LK Physik 12 Klassische Elektrodynamik - am Werdenfels-Gymnasium

LK Physik 12
Klassische Elektrodynamik
Richard Reindl
1995-1999

Kapitel 1
Grundlagen
1.1 Grundgrößen
1. Basisgröße: Die Zeit (t)
Die Einheiten der Basisgrößen der Physik müssen durch präzise Messverfahren festgelegt werden.
1960 wurde von der 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht das Internationale Einhei-
tensystem (SI) eingeführt. Seit 1967 gilt für dir Einheit der Zeit:
Eine Sekunde (1 s) ist das 9 192 631 770 fache der Periodendauer der beim
Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzu-
standes von Atomen des Nuklids 133 Cs entstehenden Strahlung.
(1.1.1)
Die frühere Definition der Sekunde als der 86400ste Teil der Dauer einer Erdrotation ist nicht
brauchbar, da die Erdrotation nicht konstant ist (z.B. wegen der Gezeitenreibung).
Die Umsetzung der Sekundendefinition geschieht mit Atomuhren:
Die Frequenz f der vom Sender ausge-
strahlten Welle ist im Idealfall gleich der
Eigenfrequenz f0 = 9192631770 Hz der
Cs-Atome. In diesem Fall wird die Strah-
lung von den Cs-Atomen völlig absor-
biert. Weicht f von f0 ab, dann erreicht
ein Teil der Strahlung den Empfänger.
In Abhängigkeit von der empfangenen In-
tensität wird über einen elektronischen
Mechanismus f solange reguliert, bis am
Empfänger wieder nichts mehr ankommt,
d.h. bis f wieder exakt gleich f0 ist.
Zähler
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. ....
Sender Empfänger
Cs-Atome
......
.... ..
.
...
.
.
Abb.1.1.1 Atomuhr
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Regel-Elektronik
Ein Teil der Welle wird vor den Cs-Atomen von einer Antenne aufgenommen und zu einem
schnellen elektronischen Zähler geleitet. Die kleinste messbare Zeit beträgt ungefähr eine Periodenlänge
1 ≈ 0,1 ns. Bei der Messung von längeren Zeiten wird eine Genauigkeit von
f0
∆t
t ≈ 10−14 erreicht, was einer Gangungenauigkeit von 1 s in circa 3 · 106 Jahren entspricht!
( Siehe Physik in unserer Zeit, 6/77 (8,5 · 10−14 ) und Die SI-Basiseinheiten, Physikalisch Tech-
1
.............

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 2
nische Bundesanstalt, 1990 (1,5 · 10 −14 ))
Neben der Sekunde werden noch folgende Zeiteinheiten verwendet:
1 min = 60 s, 1 h = 3600 s, 1 d = 24 h, 1 a ≈ 365,25 d
1 ms = 10 −3 s (Milli), 1 µs = 10 −6 s (Mikro), 1 ns = 10 −9 s (Nano), 1 ps = 10 −12 s (Pico).
2. Basisgröße: Die Länge (x, s)
Seit 1983 gilt für die Einheit der Länge:
Ein Meter (1 m) ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum in der
Zeit ∆t =
1
299792458 s zurücklegt.
Aus (1.1.2) folgt für die Lichtgeschwindigkeit der exakte Wert
c = 299792458 m
s
(1.1.2)
(1.1.3)
Die frühere Definition des Meters als der 40 000 000ste Teil des Erdumfangs ist zu ungenau und
messtechnisch schwer umsetzbar.
Für große Entfernungen wird die Längeneinheit
1 Lichtjahr = 1 LJ = c · 1 a ≈ 299792458 m
s · 3600 · 24 · 365,25 s = 9,4607 · 1015 m (1.1.4)
verwendet.
3. Basisgröße: Die Masse (m)
Für die Einheit der Masse gilt seit 1901:
Ein Kilogramm (1 kg) ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. (1.1.5)
Wägungen durch Vergleich mit dem Kilogrammprototyp sind mit einer relativen Genauigkeit
von ca. 10 −9 möglich. Die Kilogrammdefinition als bestimmtes Vielfaches einer Atommasse (z.B.
12 C) ist zur Zeit noch um zwei Größenordnungen ungenauer als die mit dem Prototyp.
1.2 Messfehler
Da die Messung einer physikalischen Größe B immer mit Fehlern behaftet ist, wird zur ge-
nauen Bestimmung von B eine Messreihe durchgeführt. B1, B2, ..... , Bn seien die n Werte einer
Messreihe.
Als genauesten Wert von B nimmt man den Mittelwert [B] der einzelnen Messwerte:
[B] = B1 + B2 + .... + Bn
n
Die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Mittelwert sind
(1.2.1)
∆B1 = B1 − [B], ∆B2 = B2 − [B], ..... , ∆Bn = Bn − [B] (1.2.2)

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 3
Der Betrag der größten Abweichung vom Mittelwert (absoluter Fehler) ist
Der relative oder prozentuale Fehler der Messung ist
∆B = max(|∆B1|, |∆B2|, ..... , |∆Bn|) (1.2.3)
δrel = ∆B
[B]
= ∆B
[B]
Eine ungenaue Größe (z.B. einen Messwert) schreibt man in der Form
· 100% (1.2.4)
B = [B] ± ∆B (1.2.5)
Wir betrachten zwei ungenaue Größen A = [A] ± ∆A und B = [B] ± ∆B. Für die Summe
S = A + B gilt
Damit gilt
Smin = Amin + Bmin = [A] − ∆A + [B] − ∆B = [A] + [B] − (∆A + ∆B) (1.2.6)
Smax = Amax + Bmax = [A] + ∆A + [B] + ∆B = [A] + [B] + (∆A + ∆B) (1.2.7)
S = [S] ± ∆S mit [S] = [A] + [B] und ∆S = ∆A + ∆B (1.2.8)
Analog zeigt man für D = A − B:
D = [D] ± ∆D mit [D] = [A] − [B] und ∆D = ∆A + ∆B (1.2.9)
Der absolute Fehler von Summen und Differenzen ungenauer Größen
ist die Summe der absoluten Fehler der Summanden.
Es lässt sich zeigen (siehe Aufgaben)
Der relative Fehler von Produkten und Quotienten ungenauer Größen
ist ungefähr gleich der Summe der relativen Fehler der Faktoren.
(1.2.10)
(1.2.11)
In der Praxis wird nicht der maximale absolute Fehler (siehe 1.2.3), sondern der mittlere Fehler
∆Bm = 1
n
(∆Bν)
n
2 (1.2.12)
verwendet. Die Größe G = f(B1, ...., , Bn) sei eine Funktion der gemessenen Größen B1, ..... , Bn
mit den mittleren Fehlern ∆Bm,1, ..... , ∆Bm,n. Nach Gauß gilt für den mittleren Fehler von G
ν=1
∆Gm = n
∂G
∂Bν
ν=1
· ∆Bm,ν
2
(1.2.13)
Dabei bedeutet ∂G
∂Bν die Ableitung von G nach Bν unter Konstanthaltung der anderen B ′ s
(partielle Ableitung). Ein Verständnis der beiden letzten Formeln setzt Kenntnisse der Wahr-
scheinlichkeitsrechnung und Statistik voraus (siehe z.B. Strubecker IV, S.508).
Die Formeln 1.2.12 und 1.2.13 sind für experimentelle Facharbeiten von Interesse, müssen aber
nicht für Klausuren gelernt werden!

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 4
1.3 Messung linearer Zusammenhänge
Es ist bekannt, dass die Größe y linear von
der Größe x abhängt, d.h.
y = g(x) = a x + b (1.3.1)
Zur Bestimmung von a und b werden die
n Wertepaare (x1|y1), ..... , (xn|yn) gemes-
sen. Wegen der Messfehler weichen die yk
um dk von den wahren Werten g(xk) ab:
dk = yk − g(xk) (1.3.2)
Mit S bezeichnen wir die Summe der Qua-
drate aller Abweichungen dk.
PSfrag replacements
y
y1
b
x1
d1
g(x1)
x2
Abb.1.3.1 Ausgleichsgerade
Nach Gauß ist die beste Gerade durch die n Messpunkte diejenige, für die
n
S =
k=1
minimal ist. Mit (1.3.1) und (1.3.2) folgt aus (1.3.3)
n
S = S(a, b) = (yk − a xk − b) 2
k=1
d 2 k
xn
g
dn
yn
x
(1.3.3)
(1.3.4)
S kann nur dann extremal sein, wenn die partiellen Ableitungen von S nach a und nach b Null
sind:
∂S
= 0
∂a
und
∂S
= 0
∂b
(1.3.5)
Setzt man (1.3.4) in die beiden Gleichungen (1.3.5) ein, dann erhält man zwei Gleichungen,
aus denen die beiden Unbekannten a und b der Ausgleichsgeraden g(x) berechnet wer-
den können. Die etwas länglichen Rechnungen lassen wir vom Computeralgebrasystem (CAS)
MAPLE ausführen und erhalten als Ergebnis:
n
n
a =
b =
k=1
n
k=1
n
xk yk −
n
k=1
xk ·
n
x 2 k −
n
k=1
yk ·
n
n
x 2 k −
k=1
k=1
n
k=1
xk
n
k=1
2 xk ·
n
x 2 k −
n
k=1
k=1
xk
yk
n
k=1
2 xk yk
(1.3.6)
(1.3.7)
Weise (eventuell mit MAPLE) nach, dass für die Ausgleichsgerade
n
dk = 0 (1.3.8)
gilt!
k=1

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 5
1.4 Wiederholung Elektrizität
1.4.1 Der Teilchenbaukasten
Jeder chemische Stoff besteht aus kleinsten Teilchen mit der gleichen chemischen Eigenschaft,
den Molekülen. Die Moleküle wiederum bestehen aus Atomen, von denen 92 verschiedene in
der Natur vorkommen. Der Name Atom kommt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie
” unteilbares Teilchen“. Es hat sich aber herausgestellt, dass die Atome noch nicht die kleinsten
Bausteine der Materie sind, sondern aus einem Atomkern und einer Hülle aus Elektronen
(e − ) bestehen. Die meiste Masse des Atoms (ca. 99,95 %) steckt im Kern, der aber nur einen
winzigen Bruchteil des Atomvolumens einnimmt. Der Atomkern ist aus Protonen (p + ) und
Neutronen (n) aufgebaut. Die Protonen und Neutronen bestehen letztendlich aus den nach
heutiger Sicht elementaren Quarks.
Zwei Protonen, die nicht zu nahe beieinander sind, stoßen sich gegenseitig ab, genauso zwei
Elektronen, ein Proton und ein Elektron dagegen ziehen sich an. Um diese Kräfte zwischen den
Teilchen zu beschreiben, hat man den Begriff der elektrischen Ladung eingeführt.
Es gibt positiv und negativ geladene Teilchen. Gleichnamige
Ladungen (gleiches Vorzeichen) stoßen sich ab, ungleichnamige
Ladungen (verschiedene Vorzeichen) ziehen sich an.
Die Ladung eines Protons wird Ele-
mentarladung genannt und mit
e bezeichnet. Die Kräfte zwischen
zwei Elektronen sind genauso groß
wie die Kräfte zwischen zwei Proto-
nen in der gleichen Entfernung, d.h.
der Betrag der Elektronenladung ist
gleich dem Betrag der Protonenla-
Elementare Teilchen
(1.4.1)
Teilchen u-Quark d-Quark Elektron Photon
Zeichen u d e − γ
Ladung + 2
1
3 e − 3 e −e 0
Tab.1.4.1 Elementare Teilchen
dung. Da sich ein Elektron und ein Proton aber anziehen, müssen ihre Ladungen umgekehrte
Vorzeichen tragen, d.h. die Ladung des Elektrons ist −e. Das Photon ist das Lichtteilchen,
dessen Farbe von der Energie des Teilchens abhängt.
Neben dem u- und d-Quark (Up und Down) gibt
es noch vier weiter Quarks (Charme (c), Top
(t), Strange (s) und Bottom (b)). Das Elektron
gehört zur Familie der Leptonen, der noch das
Myon (µ) und das Tauon (τ) sowie drei Neutri-
nos angehören. Zu jedem der sechs Quarks und
sechs Leptonen gibt es noch das entsprechen-
de Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung
aber gleicher Masse. Trifft ein Teilchen mit sei-
nem Antiteilchen zusammen, verwandeln sich
Zusammengesetzte Teilchen
Teilchen Proton Neutron
Zeichen p + n
Ladung +e 0
Zusammensetzung uud udd
Tab.1.4.2 Zusammengesetzte Teilchen
die beiden Teilchen in Photonen (Zerstrahlung). Für das Verständnis der Elektrizitätslehre und

frag replacements
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 6
der Chemie genügt die Kenntnis der in Tab.1.4.1 und Tab.1.4.2 aufgeführten Teilchen.
Aufbau der Nukleonen
(Kernbausteine) aus Quarks
u u d d
d
Proton Neutron
Abb.1.4.1 Aufbau der Materie
u
Aufbau der Kerne aus Nukleonen
n
p
p
n
p
n
p
n
n
p
n
p
n
Sauerstoffkern
n
p
p
Aufbau der Atome aus Kern
und Elektronenhülle
-
- +
-
-
-
- -
--
Aufbau eines Moleküls
aus Atomen
Atome enthalten im Normalzustand (neutrale Atome) genausoviele Elektronen wie Protonen,
d.h. die Gesamtladung eines neutralen Atoms ist Null.
Die Radien der Atome liegen im Bereich von ungefähr 10 −10 m bis 10 −9 m, die der Kerne von
10 −15 m bis 10 −14 m.
Die Massen der wichtigsten Teilchen
Teilchen p + n e −
H
O
H2O
Masse 1,67265 · 10 −27 kg 1,67495 · 10 −27 kg 9,1095 · 10 −31 kg
Tab.1.4.3 Massen der Elementarteilchen
Der Aufbau einiger Atome
Name Wasserstoff Sauerstoff Eisen Uran
Symbol H O Fe U
Zahl der Protonen 1 8 26 92
Zahl der Neutronen 0 8 30 146
Tab.1.4.4 Aufbau einiger Atome
H

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 7
1.4.2 Ladung und Strom
Als sinnvollste Definition der Ladungseinheit drängt sich zunächst die Elementarladung e auf.
Um sich aber in das System der schon bestehenden Grundgrößen mit den Einheiten s, m und kg
logisch einzufügen, ist folgende Definition der Ladungseinheit sinnvoll, deren Zustandekommen
wir aber an dieser Stelle noch nicht verstehen:
Damit hat die Elementarladung den Wert
e =
1 C = 1 Coulomb = 6,24150636 · 10 18 e (1.4.2)
1 C
6,24150636 · 10 18 = 1,60217733 · 10−19 C (1.4.3)
Ist ∆Q die Ladung, die in der Zeit ∆t durch die Querschnittsfläche eines Leiters fließt, dann
nennt man
die Stromstärke im Leiter. Die Einheit der Stromstärke ist
Aus (1.4.4) folgt
∆Q dQ
I = lim =
∆t→0 ∆t dt = ˙ Q (1.4.4)
1 A = 1 Ampère = 1 C
s
∆Q =
t2
t1
=⇒ 1 C = 1 As (1.4.5)
I(t) dt (1.4.6)
Zur Veranschaulichung der Stromstärke die Definition des ” Verkehrsstroms“: Ein Beobachter auf
einer Brücke über eine Autobahn zählt in der Zeit ∆t die Zahl ∆N von unter ihm durchfahrenden
Autos:
Verkehrsstrom = ∆N
∆t
(1.4.7)
Wir betrachten eine Kreuzung mehrerer Straßen. Wenn sich auf der Kreuzung weder ein Auto-
friedhof noch eine Autofabrik befinden, dann muss die Zahl der pro Zeiteinheit in die Kreuzung
hineinfahrenden Autos gleich der Zahl der pro Zeiteinheit aus der Kreuzung herausfahrenden
Autos sein. Da sich der Kreuzungspunkt mehrerer Leiter (Knoten) in einer elektrischen Schal-
tung erfahrungsgemäß nicht auflädt (Abstoßung gleichnamiger Ladungen!), gilt das Gleiche für
den elektrischen Strom (siehe Aufgaben):
Die Summe der in einen Knoten P hineinfließenden Ströme
ist gleich der Summe der von P abfließenden Ströme!
(1. Kirchhoff’sche Regel)
PSfrag replacements
Ein Strommessgerät (Drehspulmessgerät, basierend auf der
magnetischen Wirkung des Stromes) muss vom gleichen
Strom durchflossen werden wie der Verbraucher, dessen
Stromstärke man messen will:
Strommessgerät und Verbraucher liegen hinter-
einander (in Reihe) im Stromkreis!!
Verbraucher
I
+
−
A
I
(1.4.8)
Abb.1.4.2 Strommessung

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 8
1.4.3 Die Spannung
Durch ein Leiterstück der Länge s fließt der
Strom I. Die Elektronen stoßen auf die Leiter-
atome und übertragen dabei Energie (Wärme)
auf den Leiter. Diese Energie erhalten die Elek-
tronen von der Stromquelle. v ist die Driftge-
schwindigkeit der Elektronen und t = s
v die Zeit,
in der die gesamte frei bewegliche Ladung Q des
Leiterstücks durch die Querschnittsfläche F tritt
d.h. die Strecke s zurücklegt.
W = Energie, um Q um die Strecke s zu bewegen
.
. . .
.
.
I
e
v
−
.
− . . . . . A .
.. B
F
+
. . ..............
Abb.1.4.3 Leiterstück
= von der Stromquelle in der Zeit t gelieferte Energie
Die Leistung der Stromquelle ist
Die Größe
P = W
t
= Q
t
· W
Q
U = W
Q
= I · W
Q
heißt Spannung zwischen A und B bzw. Spannung der Stromquelle.
Aus (1.4.9) und (1.4.10) folgt
P = U · I bzw. U = P
I
Für die Einheit der Spannung folgt aus (1.4.10)
und damit
Gleichung (1.4.10) besagt in Worten:
1 V = 1 Volt = 1 J
C
s
.
.
. ............. ...... .
(1.4.9)
(1.4.10)
(1.4.11)
(1.4.12)
1 VA = 1 V · 1 A = 1 J JA J
· 1 A = 1 = 1 = 1 W
C As s
(1.4.13)
1 VA = 1 W = 1 Watt (1.4.14)
Bewegt sich eine Ladung Q vom Punkt A zum Punkt B und
herrscht zwischen A und B die Spannung U, dann wird an Q
die Arbeit W = Q · U verrichtet.
Die Interpretation von Gleichung (1.4.11) lautet:
Liegt an einem Leiter die Spannung U und fließt durch den Leiter
der Strom I, dann wird im Leiter die Leistung P = U ·I umgesetzt.
(1.4.15)
(1.4.16)
Der Verbrauch von elektrischer Energie im Haushalt wird in der Einheit kWh (Kilowattstunde)
gemessen. 1 kWh ist die Energie, die bei der Leistung 1 kW in einer Stunde geliefert wird:
1 kWh = 1 kW · 1 h = 1000 J
s · 3600 s = 3,6 · 106 J = 3,6 MJ (1.4.17)

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 9
1.4.4 Das Ohm’sche Gesetz
Bisher haben wir folgendes einfache Modell eines stromdurchflossenen Leiters betrachtet:
Die Elektronen bewegen sich alle mit der gleichen Driftge-
schwindigkeit v parallel zur Stromrichtung.
Die Wirklichkeit ist etwas komplizierter:
Die Elektronen bewegen sich im Leiter wie ein Gas in alle Richtungen
und mit den unterschiedlichsten Geschwindigkeiten. Das ganze Elektro-
nengas bewegt sich mit der Driftgeschwindigkeit v parallel zur Strom-
richtung durch das Gitter der Leiteratome.
(1.4.18)
(1.4.19)
Vergleicht man das Elektronengas mit einem uns sehr vertrauten Gas, nämlich mit Luft, und die
Leiteratome mit den Bäumen eines Waldes, dann entspricht der Driftgeschwindigkeit der Elek-
tronen die Geschwindigkeit, mit der die Luft durch die Bäume pfeift, und das ist nichts anderes
als die Windgeschwindigkeit. Für kleine Windgeschwindigkeiten erfährt die Luft an den Bäumen
eine Reibungskraft, die proportional zur Windgeschwindigkeit ist. Da die Driftgeschwindigkeit
der Elektronen auch sehr klein ist (siehe Aufgaben), gilt für die Reibungskraft F , die auf ein
Elektron wirkt:
A = Querschnittsfläche des Leiters
M = Masse eines Leiteratoms
ϱ = Dichte des Leitermaterials
n = Zahl der freien Elektr. pro Leiteratom
N = Zahl der freien Elektr. pro Länge s
Q = N · e = bewegliche Ladung pro Länge s
t = Zeit, in der Q durch A tritt
Die Masse des Leiterstücks der Länge s ist
Die Zahl der Leiteratome in dem Stück der Länge s ist dann
F = µ · v (1.4.20)
.
. . .
.
.
I
e −
.
.
.
..
.
.. . .
. ...
B C
− . . . . .
. +
.
A
. . ..............
Abb.1.4.4 Leiterstück
m = ϱ · V = ϱ · A · s (1.4.21)
NAtom = m
M
= ϱ · A · s
M
Daraus folgt für die Zahl der freien Elektronen in unserem Leiterstück
Für die Stromstärke erhält man
oder
I = Q
t
N = n · NAtom =
= N e
t
= n ϱ A e
M
n ϱ A s
M
· s
t
= n ϱ A e
M
s
.
.
. ............. ...... .
(1.4.22)
(1.4.23)
· v (1.4.24)
v = M
· I (1.4.25)
n ϱ A e

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 10
In der Zeit t verrichten alle Elektronen zusammen die Reibungsarbeit
und somit gilt für die Stromleistung
W = N · F · s = N · µ · v · s (1.4.26)
P = W
t
= N µ v s
t
Einsetzen von (1.4.23) und (1.4.25) in (1.4.27) ergibt
Die Größe
P =
n ϱ A s
M
· µ ·
= N µ v2
2 M
· I =
n ϱ A e µ M
R =
µ M s
·
ϱ n e2 A
s
· · I2
ϱ n e2 A
(1.4.27)
(1.4.28)
(1.4.29)
heißt Widerstand des Leiterstücks. Der Widerstand setzt sich aus einem materialabhängigen
Faktor
σ =
und dem Geometriefaktor s
A zusammen:
Aus (1.4.28) und (1.4.29) folgt
µ M
ϱ n e 2 (spezifischer Widerstand) (1.4.30)
R = σ · s
A
P = R · I 2
Mit der Spannung U zwischen den Enden B und C des Leiters gilt
und nach Kürzen durch I
Die Einheit des Widerstandes ist nach (1.4.34)
P = U · I = R · I 2
U = R · I bzw. R = U
I
1 Ohm = 1 Ω = 1 V
A
(1.4.31)
(1.4.32)
(1.4.33)
(1.4.34)
(1.4.35)
In der Definitionsgleichung (1.4.29) des Widerstandes R sind die Größen M, ϱ, e, s und A,
bis auf kleine Schwankungen wegen der Wärmeausdehnung, konstant. Die Reibungszahl µ für
die Bewegung des Elektronengases durch den Leiter und die Zahl n der freien Elektronen pro
Leiteratom sind dagegen empfindlich von der Temperatur T des Leiters abhängig, d.h. sie sind
Funktionen von T : µ = µ(T ) und n = n(T ).
Mit steigender Temperatur schwingen die Leiteratome stärker hin und her und bilden daher für
die Elektronen eine größere Angriffsfläche: die Reibungszahl µ wird größer!
Andererseits können bei einer größeren Temperatur die noch an Atome gebundenen Elektronen

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 11
leichter ihren angestammten Platz verlassen und zu freien Elektronen werden: n wird größer.
In normalen metallischen Leitern (z.B. Eisen, Kupfer, Aluminium, Gold, Silber) ist n(T ) nahezu
konstant, µ(T ) aber monoton steigend. Damit ist R(T ) eine monoton steigende Funktion, d.h.
der Widerstand eines metallischen Leiters wird mit wachsender Temperatur größer!
Bei den sogenannten Halbleitern (z.B. Silizium, Germanium), den Grundstoffen der modernen
Elektronik, steigt n(T ) viel stärker an als µ(T ); da n(T ) im Nenner und µ(T ) im Zähler von R
vorkommt, ist R(T ) eine fallende Funktion, d.h. bei den Halbleitern sinkt der Widerstand mit
wachsender Temperatur.
Bei bestimmten Legierungen (Mischungen verschiedener Metalle), wie z.B. Konstantan, halten
sich die temperaturabhängigen Veränderungen von µ und n so die Waage, dass R(T ) in einem
gewissen Temperaturintervall konstant bleibt. Für alle Materialien gilt:
oder
Bei konstanter Temperatur ist der Widerstand eines Leiters konstant. (1.4.36)
R = U
I
= konst. für T = konst. (1.4.37)
(Ohm’sches Gesetz)
Spannungen misst man mit einem Strommessgerät
PSfrag replacements
und einem
vorgeschalteten Präzisionswiderstand R0. Nach dem
Ohm’schen Gesetz berechnet sich dann die Spannung zwi-
schen den Messpunkten A und B aus U = R0 · I. In der
Praxis sind die Skalen der Spannungsmesser natürlich in V
geeicht.
Abb.1.4.6 zeigt die Schaltung zur Messung der SpannungPSfrag an einem replacements
Widerstand und des Stromes durch den Widerstand. Das Schalt-
symbol des Spannungsmessers (erkenntlich an dem Buchstaben
V) beinhaltet den für die Spannungsmessung notwendigen Wider-
stand R0.
R0
A B
Abb.1.4.5 Spannungsmesser
I
R A
V
Abb.1.4.6

KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 12
Die folgenden Abbildungen zeigen die Funktionen R(T ) und U(I) (U-I-Kennlinie) für verschie-
dene Leiter:
Konstantan:
R = konst. =⇒
Der Graf von U(I) = R · I ist eine
Gerade durch den Ursprung. Dieser
lineare Zusammenhang zwischen U
und I gilt immer dann, wenn das
Ohm’sche Gesetz erfüllt ist, insbe-
sondere für alle Leiter bei konstan-
ter Temperatur.
Metallischer Leiter:
Wenn I größer wird, dann wird der
Leiter wärmer und somit auch R
größer!
Halbleiter:
Wenn I größer wird, dann wird der
Leiter wärmer und somit R kleiner!
R
O
.
T
Abb.1.4.7 Konstantan
R
O
Abb.1.4.9 Metall
R
O
Abb.1.4.11 Halbleiter
.
.
T
T
U
O
Abb.1.4.8 Konstantan
U
O
Abb.1.4.10 Metall
U
O
.... .. .
Abb.1.4.12 Halbleiter
.
.
I
I
I

