallbreite: 10/8 = 1,25 Volt
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2 2
0
0
0
0
1
1
1
1
2 1
0
0
1
1
0
0
1
1
2 0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1,25
2,5
3,75
5
6,25
7,5
8,75

Definition: Zeitdiskretes Signal
Ein zeitdiskretes Signal kann
nur zu bestimmten Zeitpunkten
einen beliebigen Wert auf der
Amplitudenachse annehmen.
Definition: Digitales Signal
Ein digitales Signal kann zu zu
bestimmten Zeitpunkten nur
einen quantisierten Amplitudenwert
annehmen.
Beschreibung von Signalen (2)
t 0 t 1 t 2 t 3
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6,25
5,0
3,75
2,5
1,25

Definition: Stochastisches Signal
Ein stochastisches Signal hängt ngt in seinem
zeitlichen Verlauf vom Zufall ab.
Signalwert
Beschreibung von Signalen (4)
Zeit
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Analog-Digital
Analog Digital-Umsetzer Umsetzer
In In einem A/D–Umsetzer A/D A/D–Umsetzer Umsetzer wird ein kontinuierliches
Signal zeitdiskretisiert und amplitudenquantisiert.
amplitudenquantisiert
amplitudenquantisiert.
Der Effekt der Amplitudenquantisierung ist bei
hinreichend großer gro großer er Auflösung Aufl Auflösung sung für ffür
r die Dynamik des
Regelkreises vernachlässigbar.
vernachl vernachlässigbar. ssigbar.
Im weiteren wird äquidistante
quidistante Abtastung
vorausgesetzt.
Die Tastperiode T ist aber ein wesentlicher
Analyse- Analyse Analyse-und und Syntheseparameter, der erheblichen
Einfluß Einflu Einflußauf auf die Dynamik des Regelkreises hat.
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Beschreibung von Systemen
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Beschreibung von Systemen (2)
Regelstrecke
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Beschreibung von Systemen (3)
Regler
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Schreibweise diskreter Signale
Durch Abtastung des kontinuierlichen Signals y(t) zu den
Zeitpunkten t1, t2, t3,... erhält man das zeitdiskrete Signal
oder die Abtastfolge y(tk ) = y(t)| t=tk .
Durch Abtastung des kontinuierlichen Signals y(t) zu den
Zeitpunkten t1, , t 2, , t 3,... ,... erhält erh lt man das zeitdiskrete Signal
oder die Abtastfolge y(t k) ) = y(t)| t=tk t=t .
Beispiel:
y(0,5), y(0,7), y(0,8), .....
Wird eine äquidistante
quidistante Abtastung mit dem Abtastintervall
T vorgenommen, so so kann man auch diese abgekürzte
abgek abgekürzte rzte
Schreibweise verwenden:
Beispiel:
y k = k = y(k) = y(kT) = y(t)| t=kT .
t=kT.
Für r T=0,1 bedeutet dies
y(3) = y(3T) = y(0,3)
Die Bezeichung y k kann k kann dabei sowohl für ffür
r einen einzelnen
Abtastwert als auch für ffür
r eine ganze Abtastfolge stehen.
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Elementare diskrete Signale
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Eigenschaften diskreter Systeme
Betrachtet werden lineare, zeitinvariante, kausale Systeme
Beispiel:
y1(k) (k) + y 2(k) (k) = f(u 1(k)) (k)) + f(u 2(k)) (k))
= f(u 1(k) (k) + u 2(k)) (k))
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Zeitinvarianz
Eigenschaften diskreter Systeme (2)
Ein zeitdiskretes System verhält verh verhält lt sich zeitinvariant,
zeitinvariant
zeitinvariant, ,
wenn ein zeitverschobenes Eingangssignal u(k --k k 0 )
0 ) das
zeitverschobene Ausgangssignal y(k --k k 0 )
0 ) erzeugt.
u(k)
u(k)
k 0
k
k
Zeitinvariantes
Systemverhalten
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y(k)
y(k)
k 0
k
k

Eigenschaften diskreter Systeme (3)
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Eigenschaften diskreter Systeme (7)
Differenzengleichung eines zeitdiskreten Systems
Differenzengleichungen stellen einen Rekursionsalgorithmus
dar, der mit einem Digitalrechner schrittweise gelöst gel gelöst st werden
kann.
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Eigenschaften diskreter Systeme (8)
% Sprungantwort für die Differenzengleichung 1. Ordnung
% y(k) = -a1 * y(k-1) + b0 * u(k)
% als Approximation der DGL
% T1 * dy(t)/dt + y(t) = u(t)
%
T1 = 1;
T = 0.1;
a1 = -T1/(T1+T)
b0 = T/(T1+T)
%
uk = 1;
%
% Anfangsbedingung y(0) = 0
%
y0 = 0;
%
% Berechnung der Ausgangsfolge für k = 1,2,3,4..
%
y(1) = -a1 * y0 + b0 *uk;
for i=2:100
y(i) = -a1 * y(i-1) + b0 * uk;
end
%
% Graphische Darstellung der Ausgangsfolge T1 %
stem(y(1:50))
xlabel('k')
ylabel('y(k)')
title(['Zeitkonstante T1 = ', num2str(T1),' Abtastintervall T = ' num2str(T)])
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