Kapitel 2
Elektrostatik
2.1 Das elektrische Feld
Experimente zeigen, dass die Kräfte zwischen
zwei Ladungen zur Verbindungsgerade der
beiden Ladungen parallel sind. Weiter zeigen
Versuche, dass sich Kräfte zwischen Ladungen
vektoriell addieren.
PSfrag replacements
1. experimentelles Fundamentalgesetz:
Die Ladung Qν am Ort rν bewirkt auf q am
Ort r die Kraft
Fν = ±| Fν| ·
r − rν
|r − rν|
, (2.1.1)
wenn außer Qν keine andere Ladung vorhanden
ist. Befinden sich alle Ladungen Qν mit ν ∈
{1, ... , n} gleichzeitig an den Orten rν, dann
ist die Gesamtkraft auf q gegeben durch
F =
n
Fν
ν=1
(Superpositionsprinzip)
(2.1.2)
Q
Q1 > 0
Q2 < 0
rν
F2
r − rν
O
q > 0
Abb.2.1.1 Superposition
F
r
q
F1
Fνr − rν
Sind die Abmessungen von zwei Ladungsverteilungen Q1 und Q2 sehr klein zu ihrem gegenseiti-
gen Abstand, dann dürfen Q1 und Q2 als ” Punktladungen“ angesehen werden. Q1 bestehe aus
n Elektronen und Q2 aus m Protonen. Die Kräfte eines Elektrons aus Q1 auf ein Proton aus Q2
sind dann praktisch alle parallel und gleich groß.
13
Fν

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 14
Kraft von einem e − aus Q1 auf ein p + aus Q2 : F0
Kraft von allen e − aus Q1 auf ein p + aus Q2 : n · F0
Kraft von allen e − aus Q1 auf alle p + aus Q2 : n · m · F0
|Q1| = n · e und |Q2| = m · e =⇒ n · m = |Q1||Q2|
e 2
Damit gilt für den Betrag der Gesamtkraft zwischen den beiden Ladungen Q1 und Q2
(2.1.3)
F = n · m · F0 = F0
e 2 · |Q1| · |Q2| = C · |Q1| · |Q2| (2.1.4)
mit einer nur von der Lage der beiden Ladungen abhängigen Größe C. Aus (2.1.1) und (2.1.4)
folgt dann für die Kraft einer Punktladung Qν auf eine andere Punktladung q in vektorieller
Schreibweise
Fν = Cν · Qν · q ·
r − rν
|r − rν|
, (2.1.5)
wobei jedes Cν eine Funktion der Entfernung dν = |r − rν| ist. Weise durch Ausprobieren aller
vier Möglichkeiten für die Ladungsvorzeichen nach, dass die Cν positiv sind! Mit
Cν = Cν(dν) ·
r − rν
|r − rν|
(2.1.6)
folgt aus (2.1.2) für die Gesamtkraft F der Ladungen Q1, ... , Qn auf unsere Testladung q
n
n
F = Cν · Qν · q = Cν · Qν · q (2.1.7)
ν=1
F ist also proportional zu q. Die Größe
E = E(r) :=
n
Cν · Qν =
ν=1
ν=1
ν=1
n r − rν
Cν(dν) · · Qν
(2.1.8)
|r − rν|
nennt man elektrische Feldstärke am Ort r der Probeladung q.
E ist durch die Ladungsverteilung (Qν am Ort rν) eindeutig bestimmt, sofern man die Entfer-
nungsabhängigkeit C(d) der Kraft zwischen Punktladungen kennt. Die Funktion C(d) werden
wir im nächsten Kapitel bestimmen. Wegen (2.1.7) gilt
oder
F = q · E (2.1.9)
E = F
q
Die von den Ladungen Qν erzeugte elektrische Feldstärke E am Ort r
ist gleich der Kraft F auf eine Probeladung q am Ort r geteilt durch q.
E(r) hängt nur von den Qν und rν, nicht aber von q ab! E ist als Funktion des Ortes
r =
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
(2.1.10)
(2.1.11)
⎟
⎠ (2.1.12)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 15
eine Eigenschaft des die Ladungen Qν umgebenden Raumes.
Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist
[E] = 1 N N N m W V
= 1 = 1 = 1 = 1
C A s A s m A m m
Anschauliche Deutung des Feldstärkevektors E(r):
Die Richtung der Kraft F auf eine positive (negative) Probeladung q
am Ort r ist gleich der (entgegengesetzt zur) Richtung von E(r).
Der Betrag von F ist F = | F | = |q| · | E| = |q| · E.
Abb.2.1.2 Vektorfeld
Abb.2.1.3 Feldlinien
E
(2.1.13)
(2.1.14)
Abbildung 2.1.2 zeigt das Vektorfeld der elektrischen Feldstärke zweier Punktladungen (links
positiv, rechts negativ). Elektrische Feldlinien sind Kurven, deren Tangente an einem beliebigen
Ort r parallel zu E(r) ist (siehe Abb. 2.1.3).
Elektrische Feldlinien zeigen von Plus nach Minus! (2.1.15)
PSfrag replacements
Stehen Feldlinien nicht senkrecht auf Leiteroberflächen,
dann wirkt auf die Leitungselektronen an der Oberfläche ei-
ne Kraftkomponente parallel zur Oberfläche und es fließt ein
Strom. Genauso erzeugen Felder im Leiter einen Stromfluss.
Dieser Strom bricht aber nach kurzer Zeit zusammen und es
stellt sich ein Ladungsgleichgewicht ein; in diesem Gleichge-
wichtszustand, der in der Elektrostatik untersucht wird,
stehen die Feldlinien senkrecht auf den Leiteroberflächen,
die Ladungen sind in Ruhe und die Feldstärke im Leiter ist
Elektron
Null.
Wenn sich zwei Feldlinien schneiden würden, dann gäbe es im Schnittpunkt zwei unterschiedliche
F
F
Leiter
Feldlinie
Abb.2.1.4 e − an der Leiteroberfläche
Kraftrichtungen auf eine Probeladung. Da die Kraft auf die Ladung aber eindeutig ist (die
Ladung kann sich nicht in zwei verschiedene Richtungen gleichzeitig bewegen), kann es keine

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 16
Schnittpunkte von Feldlinien geben.
Zusammenfassung:
1. Feldlinien geben in jedem Raumpunkt die Richtung
des Feldes an.
2. Feldlinien beginnen bei positiven und enden bei nega-
tiven Ladungen.
3. Feldlinien schneiden sich nicht.
PSfrag replacements
4. Feldlinien beginnen oder enden senkrecht auf Leitero-
berflächen.
5. Im Inneren von Leitern gilt E = 0 und j = 0.
Gilt E(r) = konst. in einem Raumgebiet V , dann heißt E in
V homogen. Ein in V homogenes Feld hat in jedem Punkt
von V die gleiche Richtung und den gleichen Betrag.
Das Feld im Innenraum eines Plattenkondensators ist
annähernd homogen.
2.2 Das Coulombsche Gesetz
Zwei leitend verbundene Alukugeln, deren eine direkt auf
einem Elektroskop sitzt, dienen als Nachweisgerät für elek-
trische Felder (siehe Abb.2.2.1). Mit diesem Gerät weisen
wir das elektrische Feld in der Umgebung einer geladenen
Metallkugel nach. Wird das Gerät von einem Drahtkäfig
PSfrag replacements
umgeben (Faraday-Käfig), dann kann trotz der geladenen
Metallkugel kein Feld mehr nachgewiesen werden. Exaktere
Versuche (z.B. von Williams, Faller und Hill, 1971) ergeben:
2. experimentelles Fundamentalgesetz:
-
+ + + + + +
E = 0 im Leiter
-
-
- -
Abb.2.1.5 Leiter im Feld
+
Abb.2.1.6 Plattenkondensator
-
-
-
-
Enthält ein Raumgebiet, das von einer geschlossenen Leiterfläche be-
grenzt wird, keine Ladungen, dann ist in diesem Raumgebiet E = 0.
-
-
+
+
- +
E
Elektroskop
Abb.2.2.1 Feldnachweisgerät
(2.2.1)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 17
Die Erklärung für das Verschwinden von
E liegt in der Ausbildung von Influenz-
ladungen auf der Leiteroberfläche. Diese
Influenzladungen verteilen sich genau so,
dass sich im ladungsfreien Raumgebiet das
ursprüngliche Feld Eu und das Feld Ei
PSfrag replacements
der Influenzladungen kompensieren (siehe
Abb.2.2.2):
E = Eu + Ei = 0 (2.2.2)
+
-
-
-
-
-
Leiter
E = 0
+ + +
+
Abb.2.2.2 Abschirmung durch geschlossene Leiterflächen
Für den Betrag der Kraft zwischen zwei Ladungen Q1 und Q2 an den Orten r1 und r2 haben
wir die Beziehung (siehe (2.1.4))
mit einer nur von der Entfernung
F = C · |Q1| · |Q2| = f(r) · |Q1| · |Q2| (2.2.3)
r = |r1 − r2| (2.2.4)
abhängigen Größe C = f(r) gefunden. C hängt z.B. nicht von der Zeit, der Temperatur, der
Masse oder der Richtung von r1 −r2 ab. Genauso hat C an jedem beliebigen Ort des Universums
denselben Wert.
Die Ortsfunktion f(r) der elektrostatischen Kraft kann im Prinzip durch Messung von F , Q1,
Q2 und r ermittelt werden. Da F und auch die Ladungen sehr klein sind, steht die Genauigkeit
dieses Verfahrens in einem schlechten Verhältnis zum experimentellen Aufwand.
Man kann aber f(r) aus der experimentell sehr genau abgesicherten Aus-
sage (2.2.1) theoretisch herleiten!
Dazu betrachten wir eine geladene Leiterkugel mit Ra-
dius R, die sehr weit von anderen Leitern und Ladun-
gen entfernt ist, damit keine Influenzladungen auftre-
ten. Aus der Symmetrie der Kugel folgt, PSfrag dass replacements
sich die
Ladung Q der Kugel gleichmäßig über die ganze Ober-
fläche A verteilt, d.h. für die Flächenladungsdichte σ
gilt
σ = dQ Q Q
= = = konst. (2.2.5)
dA A 4 π R2 Wir betrachten eine kleine Probeladung q an einem
beliebigen Punkt P im Inneren der Kugel.
dA1
r1
+
+
P
q
r2
-
dA2
Abb.2.2.3 Herleitung des Coulombschen
Gesetzes

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 18
Wir denken und einen sehr schmalen Doppelkegel mit der Spitze in P. Dieser Doppelkegel schnei-
det aus der Kugeloberfläche die Flächen dA1 und dA2 aus. Die Ladungen auf diesen Flächen
sind
dQ1 = σ · dA1 und dQ2 = σ · dA2
Diese beiden Ladungen üben auf q Kräfte mit den Beträgen dF1 und dF2 aus.
Annahme: Die beiden Kräfte dF1 und dF2 heben sich für
alle möglichen Doppelkegel gegenseitig auf.
(2.2.6)
(2.2.7)
Aus der Annahme (2.2.7) folgt, dass die Gesamtkraft aller Ladungen der Kugeloberfläche auf q
gleich Null ist, d.h. (2.2.1) ist erfüllt. Da sich die Flächen dA1 und dA2 wie die Quadrate der
Entfernungen r1 und r2 verhalten, folgt für die Abstandsfunktion f(r) aus (2.2.3) und (2.2.6):
(2.2.10) besagt
oder
dF1 = f(r1) · dQ1 · q = f(r2) · dQ2 · q = dF2
f(r1) · σ · dA1 = f(r2) · σ · dA2
f(r1) · r 2 1 = f(r2) · r 2 2
(2.2.8)
(2.2.9)
(2.2.10)
f(r) · r 2 = k = konst. (2.2.11)
f(r) = k
r2 mit k = konst. (2.2.12)
(2.2.12) ist mit erheblich mehr mathematischem Aufwand auch ohne die Annahme (2.2.7) be-
weisbar. Aus (2.2.3) folgt für den Betrag der Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 in
der gegenseitigen Entfernung r das Coulomb’sche Gesetz
F = k · |Q1| · |Q2|
r 2
Die Konstante k schreibt man aus erst später ersichtlichen Gründen in der Form
k = 1
4 π ε0
(2.2.13)
(2.2.14)
ε0 heißt elektrische Feldkonstante oder absolute Dielektrizitätskonstante. Im Kapitel
über die elektromagnetischen Schwingungen lernen wir folgenden Zusammenhang zwischen ε0,
der magnetischen Feldkonstanten
und der Lichtgeschwindigkeit c kennen:
−7 V s
µ0 = 4 π · 10
A m
c =
1
√ ε0 µ0
Da µ0 und c exakt bekannt sind, ist auch ε0 exakt:
ε0 = 1
=
µ0 c2 1
4 π · 10 −7 V s
A m · 2997924582 m 2
s 2
−12 A s
= 8,85418781762.... · 10
V m
(2.2.15)
(2.2.16)
(2.2.17)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 19
Somit lautet das Coulombsche Gesetz in endgültiger Form
oder
mit
F = 1
·
4 π ε0
|Q1| · |Q2|
r2 −12 A s
mit ε0 ≈ 8,854189 · 10
V m
k = 1
4 π ε0
F = k · |Q1| · |Q2|
r 2
9 V m
≈ 8,98755 · 10
A s
≈ 9,0 · 109 V m
A s
Bezeichnet F12 die Kraft, die von Q1 auf Q2 ausgeübt wird und ist
r12 = r2 − r1
(2.2.18)
(2.2.19)
(2.2.20)
(2.2.21)
der Vektor, der von Q1 nach Q2 zeigt, dann lautet das Coulombsche Gesetz in vektorieller Form
F12 = F · r12
|r12| = k · Q1 · Q2
|r12| 3 · r12 (2.2.22)
Das 3. experimentelle Fundamentalgesetz ist so genau nachgewiesen, dass die Abweichung vom
Exponenten 2 kleiner als 3 · 10 −16 ist, d.h.
f(r) = k
mit |ε| < 3 · 10−16
r2+ε 2.3 Das Feld von Punktladungen
(2.2.23)
Die Kraft F , die von einer Ladung Qν am Ort rν auf eine Probeladung q am Ort r ausgeübt
wird, ist nach Coulomb
Die Ladung Qν erzeugt also am Ort r die elektrische Feldstärke
mit dem Betrag
F = k · Qν q
|r − rν| 3 · (r − rν) (2.3.1)
E = F
q
= k ·
Qν
E = | E| = k ·
Mit dem Superpositionsprinzip folgt aus (2.3.2):
|r − rν| 3 · (r − rν) (2.3.2)
Qν
|r − rν| 2
Die Punktladungen Q1, ... , Qn an den Orten r1, ... , rn erzeugen
am Ort r das Feld
mit
E = E(r) =
n
ν=1
k Qν
· (r − rν)
|r − rν| 3
k = 1
4 πε0
(2.3.3)
(2.3.4)
(2.3.4) ist die Zusammenfassung von Coulombschem Gesetz, Superpositionsprinzip und Feldde-
finition.

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 20
In (2.3.4) und der Felddefinition F = q E steckt die gesamte Elektrostatik, da jede Ladungs-
verteilung aus Punktladungen (Elektronen, Protonen usw.) besteht!
Die Grundaufgaben der Elektrostatik sind:
1. Berechnung von E bei gegebener Ladungsverteilung (mit (2.3.4) oder für große Ladungen
mit einer etwas abgewandelten Methode; siehe weiter unten!)
2. Berechnung der Ladungsverteilung bei gegebenen Leiteranordnungen; hier kommen für
uns nur einfachste Fälle in Betracht, da die Lösung dieser Aufgabe mathematisch sehr
anspruchsvoll ist.
3. Untersuchung der Bewegung von Ladungen in vorgegebenen elektrischen Feldern.
Ist n in (2.3.4) sehr groß, dann ist die Feldberechnung mit (2.3.4) praktisch nicht mehr durchführ-
bar. So besteht z.B. die Ladung Q = 1 C aus n = 6,25 · 10 18 Elementarladungen. Ein Computer,
der in einer Sekunde eine Million Terme in (2.3.4) berechnen könnte, würde für die Auswertung
der ganzen Summe immer noch t = 6,25 · 10 12 s ≈ 2 · 10 5 a brauchen. Für sehr großes n wird
die Ladungsverteilung angenähert durch die Ladungsdichte ρ( ξ) = dQ
dV
dann in ein Integral über:
2.4 Der Gauß’sche Satz
E(r) = 1
4 π ε0
V
beschrieben. (2.3.4) geht
r − ξ
|r − ξ| 3 · ρ( ξ) dV (2.3.5)
Wir betrachten eine ebene Fläche mit dem Inhalt dA, die so klein ist, dass die elektrische
Feldstärke E auf jedem Punkt der Fläche praktisch den gleichen Wert hat. Der Vektor da, der
senkrecht auf der Fläche steht und dessen Betrag gleich dA ist, heißt Flächenvektor. Die Kom-
ponente von E, die senkrecht auf der Fläche steht und somit parallel zu da ist, nennen wir E⊥:
Die Größe
| E⊥| = | E| · | cos ϕ| PSfrag replacements (2.4.1)
dΦ = | E| · |da| · cos ϕ = | E| · dA · cos ϕ = E da (2.4.2)
heißt Fluss des Feldes durch dA.
|dΦ| = dA · | E| · | cos ϕ| = dA · | E⊥| (2.4.3)
dA
E cos ϕ
da
ϕ
Abb.2.4.1 Flächenvektor
E

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 21
Wir berechnen den Fluss Φ des Feldes einer Punktladung Q
durch eine Kugelfläche mit Radius r um Q; dabei wählen wir
die Orientierung von da so, dass da immer nach außen (vom
Kugelmittelpunkt weg) zeigt. Für jede kleine Teilfläche dA
ist der Winkel ϕ zwischen E und da gleich 0◦ PSfrag replacements
, d.h. der Fluss
durch dA ist
dΦ = E da = | E| · dA · cos 0 ◦ = E dA (2.4.4)
Addiert man alle dΦ’s, dann erhält man wegen E = konst.
Φ =
Radius r ist für alle Radien gleich!
A
E da =
A
E dA = E · A = E · 4 π r 2
r
Abb.2.4.2
da
E
da
Q E
(2.4.5)
oder mit
k Q Q
E = =
r2 4 π ε0 r2 (2.4.6)
Q
Φ =
4 π ε0r2 · 4 π r2 = Q
g replacements
ε0
(2.4.7)
Der Fluss des Feldes einer Punktladung durch eine zur Ladung konzentrische Kugelfläche mit
A0
Q
r0
Abb.2.4.3 Q innerhalb von A
r
da
dA0
dA
r
E(r0)
A
Q
E
r0
dA0
ϕ
dA∗ A sei jetzt eine beliebige geschlossene Fläche, die eine Punktladung Q einschließt und A0 eine
zu Q konzentrische Kugelfläche mit Radius r0. Für den Fluss durch eine kleine Teilfläche dA
erhält man (siehe Abb.2.4.3)
dΦ = E · dA · cos ϕ = E · dA ∗ =
k Q
r 2 · dA0 r 2
r 2 0
= k Q
r 2 0
· dA0
dA
E(r)
ϕ
da
(2.4.8)
Der Fluss durch dA ist also genauso groß wie der Fluss durch die Teilfläche dA0 von A0. Daher
muss auch der gesamte Fluss ΦA durch A genauso groß sein wie der gesamte Fluss ΦA0 durch
A0. Letzterer ist aber nach (2.4.7) gleich Q
. Somit haben wir bewiesen:
ε0
Der Fluss ΦA des elektrischen Feldes einer Punktladung Q durch eine
beliebige geschlossene Fläche A, die Q einschließt, ist
ΦA = Q
ε0
(2.4.9)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 22
Da sich die Felder von mehreren Punktladungen addieren, addieren sich auch die Flüsse dieser
Felder zu einem Gesamtfluss durch eine Fläche. (2.4.9) gilt also nicht nur für eine Punktladung,
sondern für eine beliebige Ladung Q innerhalb der geschlossenen Fläche A.
Wir wollen jetzt den Fluss
des Feldes einer PSfrag Punktladung replacements
Q durch eine geschlossene
Fläche A berechnen, die Q
nicht umschließt. Zu jeder
Teilfläche dA1 gibt es nach
Abb.2.4.4 eine entsprechende
Teilfläche dA2 auf der ” ande-
ren“ Seite von A. A0 sei wie-
der eine zu Q konzentrische
Kugelfläche. Für die Winkel
ϕ1 und ϕ2 zwischen den Flä-
Q
dA0
da2
Abb.2.4.4 Q außerhalb von A
chenvektoren da1 bzw. da2 und den Feldvektoren E1 bzw. E2 gilt
0 ≤ ϕ1 ≤ 90 ◦ bzw. 90 ◦ ≤ ϕ2 ≤ 180 ◦
A
E2
da1
ϕ1
E1
(2.4.10)
Wie wir weiter oben gezeigt haben (Gleichung (2.4.8)), sind die Flüsse dΦ1 und dΦ2 durch dA1
und dA2 betragsmäßig gleich dem Fluss dΦ0 durch dA0. Wegen (2.4.10) und den Eigenschaften
des Kosinus haben dΦ1 und dΦ2 aber verschiedene Vorzeichen, so dass
dΦ1 + dΦ2 = 0 (2.4.11)
gilt. Aufsummieren aller Teilflüsse ergibt, dass der Gesamtfluss ΦA gleich Null ist. Wie oben kann
man auch hier von einer Punktladung auf eine beliebige Ladung verallgemeinern und erhält:
Der Fluss einer beliebigen Ladungsverteilung Q durch eine ge-
schlossene Fläche A ist Null, wenn Q außerhalb von A liegt.
Die Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse liefert den Gauß’schen Satz:
Der Fluss ΦA durch eine beliebige geschlossene Fläche A ist
ΦA = Q
wobei Q die gesamte von A eingeschlossene Ladung ist.
ε0
,
(2.4.12)
Für eine radialsymmetrisch verteilte Ladung ist auch das von ihr erzeugte Feld radialsymmetrisch
(Zentralfeld), d.h. E(r) zeigt an jedem Ort r zum Zentrum Z der Ladungsverteilung und der
Betrag E von E ist nur von r = |r|, nicht aber von der Richtung abhängig. Für eine Kugelfläche
mit dem Mittelpunkt Z und dem Radius r haben wir somit die gleichen Verhältnisse wie in
Abb.2.4.2 und genauso wie Gleichung (2.4.5) folgt
ΦA = E(r) · 4 π r 2
(2.4.14)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 23
Kombiniert mit dem Gauß’schen Satz folgt, wenn Q(r) die gesamte Ladung innerhalb der Kugel
vom Radius r bezeichnet
und damit
Aus (2.4.16) folgt:
Q(r)
= E(r) · 4 π r 2
ε0
E(r) =
k Q(r) Q(r)
=
r2 4 π ε0 r2 (Feldstärke im radialsymmetrischen Feld)
Befindet man sich außerhalb einer radialsymmetrischen Ladungsverteilung,
dann herrscht dort das gleiche Feld, das von einer Punktladung gleicher Größe
im Zentrum der Ladungsverteilung erzeugt würde!
(2.4.15)
(2.4.16)
(2.4.17)
Bei einer radialsymmetrischen Ladungsverteilung ist die Ladungsdichte ρ(r) auf einer Kugel-
fläche um das Zentrum Z konstant. Damit ist die Ladung, die sich in einer dünnen Kugelschale
mit Radius r und der Dicke dr befindet durch
dQ = ρ(r) · dV = ρ(r) · 4 π r 2 dr (2.4.18)
gegeben. Die Gesamtladung Q(r) innerhalb der Kugel mit Radius r ist demnach
Q(r) = 4 π
r
0
ρ(x) · x 2 dx (2.4.19)
Die Integrationsvariable wird hier mit x bezeichnet, da r die obere Grenze des Integrals ist.
Als Beispiel betrachten wir die radialsymmetrische Ladungsverteilung
α · r
ρ(r) =
2
0
für
für
0 ≤ r ≤ R
r > R
Mit (2.4.19) erhalten wir für die Ladung innerhalb einer Kugel mit Radius r
⎧
⎪⎨
r
4πα · x
Q(r) =
0
4 dx = 4πα
· r5
5
für 0 ≤ r ≤ R
Mit (2.4.16) folgt für den Betrag der Feldstärke
⎪⎩
Q(R) = 4πα
5 · R5 = konst. für r > R
⎧
⎪⎨
α
5 ε0
· r
E(r) =
⎪⎩
3
für 0 ≤ r ≤ R
α
5 ε0
· R5
r2 für r > R
(2.4.20)
(2.4.21)
(2.4.22)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 24
Zum Zeichnen von E(r) führt man zweckmäßigerweise die neue Variable x mit r = x · R ein.
Damit schreibt sich (2.4.22):
E(r) = E ∗ ⎧
⎪⎨
A · x
(x) =
⎪⎩
3
für 0 ≤ x ≤ 1
A
x2 für x > 1
Zeichne jetzt E(r) = E ∗ (x) mit x = 1 = 2 cm und E = A = 4 cm!
Als weitere Anwendung des Gauß’schen Satzes berech-
nen wir das Feld an der Oberfläche eines Leiters. Als
geschlossene Gauß’sche Fläche wählenPSfrag wir einen replacements kleinen,
flachen Quader, dessen Deckfläche parallel zur
Leiteroberfläche liegt. Da E senkrecht auf der Lei-
teroberfläche steht, ist E parallel zu den Seitenflächen
des Quaders; der Fluss durch die Seitenflächen ist also
Null. Da im Leiter E = 0 gilt, ist der Fluss durch die
Bodenfläche des Quaders ebenfalls Null. Der Quader
mit A =
+ + +
Leiter
α R3
5 ε0
da
E
+ + + + +
E = 0
Abb.2.4.5 Feld an Leiteroberfläche
(2.4.23)
wird so klein gewählt, dass E im ganzen Bereich des Quaders praktisch konstant ist, d.h. der
Fluss durch die Deckfläche und damit der gesamte Fluss durch die Quaderoberfläche ist
Φ = E · dA (2.4.24)
Die Ladung innerhalb des Quaders ist dQ = σ · dA, wobei σ die Flächenladungsdichte am Ort
des Quaders ist. Nach dem Gauß’schen Satz gilt
Φ = E · dA = dQ
= σ dA
ε0
ε0
(2.4.25)
Damit haben wir den Zusammenhang zwischen dem Betrag der Feldstärke und der Flächenla-
dungsdichte an einer Leiteroberfläche gefunden:
E = σ
2.5 Arbeit im elektrischen Feld
Eine Ladung q wird in einem elektrischen Feld PSfrag E langsam replacements
und ohne Beschleunigung ( quasistatisch“) auf der Kurve K
”
von A nach B befördert. Die vom Feld auf q wirkende Kraft
F = q· E muss dabei von einer äußeren Kraft F ∗ = − F kom-
pensiert werden. Von F ∗ wird dabei die Überführungsar-
beit
WAB =
K
F ∗
ds = −
K
F ds = −q ·
K
ε0
E ds (2.5.1)
verrichtet. WAB ist die potentielle Energie von q in B
bezüglich A.
E
F
K
A
q
B
(2.4.26)
F ∗
Abb.2.5.1 Ladungstransport

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 25
Q
Im radialsymmetrischen Feld E(r) = einer Punkt-
4 πε0 r2 ladung Q gilt (siehe Abb.2.5.3) PSfrag replacements
Eds = E dr und damit
r2
r2
q Q dr
WAB = −q · E(r) dr = − · =
4 πε0 r2 r1
r1
q Q
= − · −
4 πε0
1
r2 =
r r1
q Q
1
· −
4 πε0 r2
1
A
r2
r1
Q
(2.5.2)
r1
Abb.2.5.2 Punktladung Q
q Q
WAB =
4 πε0
1
·
r2
− 1
PSfrag replacements
r1
(2.5.3)
E
(Überführungsarbeit im Feld der Punktladung Q)
Die Überführungsarbeit im Feld einer Punktladung ist we-
gunabhängig, d.h. sie ist nur vom Anfangsradius r1 und
vom Endradius r2, nicht aber von der Wahl der Kurve K
abhängig. Wird die Ladung q auf einer geschlossenen Kurve
K von A nach A gebracht, dann gilt (der Kreis im Integral-
zeichen symbolisiert, dass K eine geschlossene Kurve ist)
WAA = −q · E ds = 0 (2.5.4)
K
und es folgt für eine beliebige geschlossene Kurve PSfrag K im replacements Feld
einer Punktladung
E ds = 0 (2.5.5)
K
O
r
K
dr
P
q
ϕ
S
ds
Abb.2.5.3 Zentralkraft
K
A
q
Q
Abb.2.5.4 Geschlossene Kurve
Da jedes beliebige elektrische Feld E der Elektrostatik von Punktladungen Q1, . . . , Qn erzeugt
wird, folgt aus dem Superpositionsprinzip und (2.5.5)
E ds =
n
Eν ds =
K
K
ν=1
Für jedes beliebige elektrostatische Feld gilt also
K
n
ν=1
K
Eν ds = 0 (2.5.6)
0
E ds = 0 (2.5.7)
(Energiesatz der Elektrostatik)
B

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 26
(2.5.7) besagt unter anderem, dass mit Hilfe eines elektrischen Feldes kein Perpetuum Mobile
PSfrag replacements
gebaut werden kann.
Wir betrachten den Spezialfall eines homogenen Feldes E
etwas genauer: Die Überführungsarbeit ist jetzt
WAB = F ∗ · ∆s = −q · E ∆s (2.5.8)
Mit E = | E|, ∆s = |∆s| und dem Winkel ϕ zwischen E und
∆s gilt
WAB = −q E ∆s cos ϕ (2.5.9)
Wenn möglich, wählen wir im Fall eines homogenen Fel-
PSfrag replacements
des das Koordinatensystem so, dass das Feld parallel zu
einer Koordinatenachse ist, z.B. zur y-Achse. Abb.2.5.6 ent-
nimmt man
und damit mit (2.5.9)
∆s cos ϕ = ∆y (2.5.10)
WAB = −q E ∆y (2.5.11)
Das Vorzeichen von ∆y ist gleich dem Vorzeichen von cos ϕ:
⎧
⎪⎨
+1 für 0 ≦ ϕ ≦ 90
sgn(∆y) =
⎪⎩
◦
0 für ϕ = 90◦ −1 für 90◦ < ϕ ≦ 180◦ E
A
ϕ
α
F ∗ = −q · E
∆s
Abb.2.5.5 Homogenes Feld
y
∆y
E
A
ϕ
q
∆s
Abb.2.5.6 Homogenes Feld
B
B
x
(2.5.12)
Eine positive Überführungsarbeit bedeutet, dass Arbeit von außen in das System Feld-Ladung
hineingesteckt wird, die potentielle Energie des Systems wird erhöht. Ist WAB dagegen negativ,
dann wird die Arbeit vom Feld verrichtet, es wird Energie frei, die potentielle Energie des
Systems wird kleiner (z.B. in kinetische Energie verwandelt).

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 27
2.6 Das Potential des elektrischen Feldes
Ist WP0P die Überführungsarbeit für eine Punktladung q im
elektrischen Feld E, dann nennt man
ϕ(P) = ϕ(r) = WP0P
q
das Potential in P bezüglich P0. Aus (2.5.1) folgt
ϕ(r) = −
K
E ds = −
P0
P
PSfrag replacements
(2.6.1)
E ds (2.6.2)
q
K
P
r0
r0 = −→
P0
OP0
r
E
O
r = −→
OP
Abb.2.6.1 Definition von ϕ(r)
Da die Überführungsarbeit wegunabhängig ist, ist ϕ(r) durch (2.6.2) eindeutig bestimmt.
WP0P ist nichts anderes als die potentielle Energie der Ladung q in P bezüglich P0:
Für die Einheit des Potentials gilt
Wegen der Wegunabhängigkeit der Überführungsarbeit gilt
und damit
oder
W01 + W12 = W02
Wpot(P) = WP0P = q · ϕ(r) (2.6.3)
[ϕ] = [E] · [s] = V
· m = 1 V (2.6.4)
m
(2.6.5)
W12 = W02 − W01 = q · ϕ(P2) − q · ϕ(P1) (2.6.6)
W12 = q · [ϕ(P2) − ϕ(P1)] = −q ·
P2
P1
PSfrag replacements
E ds (2.6.7)
P2
P0
Abb.2.6.2 Überführungsarbeit
Da die Überführungsarbeit W12 eindeutig bestimmt ist, ist die Potentialdifferenz
∆ϕ = ϕ(P2) − ϕ(P1) = −
P1
P2
E ds = W12
q
unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes P0 des Potentials.
P1
(2.6.8)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 28
Ein Vergleich von (1.4.10) mit (2.6.1) führt uns auf die exakte Definition der elektrischen Span-
nung im Punkt P2 bezüglich des Punktes P1:
Aus (2.6.9) folgt
U12 = ϕ(P2) − ϕ(P1) = −
P1
P2
E ds = W12
q
(Spannung = Potentialdifferenz)
U21 = −U12
Im Spezialfall des homogenen Feldes folgt aus (2.5.8)
U12 = − E −−−→
PSfrag replacements
P1P2
(2.6.11)
Ist E parallel zur y-Achse (siehe Abb.2.6.3), dann gilt
|U12| = E · |∆y| mit ∆y = −−−→
· cos ϕ (2.6.12)
P1P2
y
∆y
E
P1
ϕ
∆s
Abb.2.6.3 Homogenes Feld
(2.6.9)
(2.6.10)
Wir betrachten das Feld einer Punktladung Q im Ursprung. Wählt man als Bezugspunkt P0
mit OP0 = r0, dann folgt für das Potential in einem Punkt P mit OP = r aus (2.5.3) und (2.6.1)
ϕ(r) = Q
1 1
− (2.6.13)
4 πε0 r r0
Da r0 im Nenner eines Bruches steht, kann der Ursprung nicht als Bezugspunkt P0 gewählt
werden. Die Formel für das Potential wird am einfachsten, wenn man einen unendlich fernen
1
Punkt (r0 → ∞) als Bezugspunkt wählt. Wegen lim = 0 gilt dann
r0→∞
Positive Ladungen ” rollen“
im Potentialgebirge (rϕ-
Diagramm) abwärts, negative
aufwärts!
PSfrag replacements
ϕ
ϕ(r) = Q
4 πε0 r
r0
r
ϕ
Q > 0 Q < 0
P2
x
(2.6.14)
Abb.2.6.4 Potential einer Punktladung Q für Q > 0 und Q < 0
r

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 29
Wir betrachten eine Fläche A mit folgender Eigenschaft:
In jedem Punkt von A gilt E⊥A.
P1 und P2 seien zwei Punkte der Fläche A und K ist ei-
ne Kurve mit den Endpunkten P1 und P2, die ganz in A
verläuft. Für jeden Vektor ds, der in der Fläche A liegt, gilt
E⊥ds, d.h. E ds = 0. Damit gilt
PSfrag replacements
ϕ(P2) − ϕ(P1) = − E ds = 0 (2.6.15)
d.h. ϕ(P1) = ϕ(P2). Damit haben wir gezeigt, dass überall
auf A das gleiche Potential herrscht, A ist eine Äquipoten-
tialfläche.
K
Flächen, die überall senkrecht auf den elektrischen Feldlinien
stehen, sind Äquipotentialflächen!
Da Feldlinien auf Leiteroberflächen senkrecht stehen, gilt
Abb.2.6.3 zeigt die dreidimensiona-
le Darstellung eines zweidimensio-
nalen Potentials, genauer die Funk-
tion ϕ(x, y) (die ” Höhe des Gebir-
ges“ am Ort (x, y) ist der Wert von
ϕ(x, y)).
Dem Potentialgebirge aus Abb.2.6.6
liegt folgende Ladungsverteilung zu
Grunde:
1 C im Punkt (1|1)
1 C im Punkt (−1|1)
1 C im Punkt (1| − 1)
1 C im Punkt (−1| − 1)
−2 C im Punkt (0|0)
A
ds
Abb.2.6.5 Äquipotentialfläche
E
(2.6.16)
Leiteroberflächen sind Äquipotentialflächen! (2.6.17)
Abb.2.6.6 Potentialgebirge

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 30
2.7 Gegenüberstellung von Elektrostatik und Gravitation
Kraft zwischen den Punktladungen Q1 und Q2:
k = 1
4 π ε0
F = k · Q1 · Q2
r 2
9 V m
≈ 8,98755 · 10
A s
Ist F die Kraft auf eine Punktladung q am Ort
r, dann herrscht in r das elektrische Feld
E = F
q
Potential in P bezüglich P0:
ϕ(P) = −
P0
P
E ds
Potentielle Energie von q in P bezüglich P0:
Wpot(P) = q · ϕ(P)
Überführungsarbeit der Ladung q:
WAB = q · (ϕ(B) − ϕ(A)) = −q ·
B
A
E ds
Feld einer radialsymmetrischen Ladungs-
verteilung (Q(r) ist die Ladung innerhalb einer
Kugel mit Radius r):
E(r) =
k · Q(r)
r 2
Potential einer Punktladung Q im Ursprung:
ϕ(r) = k · Q
r
Überführungsarbeit der Ladung q im homo-
genen Feld, das in Richtung der negativen
y-Achse zeigt:
W = q · E · ∆y
Kraft zwischen den Punktmassen m1 und m2:
F = γ · m1 · m2
r 2
−11 m3
γ ≈ 6,67259 · 10
kg s2 Ist F die Kraft auf eine Punktmasse m dann
herrscht in r das Gravitationsfeld
g = F
m
Potential in P bezüglich P0:
P
ϕ(P) = − g ds
P0
Potentielle Energie in P bezüglich P0:
Wpot(P) = m · ϕ(P)
Überführungsarbeit der Masse m:
WAB = m · (ϕ(B) − ϕ(A)) = −m ·
B
A
g ds
Feld einer radialsymmetrischen Massenver-
teilung (M(r) ist die Masse innerhalb einer Ku-
gel mit Radius r):
g(r) =
γ · M(r)
r 2
Potential einer Punktmasse M im Ursprung:
ϕ(r) = γ · M
r
Überführungsarbeit der Masse m im homoge-
nen Feld, das in Richtung der negativen y-
Achse zeigt:
W = m · g · ∆y

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 31
2.8 Zusammenhänge zwischen E, ϕ und ϱ
Zunächst betrachten wir ein elektrisches Feld,
das nur in x-Richtung zeigt und das nur von x,
nicht aber von y und z abhängt. Das Feld ist also
auf einer Ebene senkrecht zur x-Achse konstant.
⎛ ⎞
E(x)
E
⎜ ⎟
= ⎝ 0 ⎠ (2.8.1)
Wir betrachten weiter einen sehr flachen Quader
mit den Deckflächen A und der Dicke dx. dx ist
so klein, dass die Ladungsdichte ϱ im Intervall
0
PSfrag replacements
y
z
da
dQ
A
E(x) E(x + dx)
dx
x
x + dx
Abb.2.8.1 Zur Herleitung
zwischen x und x + dx praktisch als konstant angesehen werden kann. Die Ladung in unserem
Quader ist dann
Aus dem Gauß’schen Satz folgt dann
oder
Im Grenzübergang dx → 0 folgt dann
Für die Änderung des Potentials gilt
und damit
dQ = ϱ(x) dV = ϱ(x) A dx (2.8.2)
E(x + dx) · A − E(x) · A = dQ
= ϱ(x) A dx
E(x + dx) − E(x)
dx
dE
dx
Die Kombination von (2.8.5) und (2.8.7) ergibt
= ϱ(x)
ε0
ε0
= ϱ(x)
ε0
ε0
da
x
(2.8.3)
(2.8.4)
(2.8.5)
dϕ = ϕ(x + dx) − ϕ(x) = −E dx (2.8.6)
E(x) = − dϕ
dx
d2ϕ = −ϱ(x)
dx2 ε0
(2.8.7)
(2.8.8)
Im allgemeinen Fall ist E eine Funktion von allen drei Ortskoordinaten:
E = ⎛ ⎞
Ex(x, y, z)
⎜ ⎟
E(r) = ⎝Ey(x,
y, z) ⎠ (2.8.9)
Ez(x, y, z)
Mit dem runden Differentiationssymbol ∂ wird die partielle Ableitung einer Funktion meherer
Veränderlicher bezeichnet. ∂Ex
∂x bedeutet z.B. die Ableitung von Ex(x, y, z) nach x, wobei

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 32
y und z als konstant betrachtet werden. Wie im eindimensionalen Fall, nur mit dreifachem
Schreibaufwand, leitet man die Verallgemeinerungen von (2.8.5), (2.8.7) und (2.8.8) her:
Mit den Abkürzungen
und
folgt
∂Ex
∂x
+ ∂Ey
∂y
E
⎜
= − ⎝
∂ 2 ϕ
∂x 2 + ∂2 ϕ
div E = ∂Ex
∂x
+ ∂Ez
∂z
⎛
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
⎞
= ϱ
ε0
∂y2 + ∂2ϕ ϱ
= −
∂z2 ⎜
grad ϕ = ⎝
(2.8.10)
⎟
⎠ (2.8.11)
ε0
∂Ey ∂Ez
+ +
∂y ∂z
⎛ ⎞
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∆ϕ = ∂2ϕ ∂x2 + ∂2ϕ ∂y2 + ∂2ϕ ∂z2 div E = ϱ
ε0
(2.8.12)
(2.8.13)
⎟
⎠ (2.8.14)
(2.8.15)
(2.8.16)
E = −grad ϕ (2.8.17)
∆ϕ = − ϱ
ε0
(2.8.18)
(2.8.12) bzw. (2.8.18) heißt Poisson-Gleichung. Im ladungsfreien Raum, z.B. zwischen geladenen
Leitern, ist ϱ = 0 und aus der Poisson-Gleichung folgt die Laplace-Gleichung
2.9 Kondensatoren
Eine Anordnung von zwei isoliert zueinander aufgestellten
Leitern heißt Kondensator. Ist das System, das aus den
beiden Leitern und der Spannungsquelle besteht, vollkom-
men von anderen Körpern isoliert und ist die Gesamtladung
des Systems Null, dann gilt
Q1 = −Q2
∆ϕ = ∂2ϕ ∂x2 + ∂2ϕ ∂y2 + ∂2ϕ = 0 (2.8.19)
∂z2 PSfrag replacements
(2.9.1)
Wählt man irgend eine Kurve K, die im Punkt R an der
Oberfläche von Leiter
1 beginnt und im Punkt S an der
Oberfläche von Leiter
2 endet, dann gilt
A
R
Q1 = Q
U
+ −
E
S
Q2 =
−Q
Abb.2.9.1 Beliebiger Kondensator

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 33
U =
K
E ds (2.9.2)
Wird die Feldstärke zwischen den Leiter mit n multipliziert (die Geometrie des Feldes bleibt
also erhalten, E ′ = n · E), dann ist die Spannung zwischen den Leitern
U ′
= E ′
ds = n · E ds = n · U (2.9.3)
K
Umgekehrt kann mit der sogenannten Laplacegleichung gezeigt werden, dass sich die Feldgeo-
metrie tatsächlich nicht ändert, wenn man die Spannung ändert, d.h.
K
U ′ = n · U =⇒ E ′ = n · E (2.9.4)
Aus dem Gauß’schen Satz folgt dann für die Ladung Q ′ auf Leiter 1 :
Q ′
= ε0 · E ′
da = n · ε0 · E da = n · Q (2.9.5)
Aus (2.9.3) und (2.9.5) folgt
d.h. Q ist proportional zu U:
A
A
Q ′ n · Q Q
= =
U ′ n · U U
Der Proportionalitätsfaktor C heißt Kapazität des Kondensators.
Ist der Abstand d zwischen den Platten eines Plattenkon-
densators klein gegen die linearen Abmessungen der Plat-
ten (d ≪ √ A, A = Fläche einer Platte), dann ist das
Feld zwischen den Platten annähernd homogen. Aus dem
Gauß’schen Satz folgt (siehe (2.4.26))
E = σ
ε0
= Q
ε0 A
Q
U
(2.9.6)
= C = konst. (2.9.7)
PSfrag replacements
(2.9.8)
Damit folgt für die Spannung zwischen den Kondensatorplatten
U = E · d =
Q d
ε0 A
und endgültig für die Kapazität des Plattenkondensators (d ≪ √ A)
Die Einheit der Kapazität ist
C = Q
U = ε0 A
d
[C] = 1 F = 1 Farad = 1 C A s
= 1
V V
+
+
+
+
A
Q
+ +
− − − − − − − − −
−Q
Abb.2.9.2 Plattenkondensator
E
+
+
+
d
(2.9.9)
(2.9.10)
(2.9.11)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 34
Bei der Parallelschaltung von zwei Kondensatoren liegen beide Kon-
densatoren an derselben Spannung U. Die Gesamtladung Q auf beiden
Kondensatoren ist dann
Q = Q1 + Q2 = C1 U + C2 U = (C1 + C2) U (2.9.12)
Damit ist die Gesamtkapazität der Parallelschaltung
PSfrag replacements
C = Q
U = C1 + C2
(2.9.13)
PSfrag replacements
Bei der Reihenschaltung gilt wegen der Ladungserhaltung:
−Q1 + Q2 = 0 =⇒ Q1 = Q2 =: Q (2.9.14)
Q ist dabei die von der Stromquelle auf die gesamte Schal-
tung transportierte Ladung. Für die Gesamtspannung U gilt
dann mit der Gesamtkapazität C
Q
C = U = U1 + U2 = Q1
+
C1
Q2
C2
= Q
+
C1
Q
C2
(2.9.15)
Nach Division durch Q erhält man für die Kapazität C der Reihenschaltung
1
C
1
= +
C1
1
C2
Die Verallgemeinerung auf mehrere Kondensatoren lautet:
C = Q
U = C1 + C2 + . . . + Cn
1
C
(Parallelschaltung)
1
= +
C1
1
+ . . . +
C2
1
Cn
(Reihenschaltung)
U1
Q1
Q2
C1
C2
U
Abb.2.9.3 Parallelschaltung
Q1 −Q1 Q2
C1
U
U2
C2
Abb.2.9.4 Reihenschaltung
(2.9.16)
(2.9.17)
(2.9.18)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 35
Als weiteres Beispiel betrachten wir den Kugel-
kondensator, zwei konzentrische Kugelschalen,
deren innere den Radius ri und deren äußere den
Radius ra hat. Zwischen den Schalen, die die La-
dungen Q bzw. −Q tragen, herrscht das Feld
E =
Q
, (2.9.19)
4 π ε0 r2 sonst ist E = 0. Die Spannung zwischen den
Kugelschalen ist dann
U = ϕi − ϕa = Q
4 π ε0
1
ri
− 1
ra
(2.9.20)
Für die Kapazität des Kugelkondensators erhält
man
PSfrag replacements
C = Q
U
Mit dem Grenzübergang ra → ∞ erhält man aus
(2.9.21) die Kapazität einer freistehenden Kugel
(ri = r):
C = 4 π ε0 r (2.9.22)
= 4 π ε0
1
ri
− 1
ra
PSfrag replacements
U
+ −
E =
ϕi
ri
E = 0
Q
4πε0r 2
ra
ϕa
E
Q
Abb.2.9.5 Kugelkondensator
r
Abb.2.9.6 Alleinstehende Kugel
+
U
−
−Q
E = 0
(2.9.21)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 36
2.10 Die Energie des elektrischen Feldes
Wir wollen die Energie berechnen, um einen beliebigen Kon-
densator der Kapazität C aufzuladen. Zu der Zeit, zu der der
Kondensator die Ladung Q ∗ trägt, ist die Spannung zwi-
schen den Kondensatorteilen
U(Q ∗ ) = Q∗
C
(2.10.1)
Wird jetzt die Ladung dQ ∗ vom einen zum anderen Kon-
denstorteil transportiert, muss dazu die Arbeit
PSfrag replacements
dW = U(Q ∗ ) · dQ ∗ = 1
Q ∗
+
dQ
E
−Q ∗
−
Abb.2.10.1 Beliebiger Kondensator
C · Q∗ dQ ∗
(2.10.2)
verrichtet werden. Beginnt man mit einem ungeladenen Kondensator und transportiert man
nach und nach kleine Ladungunsmengen von einer zur anderen Hälfte bis der Endzustand mit
der Ladung Q erreicht ist, dann hat man die Arbeit
W =
Q
0
1
C · Q∗ dQ ∗ = Q2
2 C
(2.10.3)
verrichtet. Diese Arbeit ist jetzt im elektrischen Feld zwischen den Kondensatorhälften gespei-
chert. Zusammenfassend halten wir fest:
Trägt ein Kondensator der Kapazität C die Ladung Q, dann
ist im Kondensatorfeld die Energie
gespeichert.
We = Q2
2 C
1 2
= C U
2
Das homogene Feld eines Plattenkondensators enthält die Energie
We = 1
2 C U 2 = 1 ε0 A
2 d (d E)2 = 1
2 ε0 E 2 · A · d (2.10.5)
Das vom Feld erfüllte Volumen ist V = A · d. Damit gilt für die Energiedichte des elektrischen
Feldes
we = We
V
Für beliebige (auch nichthomogene) Felder gilt:
we = dWe
dV
= 1
2 ε0 E 2
= 1
2 ε0 E 2
Die elektrische Feldenergie in einem Raumgebiet V ist dann
We =
V
we dV = 1
2 ε0
V
(2.10.6)
(2.10.7)
E 2 dV (2.10.8)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 37
Als Anwendung von (2.10.6) berechnen wir PSfrag die replacements
Kraft F ,
mit der sich die beiden Platten eines geladenen Kondensa-
tors anziehen. Vergrößert man den Plattenabstand um dx,
dann vergrößert sich die Feldenergie um we dV . Diese Ener-
gie stammt von der Arbeit F dx, die beim Vergrößern des
Plattenabstandes verrichtet wird:
Aus (siehe (2.9.8))
und (2.10.9) folgt
F dx = we dV = 1
2 ε0 E 2 · A dx (2.10.9)
E = σ
ε0
= Q
ε0 A
(2.10.10)
A
dV
dx
Q −Q
Abb.2.10.2 Kraft auf Kondensatorplatte
F = 1
2 ε0 E 2 · A = 1
2 ε0 · Q
1
· A · E = Q · E (2.10.11)
ε0 A 2
Wir betrachten ein einfaches Modell des Elektrons: Die La-
dung e ist gleichmäßig über die Oberfläche einer Kugel mit
Radius R verteilt. Zur Berechnung der Energie des vom
PSfrag replacements
Elektron erzeugten elektrischen Feldes verwenden wir als Vo-
lumenelement eine dünne Kugelschale mit dem Innenradius
r und der Dicke dr:
dV = 4 π r 2 dr (2.10.13)
Da das Feld im Inneren der Kugel mit Radius R Null ist,
berechnet sich die gesamte Feldenergie zu
We =
∞
R
∞
=
R
we dV =
∞
R
e2 e2
dr = ·
8 πε0 r2 8 πε0
F = 1
Q · E (2.10.12)
2
1
2 ε0 E 2 · 4 π r 2 dr =
∞
R
1
2 ε0
− 1
∞ =
r R
e2
8 πε0 R
e
r
F
Abb.2.10.3 Elektron
e
4 πε0 r 2
2
· 4 π r 2 dr =
dV
R dr
(2.10.14)
Nach Einsteins Relativitätstheorie entspricht jeder Energie W die Masse m = W
c 2 . Wir berechnen
den Radius R des Elektrons unter der Annahme, dass die gesamte Elektronenmasse von der
Feldenergie stammt:
R =
We = e2
8 πε0 R = me c 2
(2.10.15)
e 2
8 πε0 me c 2 = 1,4 · 10−15 m (klassischer Elektronenradius) (2.10.16)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 38
2.11 Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld
2.11.1 Berechnung der Geschwindigkeit in einem beliebigen Feld
Ein Teilchen mit der Ladung q und der Masse m bewegt sich
in einem beliebigen elektrischen Feld
PSfrag replacements
E( )r mit dem Potential
ϕ(r). Das Teilchen startet mit dem Geschwindigkeitsbetrag
v0 am Punkt P0 mit ϕ(P0) = ϕ0. Der Betrag der Geschwin-
digkeit des Teilchens am Ort P mit ϕ(P) = ϕ sei v. Der
Energiesatz
Wkin(P0) + Wpot(P0) = Wkin(P) + Wpot(P) (2.11.1)
lautet in unserem Fall
Auflösen nach v:
ϕ0
P0
q
ϕ
v0
Abb.2.11.1 Beliebiges Feld
m
2 v2 0 + q · ϕ0 = m
2 v2 + q · ϕ (2.11.2)
v =
v 2 0
+ 2 q
m (ϕ0 − ϕ) (2.11.3)
Mit der Spannung U = ϕ0 − ϕ im Punkt P0 bezüglich P lautet (2.11.3):
v =
v 2 0
+ 2 q U
m
P
v
(2.11.4)
Die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen der Spannung 1 Volt gewinnt, nennt man ein
Elektronenvolt (1 eV):
1 eV = e · 1 V = 1,602 · 10 −19 J 1 J = 6,242 · 10 18 eV (2.11.5)
Beispiel: Ein Elektron verlässt einen sehr heißen Glühdraht mit der Geschwindigkeit
v0 = 1,50 · 105 m
s und wird anschließend von der Spannung U = 1,00 V auf die
Geschwindigkeit v beschleunigt:
v = v2 2 e U
0 +
me
m
2 = 1,5 · 105 +
s
2 · 1,602 · 10−19As · 1V
9,109 · 10−31 5 m
= 6,12 · 10
kg
s
Beispiel: Zwei Protonen ruhen im Abstand r = 5,00 · 10 −15 m voneinander. Welche
Geschwindigkeit v haben die Protonen, wenn sie weit voneinander entfernt
sind?
e 2
4 π ε0 r
v =
= 2 · mp
2 v2 + Wpot(∞)
0
e 2
4 π ε0 mp r
= 5,25 · 106 m
s

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 39
2.11.2 Bewegung im homogenen Feld (vollständige Lösung)
Ein Teilchen mit der Ladung q und der Masse m bewegt sich in dem homogenen Feld
⎛ ⎞
E =
⎜
⎝
Ex
Ey
Ez
⎟
⎠ = konst. (2.11.6)
Der Anfangsort sei r0 = r(0) und die Anfangsgeschwindigkeit v0 = v(0). Das Teilchen erfährt
die konstante Beschleunigung
a = ˙ v = q
m · E (2.11.7)
Zweimalige Integration liefert unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
und
v(t) = ˙ r(t) = v0 + q
m · E · t (2.11.8)
r(t) = r0 + v0 · t + q
2 m · E · t 2
(2.11.9)
Wählt man das Koordinatensystem so, dass die z-Achse senkrecht auf v0 und senkrecht auf E
steht, dann ist v0 parallel zur xy-Ebene PSfrag undreplacements es wirkt keine Beschleunigung in z-Richtung, d.h.
die ganze Bewegung verläuft in der xy-Ebene. Dreht man das Koordinatensystem schließlich
noch so, dass E parallel zur y-Achse ist, dann gilt
E =
0
E
und mit den Anfangsbedingungen
r0 =
x0
y0
= konst. (2.11.10)
; v0 =
folgt aus (2.11.8) und (2.11.9)
und
v(t) =
vy0 +
r(t) =
vx0
vy0
vx0
q E
m t
x(t)
y(t)
oder die Komponenten getrennt geschrieben
Berechnet man t aus (2.11.14)
=
(2.11.11)
d.h.
q
y
y0
vy0
x0
v0
ϕ
vx0
Abb.2.11.2 E y − Achse
vx(t) = vx0 = konst.
vy(t) = vy0 +
x0 + vx0 t
y0 + vy0 t +
q E
2 m t2
q E
m t
q > 0
E
x
(2.11.12)
(2.11.13)
x(t) = x0 + vx0 t (2.11.14)
y(t) = y0 + vy0 t +
x − x0
t =
vx0
q E
2 m t2
(2.11.15)
(2.11.16)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 40
und setzt in (2.11.15) ein, dann erhält man die Bahngleichung
q E
y = · (x − x0) 2 + vy0
PSfrag replacements
· (x − x0) + y0
2 m v 2 x0
y ist eine quadratische Funktion von x, d.h. die Bahnkurve ist eine Parabel.
vx0
(2.11.17)
Die Bewegung eines geladenen Teilchens im homogenen elektrischen Feld ist natürlich vollkom-
men analog zur Bewegung einer Punktmasse im homogenen Gravitationsfeld. Ersetzt man in
den Gleichungen (2.11.12) bis (2.11.17) q durch m und E durch g, dann hat man die entspre-
chenden Formeln für die Bewegung im Gravitationsfeld (schiefer Wurf).
Als Beispiel betrachten wir ein Elek-
tron, das mit der Geschwindigkeit
v0 unter dem Winkel ϕ gegen die
x-Achse in das homogene Feld ei-
nes Plattenkondensators (Spannung
U, Plattenabstand d) eintritt. Ge-
sucht sind die Koordinate y1 des
Austrittspunktes aus dem Konden-
satorfeld und die Austrittsgeschwin-
digkeit v1 nebst Austrittswinkel ϕ1.
Eintritt in das Kondensatorfeld zur
Zeit Null, Austritt zur Zeit t1.
y
vy0
−
+
ϕ
v0
−
vx0
+
−
+
L
Abb.2.11.3 Zum Beispiel
E
−
+
−
+
y1
L
U = 100 V
d = 10 cm
v0 = 5,0 · 106 m
s
ϕ = 30◦ L = 10 cm
vx0 = v0 cos ϕ , vy0 = v0 sin ϕ , E = U
d
, x0 = y0 = 0 , q = −e (2.11.18)
t1 = L L
=
v0 cos ϕ = 2,31 · 10−8 s (2.11.19)
vx0
(2.11.15) =⇒ y1 = y(t1) = L tan ϕ −
e U L 2
2 m d v 2 0 cos2 ϕ
cos ϕ
(2.11.12) =⇒ v1 = v0 ·
e U L
sin ϕ −
m d v2
4,33 · 10
=
0 cos ϕ
6
−1,56 · 106
v1y
tan ϕ1 =
= 0,361 =⇒ ϕ1 = 19,8 ◦
v1x
y ist maximal, wenn vy(tmax) = 0 =⇒ tmax = 1,42 · 10 −8 s =⇒ ymax = 1,78 cm
2.12 Die Elementarladung
ϕ1
v1
= 1,08 cm (2.11.20)
m
s
x
(2.11.21)
(2.11.22)
Mit der ” Röntgenstrukturanalyse“ (siehe K13) können atomare Abstände sehr genau gemes-
sen werden, d.h. man kann das pro Atom bzw. Molekül beanspruchte Volumen V in einem
bestimmten Material bestimmen. Aus der Dichte ϱ berechnet sich daraus die Atom- bzw. Mo-
lekülmasse zu m = ϱ · V . Als Masseneinheit im atomaren Bereich verwendet man die atomare
Masseneinheit
u = 1
12 · Masse des 12 C-Atoms = 1,66054021 · 10 −27 kg (2.12.1)

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 41
Die Einheit der Stoffmenge ist 1 kmol (1 Kilomol). 1 kmol eines Stoffes enthält genau so viele
Atome bzw. Moleküle wie 12 kg des Kohlenstoffisotops 12 C.
Definitionen:
relative Molekül- bzw. Atommasse : Mr = m
u
Zahl der Atome in 12 kg 12 C : NA ′ =
Avogadrokonstante : NA =
1 kg
u
= 6,0221367 · 1026
1 kg
u kmol = 6,0221367 · 1026 1
kmol
Masse eines Kilomols (molare Masse) : Mm = NA · m = NA · u · Mr = Mr · 1 kg
kmol
Die Faraday’schen Gesetze der Elektrolyse lauten:
1. Die Masse ma der bei der Elektrolyse abgeschiedenen Materie ist zur transportierten La-
dung Q proportional:
ma = Ä · Q
Den Proportionalitätsfaktor Ä nennt man das elektrochemische Äquivalent.
2. Bei der Abscheidung von n kmol eines z-wertigen Stoffes wird die Ladung Q = z · n · F
transportiert. Die Konstante
heißt Faradaykonstante.
F = 96485309
A s
kmol
Unter der Annahme, dass alle N Moleküle bei der Elektrolyse die gleiche Ladung q tragen, folgt
aus den Faradaygesetzen:
q = Q
N
= z · n · F
n · NA
= z · F
NA
Da ein z-wertiges Ion z Elementarladungen trägt, folgt
= z · 1,60217733 · 10 −19 A s (2.12.2)
e = 1,60217733 · 10 −19 A s (2.12.3)
Die Existenz und der Wert der Elementarladung folgt aus den Faradaygesetzen nur unter der
Annahme, dass alle Ionen die gleiche Ladung tragen. Diese Annahme hat Millikan 1916 an der
University of Chicago experimentell nachgewiesen.

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK 42
Wir betrachten hier nur ein stark vereinfachtes Experiment
(Schwebemethode): Feine Öltröpfchen werden von radio-
PSfrag replacements
aktiver Strahlung geladen und im elektrischen Feld eines
kleinen Plattenkondensators zum Schweben gebracht. Die
Teilchen werden von der Seite her beleuchtet und mit ei-
nem Mikroskop beobachtet. Aus der Kondensatorspannung
U, die im Schwebefall abgelesen wird, lässt sich bei bekann-
ter Masse m eines beobachteten Tröpfchens über die Gleich-
gewichtsbedingung Fe = G die Ladung q des Tröpfchens be-
rechnen. In das Mikroskop ist eine Skala eingearbeitet, mit
deren Hilfe man den Durchmesser eines Öltröpfchens und
daraus mit der bekannten Dichte auch seine Masse bestim-
men kann.
Nachteile der Schwebemethode:
−
U
+
Fe
G
Abb.2.12.1 Schwebemethode
• Beugungseffekte verhindern eine genaue Messung des Tröpfchenradiuses
• Kleine Luftströmungen verfälschen die Messung
• Zitterbewegung des Tröpfchens durch Molekülstöße (Brown)
Die Nachteile der Schwebemethode umgeht man mit der Gleichfeldmethode: Man lässt das
Tröpfchen steigen und nach Umpolung des Feldes sinken. Wegen des Luftwiderstandes stellt
sich eine konstante Steig- und eine konstante Sinkgeschwindigkeit ein. Man erhält dann zwei
Gleichungen mit den Unbekannten q (Tröpfchenladung) und R (Tröpfchenradius), d.h. R muss
nicht mehr direkt gemessen werden.
Ergebnis des Millikanversuchs:
Alle gemessenen Tröpfchenladungen sind Vielfache der Elementarladung!
Obwohl Quarks drittelzahlige Elementarladungen tragen, gibt es keine freien Teilchen mit nicht-
ganzen Vielfachen der Elementarladung, da Quarks nicht als freie Teilchen, sondern nur als
Bausteine von Elementarteilchen existieren.
d

Kapitel 3
Elektrodynamik
3.1 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
3.1.1 Wiederholung Magnetismus
Magnetpole treten nur paarweise auf, ungleichnamige PSfrag replacements Pole
ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab. Die Kräfte zwi-
schen Magneten werden durch magnetische Feldlinien be-
schrieben.
• Magnetische Feldlinien zeigen vom magnetischen
Nordpol zum magnetischen Südpol.
• In einem Magnetfeld B wirkt auf einen Nordpol eine
Kraft in Richtung der Feldlinien, auf einen Südpol in
entgegengesetzter Richtung.
Ströme erzeugen Magnetfelder, deren Richtung mit
der ” Korkenzieherregel“ bestimmt wird:
Die Spitze des Korkenziehers
PSfrag
zeigt
replacements
in
PSfrag replacements
Stromrichtung, die Drehrichtung gibt die
Orientierung des Magnetfeldes B an.
Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld wirkt
eine Kraft, deren Richtung man mit der UVW-Regel (Rechte-
Hand-Regel) bestimmt (Ursache-Vermittlung-Wirkung):
Ursache ist der Strom, Vermittlung das Magnetfeld und die Wir-
kung ist die Kraft. I, B und F bilden in dieser Reihenfolge ein
Rechtssystem. Es gilt
F ⊥ I und F ⊥ B (3.1.1)
43
N
N S
S
Abb.3.1.1 Magnetische Feldlinien
B
I
Abb.3.1.2 Korkenzieherregel
Zeigefinger
B
V
ϕ
B
B
I
F
I
Daumen
U
Mittelfinger
Abb.3.1.3 UVW-Regel
W

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 44
Misst man die Kraft F auf einen vom Strom I durchflossenen Leiter der Länge l für verschiedene
Ströme und verschiedene Leiterlängen in immer dem gleichen Magnetfeld, dann stellt man fest,
F
dass
I l sin ϕ konstant ist. Diese Konstante nennt man magnetische Flussdichte B. B ist ein
Vektor mit dem Betrag B, der in Richtung der magnetischen Feldlinien zeigt.
B =
F
I l sin ϕ
ϕ ist dabei der Winkel zwischen B und I. Aus (3.1.2) folgt
F = l I B sin ϕ = l I B⊥
Zusammenfassend halten wir fest:
PSfrag replacements
(3.1.3)
Auf einen vom Strom I durchflossenen Leiter der Länge l in
einem Magnetfeld B wirkt die Kraft F mit
F = | F | = l I B sin ϕ = l I B⊥
(3.1.4)
F ⊥ I und F ⊥ B (3.1.5)
I, B und F bilden ein Rechtssystem. PSfrag replacements
(3.1.6)
Abkürzend schreibt man für die Gleichungen (3.1.4), (3.1.5)
und (3.1.6)
F = l · I × B (3.1.7)
I
Abb.3.1.4 B⊥
B
F = l · I × B
ϕ
Abb.3.1.5 Kraft auf Leiter
I × B nennt man das Kreuzprodukt oder das Vektorprodukt von I und B.
Aus (3.1.2) folgt für die Einheit der Kraftflussdichte
[B] = 1 N
A m
3.2 Der magnetische Fluss
Den magnetischen Fluss durch eine Fläche A definiert man
genauso wie den elektrischen Fluss:
Φ =
A
B da =
A
B cos ϕ
B⊥
ϕ
I
(3.1.2)
V s
= 1 = 1 T = 1 Tesla (3.1.8)
m2 da (3.2.1)
B⊥ ist die Komponente von B, die senkrecht auf der Fläche
steht.
PSfrag replacements
da
da
B⊥
Abb.3.2.1 Magnetischer Fluss
ϕ
B
B

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 45
Für eine ebene Fläche A und ein homogenes PSfrag Magnetfeld replacements
( B = konst.) gilt
Φ = B A = A B cos ϕ = A B sin α = A · B⊥
α ist der Neigungswinkel des Vektors B zur Fläche A.
Die Einheit des magnetischen Flusses ist
(3.2.2)
[Φ] = 1 T m 2 = 1 V s = 1 Weber (3.2.3)
A
A
ϕ α
Abb.3.2.2 Ebene Fläche
Da Magnetpole nur paarweise auftreten, bestimmt man die Kräfte zwischen Magnetpolen über
die Messung von Drehmomenten. Versuche ergeben, dass für die Kräfte zwischen Magnetpolen,
wie für die Kräfte zwischen Ladungen, ein 1
r 2 -Gesetz gilt:
F ∼ 1
r 2
B
B⊥
(3.2.4)
Damit gilt auch für Magnetfelder der Gauß’sche Satz
B da = Konstante · magn. Ladung“ innerhalb von A (3.2.5)
”
Ageschlossen
Da magnetische Pole nur paarweise auftreten, ist die magnetische Gesamtladung innerhalb von
A stets Null, d.h.
Φ =
Ageschlossen
B da = 0 (3.2.6)
Der magnetische Fluss durch eine geschlossene Fläche ist Null!
(3.2.6) bedeutet, dass es keine Quellen des magnetischen Feldes gibt (die Quellen des elektrischen
Feldes sind die Ladungen), z.B. gibt es kein radialsymmetrisches Magnetfeld. Einige Theorien
der Elementarteilchenphysik fordern die Existenz von magnetischen Monopolen, sie sind aber
noch nicht experimentell nachgewiesen worden.
3.3 Die Lorentzkraft
PSfrag replacements
Der Strom I, d.h. die bewegten Elektronen, sind
die Ursache für die Kraft F auf einen strom-
durchlossenen Leiter im Magnetfeld. Wir neh-
men an, dass alle Elektronen die gleiche Ge-
schwindigkeit v besitzen und somit auf jedes
Elektron die gleiche Kraft F ∗ wirkt. n sei die
Anzahl der frei beweglichen Elektronen im Vo-
lumen V = A l und t die Zeit, in der die Elek-
tronen die Strecke l zurücklegen. Mit der Dichte
ϱ der frei beweglichen Ladungen gilt dann
A
l
I
v
B
α
Abb.3.3.1 Herleitung der Lorentzkraft
v
ϕ
v
F
F ∗

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 46
oder vektoriell
I = Q
t
Q = −n e = ϱ V = ϱ A l (3.3.1)
= ϱ A l
t
= ϱ A v = −n e
l
· v (3.3.2)
I
n e
= − · v (3.3.3)
l
Für die Gesamtkraft auf das Leiterstück der Länge l gilt dann
und es folgt für die Kraft auf ein Elektron
F = n · F ∗ = l · I × B = −n e · v × B (3.3.4)
Die Verallgemeinerung von (3.3.5) auf beliebige Teilchen lie-
fert:
Auf ein Teilchen der Ladung q und mit der
Geschwindigkeit v wirkt im Magnetfeld B
die Lorentzkraft
F = q · v × B
Der Betrag der Lorentzkraft ist
F = | F | = q · v · B · sin ϕ (3.3.7)
Für die Extremwerte der Lorentzkraft gilt
F ∗ = (−e) · v × B (3.3.5)
PSfrag replacements
F = 0 ⇐⇒ v B (3.3.8)
F maximal ⇐⇒ v ⊥ B (3.3.9)
3.4 Die Bewegungsinduktion
3.4.1 Gerader Leiter, v ⊥ Leiter und B ⊥ Leiter
Bewegt sich ein gerader Leiter der Länge l mit
der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld B
und steht der Leiter senkrecht auf B und v, dann
wirkt auf jedes freie Elektron im Leiter die Lorentzkraft
F = −e · v × PSfrag replacements
B (3.4.1)
mit
F = | F | = e v B sin ϕ (3.4.2)
F
q
F
(q > 0)
(q < 0)
ϕ
Abb.3.3.2 Lorentzkraft
Abb.3.4.1 Bewegter Leiter
F
l
ϕ
v
B
F
B
v

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 47
Durch die Verschiebung der Elektronen auf-
grund der Kraft F lädt sich ein Leiterende po-
sitiv und das andere negativ auf, d.h. im Leiter
entsteht ein elektrisches Feld E mit PSfrag demreplacements Betrag
E. Achtung, wir sind nicht mehr in der Elek-
trostatik, in der die elektrische Feldstärke in
Leitern immer Null ist! Die Elektronen bewegen
sich solange, bis sich Lorentzkraft und elektri-
sche Kraft auf die Elektronen aufheben (Gleich-
gewicht):
Fe = F =⇒ e · E = e v B sin ϕ (3.4.3)
+ +
+
Fe
Abb.3.4.2 Kräftegleichgewicht
Da v an jedem Ort des Leiters gleich ist, herrscht somit im Leiter das homogene Feld
U
F
E
−
E = v B sin ϕ (3.4.4)
Zwischen den Leiterenden liegt dann eine Spannung mit dem Betrag
U = E · l = l v B sin ϕ (3.4.5)
(Induktionsspannung)
∆A sei die Fläche, die der Leiter in der Zeit ∆t überstreicht.
Der magnetische Fluss durch ∆A ist dann
oder
PSfrag replacements
∆Φ = B · ∆A · sin ϕ = B l v sin ϕ · ∆t (3.4.6)
U = ∆Φ
∆t
3.4.2 Allgemeiner Fall
für B homogen (3.4.7)
Durch geeignete Grenzbetrachtungen lässt sich allgemein beweisen:
Überstreicht ein beliebig geformter Leiter die Fläche A(t) in
einem zeitlich konstanten aber sonst beliebigen PSfrag (alsoreplacements nicht
notwendig homogenen) Magnetfeld B und ist Φ(t) der ma-
gnetische Fluss durch A(t), dann gilt für den Betrag der
Induktionsspannung zwischen den Leiterenden
|U| = | ˙
Φ| =
dΦ
dt
(3.4.8)
l
v · ∆t
∆A = l · v · ∆t
v · ∆t
Abb.3.4.3 Fluss durch Fläche
A(t)
+
Abb.3.4.4 Allgemeiner Fall
Die Polung von U ermittelt man über die Richtung der Lorentzkraft auf die Leiterelektronen.
B
v
−
v

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 48
3.4.3 Bewegung einer Leiterschleife
Abb.3.4.5 zeigt eine rechteckige Leiterschleife zu
zwei kurz aufeinanderfolgenden Zeiten. PSfrag replacements
In den
Leiterstücken parallel zu v wird keine Spannung
induziert, da sie die Fläche Null überstreichen.
UAB = dΦ1
dt
und UCD = dΦ2
dt
(3.4.9)
Der Betrag der Spannung U zwischen den Lei-
terenden ist dann
|U| = |UAB + UDC| = |UAB − UCD| =
dΦ1
dΦ2
=
−
dt dt =
dΦ1
=
− dΦ2
dt
(3.4.10)
dΦ1
t1
A
B
Φ ∗
Abb.3.4.5 Leiterschleife
Der Fluss durch die Gesamtfläche der Leiterschleife sei Φ. Es gilt dann
und damit
Aus (3.4.10) und (3.4.12) folgt dann
U
D
C
dΦ2
t2 = t1 + dt
Φ(t1) = Φ ∗ + dΦ1 und Φ(t2) = Φ ∗ + dΦ2 (3.4.11)
dΦ = Φ(t2) − Φ(t1) = dΦ2 − dΦ1
Bewegt sich eine Leiterschleife in einem zeitlich konstanten Magnetfeld
B und ist Φ(t) der magnetische Fluss durch die Leiterschleife, dann wird
an den Enden der Schleife die Spannung U induziert mit
|U| =
dΦ
dt = | ˙ Φ|
v
(3.4.12)
Jetzt müssen wir uns noch um die Polung der Induktionsspannung kümmern. Die Leiterschleife
wird als Stromquelle betrachtet, d.h. der Induktionsstrom fließt außerhalb der Leiterschleife
von
+ nach − .

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 49
Als Beispiel betrachten wir ein scharf begrenztes Ma-
gnetfeld wie in Abb.3.4.6. Die Leiterschleife wird ein-
mal aus dem Feld gezogen und das andere Mal in das
Feld geschoben. Die Richtung des Induktionsstroms
ermittelt man über die Lorenzkraft auf die Leiterelek-
tronen. Der Induktionsstrom I erzeugt selbst ein Magnetfeld,
das wir mit Bi bezeichnen. Wird PSfrag die replacements
Schleife
aus dem Feld gezogen, dann wird der Fluss Φ durch
die Schleife kleiner. Der Abbildung entnimmt man,
dass Bi in diesem Fall innerhalb der Schleife in die
Richtung von B zeigt, d.h. Bi wirkt der Schwächung
von Φ entgegen. Wird die Schleife in das Feld gescho-
ben, dann wird der Fluss Φ durch die Schleife größer.
Bi zeigt in diesem Fall innerhalb der Schleife entge-
gen der Richtung von B, d.h. Bi wirkt dem Größer-
werden von Φ entgegen.
Allgemein gilt:
B
v
I
I
Bi
Bi
Abb.3.4.6 Lenz’sche Regel
Das vom Induktionsstrom erzeugte Magnetfeld Bi ist innerhalb der
Leiterschleife so gerichtet, dass es der Flussänderung durch die Schleife
entgegen wirkt. (Lenz’sche Regel).
v
+
−
−
+
I
(3.4.14)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 50
3.5 Das Induktionsgesetz
Die bisher erarbeiteten Gesetze zur Induktion werden durch eine Versuchsreihe überprüft. Wir
experimentieren mit dem ziemlich homogenen Magnetfeld zwischen den Polschuhen eines Elek-
tromagneten.
Versuch 1
Mit der Stromwaage wird die Kraft F auf
einen stromdurchflossenen Leiter PSfragder replacements Länge l
gemessen. Dazu wird die Waage zunächst bei
I = 0 ins Gleichgewicht gebracht. Nach Auf-
legen eines 10 g-Stücks auf den Leiter wird
der Strom I durch den Leiter solange erhöht,
bis die Waage wieder im Gleichgewicht ist.
Die auf den Leiter wirkende Kraft F ist dann
gleich der Gewichtskraft des 10 g-Stücks. Mit
dem Messwert I = 4,25 A erhält man
B = F
I l
Versuch 2
= 0,01 kg · 9,81 m
s 2
4,25 A · 0,1 m
≈ 0,23 T (3.5.1)
−
300
_
+
I0 = 3 A
Eine Induktionsspule mit n = 3 Windungen und der Fläche
A wird ganz aus dem Feld des Elektromagneten gezogen.
Der dabei auftretende Spannungsstoß
t2
t1
U(t) dt (3.5.2)
wird mit einem ballistischen Galvanometer gemessen.
10 g
+
I
_
B
Waage
l = 10 cm
Abb.3.5.1 Feld über Kraft auf Leiter
PSfrag replacements n = 3
Der maximale Ausschlag a des Galvanometers (Stossausschlag)
ist proportional zum Kraftstoß PSfrag replacements
∆p =
t2
t1
F (t) dt , (3.5.3)
der auf das Zeigersystem des Galvanometers wirkt (Be-
weis!!). Wegen der Proportionalität von F und I bzw. I und
U ist a proportional zum Spannungsstoß. Wegen
|U| = n ·
dΦ
dt
gilt
n · |∆Φ| =
t2
t1
A = 6,37 cm 2
Abb.3.5.2 Spule
U
t1
Abb.3.5.3 Spannung
300
t2
t
(3.5.4)
U(t) dt
= cut · a (3.5.5)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 51
mit der ballistischen Spannungsstosskonstanten cut. Da die Spule ganz aus dem Feld gezogen
wird, ist Φnachher = 0 und damit
Aus (3.5.5) und (3.5.6) folgt
|∆Φ| = |Φnachher − Φ| = |Φ| = B · A (3.5.6)
B = cut
· a (3.5.7)
n · A
Mit cut = 1,12 · 10−4 V s
Skt für unser Spiegelgalvanometer (Skt steht für Skalenteile“) und dem
”
Messwert a = 3,9 Skt erhält man
B =
V s
1,12 · 10−4
Skt · 3,9 Skt
3 · 6,37 · 10−4 m2 ≈ 0,23 T (3.5.8)
Die Übereinstimmung der Messwerte von Versuch 1 und Versuch 2 zeigt, dass unser theoretisch
abgeleitetes Gesetz U = −n · ˙ Φ und dessen Grundlage F = q · v × B experimentell abgesichert
sind.
Versuch 3
In diesem Versuch wird die Induktionsspule nicht aus dem Feld gezogen, sondern das Feld
des Elektromagneten wird abgeschaltet. Das Galvanometer zeigt den gleichen Ausschlag wie
beim Versuch 2!! Da auch der Endzustand (Φnachher = 0) der gleiche ist, sind die Gleichungen
(3.5.5) und (3.5.4) auch beim Ausschalten des Feldes gültig, obwohl keine Bewegung der
Spule relativ zum Feld stattgefunden hat!! Die Gleichung U = −n ˙ Φ gilt also nicht nur für die
Bewegungsinduktion, sondern bei jeder beliebigen Änderung des Flusses Φ durch die Spule.
Versuch 4
Zur Kontrolle wird das Magnetfeld zwischen den Polschu-
hen des Elektromagneten mit einer Hallsonde gemessen.
Dabei wird die Sonde im Feld in alle möglichen Richtungen
PSfrag replacements
gedreht und die verstärkte Hallspannung mit einem Com-
puter aufgezeichnet. Die Werte Umax und Umin erhält man,
wenn B senkrecht zur Sonde steht. Die effektive Hallspannung
ist dann UH = 1
2 (Umax − Umin). Mit dieser Methode
werden auch Nullpunktsverschiebungen des Verstärkers
ausgeglichen.
Versuch 5
Umax
Umin
UH
Abb.3.5.4 Hallspannung
Zur weiteren Kontrolle wird der Spannungsstoss in den Versuchen 2 und 3 nicht mit dem Spiegel-
galvanometer gemessen, sondern U(t) mit einem Computer aufgezeichnet. Ist ∆t die Messdauer
für einen Spannungswert und liegen n Messwerte U1 bis Un vor, dann kann der Spannungsstoss
automatisch mit t2
U(t) dt = ∆t · (U1 + ... + Un) (3.5.9)
t1
t

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 52
berechnet werden. Die Zusammenfassung aller Versuchsergebnisse ist unser 5. experimentelles
Grundgesetz, das Induktionsgesetz:
Eine Spule mit n Windungen berandet die Fläche A und
Φ = B da
A
ist der magnetische Fluss durch A. Die an den Spulenenden induzierte
Spannung hat den Betrag
|U| = n · | ˙
Φ| = n ·
dΦ
dt
Die Richtung des Induktionsstromes bzw. die Polung von U folgt aus
der Lenz’schen Regel.
PSfrag replacements
Bilden da und die positive Stromrichtung ein Rechtssystem (Kor-
kenzieher!), dann gilt
U = −n · ˙ Φ (3.5.11)
Die Richtung von da wird willkürlich festgelegt. Die Richtung ei-
nes positiven Stromes folgt dann mit der Korkenzieherregel. U ist
definitionsgemäß positiv, wenn I > 0 ist, d.h. wenn der Pol der Lei-
I
B
da
Abb.3.5.5 U = −n ˙ Φ
terschleife, der vom positiven Richtungspfeil des Stromes getroffen wird, positiv ist.
In Abb.3.5.5 ist U > 0 (P ist der positive Pol der ” Stromquelle“ Leiterschleife). Bei der angege-
benen Richtung von B gilt Φ > 0 und ˙ Φ < 0 =⇒ | B| wird kleiner.
In einem (räumlich) homogenen Magnetfeld B und bei einer ebenen Fläche A gilt
und damit wegen der Produktregel
Also gilt
Φ = B · A = BxAx + ByAy + BzAz
˙Φ = ˙ BxAx + ˙ ByAy + ˙ BzAz + Bx ˙
Ax + By ˙
Ay + Bz ˙
Az = ˙ B · A + B ·
U = −n · ˙ Φ = −n · ( ˙ B · A + B ·
B zeitlich konstant =⇒ U = −n · ˙ Φ = −n · B ·
P
Q
(3.5.12)
˙A (3.5.13)
˙A) (3.5.14)
˙A (3.5.15)
A zeitlich konstant =⇒ U = −n · ˙ ˙B Φ = −n · · A (3.5.16)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 53
3.6 Wirbelfelder und Wirbelströme
Bei der Bewegungsinduktion ist die Ursache für den Induktions-
strom die Lorentzkraft auf die Leiterelektronen. Bei einer ruhen-
den Leiterschleife und einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld ist
aber keine Lorentzkraft vorhanden. Die Kraft auf
PSfrag
die Elektronen
replacements
des Leiters rührt in diesem Fall von einem elektrischen Wirbel-
feld E her, das sich in geschlossenen Feldlinien um jedes sich
mit der Zeit ändernde Magnetfeld aufbaut. Das elektrische
Wirbelfeld existiert ohne das Vorhandensein von Ladungen. In-
duktion tritt sogar dann auf, wenn das veränderliche Magnetfeld
die Leiterschleife an keiner Stelle berührt.
L
B
da
Abb.3.6.1 Leiterschleife
Ein Leiter liege entlang der geschlossenen Kurve L. An einem Elektron, das die volle Leiterschleife
L durchläuft, wird die Arbeit
W =
L
F ds = −e · E ds = −e · U (3.6.1)
L
geleistet. Entlang von L wird also die Umlaufspannung
U = E ds (3.6.2)
induziert. Mit dem Induktionsgesetz folgt daraus
U =
Dabei gilt für den Umlaufsinn von L und da die Korkenzieherregel
(U ist positiv, wenn E den gleichen Umlaufsinn wie L hat). Die
Orientierung von E ist dieselbe wie die eines fiktiven Induktions-
L
L
E ds = − ˙ Φ = − ∂
B da (3.6.3)
∂t A
stroms in einem Leiter, den man sich entlang der Feldlinie denkt.
In Abb.3.6.2 nimmt der Betrag von PSfrag replacements
B ab.
Wir betrachten den Spezialfall eines axialsymmetrischen (zy-
lindersymmetrischen) Magnetfeldes:
Aus Symmetriegründen sind die Beträge Et und Er der Tangen-
tialkomponente und der Radialkomponente des Wirbelfeldes PSfrag replacements auf
einem Zylindermantel mit Radius r konstant. Der Gauß’sche Satz,
der für jedes elektrische Feld gilt, verlangt Er = 0, d.h. E(r) ⊥ r
und E = Et =konst. Damit sind die Feldlinien von E konzentri-
sche Kreise.
E ds
= 2 r π · |E| = | ˙Φ| =⇒ |E| = | ˙ Φ|
2 r π
(3.6.4)
E
B
da
Abb.3.6.2 Umlaufsinn
Et
Er
B
Abb.3.6.3 axialsymm.
r
E

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 54
3.7 Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld
Ein Teilchen der Masse m und der Ladung q hat im
Feld B die Geschwindigkeit v. Auf das Teilchen wirkt
die Lorentzkraft
Damit gilt
F = m · a = m · ˙ v = q · v × B (3.7.1)
˙v = q
m · v × B (3.7.2)
B sei homogen, konstant und zeige in Richtung der
z-Achse, d.h.
v × B =
⎛
⎜
⎝
Aus (3.7.2) und (3.7.4) folgt
oder
vx
vy
vz
PSfrag replacements
v0
x0
y
x
r
y
ω t
O
Abb.3.7.1 positives Teilchen
B
q > 0
⎛
B
⎜
= ⎝
0
0
B
⎞
⎟
⎠ (3.7.3)
⎞ ⎛
0
⎟ ⎜
⎠ × ⎝ 0
B
⎞
ex
⎟
⎠ = vx
0
ey
vy
0
ez
vz
B
⎛
vy B
⎜
= ⎝ −vx B
0
⎞
⎟
⎠ (3.7.4)
⎛
˙v
q B
=
m ·
⎜
⎝
vy
−vx
0
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ω · ⎝
vy
−vx
0
mit
q B
ω =
m
Zunächst suchen wir eine Lösung für die Anfangsbedingungen
v(0) =
⎛
⎜
⎝
vx(0)
vy(0)
vz(0)
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
0
v0
0
⎞
⎞
⎟
⎠ (3.7.5)
˙vx = ω vy (3.7.6)
˙vy = −ω vx (3.7.7)
˙vz = 0 (3.7.8)
⎛
⎟
⎜
⎠ , r(0) = ⎝
x(0)
y(0)
z(0)
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
x0
0
0
⎞
x
(3.7.9)
⎟
⎠ (3.7.10)
Aus (3.7.8) und vz(0) = 0 folgt vz(t) = 0 für alle t und damit wegen ˙z = vz = 0 und z(0) = 0
auch z(t) = 0 für alle t, d.h. die Bewegung des Teilchens erfolgt in der xy-Ebene.
Differenzieren von (3.7.6) ergibt
und damit folgt aus (3.7.7)
¨vx = ω · ˙vy
¨vx = −ω 2 · vx
(3.7.11)
(3.7.12)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 55
Die allgemeine Lösung von (3.7.12), der sogenannten Schwingungsgleichung, ist
Wegen vx(0) = C · sin(ϕ) = 0 folgt ϕ = 0 und somit
Aus (3.7.6) und (3.7.14) folgt
Aus vy(0) = C · cos 0 = C = v0 folgt endgültig
und wegen sin 2 ωt + cos 2 ωt = 1
Integration von (3.7.16) ergibt
vx(t) = C · sin(ωt + ϕ) (3.7.13)
vx(t) = C · sin ωt (3.7.14)
vy(t) = 1
ω · ˙vx = C
· ω cos ωt = C · cos ωt (3.7.15)
ω
v(t) =
r(t) =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
vx(t)
vy(t)
vz(t)
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = v0 · ⎝
sin ωt
cos ωt
0
⎞
⎟
⎠ (3.7.16)
v(t) = |v(t)| = v0 = konst. (3.7.17)
x(t)
y(t)
z(t)
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
− v0
ω
v0
ω
cos ωt + Cx
sin ωt + Cy
Cz
⎞
⎟
⎠ (3.7.18)
Anpassung an die Anfangsbedingungen mit der speziellen Wahl x0 = − v0
ω liefert
mit
r(t) =
⎛
⎜
⎝
x(t)
y(t)
z(t)
r = v0
ω
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
= v
ω
−r cos ωt
= v m
q B
r sin ωt
0
⎞
⎟
⎠ (3.7.19)
(3.7.20)
Wegen |r(t)| = r =konst. beschreibt das Teilchen also eine Kreisbahn mit Radius r. Nachdem
man weiß, dass das Teilchen eine Kreisbahn beschreibt, rechnet man in der Praxis mit dem
Ansatz
oder
FLorentz = Fzentripetal
|q| · v · B = m · v2
r
=⇒ r =
m v
|q| B
(3.7.21)
(3.7.22)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 56
Zusammenfassung:
Ein Teilchen mit der Ladung q und der Masse m beschreibt in einem
homogenen und konstanten Magnetfeld B eine Kreisbahn, wenn v ⊥ B
gilt. Den Radius r der Kreisbahn erhält man aus
Steht die Geschwindigkeit des Teilchens nicht
FLorentz = Fzentripetal
senkrecht auf B, dann ist vz(0) = vz0 = 0
und aus (3.7.8) folgt vz(t) = vz0 =konst. bzw.
z(t) = vz0 · t. Damit ist
r =
⎛
⎜
⎝
−r cos ωt
r sin ωt
vz0 · t
⎞
⎟
⎠ , (3.7.23)
die Teilchenbahn ist eine Schraubenlinie. Die
Entfernung von zwei Punkten r1 = r(t) und
r2 = r(t + T ) mit der Umlaufdauer T =
2 π
ω
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.04 -0.02
0 0.02 0.04
Abb.3.7.2 vz = 0
0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
nennt man die Ganghöhe der Schraubenlinie. Die Ganghöhe ist also die Strecke, die das Teilchen
während eines Umlaufs in z-Richtung zurücklegt.
Messung der spezifischen Ladung
des Elektrons:
PSfrag replacements
Die von der Glühkathode emittier-
ten Elektronen werden von der An-
odenspannung U beschleunigt. Das
ziemlich homogene Magnetfeld des
Helmholtz-Spulenpaares zwingt
die Elektronen auf eine Kreisbahn
mit Radius r. Das Rohr ist mit ei-
nem verdünnten Gas gefüllt, das von
den Elektronen zum Leuchten ange-
regt wird.
Helmholtz-Spulenpaar
B
Q
a
HS
r
M
Abb.3.7.3 Fadenstrahlrohr
m
2 v2 = e U =⇒ v 2 2 e U
=
m
e v B = m v2
r =⇒ v2 =
e B r
m
2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
a
+
Q
_
U
2 e U
m = e2 B2 r2 m2 A
K
r
B
6,3 V (Heizspannung)
(3.7.24)
e 2 U
=
m B2 r2 (spez. Ladung) (3.7.25)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 57
Für das Magnetfeld B0 im Mittelpunkt M des Rohres gilt
B0 =
3
4 2
·
5
n µ0 I
a
(3.7.26)
Dabei ist I der Strom durch die Spulen, n die Windungszahl pro Spule und µ0 = 4 π · 10−7 T m
A .
Die Feldstärke auf der Mittelebene zwischen den Spulen entnimmt man folgender Tabelle:
r 0 0,1 a 0,2 a 0,3 a 0,4 a 0,5 a
B
B0
1 0,999958 0,999301 0,99624 0,98731 0,96668
Für unsere Anordnung gilt n = 130 und a = 0,15 m. Mit den Messwerten
I = 1,70 A, U = 165 V und r = 3,25 cm (3.7.27)
erhält man B durch lineare Interpolation der Tabellenwerte:
Mit
folgt
B − 0,999301
B0
0,217 − 0,2
r = 3,25 cm = 0,217 · a (3.7.28)
= 0,99624 − 0,999301
0,3 − 0,2
B0 = 130 · 4 · π · 10−7 · 1,7
0,15
·
=⇒ B = 0,9988 · B0 (3.7.29)
3/2 4
T = 1,325 · 10
5
−3 T (3.7.30)
B = 0,9988 · 1,325 · 10 −3 T = 1,323 · 10 −3 T (3.7.31)
Einsetzen in (3.7.25) liefert für die spezifische Ladung des Elektrons
e
m =
Der heute (1996) beste Wert für e
m
Mit der Elementarladung
folgt für die Masse des Elektrons
2 · 165 V
(1,323 · 10 −3 T) 2 · (0,0325 m)
(gültig seit 1986) ist
e
A s
= 1,75881962 · 1011
m kg
kg
2 = 1,78 · 1011 C
(3.7.32)
(3.7.33)
e = 1,60217733 · 10 −19 A s (3.7.34)
me = 9,1093897 · 10 −31 kg (3.7.35)

PSfrag replacements
KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 58
3.8 Bewegung in kombinierten elektrischen und magnetischen
Feldern
3.8.1 Der Massenspektrograf nach Thomson (1907)
Ein Strahl von Teilchen (La-
dung q, Masse m) tritt mit der
⎛ ⎞
v0
⎜ ⎟
Geschwindigkeit v0 = ⎝ 0 ⎠
0
am Ort O(0|0|0) in ein Raum-
gebiet ein, in dem die homogenen
Felder ⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
E = ⎝ 0 ⎠ und
E
B =
⎛
⎜
⎝
0
0
−B
⎞
v0
O
Abb.3.8.1 Massenspektrograf nach Thomson
B
l
E
P
v1
a
z
Z
X = l + a
⎟
⎠ herrschen. Am Ort P(x1|y1|z1) (x1 = l) verlassen die Teilchen den Feldraum
mit der Geschwindigkeit v1 =
⎛
⎜
⎝
vx1
vy1
vz1
⎞
⎟
⎠ und fliegen geradlinig zu einer zur yz-Ebene parallelen
Fotoplatte, die sie bei Q(X|Y |Z) treffen. Im Feldraum wirkt auf ein Teilchen die Kraft
F = q · ( E + v × ⎛⎛
⎜⎜
B) = q · ⎝⎝
0
0
⎞ ⎛
vx
⎟ ⎜
⎠ + ⎝
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ × ⎝
⎞⎞
⎛
0
−vy · B
⎟⎟
⎜
0 ⎠⎠
= q · ⎝ +vx · B
⎞
⎟
⎠ (3.8.1)
und die Bewegungsgleichungen lauten
mit den Anfangsbedingungen
E
x(0) =
⎛
⎜
⎝
vy
vz
¨x =
q B
−
m
¨y =
q B
¨z =
0
0
0
⎞
m
q E
m
−B
˙y (3.8.2)
˙x (3.8.3)
⎛
⎟
⎜
⎠ und v(0) = ⎝
v0
0
0
⎞
E
Y
Q
x
y
(3.8.4)
⎟
⎠ (3.8.5)
Die Gleichung für die z-Koordinate ist von den anderen beiden Gleichungen entkoppelt (sie
enthält weder x noch y), d.h. die Projektion der Bewegung in die xy-Ebene ist nur durch B und
die Bewegung in z-Richtung nur durch E bestimmt. Ähnlich wie in Kapitel 3.7 folgt die Lösung
x(t) = r sin ω t (3.8.6)
y(t) = r − r cos ω t (3.8.7)
z(t) =
q E
2 m t2
(3.8.8)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 59
mit
r =
m v0
q B
und
q B
ω =
m
Das Teilchen verläßt den Feldraum zur Zeit t1 mit
x(t1) = r sin ω t1 = l =⇒ t1 = 1
ω
q E
m
arcsin l
r
(3.8.9)
(3.8.10)
(3.8.11)
Für 0 ≤ t ≤ t1 hat das Teilchen die Geschwindigkeit
⎛
⎞
r ω cos ω t
⎜
⎟
v = ⎝ r ω sin ω t ⎠ (3.8.12)
· t
Wählt man l klein und v0 und damit r groß, dann gelten wegen l
r
arcsin l l
≈
r r ,
1 − l2 l2
≈ 1 −
r2 2 r2 und
1
1 − l2
r2 Die Koordinaten des Austrittspunktes P aus dem Feldraum sind
≪ 1 die Näherungen
≈ 1 + l2
2 r 2
(3.8.13)
x1 = x(t1)
y1 = y(t1)
=
=
l
r − r 1 −
(3.8.14)
l2 l2
≈
r2 2 r
(3.8.15)
z1 = z(t1) =
q E l m E l
arcsin2 = arcsin2 ≈
2 m ω2 r 2 q B2 r
m E l2
2 q B2 r2 (3.8.16)
und die Austrittsgeschwindigkeit v1 hat die Koordinaten
vx1 = vx(t1) =
r ω 1 − l2
≈ r ω 1 −
r2 l2
2 r2
(3.8.17)
vy1 = vy(t1) = l ω (3.8.18)
vz1 = vz(t1) =
q E
m ω
Die Zeit für den Flug von P zur Fotoplatte ist
t2 = a
vx1
l E
arcsin =
r B
≈ a
r ω ·
1 + l2
2 r2
arcsin l
r
≈ E l
B r
(3.8.19)
(3.8.20)
Damit errechnen sich die Koordinaten des Auftreffpunktes Q unter Vernachlässigung der Terme
mit l3
zu
r3 und es gilt
Y = y1 + vy1 · t2 ≈ l2 a l
+
2 r r
Z = z1 + vz1 · t2 =
a l3 l2
+ ≈
2 r3 2 r
m E l2
2 q B2 E l a
+
r2 B r2 ω ·
Z ≈
a l l
+ =
r r
1 + l2
2 r2
≈
E m
q B2 l a + l
· Y
2
2
a + l
2
E l m
q B2 ·
r2
a + l
2
(3.8.21)
(3.8.22)
(3.8.23)

PSfrag replacements
KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 60
3.8.2 Das Wienfilter
Eine Kombination aus einem
homogenen elektrischen Feld
E und einem darauf senkrecht
stehenden homogenen Magnet-
feld B mit einer Eintritts- und
einer Austrittsblende nennt
man ein Wienfilter. Die Fel-
der müssen dabei so orientiert
sein, dass die Lorentzkraft auf
m
q
v0
Abb.3.8.2 Wienfilter
y
v < E
B
FE
O B
v >
x
FB
E
B
ein in Durchlassrichtung fliegendes Teilchen der elektrischen Kraft entgegen gerichtet ist. Für
geladene Teilchen, die geradlinig durch das Wienfilter fliegen, gilt FB = FE, d.h.
oder
q · E = q · v · B (3.8.24)
v = E
B
E
(3.8.25)
Wir analysieren die Bewegung eines Teilchens im Wienfilter genauer. Da keine Kraft in z-
Richtung auf das Teilchen wirkt, verläuft die Bahn des Teilchens vollständig in der xy-Ebene.
Mit
E =
⎛
⎜
⎝
0
E
0
⎞
⎛
⎟
⎠ , B ⎜
= ⎝
folgt für die Gesamtkraft auf das Teilchen
0
0
B
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ , v0 = ⎝
v0
0
0
⎛
⎞
⎛
⎟
⎜
⎠ und v = ⎝
vy B
F = q · E + q · v × ⎜
B = q · ⎝ E − vx B
0
⎞
vx
vy
0
⎞
⎟
⎠ (3.8.26)
⎟
⎠ (3.8.27)
Aus der Bewegungsgleichung m ¨ r = F folgen dann die beiden Differentialgleichungen
q B
¨x = ˙y
m
(3.8.28)
¨y = q q B
E − ˙x
m m
(3.8.29)
Die Lösung dieses Gleichungssystems mit den Anfangsbedingungen
⎛
v0
⎜
v(0) = ⎝ 0
⎞
⎟
⎠ und
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
r(0) = ⎝ 0 ⎠ (3.8.30)
0
0
lautet (mit MAPLE berechnen oder direkter Beweis durch Einsetzen)
x(t) = m
q B2 (v0B
q B
− E) sin
m t
+ E
t (3.8.31)
B
y(t) = m
q B2 (v0B
q B
− E) cos
m t
− 1
(3.8.32)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 61
Mit
lautet die Lösung
ω =
q B
m
(3.8.33)
x(t) = 1
v0 −
ω
E
sin ω t +
B
E
t (3.8.34)
B
y(t) = 1
v0 −
ω
E
(cos ω t − 1) (3.8.35)
B
Durch Differenzieren erhält man die Geschwindigkeitskomponenten
vx(t) = v0 − E
cos ω t +
B
E
(3.8.36)
B
vy(t) = − v0 − E
sin ω t (3.8.37)
B
Die Bahnkurve ist periodisch mit der Periodendauer
T =
Die Länge einer Periode auf der x-Achse ist
und es gilt
2 π
ω
λ = x(T ) =
= 2 π m
q B
2 π m E
q B 2
(3.8.38)
(3.8.39)
y(T ) = 0 (3.8.40)
λ ist unabhängig von v0, d.h. die Bahn eines jeden Teilchens (beliebiges v0) geht durch die
Punkte Pn( nλ | 0 ). Die Geschwindigkeit in den Punkten Pn ist
⎛
v0
⎜
v(T ) = ⎝ 0
⎞
⎟
⎠ (3.8.41)
Ist die Länge des Kondensators zufällig gleich einem Vielfachen von λ, dann gehen Teilchen mit
beliebiger Geschwindigkeit durch das Wienfilter. In allen anderen Fällen lässt das Wienfilter nur
Teilchen mit
durch.
Abb.3.8.3 zeigt Bahnkurven eines
Elektrons für E = 10000 V
m
und B = 0,001 T. Geradliniger
Durchgang für v0 = 1 · 107 m
s .
v01 = 0 m
PSfrag replacements
s
v02 = 5 · 106 m
s
v03 = 1,5 · 107 m
s
v04 = 2 · 107 m
v05 = 3 · 10
s
7 m
s
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
v0 = E
B
0
v01
v02
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
v03
λ
v04
v05
Abb.3.8.3 Bahnen im Wienfilter für verschiedene v0
(3.8.42)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 62
3.8.3 Das Zyklotron
Abb.3.8.4 zeigt den schematischen
PSfrag
Aufbau
replacements
eines
Zyklotrons. Ein Strahl von Teilchen mit der La-
dung q (Elektronen, Protonen, Ionen,...) wird im
elektrischen Feld zwischen den beiden Duan-
den (Leiter in der Form einer flachen, auseinan-
dergeschnittenen Konservendose) beschleunigt.
In den Duanden herrscht kein elektrisches Feld
(Faraday-Käfig). Die ganze Anordnung befindet
sich im Vakuum und ist von einem Magnetfeld
B durchsetzt. In einem Duanden wirkt nur die
Lorentzkraft auf die Teilchen:
m v 2
r
= q v B =⇒ r
v
= m
q B
Die Zeit für einen halben Umlauf ist dann
T
2
= r π
v
= m π
q B
(3.8.43)
(3.8.44)
d.h. sie ist unabhängig vom momentanen Bahnradius
r. Wenn ein positives Teilchen PSfrag zur replacements Zeit
Null die Teilchenquelle verlässt, dann muss zu
diesem Zeitpunkt der untere Duand positiv und
der obere negativ sein. Zur Zeit T
2 ,wenn das Teil-
PSfrag replacements
chen in der linken Hälfte das Beschleu-
nigungsfeld durchquert, muss die Span-
nung an den Duanden gerade umgepolt
sein. Die Frequenz f der Wechselspannung
U(t) = U0 cos ωt an den Duanden muss al-
so gleich der Umlauffrequenz
f = 1
T
U
U0
Duand
Beschleunigungsfeld
Abb.3.8.4 Zyklotron
Abb.3.8.5 Duand
Duand
B
Vakuum
Teilchenquelle
r0
Beschleunigungsphasen
Abb.3.8.6 Beschleunigungsphasen
= q B
2 π m
∼ U
t
(3.8.45)
der Teilchen sein. f nennt man die Zyklotronfrequenz. Abb.3.8.6 entnimmt man, dass während
der Beschleunigungsphasen |U(t)| ≈ U0 gilt. Pro Umlauf wird die kinetische Energie eines Teil-
chens also um 2 q U0 vergrößert. Die Endenergie Wmax der Teilchen ist durch den Radius r0 des
Zyklotrons begrenzt. Aus (3.8.43) folgt
und daraus
vmax = r0 q B
m
Wkin,max = m
2 v2 max = r2 0 q2 B2 2 m
(3.8.46)
(3.8.47)

PSfrag replacements
KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 63
3.9 Das Ampèrsche Durchflutungsgesetz
Der magnetische Spannungsmesser (Rogowski-Spirale) ist eine flexible, zweilagig gewickelte In-
duktionsspule, deren Anschlüsse dicht beieinander liegen.
(a) (b)
(c)
A
A
K
Abb.3.9.1 Magnetischer Spannungsmesser (Rogowski-Spirale)
Mit dem magnetische Spannungsmesser misst man die Summe aller magnetischen Flussände-
rungen ∆Φν durch die Flächen Aν der einzelnen Windungen und nicht die Flussänderung durch
die von der ganzen Spirale umschlossene Fläche A ∗ (siehe Abb.3.9.1.b)). Mit der Länge l der
Spirale und der Windungszahl n folgt für den Abstand zweier benachbarter Windungen
(d)
∆sν
ν − 1
∆sν = ∆s = l
. (3.9.1)
n
Mit der konstanten Querschnittsfläche Aν = | Aν| = A folgt für den ν-ten Flächenvektor
Aν = A
· ∆sν
(3.9.2)
∆s
Beim Ausschalten des Magnetfeldes wird in der ν-ten Windung der Spannungsstoß
Uν dt = ∆Φν = Aν · Bν = A
∆s · A · n
Bν · ∆sν = ·
l
Bν · ∆sν
induziert. Der in der ganzen Spirale induzierte Spannungsstoß ist demnach
U dt =
n
ν=1
Uν dt =
K
A · n
l
·
n
Bν · ∆sν ≈
ν=1
B ds = l
A n
A · n
l
·
K
A ∗
ν
Bν
Aν
(3.9.3)
B ds (3.9.4)
U dt (3.9.5)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 64
Den Spannungsstoß messen wir mit dem ballistischen Galvanometer:
U dt = cut · a, (3.9.6)
wobei a der Zeigerausschlag in Skalenteilen (Skt) ist. Mit dem ballistischen Galvanometer an
der Rogowski-Spirale misst man also so etwas Ähnliches wie eine magnetische Spannung (siehe
weiter unten):
Die Daten unserer Versuchsanordnung sind
woraus
folgt.
K
B ds = C · a mit C =
l cut
n A
l = 0,5 m, n = 2600, A = 2,5 cm 2 −4 V s
und cut = 1,12 · 10
Skt ,
C =
l cut
n A
= 8,6 · 10−5 V s
m Skt
Durch eine Spule mit n Windungen, die vom Strom I
durchflossen wird, wird eine Rogowski-Spirale gelegt
(siehe Abb.3.9.2). Der Gesamtstrom durch die von der
Spirale berandete Fläche A∗ PSfrag replacements
ist
a
Iges
Iges = n · I . (3.9.9)
n 300 300 900 900
I 1 A 3 A 1 A 0,5 A
Iges 300 A 900 A 900 A 450 A
a 4,25 Skt 13,0 Skt 13,0 Skt 6,2 Skt
· A
Skt
0,014 0,014 0,014
PSfrag
0,014
replacements
Die Versuche ergeben, dass der gemessene Spannungs-
stoß und somit auch die magnetische Spannung ent-
lang der Kurve K proportional zu Iges ist. Damit haben
wir das 6. experimentelle Grundgesetz gefunden:
K
B ds = µ0 · Iges
(Ampèrsches Durchflutungsgesetz)
Dabei ist Iges der Strom durch die von der geschlos-
senen Kurve K berandete Fläche A ∗ (j ist die Strom-
dichte):
Iges = j da (3.9.11)
A ∗
A ∗
Abb.3.9.3 Versuch 2
(3.9.10)
PSfrag replacements
K
Abb.3.9.2 Versuch 1
K
Iges = 0
A ∗
I
(3.9.7)
(3.9.8)
Auch beim Ausschalten von I ist a = 0!!
K
I −I
A ∗
a
a
Iges = I + (−I) = 0
Auch beim Ausschalten von I ist a = 0!!
Abb.3.9.4 Versuch 3
a

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 65
Die magnetischen Feldlinien eines unendlich langen, geraden Lei-
ters sind konzentrische Kreise. Für r = konst. ist aus Symmetrie-
gründen sicher auch B = | B| = konst. und mit dem Durchflu-
tungsgesetz folgt:
B ds =
Kreis
Kreis
PSfrag replacements
B ds = 2 r π B = µ0 I (3.9.12)
B = µo I
2 r π
(3.9.13)
(Magnetfeld des unendlich langen, geraden Leiters)
Ampèredefinition:
Im unendlich langen Paralleldrahtsystem mit dem Ab-
stand a = 1 m ist I = 1 A, wenn die Kraft F auf ein
Leiterstück der Länge l = 1 m genau 2·10−7 N beträgt.
PSfrag replacements
Mit der Ampèredefinition ist die magnetische Feldkonstante
µ0 festgelegt:
µ0 =
F = l · I · B = l · I · µ0 I
2 r π = l µ0 I2 2 r π
2 r π F
l I 2
= 2 m · π · 2 · 10−7 N
1 m · 1 A2 −7 N
= 4 π · 10
A2 −7 N
µ0 = 4 π · 10
A
(3.9.14)
(3.9.15)
A m
2 = 4 π · 10−7 V s
(magnetische Feldkonstante)
Aus unseren Messwerten (siehe Tabelle) folgt für µ0:
µ0 =
l · cut
n · A
· a
Iges
= 0,5 m · 1,12 · 10−4 A s
Skt
2600 · 2,5 · 10−4 Skt
· 0,014
m2 A
Abb.3.9.5 unendlicher gerader
Leiter
I
F
I
1 m
Abb.3.9.6 Ampère-Definition
= 1,24 · 10−6 V s
A m
in sehr guter Übereinstimmung mit dem exakten Wert µ0 = 1,256637.... · 10−6 V s
A m .
Der Vollständigkeit halber seien noch zwei Definitionen erwähnt:
H = B
µ0
(magnetischeFeldstärke)
Q
P
H ds = 1
µ0
Q
P
B ds
(magnetische Spannung zwischen P und Q)
Damit ist der Name magnetischer Spannungsmesser für die Rogowski-Spirale geklärt.
Wie für elektrische Felder gilt auch für stationäre (zeitlich konstante) Magnet-
felder das Superpositionsprinzip (vektorielle Addition).
(7. experimentelles Grundgesetz)
r
B
B
I
(3.9.16)
(3.9.17)
(3.9.18)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 66
3.10 Berechnung von Magnetfeldern
3.10.1 Die langgestreckte Spule (Solenoid)
PSfrag replacements
2 R
l
n Wdg.
Abb.3.10.1 Versuche mit der Rogowski-Spirale
a1
a4
Mit einem magnetischen Spannungsmesser wird das Feld einer Spule vermessen. Die folgende
Tabelle zeigt die ballistischen Ausschläge beim Ausschalten
PSfrag replacements
des Spulenfeldes:
a1 a2 a3 a4
15 Skt 0,5 Skt 0,5 Skt 15,5 Skt
Der Tabelle entnimmt man, dass sich der Hauptteil des Spulenfel-
des im Spuleninneren befindet. Unter der Annahme eines homo-
genen Feldes im Spuleninneren folgt aus dem Ampèrschen Durch-
flutungsgesetz:
µ0 n I =
K1+K2
B ds =
K1
3.10.2 Die Ringspule (Toroid)
B ds +
K2
B ds ≈
B ≈ µ0 n I
l
K1
B ds ≈
l
(Feld im Spuleninneren für l ≫ R)
Aus Symmetriegründen ist B = | B| auf Kreisen um
die Mittelachse des Toroids konstant. Mit der Win-
dungszahl n folgt aus dem Durchflutungsgesetz:
B ds = 2 r π B = µ0 n I
PSfrag replacements
(3.10.3)
K
B = µ0 n I
2 r π
(im Inneren des Toroids)
(3.10.4)
0
a3
a2
K2
A C
K1
I
Abb.3.10.2
B ds = B · l (3.10.1)
ri
Abb.3.10.3 Toroid
ds
r
K
B
ra
(3.10.2)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 67
3.10.3 Das Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilung
Ein Leiter wird vom Strom I durchflossen. d B ist das
vom Leiterelement ds am Ort P erzeugte PSfrag Magnetfeld, replacements
x ist der Vektor vom Leiterelement nach P. Nach der
Korkenzieherregel steht d B senkrecht auf ds und x,
d.h.
d B ds × x (3.10.5)
Vermutung: dB ∼ ds und dB ∼ 1
x 2 (3.10.6)
Aus (3.10.5) und (3.10.6) folgt
d ds × x
B = k ·
x3 (3.10.7)
Um (3.10.7) zu bestätigen und den Wert der Proportionalitäts-
konstanten k zu bestimmen, berechnen wir mit (3.10.7) das
Feld eines unendlich langen geraden Leiters und PSfrag vergleichen replacements
das Ergebnis mit (3.9.13):
dB = |d B| = k ·
B =
|ds × x| = ds · x · sin ϕ = r ds (3.10.8)
+∞
−∞
(3.10.7) stimmt also für
d.h.
x sin ϕ ds
x 3
dB = k r ·
= k ·
+∞
−∞
s
= = 2 k r ·
r2 √ r2 + s2
r ds
(r 2 + s 2 ) 3
2
ds
(r 2 + s 2 ) 3
2
+∞
0
= 2 k
K
(3.10.9)
Beweis!
= k r ·
r
k = µ0 I
4 π
d B = µ0 I
4 π
· lim
s→∞
· ds × x
x 3
I
ds
Q
Abb.3.10.4 Beliebiger Strom
I
ds
s
s
r2 √ r2 + s2
1
1 + r2
s 2
(Gesetz von Biot-Savart)
= 2 k
ϕ
x
r
x
P
d B
Abb.3.10.5 Gerader Leiter
r
+∞
−∞
=
(3.9.13)
= µ0 I
2 r π
d B
(3.10.10)
(3.10.11)
(3.10.12)
Fließt der Strom I entlang der Kurve K, dann ist das von diesem Strom im Punkt P erzeugte
Magnetfeld (x = −→
QP, Q durchläuft die Kurve K, siehe Abb.3.10.4):
B = µ0 I
4 π ·
K
ds × x
x 3
(3.10.13)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 68
3.11 Induktivität und magnetische Feldenergie
Durch eine Spule oder eine einzelne Leiterschleife fließt der Strom I. Nach dem Gesetz von
Biot-Savart (3.10.13) ist das von der Spule erzeugte Magnetfeld überall proportional zu I. Da-
mit ist der gesamte magnetische Fluss Φges durch die Spule ebenfalls proportional zu I. Die
Proportionalitätskonstante L heißt Induktivität der Leiteranordnung:
L := Φges
I
(3.11.1)
Die Einheit der Induktivität wird nach dem US Physiker Joseph Henry (1797 - 1878) benannt:
V s
[L] = 1 = 1 H = 1 Henry (3.11.2)
A
Für eine langgestreckte Spule (Solenoid mit n Windungen, Länge l, Querschnittsfläche A) gilt:
Φges = n · A · B (3.10.2)
= n A · µ0 n I
l = µ0 A n2 · I = L · I (3.11.3)
l
L = µ0 A n 2
l
(Induktivität eines Solenoids PSfrag replacements ohne Eisenkern)
Wird der Strom durch die Spule größer, dann wird auch Φges
größer und nach der Lenz’schen Regel wird eine Spannung Ui
an den Spulenenden induziert, die der angelegten Spannung
Ue entgegenwirkt:
Ui = − ˙ Φges = −L · ˙
I (3.11.5)
Die Gesamtspannung an der Spule ist dann
U = R · I = Ue + Ui = Ue − L · ˙
I (3.11.6)
(3.11.4)
und für den Strom gilt die Differentialgleichung
I ˙ + R Ue
· I = (3.11.7)
L L
Die Lösung dieser Gleichung für eine konstante angelegte Spannung Ue lautet (Beweis!):
I(t) = Ue
R
+ C · e− R
L ·t
Einschalten des Stromes zur Zeit Null liefert mit
0
Ue =
U
für
für
t < 0
t ≥ 0
PSfrag replacements
(3.11.9)
I(0) = U
+ C = 0 =⇒ C = −U
R R
(3.11.10)
UR
Ue
Ue
Ui
I n L R
Abb.3.11.1
U
U
R
Ue
I
Abb.3.11.2 Einschalten
A
(3.11.8)
t
t

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 69
Für den Einschaltstrom gilt also
I(t) = U
R
−
1 − e L
R
·t
Ausschalten des Stromes zur Zeit Null liefert mit (3.11.8),
PSfrag replacements
Ue =
U
0
für
für
t < 0
t ≥ 0
(3.11.12)
und der Anfangsbedingung I(0) = I0:
Der Ausschaltstrom ist also
R
−
I(t) = C · e L ·t
I(0) = C = I0
R
−
I(t) = I0 · e L ·t
(3.11.13)
(3.11.14)
(3.11.15)
R1
R = R1 + R2
S
I0
R2
L
Abb.3.11.3 Ausschalten
Der Induktionsstrom (3.11.15) nach dem Ausschalten wird von der Induktionsspannung
Ui = −L · ˙
I angetrieben. Die Leistung des Induktionsstromes ist somit
P = Ui · I = −L ˙
I I = −L I dI
dt
Die vom Induktionsstrom nach dem Ausschalten verrichtete Arbeit ist dann
W =
∞
0
P dt = −
0
∞
L I dI
dt
dt = −L
I0
0
I2 I dI = −L
2
0
I0
= L
2 · I2 0
(3.11.11)
Ue
I
t
(3.11.16)
(3.11.17)
W kann nur vom Magnetfeld stammen, das von I0 erzeugt wurde. Im Magnetfeld einer Leiter-
anordnung der Induktivität L, die vom Strom I durchflossen wird, steckt also die Energie
Wm = L
2
Die Energie des Magnetfeldes einer langen Spule ist wegen (3.11.4) und (3.10.2)
· I2
Wm = L
2 · I2 = 1
2 · µ0 n2 A
·
l
l2 B2 n2 µ 2 0
und damit gilt für die Energiedichte des Magnetfeldes:
wm =
d Wm
d V
= B2
2 µ0
Die Energie eines Magnetfeldes im Volumen V ist
Wm = 1
2 µ0
V
B 2 dV = 1
2
V
(3.11.18)
= B2
· V (3.11.19)
2 µ0
= 1
H B (3.11.20)
2
H B dV (3.11.21)

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 70
3.12 Netzwerke
Für jeden Zweig eines Netzwerkes wird ein Zählpfeil (Z.P.) festgelegt, der die positive Stromrich-
tung definiert. Ströme in Richtung des Zählpfeils sind also positiv, Ströme in entgegengesetzter
Richtung zum Zählpfeil negativ.
3.12.1 Stromquellen
Ue heißt Urspannung oder EMK (Elektro-Motorische-
Kraft) der Stromquelle.
Die Urspannung Ue ist positiv, wenn der von Ue außerhalb
der Stromquelle erzeugte Strom positiv ist.
Eine reale Stromquelle mit dem Innenwiderstand Ri denkt
man sich als Hintereinanderschaltung einer idealen Strom-
quelle mit dem Widerstand Ri.
3.12.2 Ohmsche Widerstände
PSfrag replacements
Z.P.
Ue
+ −
Ue
+ −
Ue > 0
Ue < 0
ideale Stromquellen
Ue
Ri
reale Stromquelle
Z.P.
Abb.3.12.1 Stromquellen
Der Spannungsabfall an einem ohmschen Widerstand R, der vom Strom I durchflossen wird, ist
Das Vorzeichen von UR ist gleich dem Vorzeichen von I.
Beispiel: Reale Stromquelle und Verbraucher PSfrag mitreplacements Wider-
stand R:
Ue ist gleich der Summe der Spannungsabfälle:
3.12.3 Kapazitäten
Ue = I · R + I · Ri
UR = I · R = Ue · R
R + Ri
(Klemmspannung)
Q ist die Ladung auf der vom Zählpfeil zuerst getroffenen
Platte.
Der Spannungsabfall am Kondensator ist
UC = Q
C mit I = ˙ Q (3.12.2)
Das Vorzeichen von UC ist gleich dem Vorzeichen von Q.
UR = R · I (3.12.1)
+
Ue
I
R
Ri
Z.P.
PSfrag replacementsAbb.3.12.2
derstände
Ohmsche Wi-
Ri
Q > 0 Q < 0
+
Z.P.
−
UC > 0
−
Abb.3.12.3 Kapazitäten
−
Z.P.
+
UC < 0

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK PSfrag replacements
71
3.12.4 Induktivitäten
UL ist der Teil der EMK, der an der Spule liegt (Spannungs-
abfall an der Spule). Die Gesamtspannung an der Spule ist
RL · I = UL + Uind = UL − L · ˙
I
PSfrag replacements
UL = RL · I + L · ˙
I (3.12.3)
3.12.5 Maschenregel und Knotenregel
I
RL
L
Z.P.
Abb.3.12.4 Induktivitäten
Eine Masche ist eine geschlossene Leiterschleife in einem Netzwerk. Der Maschenpfeil legt einen
Umlaufsinn der Masche fest.
In einer Masche ist die Summe al-
ler Spannungsabfälle gleich der Sum-
me aller EMK’s. Dabei erhalten Span-
nungen, deren Zählpfeil zum Maschen-
pfeil entgegengesetzt ist, ein zusätz-
liches Minuszeichen. (Kirchhoff’sche
Maschenregel)
Ein Knoten ist ein Verzweigungspunkt im
Netzwerk.
R1
I1
RL1
Z.P.
Ue1
L1
Abb.3.12.5 Beispiel
Z.P.
I4
Z.P.
I2
Q1
C1
Ue3
R2
I5
RL2
R3
Q2 C2
L2
Maschenpfeil
Die Summe aller in einen Knoten hineinfließenden Ströme ist Null. Dabei werden
Ströme, deren Zählpfeil vom Knoten wegzeigt, mit einem zusätzlichen Minuszeichen
versehen. (Kirchhoff’sche Knotenregel)
Maschengleichungen mit Kapazitäten werden durch Differenzieren in Gleichungen verwandelt,
die als Unbekannte nur noch Ströme enthalten ( ˙ Q = I, die Urspannungen sind bekannte Funk-
tionen der Zeit).
Zum Beispiel gilt in Abb.3.12.5 (alle Maschenpfeile im Uhrzeigersinn):
= Ue1 + Ue3
d
dt
R1 I1 + RL1 I1 + L1 ˙
I1 + Q1
C1
R1 ˙
I1 + RL1 ˙
I1 + L1 Ï1 + I4
C1
R3 I3 + RL2 I5 + L2 ˙
I5 − Q1
C1
Z.P.
Z.P.
Z.P.
Z.P.
I3
Ue2
(3.12.4)
= ˙ Ue1 + ˙ Ue3 (3.12.5)
= Ue2 − Ue3
d
dt
(3.12.6)
R3 ˙ I3 + RL2 ˙ I5 + L2 Ï5 − I4
C1
= ˙ Ue2 − ˙ Ue3 (3.12.7)
I1 − I2 − I4 − I5 = 0 (3.12.8)
I4 − I1 + I3 = 0 u.s.w. (3.12.9)
Insgesamt muss man genausoviele unabhängige Gleichungen finden wie unbekannte Ströme vor-
handen sind. Die Lösung dieses Differentialgleichssystems kann ganz schön kompliziert sein.

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 72
3.13 Die Maxwell’schen Gleichungen
Die bisher gefundenen Grundgesetze der Elektrodynamik sind der Gauß’sche Satz für elektrische
und magnetische Felder, das Induktionsgesetz und das Durchflutungsgesetz:
A
E da = Q
ε0
= 1
ε0
V
ϱ dV (3.13.1)
B da = 0 (3.13.2)
Der Inhalt des Induktionsgesetzes PSfrag (3.13.3) replacements be-
sagt, dass ein sich änderndes Magnetfeld von
einem elektrischen Feld umgeben ist. Es fin-
det sich aber nichts Gleichwertiges für ein sich
änderndes elektrisches Feld in den bisherigen
Gesetzen. J.C. Maxwell gefiel diese Asymmetrie
nicht und er forderte die Existenz eines Feldes
B ′ = B in einer Anordnung wie in Abb.3.13.1.
Das Feld im Kondensator ist
A
K
K
E ds = − ˙ Φ = − ∂
∂t
A
B da (3.13.3)
B ds = µ0 I = µ0 j da (3.13.4)
A
B
I
Q
B ′
Abb.3.13.1 Maxwells Überlegung
E
A I
E = Q
ε0 A =⇒ Q = ε0 A E =⇒ I = ˙ Q = ε0 A ˙ E (3.13.5)
B ds = µ0 I = ε0 µ0 A ˙
∂
E = ε0 µ0
E da (3.13.6)
∂t
K
Ein elektrisches Feld E(t) ist also von einem Magnetfeld B umgeben, das (3.13.6) erfüllt.
Zusammenfassend lauten die Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes:
A
A
K
K
E da = Q
ε0
= 1
ε0
V
A
ϱ dV (3.13.7)
B da = 0 (3.13.8)
E ds = − ˙ Φ = − ∂
∂t
B da (3.13.9)
B ds =
A
∂
µ0 I = ε0 µ0
∂t
E da + µ0 j da (3.13.10)
Maxwell’sche Gleichungen, 1873
In den Maxwellgleichungen steckt die gesamte Elektrodynamik und damit auch die Optik!!
A
A
B

KAPITEL 3. ELEKTRODYNAMIK 73
Die Maxwell’schen Gleichungen können auch in Differentialform geschrieben werden (ohne Be-
weis):
Dabei ist
und
rot
⎛
⎜
⎝
Ax
Ay
Az
⎞
⎟
⎠ :=
div
div E = ϱ
ε0
(3.13.11)
div B = 0 (3.13.12)
rot E = − ∂ B
∂t
rot B = ε0 µ0
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
Ax
Ay
Az
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎞
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ × ⎝
(3.13.13)
∂ E
∂t + µ0 j (3.13.14)
Ax
Ay
Az
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
⎟
⎠ := ∂Ax ∂Ay ∂Az
+ +
∂x ∂y ∂z
Im Vakuum (ϱ = 0 und j = 0) lauten die Maxwellgleichungen:
Aus (3.13.19) und (3.13.20) folgt
rot rot E = −rot ∂ B
∂t
∂Az ∂Ay
∂y − ∂z
∂Ax ∂Az
∂z − ∂x
∂Ay ∂Ax
∂x − ∂y
⎞
⎟
⎠ (3.13.15)
(3.13.16)
div E = 0 (3.13.17)
div B = 0 (3.13.18)
rot E = − ∂ B
∂t
rot B = ε0 µ0
∂ E
∂t
∂
= −
∂t rot ∂
B = −ε0 µ0
2E ∂t2 Andererseits folgt aus den Definitionen von rot und div und aus (3.13.17)
rot rot E =
⎛
⎜
rot ⎝
⎞ ⎛
∂Ez ∂Ey
∂y − ∂z
∂Ex ∂Ez ⎟ ⎜
∂z − ∂x ⎠ = ⎜
⎝
∂Ey ∂Ex
∂x − ∂y
∂2Ey ∂x∂y − ∂2Ex ∂y2 − ∂2Ex ∂z2 + ∂2Ez ∂x∂z
∂2Ez ∂y∂z − ∂2Ey ∂z2 − ∂2Ey ∂x2 + ∂2Ex ∂y∂x
∂2Ex ∂z∂x − ∂2Ez ∂x2 − ∂2Ez ∂y2 + ∂2 ⎛
Ey
∂z∂y
⎞
=
⎜
⎝
∂ ∂Ey
∂x ∂y
∂ ∂Ex
∂y ∂x
∂ ∂Ex
∂z ∂x
+ ∂Ez
∂z
∂Ez + ∂z
∂Ey
+ ∂y
− ∂2Ex ∂y2 − ∂2Ex ∂z2 ∂
− 2Ey ∂x2 − ∂2Ey ∂z2
− ∂2Ez ∂x2 − ∂2Ez ∂y2 ⎟
⎠ = −∂2 E
∂x 2 − ∂2 E
⎞
⎟
⎠ =
∂y2 − ∂2E ∂z
Aus (3.13.21) und (3.13.22) folgt die sogenannte Wellengleichung im Vakuum:
∂2E ∂x2 + ∂2E ∂y2 + ∂2E ∂z2 = ε0
∂
µ0
2E ∂t2 (3.13.19)
(3.13.20)
(3.13.21)
2 (3.13.22)
(3.13.23)

Kapitel 4
Elektromagnetische Schwingungen
und Wellen
4.1 Wechselströme
Rotierende Spulen in einem homogenen Magnet-
feld erzeugen eine sinusförmige Wechselspan-
nung
U(t) = U0 · sin ωt (4.1.1)
mit der Scheitelspannung U0, der Schwin-
gungsdauer T und der Frequenz f:
PSfrag replacements
T =
2 π
ω
, f = 1
T
Die Frequenz unserer Netzspannung ist f = 50 Hz.
U0
−U0
U
T
2
Abb.4.1.1 U = U0 sin ωt
= ω
2 π
T
t
(4.1.2)
Liegt an einem Ohm’schen Widerstand R die Wechselspannung U = U0 ·sin ωt, dann fließt durch
R der Wechselstrom
I(t) = U
R = I0 · sin ωt mit dem Scheitelstrom I0 = U0
R
Die Momentane Leistung eines Wechselstromes ist
(4.1.3)
P (t) = U(t) · I(t) = U0 I0 · sin 2 ωt = R I 2 0 · sin2 ωt = U 2 0
R · sin2 ωt (4.1.4)
Die mittlere Leistung ist gleich der Gesamtenergie in der Zeit T geteilt durch T :
P = 1
T ·
T
0
= I0 U0
T
= I0 U0
2
P (t) dt = I0 U0
T
· 1
t −
2
1
sin 2ωt
2 ω
T
· sin 2 PSfrag replacements
ωt dt =
0
T 0
=
(4.1.5)
74
U0 I0
P
T
2
Abb.4.1.2 P = U0 I0 sin 2 ωt
T t

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 75
P = 1
2 I0 U0 = 1
2 R I2 1
0 =
2 · U 2 0
R
Eine Gleichspannung Ug an einem Widerstand R setzt in R die Leistung Pg = U 2 g
(4.1.6)
um. Eine
R
gedachte Gleichspannung Ueff, die in R die gleiche Leistung umsetzt wie eine Wechselspannung
U = U0 · sin ωt, heißt effektive Spannung von U:
U 2 eff
R
1
= P =
2 · U 2 0
R
=⇒ Ueff = U0
√2
(4.1.7)
Ein Gleichstrom Ig durch einen Widerstand R setzt in R die Leistung Pg = R · I 2 g um. Ein
gedachter Gleichstrom Ieff, der in R die gleiche Leistung umsetzt wie ein Wechselstrom I =
I0 · sin ωt, heißt effektiver Strom von I:
R · I 2 eff
Aus (4.1.6), (4.1.7) und (4.1.8) folgt
= P = 1
2 · R I2 0 =⇒ Ieff = I0
√2
P = Ueff · Ieff
Unsere Netzspannung mit Ueff = 230 V hat die Scheitelspannung U0 = 230 V · √ 2 ≈ 325 V.
4.2 Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis
4.2.1 Ideale Kapazität (kein Ohm’scher Widerstand)
An einen Kondensator mit der Kapazität C wird die Wech-
selspannung Ue(t) = U0 ·sin ωt gelegt. Aus der Maschenregel
PSfrag replacements
folgt UC = Ue und damit
Differenzieren ergibt
und damit
Mit cos x = sin x + π
2 folgt dann
Q
C = U0 · sin ωt (4.2.1)
˙Q
C = U0 ω · cos ωt (4.2.2)
I
Q
C
~
Ue
Abb.4.2.1 Ue = U0 sin ωt
(4.1.8)
(4.1.9)
I = ˙ Q = C U0 ω · cos ωt (4.2.3)
UC = Ue = U0
· sin ωt
I = I0 · sin ωt + π
2
mit I0 = ω C U0
(4.2.4)
Der Quotient ZC aus der Effektivspannung an C und dem Effektivstrom durch C heißt Wech-
selstromwiderstand oder Impedanz des Kondensators:
ZC = UC eff
Ieff
=
U0
√ 2
I0
√ 2
= U0
I0
= 1
ω C
(4.2.5)

g replacements
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 76
U
I
Abb.4.2.2 tU-, tI- und Zeigerdiagramm
I
T
UC = Ue
Die Phasenverschiebung zwischen UC(t) und I(t) ist π , d.h. der Strom eilt der Spannung um
π
2
voraus. Sehr schön sieht man die Phasenverschiebung im
Zeigerdiagramm: Einer sinusförmig von der Zeit abhängigen Größe A(t) = A0 · sin ωt wird
t
2
ein Vektor (Zeiger) zugeordnet, dessen Betrag gleich dem Scheitelwert
A0 der Größe ist. Dieser Vektor rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit
PSfrag replacements
ω im Gegenuhrzeigersinn um den Ursprung eines xy-Systems. Die y-
Koordinate dieses Vektors ist dann genau unsere Größe A(t).
Den großen Vorteil von Zeigerdiagrammen sieht man im nächsten Abschnitt:
4.2.2 Reale Kapazität (mit Ohm’schem Widerstand)
Wir behandeln die Reihenschaltung
von Ohm’schem Widerstand und Kon-
densator unter der Annahme, dass ne-
ben Ue auch UC und I sinusförmi-
ge Größen sind. Diese Annahme ist
durch Aufstellen und Lösen der Dif-
ferentialgleichungen exakt beweisbar
(MAPLE!). Damit sind die Größen Ue,
UC und UR = R · I als Zeiger darstell-
bar. Aus dem letzten Abschnitt wissen
I
R
~
Ue
Q
C
Abb.4.2.3 RC-Kreis
wir, dass I und damit auch UR = R · I senkrecht auf UC steht. Aus (4.2.4) folgt mit UC0 statt
U0
Aus der Maschenregel folgt
I0 = ω C UC0 oder UR0 = ω R C UC0 (4.2.6)
Ue = UR + UC
Da sich Vektoren komponentenweise addieren, ist (4.2.7) sicher erfüllt, wenn
Ue = UR + UC
gilt (siehe Abb.4.2.3). Mit dem Pythagoras ergibt sich dann
ω 2 R 2 C 2 U 2 C0 + U 2 C0 = U 2 0
I
I
R I
y
ωt
ϕR
UC
ϕC
Ue
ω
U0
UC
UC0
UC
x
(4.2.7)
(4.2.8)
(4.2.9)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 77
Zusammenfassend erhält man
sowie
ZRC = Ue eff
Ieff
= U0
I0
UC0 =
I0 =
UC = UC0 · sin(ωt + ϕC) mit
U0
√ 1 + ω 2 R 2 C 2
und tan ϕC = −ω R C
I = I0 · sin(ωt + ϕR) mit
ω C U0
√ 1 + ω 2 R 2 C 2
und tan ϕR = 1
ω R C
(4.2.10)
(4.2.11)
Die Impedanz der RC-Schaltung ist
= R2 + 1
ω2
1
= R · 1 +
C2 ω2 R2 1
=
C2 ω C · 1 + ω2 R2 C2 (4.2.12)
und es gilt
lim
ω→0 ZRC = ∞ b.z.w. lim
ω→∞ ZRC = R (4.2.13)
4.2.3 Ideale Spule (kein Ohm’scher Widerstand)
An eine Spule mit der Induktivität L wird die Wechselspan-
nung Ue(t) = U0 · sin ωt gelegt. Aus der Maschenregel folgt
PSfrag replacements
UL = Ue und damit
Integrieren ergibt
und damit
I = U0
L
UL = Ue = U0 · sin ωt
I = I0 · sin ωt − π
2
L · ˙
I = U0 · sin ωt (4.2.14)
sin ωt dt = − U0
· cos ωt (4.2.15)
L ω
Der Strom eilt der Spannung um π
2 hinterher.
Die Impedanz der idealen Spule ist
ZL = UL eff
Ieff
mit I0 = U0
PSfrag replacements
L ω
(4.2.16)
= U0
I0
= L ω (4.2.17)
I
L
∼
Ue
Abb.4.2.4 Ue = U0 sin ωt
U
I
I
I
T
UL = Ue
UL = Ue
ω
Abb.4.2.5 ideale Spule
t

PSfrag replacements
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 78
4.2.4 Reale Spule (mit Ohm’schem Widerstand)
Wir behandeln die Reihenschaltung
von Ohm’schem Widerstand und Spule
wieder unter der Annahme, dass neben
Ue auch UL und I sinusförmige Größen
sind. Diese Annahme ist durch Aufstel-
len und Lösen der Differentialgleichun-
gen exakt beweisbar (MAPLE!). Damit
sind die Größen Ue, UL und UR = R · I
als Zeiger darstellbar. Aus dem letzten
Abschnitt wissen wir, dass I und damit
Q
I
R
~
Ue
Abb.4.2.6 RL-Kreis
auch UR = R · I senkrecht auf UL steht. Aus (4.2.16) folgt mit UL0 statt U0
Aus der Maschenregel folgt
I0 = UL0
ω L oder UR0 = UL0 · R
ω L
Ue = UR + UL
Mit dem Pythagoras ergibt sich dann (siehe Abb.4.2.6)
Zusammenfassend erhält man
sowie
UL0 =
I0 =
Die Impedanz der RL-Schaltung ist
L
R I
ϕR
ϕL
Ue
UL
UL0
U0
ω
(4.2.18)
(4.2.19)
U 2 L0 R2
ω 2 L 2 + U 2 L0 = U 2 0 (4.2.20)
UL = UL0 · sin(ωt + ϕL) mit
U0
1 + R2
ω 2 L 2
und tan ϕL = R
ω L
I = I0 · sin(ωt + ϕR) mit
U0
√ R 2 + ω 2 L 2
ZRL = Ue eff
Ieff
= U0
I0
ω L
und tan ϕR = −
R
(4.2.21)
(4.2.22)
= R 2 + ω 2 L 2 (4.2.23)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 79
4.3 Der elektrische Schwingkreis
4.3.1 Der ideale Schwingkreis (kein Ohm’scher Widerstand)
Der ideale Schwingkreis besteht aus einem Kondensator mit
der Kapazität C und einer Spule mit der Induktivität L,
der Ohm’sche Widerstand der Schaltung ist Null. Aus der
Maschenregel folgt UL + UC = 0 und damit
L ˙
I + Q
C
Differenzieren und Division durch L ergibt
oder
PSfrag replacements
= 0 (4.3.1)
Ï + 1
· I = 0 (4.3.2)
L C
Ï + ω 2 · I = 0 mit ω =
1
L C
(4.3.3)
Wir betrachten ein Beispiel aus der Mechanik:
Eine Masse m bewegt sich reibungsfrei unter PSfrag dem Einfluss replacements
einer Federkraft F = −D · x. Nach Newton2 gilt
oder
m · ¨x = −D · x (4.3.4)
¨x + ω 2 · x = 0 mit ω =
D
m
(4.3.5)
(4.3.3) und (4.3.5) genügen derselben Differentialgleichung
I
L
C
Abb.4.3.1 Schwingkreis
0
0
m
Abb.4.3.2 Feder
¨y + ω 2 · y = 0 , (4.3.6)
(Schwingungsgleichung)
wobei einmal I und einmal x den Platz von y einnimmt.
Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung ist
mit der Amplitude A, der Kreisfrequenz ω und der Phase ϕ.
Zum Beweis setzen wir (4.3.7) in (4.3.6) ein:
y(t) = A · sin(ωt + ϕ) (4.3.7)
¨y + ω 2 · y = A · d2
dt 2 sin(ωt + ϕ) + ω2 · A sin(ωt + ϕ) =
= A · d
dt (ω cos(ωt + ϕ)) + ω2 · A sin(ωt + ϕ) =
= Aω · (−ω sin(ωt + ϕ)) + ω 2 · A sin(ωt + ϕ) = 0 q.e.d.
Der Schwingungsdauer T entspricht eine volle Periode der Schwingung, d.h. ω T = 2 π:
T =
2 π
ω
f = 1
T
= ω
2 π
(Frequenz) (4.3.8)
x
F
m
x
x

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 80
Die allgemeine Lösung (4.3.7)
PSfrag
der
replacements
Schwin-
gungsgleichung schreibt man um, damit man
die Bedeutung der Phase ϕ erkennt:
y(t) =
A · sin ω t + ϕ
=
ω
A · sin ω t + ϕ
· T
2π
(4.3.9)
A
−A
− ϕ
ω
Abb.4.3.3 y(t) = A · sin(ωt + ϕ)
T
ω T = 2 π
Die Kreisfrequenz ω ist durch die Schwingungsgleichung eindeutig vorgegeben, die Amplitude A
und die Phase ϕ sind erst durch zwei Anfangsbedingungen festgelegt. Als Anfangsbedingungen
wählt man oft die Werte von y und ˙y zur Zeit Null:
y(0) = A · sin ϕ = y0 und ˙y(0) = A ω · cos ϕ = b0 (4.3.10)
Durch Addieren der Quadrate beider Gleichungen bzw. durch Division der Gleichungen erhält
man
A =
y 2 0 + b2 0
ω 2 bzw. tan ϕ =
ω y0
b0
t
(4.3.11)
Kehren wir zu unserem Schwingkreis zurück. Wir suchen die Lösung von (4.3.3) mit I(0) = 0
und UC(0) = U0:
I(t) = I0 · sin(ωt + ϕ) (4.3.12)
I(0) = I0 · sin ϕ = 0 =⇒ ϕ = 0 (einfachste Lösung) (4.3.13)
Wegen UC + UL = 0 und damit L ˙
I = −UC liefert die zweite Anfangsbedingung
und somit
˙
I(0) = I0 ω · cos 0 = I0 ω = − U0
L
I0 = − U0
L ω = −U0 ω C = −U0 ·
Die endgültige Lösung lautet also
und
C
L
(4.3.14)
(4.3.15)
I(t) = I0 · sin ωt (4.3.16)
UC(t) = −L · ˙
I = −L I0 ω cos ωt = U0 cos ωt (4.3.17)
Für die Schwingungsdauer und die Frequenz des LC-Kreises erhält man aus (4.3.3) und (4.3.8)
T = 2 π √ 1
L C und f =
2 π √ L C
(4.3.18)
Die Frequenz f nennt man aus später ersichtlichen Gründen auch Resonanzfrequenz oder
Eigenfrequenz.
Für die Gesamtenergie der Schwingung gilt wegen (4.3.15)
Wges = WC + WL = C
2 U 2 C + L
2 I2 = C U 2 0
2
= C U 2 0
2
cos 2 ωt + L I2 0
2
sin 2 ωt
· (cos 2 ωt + sin 2 ωt) = 1
2 C U 2 0 = 1
2 L I2 0 = konst. (4.3.19)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 81
4.3.2 Der reale Schwingkreis (R = 0)
Der reale Schwingkreis besteht aus einem Kondensator mit
der Kapazität C, einer Spule mit der Induktivität
PSfrag replacements
L und
einem Ohm’schen Widerstand R. Aus der Maschenregel folgt
UL + UR + UC = 0 und damit
L ˙ I + R I + Q
= 0 (4.3.20)
C
Differenzieren und Division durch L ergibt
oder
Ï + R
· I ˙ +
L 1
· I = 0 (4.3.21)
L C
I
R L
C
Abb.4.3.4 LCR-Kreis
Ï + 2 q · ˙ I + ω 2 R
0 · I = 0 mit q =
2 L und ω0
1
=
L C
Die allgemeine Lösung von (4.3.22) für
R < 2
mit
L
C
(schwache Dämpfung) lautet
I(t) = I0 · e −q t · sin(ωt + ϕ) (4.3.23)
ω =
(Beweis durch Einsetzen!)
ω 2 0 − q2 (4.3.24)
Wegen | sin(ωt + ϕ)| ≤ 1 gilt
|I(t)| ≤ |I0 · e −q t | (4.3.25)
Die beiden Funktionen E1(t) = I0 · e−q t
3
2
1
0
-1
-2
-3
10 20 30 40 50
t
Abb.4.3.5 gedämpfte Schwingung
und E2(t) = −I0 · e −q t nennt man die Einhüllenden von I(t).
(4.3.22)
Die Konstanten I0 und ϕ sind wieder durch zwei Anfangsbedingungen festgelegt. Wir betrachten
als Beispiel die Lösung mit
Aus der ersten Bedingung folgt ϕ = 0 und damit
und
Aus
folgt nach kurzer Rechnung (Aufgabe!)
I(0) = 0 und UC(0) = UC0 (4.3.26)
I(t) = I0 · e −q t · sin(ωt) (4.3.27)
˙
I(t) = I0 · e −q t · [−q sin(ωt) + ω cos ωt] (4.3.28)
UC(0) + UL(0) + UR(0) = UC0 + L ˙
I(0) + R I(0) = 0 (4.3.29)
I(t) = −
UC0
1 R2
L L C − 4 L2 R
· e
− 2 L t
1
· sin
L C
R2
− · t
4 L2 (4.3.30)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 82
4.4 Resonanz
Wir betrachten ein gedämpftes schwingungsfähiges
PSfrag replacements
System
unter dem Einfluss einer periodischen Anregung. Ein Bei-
spiel dazu ist ein Schwingkreis, der in Reihe mit einer si-
nusförmigen EMK Ue = U0 sin ωt liegt (Serienschwingkreis,
siehe Abb.4.4.1). Mit der Maschenregel folgt
oder nach dem Differenzieren
L ˙
I + R I + Q
C = U0 sin ωt (4.4.1)
Ï + R
L ˙ I + 1
L C I = U0 ω
L
I
R L
Ue
C
Abb.4.4.1 Schwingkreis
cos ωt (4.4.2)
Ein anderes Beispiel ist eine Masse m an einer Feder der Richtgröße D mit der Reibungskraft
R = −α v und einer von außen auf m wirkenden Kraft Fa = F0 · cos ωt:
m ¨x = −D x − α ˙x + F0 cos ωt (4.4.3)
oder
¨x + α D F0
˙x + x = cos ωt
m m m
(4.4.4)
Die Gleichungen (4.4.2) und (4.4.4) haben dieselbe Form
mit
p = R
L
für den Serienschwingkreis und
für die schwingende Masse.
p = α
m
¨y + p ˙y + q y = f0 cos ωt (4.4.5)
1
, q =
L C und f0 = U0 ω
L
D
, q =
m und f0 = F0
m
(4.4.6)
(4.4.7)
Wir wählen den Zeitnullpunkt so, dass y(0) = 0 gilt. Die Lösung von (4.4.5) mit den Anfangs-
bedingungen
läßt sich in der Form (Genaueres siehe MAPLE-Blatt!):
darstellen mit
und
Die Kreisfrequenzen sind
y(0) = 0 ; ˙y(0) = b (4.4.8)
y1(t) =
y(t) = y1(t) + y2(t) (4.4.9)
f0 cos(ωt + ϕ)
(ω 2 − ω 2 0 ) 2 + p 2 ω 2
p
−
y2(t) = B(ω, p, q, f0, b) · cos(ω1t + ψ) · e 2 t
ω0 = √ q und ω1 =
q − p2
4 =
ω 2 0
(4.4.10)
(4.4.11)
p2
− , (4.4.12)
4

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 83
die Phase in (4.4.10) genügt der Gleichung
tan ϕ = −
ω p
ω2 0 − ω2
(4.4.13)
Nach einer Einschwingzeit, die genügend groß gegen 2
p ist, ist der Einschwingterm y2 praktisch
gleich Null und die Lösung lautet
y(t) = A · cos(ωt + ϕ) (4.4.14)
mit der von ω abhängigen Amplitude
A(ω) =
f0
(ω 2 − ω 2 0 ) 2 + p 2 ω 2
(4.4.15)
Nach dem Einschwingvorgang schwingt das Sy-
stem also mit der Erregerfrequenz ω. Die genaue
Lage ω∗ PSfrag replacements
des Maximums der Resonanzkurve
A(ω) hängt davon ab, ob f0 noch ω enthält (wie
beim Serienschwingkreis) oder nicht (wie bei der
schwingenden Masse).
6
5
4
3
2
1
0
2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
Abb.4.4.2 Resonanzkurve
Nach kurzer Rechnung (Übung!) erhält man für die Resonanzfrequenz des Serienschwingkreises
ω ∗ = 1
√ L C = ω0
ω
(4.4.16)
und für die schwingende Masse
ω ∗
D α2
= −
m 2 m2 (4.4.17)
Ist die Amplitude A(ω) der Schwingung groß, d.h. liegt ω nahe bei der Resonanzfrequenz ω ∗ ,
dann sagt man, ” es tritt Resonanz auf“ oder ” das System befindet sich in Resonanz“.
In komplexeren Systemen (z.B. mehrere durch Federn verbundene Massen, gekoppelte elektri-
sche Schwingkreise, Festkörper wie Musikinstrumente oder Gebäude) gibt es mehrere Resonanz-
frequenzen. Die Resonanzkurve A(ω) (siehe Abb.4.4.3) nennt man auch das Spektrum der
Resonanz.
Viele physikalische Geräte und Effekte beruhen
auf der Resonanz, wie Empfänger PSfrag replacements von
elektromagnetischen Wellen (Radio, Fernse-
A
hen), Emission und Absorption von Licht,
Musikinstrumente und raffiniert konstruierte
Messinstrumente (Mößbauereffekt, Kernspinto-
mografie u.s.w.).
Unerwünschte Resonanzeffekte sind z.B.
Schwingungen von Hochhäusern und Brücken,
die bis zum Einsturz führen können (Reso-
nanzkatastrophe, Soldaten sollen nicht im
Gleichschritt über eine Brücke marschieren).
ω1 ω2 ω3 ω4
Abb.4.4.3 Resonanzkurve
ω

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 84
Es wird auch von Motoradunfällen, bedingt durch Resonanz an äquidistanten Bodenwellen, be-
richtet. Epileptische Anfälle können, resonanzbedingt, durch periodische optische oder akustische
Reize ausgelöst werden.
4.5 Die Dreipunktschaltung
Ein Verstärker ist eine steuerbare Span-
nungsquelle; die Ausgangsspannung Ue PSfrag replacements ist
zur Eingangsspannung U1 proportional:
Ue = A · U1
(4.5.1)
A heißt Verstärkungsfaktor oder kurz
Verstärkung. Der Eingangswiderstand
RE eines modernen Verstärkers ist sehr
hoch (einige GΩ und höher), d.h. der
PSfrag replacements
Abb.4.5.1 Verstärker
Strom durch RE ist fast Null und die Steu-
erung des Verstärkers erfolgt praktisch leistungsfrei.
Um eine ungedämpfte elektrische Schwingung zu er-
zeugen, wird ein Teil der Spannung eines Schwingkrei-
ses abgezapft, verstärkt und dem Schwingkreis wieder
zugeführt (Rückkopplung). Als Beispiel betrachten
wir die sogenannte Dreipunktschaltung (I1 ≈ 0,
RC ≈ 0):
U1 = k · UL = k · R IL + L ˙
IL
Ue = A · U1 = A k ·
R IL + L ˙
IL
Aus der Maschenregel folgt einmal
d.h.
U1
(4.5.2)
(4.5.3)
RE
Ue
Verstärker Energieversorgung
Ue
Ri · I + UL = Ri(IL + IC) + UL = Ue
Ri
I1
U1
I
IL
L
R
Ri
Abb.4.5.2 Dreipunktschaltung
Ri · (IL + IC) + L IL ˙ + R IL = A k · R IL + L IL ˙
und zum anderen UL = UC = Q
C und damit ˙ UL = ˙ UC:
IC
RC
C
(4.5.4)
(4.5.5)
L ÏL + R ˙ IL = IC
C
(4.5.6)
(4.5.5) wird nach IC aufgelöst und das Ergebnis in (4.5.6) eingesetzt:
R A k − 1
ÏL + − IL
˙ +
L C Ri
R + Ri − A k R
· IL = 0
L C Ri
(4.5.7)
(4.5.7) ist die Gleichung einer freien Schwingung, wenn der Koeffizient von ˙ IL gleich Null ist,
d.h. für
A k = 1 + Ri R C
L
(4.5.8)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 85
In diesem Fall ist die Kreisfrequenz der Schwingung
ω =
R + Ri − A k R
C Ri
(4.5.8)
=
1
√ · 1 −
L C R2 C
L
(4.5.9)
Das Problem des exakten Einstellens von A, der Fall einer realistischen Verstärkerkennlinie und
ausführliche Beispiele werden mit MAPLE untersucht.
4.6 Die Wellengleichung
Ist u(x, t) die Auslenkung einer Saite aus
die Masse der Saite pro
PSfrag replacements
Länge und S die Spannkraft, dann gilt die
der Ruhelage, ρ
l
Gleichung
∂2u ρ
=
∂x2 S · ∂2u ∂t2 (4.6.1)
Allgemein heißt eine Gleichung der Form
∂2u 1
=
∂x2 c2 · ∂2u u
Abb.4.6.1 Schwingende Saite
∂t2 oder u ′′ = 1
c
(eindimensionale) Wellengleichung. Die allgemeinste Lösung von (4.6.2) ist
2 · ü (4.6.2)
u(x, t) = f(x − c t) + g(x + c t) , (4.6.3)
wobei f und g beliebige zweimal differenzierbare Funktionen sind (Beweis als Aufgabe!).
f(x − c t) ist die um c t nach PSfrag rechts replacements ver-
schobene Funktion f(x), d.h. f(x − c t)
beschreibt einen Zustand, der sich mit
der Geschwindigkeit c nach rechts be-
wegt (Welle nach rechts!). Genauso be-
schreibt g(x+c t) eine Welle nach links!
Für die Wellengeschwindigkeit auf einer
Saite bzw. auf einem Seil erhält man aus
(4.6.1) und (4.6.2)
c =
u
0
t = 0
c t
Abb.4.6.2 Welle nach rechts
S
ρ
S
t
x
x
(4.6.4)
Die allgemeinste Lösung der Wellengleichung ist also durch die Überlagerung von zwei gegenläufi-
gen Wellen gegeben. Um die konkrete Lösung von (4.6.2) für eine eindeutig festgelegte physikali-
sche Gegebenheit zu finden, müssen noch zusätzliche Informationen, die sogenannten Anfangs-
und Nebenbedingungen, gegeben sein. Uns interessieren zwei Spezialfälle, nämlich die von
einem Sender ausgehende fortlaufende Welle und die stehende Welle.

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 86
4.6.1 Die fortlaufende Welle
Die Wirkung des Senders, der sich bei x = 0 befinden soll, beschreiben wir durch die Sender-
funktion
u(0, t) = s(t) (4.6.5)
Für x > 0 läuft die vom Sender ausgehende Welle nach rechts, wenn sie auf kein Hindernis trifft
und somit nicht reflektiert wird. Daher können wir in diesem Fall g(x + c t) = 0 setzen:
u(x, t) = f(x − c t) (4.6.6)
Da sich die Welle mit der Geschwindigkeit c ausbreitet, ist u am Ort x zur Zeit t genauso groß
wie am Ort 0 zur Zeit t − x
c , d.h.
u(x, t) = s t − x
c
(4.6.7)
Die Formfunktion f der vom Sender ausgehenden Welle erhält man wie folgt:
f(x − c t) = u(x, t) = s t − x
c t − x
= s
c c
(4.6.8)
Mit der Substitution ξ = x − c t folgt
f(ξ) = s
−ξ
c
In den meisten Anwendungsfällen schwingt der Sender harmonisch:
Mit (4.6.7) folgt dann
oder
mit der Wellenzahl
(4.6.9)
s(t) = −A · sin ωt (4.6.10)
u(x, t) = s t − x
ω(c t − x)
= −A · sin
c
c
(4.6.11)
u(x, t) = A · sin (k (x − c t)) = A · sin(k x − ωt) (4.6.12)
k = ω
c
(4.6.13)
(4.6.12) beschreibt diejenige Funktion, die zur Zeit t = 0 durch A sin ωt gegeben ist und sich
mit der Geschwindigkeit c nach rechts bewegt.

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 87
Die räumliche Periodenlänge λ von u(x, t) heißt
Wellenlänge:
λ =
2 π
k
(4.6.14)
An einem festen Ort x0 (d.h. x = x0 =konst.) be-
schreibt (4.6.12) eine harmonische Schwingung mit der
Frequenz
f = ω
PSfrag replacements
(4.6.15)
2 π
und der Schwingungsdauer
T = 1
f
= 2 π
ω
Aus (4.6.13), (4.6.14) und (4.6.15) folgt
ω
k
(4.6.16)
= c und λ · f = c (4.6.17)
4.6.2 Stehende Wellen
u
u
u
u
x0
λ
t =
t = 0
c
3 T
4
t = T
4
Abb.4.6.3 Momentaufnahmen
t = T
2
Genügt eine physikalische Größe u der Wellengleichung (4.6.2) und sind die Nebenbedingungen
u(0, t) = 0 und u(a, t) = 0 ∀t (4.6.18)
erfüllt (z.B. eine bei x = 0 und x = a eingespannte Saite), dann ist mit
u(x, t) = A · sin k x · sin ωt (4.6.19)
eine Lösung von (4.6.2) gegeben (Beweis als Aufgabe!), die sicher u(0, t) = 0 erfüllt.
Aus u(a, t) = 0 ∀t folgt
x
x
x
x

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 88
A · sin k a · sin ωt = 0 (4.6.20)
PSfrag replacements
Da diese Beziehung für alle t erfüllt sein soll, ergibt
sich sin k a = 0 und somit wegen (4.6.14)
k a =
2 π
λ
· a = n π mitn ∈
Es sind also nur die Wellenlängen
λn =
2 a
n
und wegen (4.6.17) die Frequenzen
fn = c
λn
= n · c
2 a
(4.6.21)
(4.6.22)
(4.6.23)
möglich (Eigenfrequenzen oder Resonanzfre-
quenzen).
u
u
n = 1
a
1. Hauptschwingung
n = 2
λ1 = 2 a
λ2 = a
2. Hauptschwingung, 1. Oberschwingung
u
n = 3
λ3 = 2
3 a
3. Hauptschwingung, 2. Oberschwingung
Abb.4.6.4 Stehende Wellen
Als letztes Problem suchen wir noch die Lösung von (4.6.2) mit den Bedingungen
u(0, t) = −A0 sin ωt, PSfrag u(a, replacements
t) = 0 ∀t und ω = n ·
(z.B. eine bei x = a eingespannte Saite, die bei x = 0
zu einer harmonischen Schwingung angeregt wird, de-
ren Frequenz keine Eigenfrequenz der Saite ist.) Wir
suchen die Lösung mit dem Ansatz
Mit
folgt aus (4.6.2)
u(x, t) = f(x) · sin ωt (4.6.25)
A0
−A0
u
A
c π
a
Abb.4.6.5 Erzwungene Schwingung
x
x
x
(4.6.24)
∂ 2 u
∂x 2 = f ′′ (x) · sin ωt und ∂2 u
∂t 2 = −ω2 f(x) sin ωt (4.6.26)
f ′′ (x) · sin ωt = − 1
c 2 ω2 f(x) sin ωt
Die Lösung von (4.6.27) (Schwingungsgleichung!!) ist
mit
Aus (4.6.24) und (4.6.25) folgt
und
f ′′ (x) = − ω2
c 2 f(x) = −k2 f(x) (4.6.27)
f(x) = b sin(k x + ϕ) (4.6.28)
k = ω
c
a
x
(4.6.29)
f(a) = 0 (4.6.30)
f(0) = −A0
(4.6.31)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 89
woraus mit (4.6.28)
und somit
bzw.
und somit
sin(k a + ϕ) = 0 (4.6.32)
ϕ = −k a (4.6.33)
b sin ϕ = b sin(−k a) = −A0
b = A0
sin k a
folgt. Die gesuchte Lösung von (4.6.2) mit den Nebenbedingungen (4.6.24) ist also
Da wir in unserem idealisierten Fall kei-
ne Reibung berücksichtigt haben, geht für
k →
n π
a
der Betrag der Amplitude
A0
|A| =
sin
k a
(4.6.37)
gegen unendlich. Aus
kn =
n π
a
erhalten wir die Resonanzfrequenzen
oder
ωn = c · kn =
wie in (4.6.23).
n c π
a
(4.6.34)
(4.6.35)
u(x, t) = A0
sin PSfrag
· sin(k x − k a) · sin ωt (4.6.36)
k a replacements
(4.6.38)
(4.6.39)
fn = ωn
2 π
= n · c
2 a
|A|
A0
ideal
f1 f2 f3 f4
Abb.4.6.6 Resonanzkurve
real
(4.6.40)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 90
4.7 Wellen auf Leitern
4.7.1 Die Oszillatorkette
Ue
I
L L L
L
L
I
C
C
C
C
C
′ Q0
0
I ′ I
1
′ n−1
I ′ I
n
′ Q1 Qn−1 Qn Qn+1
n+1
I ∗ 0
A
B
Abb.4.7.1 Oszillatorkette
Aus der Knotenregel in A und in B folgt
I1
I ∗ 1
Genauso folgt dann I2 = I ∗ 2
In−1
I ∗ n−1
In
I ∗ n
In+1
I ∗ n+1
I = I1 + I ′ 0 = I ∗ 0 =⇒ I1 = I ∗ 1 (4.7.1)
u.s.w., d.h.
In = I ∗ n , I ′ n−1 = In−1 − In , I ′ n = In − In+1 (4.7.2)
Differenzieren von Un = Qn
C liefert mit ˙ Qn = I ′ n und (4.7.2)
Aus der Maschenregel folgt
und damit
˙Un = − In+1 − In
C
(4.7.3)
L ˙
In + Un − Un−1 = 0 (4.7.4)
In
˙ = − Un − Un−1
PSfrag replacements
L
4.7.2 Das Paralleldrahtsystem (Lechersystem)
Im Paralleldrahtsystem bezeichnen wir mit Γ die Ka-
pazität pro Länge und mit Λ die Induktivität pro
Länge. Sind C bzw. L die Kapazität bzw. die Induk-
tivität eines Stücks der Länge dx, dann gilt
C = Γ dx und L = Λ dx (4.7.6)
Das Lechersystem kann als Oszillatorkette aufgefasst
werden, wenn man folgende Bezeichnungen vornimmt
Ue
dx
L
Abb.4.7.2 Lechersystem
C U(x)
I(x)
(4.7.5)
L
C
x
x − dx x + dx
U(x) = Un , U(x − dx) = Un−1 , I(x) = In , I(x + dx) = In+1 (4.7.7)
und dx gegen Null gehen lässt:
˙U(x) = ˙ Un
I(x) ˙ = ˙ In
(4.7.3) I(x + dx) − I(x)
= − = −
Γ dx
1 ∂I
·
Γ ∂x
(4.7.5) U(x) − U(x − dx)
= − = −
Λ dx
1 ∂U
·
Λ ∂x
(4.7.8)
(4.7.9)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 91
∂I ∂U
= −Γ ·
∂x ∂t
∂U
∂x
Mit (4.7.10) und (4.7.11) finden wir
= −Λ · ∂I
∂t
U ′′ = ∂2U ∂
=
∂x2 ∂x (U ′ ) (4.7.11)
= −Λ · ∂
∂x ˙ I = −Λ ∂2I ∂
= −Λ ·
∂x ∂t ∂t
Genauso folgt (Aufgabe!):
oder I ′ = −Γ ˙ U (4.7.10)
oder U ′ = −Λ ˙
I (4.7.11)
∂2U ∂x2 = Λ Γ · ∂2U ∂t2 ∂2I ∂x2 = Λ Γ · ∂2I ∂t2 U und I erfüllen also die Wellengleichung (4.6.2) mit
∂I (4.7.10)
= −Λ ·
∂x
∂
∂t (−Γ ˙ U)
(4.7.12)
(4.7.13)
(4.7.14)
1
= Λ · Γ (4.7.15)
c2 Auf einem Leitersystem mit Λ = konst. und Γ = konst. breiten sich Strom und Spannung also
wellenförmig aus mit der Geschwindigkeit
c =
1
√ Λ · Γ
(4.7.16)
In einem Paralleldrahtsystem mit dem Drahtradius r und dem Abstand a der Drahtachsen ist
nach Gauß das elektrische Feld E(x) zwischen den Drähten (Q ist die Ladung auf einem Draht
der Länge s, Vakuum zwischen den Leitern)
E(x) = Q
2 π ε0 s ·
Für die Spannung zwischen den Drähten gilt dann
U =
a−r
und somit für die Kapazität pro Länge
r
1 1
+
x a − x
E(x) dx = Q a − r
· ln
π ε0 s r
Γ = C
s
= Q
U s
= πε0
ln a−r
r
In den Aufgaben haben wir die Induktivität pro Länge berechnet:
Damit ist Λ · Γ = ε0 · µ0 und
c =
Λ = µ0
π
1
√ ε0 µ0
· ln a − r
r
= 299792458 m
s
(Lichtgeschwindigkeit)
(4.7.17)
(4.7.18)
(4.7.19)
(4.7.20)
(4.7.21)
Es sei daran erinnert, dass der Zahlenwert von c nach Definition exakt ist, genauso wie der Wert
von µ0 = 4 π · 10−7 Vs
Am . Damit ist auch ε0 exakt bestimmt:
ε0 = 1
As
= 8,85418781762.... · 10−12
µ0 · c2 Vm
(4.7.22)

Sfrag replacements
g replacements
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 92
4.7.3 Einseitig unendliches Lechersystem
U
I
E
I
Momentanaufnahme der
Welle
B
Die Strom- und Spannungskurven, die Feldstärke- und Stromvektoren sowie
die Ladungsverteilung, alles bewegt sich mit der Geschwindigkeit c nach rechts
(aber nicht die Elektronen selbst, die schwingen nur um ihre Ruhelage!)
Abb.4.7.3 Sinuswelle auf dem einseitig unendlichen Lechersystem
λ
zur Zeit t = T
4
Als Beispiel betrachten wir eine Welle, die sich auf einem einseitig unendlichen Lechersystem
ausbreitet. Die ” Senderfunktion“ bei x = 0 sei
U(0, t) = Ue(t) = U0 · sin ωt (4.7.23)
Damit lautet die Gleichung der Spannungswelle nach (4.6.7)
U(x, t) = Ue t − x
= −U0 · sin(kx − ωt) (4.7.24)
c
Für die Stromwelle folgt aus (4.7.10) und c = ω
k
I ′ = −Γ · ˙
I(x, t) = −Γ ω U0
U = −Γ ω U0 cos(kx − ωt)
Γ ω U0
cos(kx − ωt) dx = − sin(kx − ωt) = Γ c · U(x, t)
k
(4.7.25)
(4.7.26)
Strom und Spannung sind also gleichphasig!
Aus Q = C · U, Q = σ · dx und C = Γ · dx folgt für die Längenladungsdichte auf einem der Leiter
4.7.4 Endliches Lechersystem
σ(x, t) = Γ · U(x, t) (4.7.27)
beidseitig geschlossen einseitig offen beidseitig offen
Abb.4.7.4 Verschiedene Arten von Lechersystemen
2 λ
x

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 93
Das Ende eines endlichen Lechersystems kann leitend überbrückt sein (geschlossenes Ende) oder
nicht (offenes Ende). Die Ladungen können über das offene Ende nicht hinaus, d.h. am offenen
Ende (z.B. bei x = a) ist der Strom Null:
I(a, t) = 0 ∀t
(4.7.11)
=⇒
∂U
∂x
= −Λ ·
x=a
∂I(a, t)
∂t
= 0 =⇒ |U(a, t)| maximal (4.7.28)
Am geschlossenen Ende dagegen ist wegen der leitenden Verbindung die Spannung Null:
U(a, t) = 0 ∀t
(4.7.10)
=⇒
∂I
∂x
∂U(a, t)
= −Γ · = 0
∂t
=⇒ |I(a, t)| maximal (4.7.29)
x=a
Zusammenfassend gelten also die Randbedingungen:
offenes Ende: I = 0 ⇐⇒ U ′ = 0 ⇐⇒ |U| maximal
geschlossenes Ende: U = 0 ⇐⇒ I ′ = 0 ⇐⇒ |I| maximal
(4.7.30)
Aus den Randbedingungen folgen die möglichen Wellenlängen λn und damit wegen λn · fn = c
die Resonanzfrequenzen fn der möglichen stehenden Wellen auf dem System (siehe Kap.4.6.2).
Als Beispiel betrachten wir ein einseitig offenes Lechersystem der Länge a:
Eine Lösung der Wellengleichung, die die Rand-
bedingung bei x = 0 erfüllt, ist
U(x, t) = U0 · sin kx sin ωt (4.7.31)
PSfrag replacements
(siehe (4.6.19)). Um die Randbedingung bei x =
a zu erfüllen, muss folgendes gelten:
a = λ1
4 ; λ1 = 4 a ; f1 = c
4 a
a =
a =
3 λ2
4 ; λ2 = 4
3 a ; f2 =
5 λ3
4 ; λ3 = 4
5 a ; f3 =
7 λ4 a = 4 ; λ4 = 4
7 a ; f4 =
... ... ... ... ...
Für die n-te Hauptschwingung gilt
a =
(2n − 1) λn
4
4.7.5 Das Koaxialkabel
; λn =
3 c
4 a = 3 · f1
5 c
4 a = 5 · f1
7 c
4 a = 7 · f1
4 a
2n − 1
; fn =
U
U
U
U
n = 1
n = 3
n = 4
n = 2
Abb.4.7.5 einseitig offen
(2n − 1) c
4 a
= (2n − 1) · f1
a
a
a
a
x
x
x
x
(4.7.32)
In einem Koaxialkabel mit dem Innenradius a und dem Außenradius b ist nach Gauß das elektri-
sche Feld E(r) zwischen den Leitern (Q ist die Ladung auf einem Teilstück des inneren Drahtes
der Länge s, Vakuum zwischen den Leitern)
E(r) = Q 1
·
2 π ε0 s r
(4.7.33)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 94
Für die Spannung zwischen dem Innen- und Außenleiter gilt dann
U =
b
und somit für die Kapazität pro Länge
a
E(r) dr = Q b
· ln
2 π ε0 s a
Γ = C
s
= Q
U s
= 2 πε0
ln b
a
In den Aufgaben haben wir die Induktivität pro Länge berechnet:
Λ = µ0 b
· ln
2 π a
(4.7.34)
(4.7.35)
(4.7.36)
Damit ist Λ · Γ = ε0 · µ0 und die Wellengeschwindigkeit auf dem Koaxialkabel ist wieder die
Lichtgeschwindigkeit
c =
1
√ ε0 µ0
Allgemein gilt: Auf idealen, homogenen Zweileitersystemen (kein Ohm’scher
Widerstand, Γ und Λ konstant) im Vakuum breiten sich Strom-
und Spannungswellen mit Lichtgeschwindigkeit aus!
4.7.6 Wellen auf geraden Leitern - der Dipol
(4.7.37)
Läßt man im Koaxialkabel den Mantelradius b gegen Unendlich gehen, erhält man Γ und Λ eines
unendlich langen, geraden Leiters im Vakuum:
2 πε0
lim Γ = lim
b→∞ b→∞ ln b
a
= 0 + und lim
b→∞ Λ = lim
b→∞
Für das Produkt aus Γ und Λ gilt aber
lim (Γ · Λ) = lim
b→∞ b→∞
2 πε0
ln b
a
· µ0
b
· ln
2 π a
= ε0 · µ0
µ0 b
· ln = +∞ (4.7.38)
2 π a
Strom- und Spannungswellen breiten sich auf einem geraden
Leiter im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus!
(4.7.39)
Ist der Feldraum um die Leiter mit einem Nichtleiter (Dielektrikum) gefüllt, dann muss ε0 we-
gen der Polarisation der Atome durch ε = εr ·ε0 mit der relativen Dielektrizitätskonstanten
εr > 1 ersetzt werden. Damit gilt für die Wellengeschwindigkeit
c =
mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0.
1
√ εr ε0 µ0
= c0
√εr
< c0
(4.7.40)

Sfrag replacements
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN
PSfrag replacements
95
Einen geraden Leiter der endlichen Länge a
nennt man einen Dipol. An den Enden des Lei-
ters gelten die Randbedingungen
I(0, t) = I(a, t) = 0 (4.7.41)
I
Abb.4.7.6 λ
2 -Dipol
Der schwingende Dipol verhält sich also wie eine bei x = 0 und x = a eingespannte Saite. Bei
n = 1
einer sinusförmigen Anregung bilden sich auf dem Dipol stehende Wellen aus mit
und den Wellenlängen und Resonanzfrequenzen
E
E
λn =
2 a
n
= λ1
n
t = 0 t = T
4
Abb.4.7.7 Dipolschwingungen
B
I(x, t) = I0 · sin kx · sin ωt (4.7.42)
B
bzw. fn = c
λn
1. Hauptschwingung
2. Hauptschwingung
= n · c
= n · f1
(4.7.43)
2 a
t = T
2
t =
3 T
4
a
x
Da der gerade Leiter in der Grundschwingung genau eine halbe Wellenlänge lang ist, nennt
man ihn auch λ
2 -Dipol. Der Dipol ist die einfachste Form eines elektrischen Schwingkreises. Im
geschlossenen Schwingkreis, bestehend aus einer Spule und einem Plattenkondensator, sind die
E- und B-Felder fast ausschließlich auf den Innenraum der Bauteile beschränkt. Beim Dipol
dagegen erstrecken sich die Felder weit in den umgebenden Raum. Der Dipol wirkt als Antenne
zur Abstrahlung elektromagnetischer Felder.
Die Ankopplung eines Dipols an einen Hochfrequenzgenera-
tor ( Sender“) geschieht meist induktiv wie in Abb.4.7.8.
”
PSfrag replacements
Da ein Sender meistens nur eine feste Frequenz benützt,
kann die Dipollänge optimal abgestimmt werden (eben eine
halbe Wellenlänge). Die Dipollänge eines Empfängers, der
Sender mit Frequenzen aus einem größeren Bereich empfan-
gen soll (z.B. UKW), ist immer ein Kompromiss.
λ
2
Generator
I
IGen
Abb.4.7.8 Ind. Kopplung

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 96
4.8 Elektromagnetische Wellen im Vakuum oder Dielektrikum
4.8.1 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
PSfrag replacements
Im Volumen V , das den Koor-
dinatenursprung enthält, be-
finden sich beschleunigte La-
dungen, außerhalb von V ist
die Ladungsdichte Null. Wir
betrachten die von den La-
dungen in V erzeugten Felder
z
y
V
Abb.4.8.1 Welle in großer Entfernung zur Quelle
A
x x
auf einer kleinen Fläche A, die senkrecht auf der x−Achse steht und deren x−Koordinate groß
gegen die Abmessungen von V ist. Auf A sind die Felder dann näherungsweise konstant, d.h.
∂ E
∂y
≈ 0 ,
∂ E
∂z
≈ 0 ,
∂2E ∂y2 ≈ 0 und ∂2E ≈ 0 (4.8.1)
∂z2 Eine Welle, deren Größen in einer Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung konstant sind,
heißt ebene Welle.
Die im Kapitel über die Maxwellgleichungen für das Vakuum hergeleitete Wellengleichung
∂2E ∂x2 + ∂2E ∂y2 + ∂2E ∂z2 = ε0 µ0 · ∂2E ∂t2 geht wegen (4.8.1) über in die eindimensionale Wellengleichung
∂2E ∂x2 = ε0 µ0 · ∂2E ∂t2 d.h. im Vakuum breiten sich elektromagnetische Wellen mit der Lichtgeschwindigkeit
c =
1
√ ε0 µ0
aus. In einem Dielektrikum muss ε0 durch εr · ε0 ersetzt werden:
c =
1
√ εr ε0 µ0
= c0
√εr
(4.8.2)
(4.8.3)
(4.8.4)
(4.8.5)
Wegen εr,Luft = 1,00059 ≈ 1 ist die Lichtgeschwindigkeit in Luft fast gleich der Vakuumge-
schwindigkeit.
PSfrag replacements
Eine genaue Analyse der Max-
well’schen Gleichungen liefert für
große Entfernungen zu den fel-
derzeugenden Ladungen folgen-
de Beziehungen, die zum Teil für
einen Dipol im Ursprung sofort
einsichtig sind:
z
y
B
Abb.4.8.2 Welle auf der x-Achse
E⊥c , B⊥c , E⊥ B , B = c × E
c 2
E
= √ εr · c0 × E
c 2 0
B
E
c
x
(4.8.6)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 97
Das B−Feld schwingt also gleichphasig mit dem E−Feld.
Da c in alle Richtungen den gleichen
Betrag hat, geht, im Großen gesehen,
vom Sender eine Kugelwelle aus. Die Ku-
gelschalen sind z.B. Punkte gleichzeitiger
Maxima der Felder.
Ein harmonisch schwingender Dipol
strahlt sinusförmige Wellen PSfragab. replacements Die
Wellenlänge ist
λ = c
f
1
= √ ·
εr
c0
f
1
= √ · λVak
εr
(4.8.7)
Der Abstand der Kugelschalen in
Abb.4.8.3 ist gerade eine Wellenlänge.
x
y
z
c
B
E
Abb.4.8.3 Kugelwelle im Großen
V
ebene Welle im
Eine Welle heißt linear polarisiert, wenn die schwingende Größe ein Vektor ist, der immer in
der gleichen Ebene liegt. Ein Dipol strahlt eine linear polarisierte Welle ab (siehe Abb.4.8.4)!
g replacements x
y
y
B
B
E
PSfrag replacements
Abb.4.8.4 Felder eines schwingenden Dipols
E
x
x
UC
UR
UC
Diode
UR
Abb.4.8.5 Detektorempfänger
R
Lautsprecher
UM
Kleinen
t
t

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 98
Der Dipol eines Empfängers wird durch das E−Feld der Welle angeregt:
Maximaler Empfang, wenn Dipolachse E, kein Empfang, wenn Dipolachse ⊥ E
Um Nachrichten mit elektromagnetischen Wellen zu übertragen, wird der hochfrequenten Träger-
schwingung eine niederfrequente Modulationsspannung überlagert: U(t) = U0 · sin ωt · UM(t) .
Die Lautsprechermembrane können der hochfrequenten Schwingung der Trägerfrequenz nicht fol-
gen. Durch die Diode (Gleichrichter) liegt am Lautsprecher eine Gleichspannung und er schwingt
mit der Frequenz der Modulationsspannung.
4.8.2 Energietransport mit elektromagnetischen Wellen
A sei eine Fläche, die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung einer Welle steht und T die Schwin-
gungsdauer der (sinusförmigen) Welle. Die Intensität J der Welle am Ort der Fläche A ist
definiert durch
J =
Energie, die in der Zeit T durch A tritt
T · A
Die Energiedichte eines elektrischen Feldes im Dielektrikum ist
we = εr · ε0
2
· E 2
Damit folgt für die Energiedichte einer elektromagnetischen Welle
Mit
folgt aus (4.8.6)
w = we + wm = εr · ε0
2
· E 2 + 1
· B
2 µ0
2
(4.8.8)
(4.8.9)
(4.8.10)
E = E(x, t) = E0 · sin(kx − ωt) (4.8.11)
B = B(x, t) = B0 · sin(kx − ωt) mit B0 = E0
c = √ εr · E0
Eingesetzt in (4.8.10) erhält man
εr · ε0
w =
2
oder vereinfacht
c0
(4.8.12)
· E 2 0 + 1
·
2 µ0
εr
c2 · E
0
2
0 · sin 2 (kx − ωt) (4.8.13)
w = εr · ε0 · E 2 0 · sin 2 (kx − ωt) (4.8.14)
Die Energie W , die in der Zeit T durch A fließt, erhalten wir durch
Integration über eine Wellenlänge:
PSfrag replacements
W =
V
w dV =
= εr ε0 A E 2 0 ·
λ
0
w A dx = εr ε0 A E 2
0 ·
x 1
− · sin(kx − ωt)
2 4 k
λ
0
λ 0
sin 2 (kx − ωt) dx =
Wegen 2 k λ = 4 π ist sin(2 k λ − ωt) = sin(−ωt) und es gilt
W = εr ε0 A E 2 0 · λ
2
(4.8.15)
λ
V
Abb.4.8.6
A
x
(4.8.16)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 99
Aus
folgt dann
T = 1
f
J = W
A T
Von einem Sender S geht eine Welle aus.
Die Energie, die von der Welle in der
PSfrag replacements
Zeit T durch die Fläche A transportiert
wird, muss gleich der Energie sein, die
in der gleichen Zeit durch A ′ geht (siehe
Abb.4.8.7):
A · J = A ′ · J ′
J ′
J
A r2
= =
A ′ r ′2
Aus (4.8.18) und (4.8.21) folgt
λ
=
c =
√
εr λ
c0
1√
= εr · ε0 · c0 · E
2
2 0
Intensität einer Sinuswelle
(4.8.19)
(4.8.20)
J⊥(r) sei die Intensität der Strahlung ei-
nes Dipols in der Entfernung r vom Di-
J(r ′ )
J(r)
E0(r ′ )
E0(r)
polmittelpunkt, gemessen in einer Ebene
durch den Mittelpunkt PSfrag des Dipols replacements und
senkrecht zur Dipolachse. Ohne Herlei-
tung sei folgende Formel für die Winkel-
verteilung der Dipolstrahlung angegeben:
J(r, ϕ) = J⊥(r) · sin 2 ϕ (4.8.23)
S
r
Abb.4.8.7 Abnahme der Intensität
= r2
r ′2
= r
r ′
Intensitätsverteilung
A
r ′
Dipolachse
Abb.4.8.8 Polardiagramm
ϕ
J(r, ϕ)
J(r, 90 ◦ ) = J⊥(r)
(4.8.17)
(4.8.18)
A ′
(4.8.21)
(4.8.22)
In der Ebene senkrecht zur Dipolachse ist die Winkelverteilung isotrop, d.h. J(ψ) = konstant
(siehe Abb.4.8.9).

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 100
Mit Hilfe von Abb.4.8.9 berechnen wir die Gesamtlei-
stung P , die vom Dipol abgestrahlt wird. Zunächst ist
die Leistung dP , die durch die Fläche da geht, gleich
dP = J(r, ϕ) · da (4.8.23)
= J⊥ sin 2 ϕ · r 2 sin ϕ dϕ dψ =
= J⊥ r 2 sin 3 ϕ dϕ dψ (4.8.24)
Integration über die gesamte Kugelfläche liefert:
P = J⊥ r 2
⎡
2
π π
⎣ sin 3 ⎤
ϕ dϕ⎦
dψ = 2 π r 2 π
J⊥ · sin 3 ϕ dϕ
0
0
Mit der Integralformel (Beweis!!)
P =
π
0
8 π
3 J⊥(r) · r 2
4.9 Reflexion und Brechung
PSfrag replacements
0
sin 3 ϕ dϕ =
ϕ
ψ
r
r sin ϕ
dϕ
dψ
da
Abb.4.8.9 Herleitung von P
1
3 cos3 π ϕ − cos ϕ =
0
4
3
und damit J(r, ϕ) = 3
8 π · P · sin2 ϕ
r2 Die Menge aller zusammenhängenden Maxima einer Welle nennen
wir eine Wellenfront. Die Wellenfronten einer ebenen Welle sind
parallele Ebenen im Abstand je einer Wellenlänge, die Wellenfron-
ten einer Kugelwelle sind Kugelschalen, deren Radien sich je um eine
Wellenlänge unterscheiden. Trifft eine Welle auf eine sehr kleine Öff-
nung in einer für die Welle undurchlässigen Wand, dann geht von der
Öffnung eine kugelförmige ” Elementarwelle“ aus.
Christian Huygens (1629 - 1695) hat diese Tatsache verallgemeinert:
ebene
Welle
folgt
Abb.4.9.1
Von jedem Punkt eines beliebigen Wellenfeldes geht eine kugelförmige
Elementarwelle aus. Die Einhüllende aller von einer Wellenfront ausge-
henden Elementarwellen bildet eine neue Wellenfront.
(Huygens’sches Prinzip)
r dϕ
r sin ϕ dψ
(4.8.25)
Wellenfront
Die Ableitung des Huygens’schen Prinzips aus den Maxwellgleichungen gelang Gustav Kirchhoff
(1824 - 1887).

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 101
Abb.4.9.2 zeigt am Beispiel einer ebe-
nen Welle und einer Kugelwelle die Ent-
stehung neuer Wellenfronten nach dem
Huygens’schen Prinzip. Seine volle Be-
deutung erlangt das Huygens’sche Prinzip
erst dann, wenn eine Welle auf Hindernisse
trifft. Als Beispiel PSfrag replacements
betrachten wir die
Ableitung des Brechungsgesetzes:
Eine ebene Welle breitet sich in einem Me-
dium mit der Geschwindigkeit c1 aus und
trifft auf die ebene Grenzfläche zu einem
anderen Medium mit der Wel-
lengeschwindigkeit c2. Die einfallende
Wellenfront
1 in
Abb.4.9.3 trifft zur Zeit t = 0
im Punkt A auf die Grenzfläche.
Zur Zeit T = λ1
c1
trifft
1 in
B und 2 in A auf die Grenzfläche
u.s.w. Überall dort, wo ei-
ne Wellenfront auf die Grenz-
fläche trifft, geht vom Auftreff-
punkt eine Elementarwelle aus.
Abb.4.9.3 zeigt die Elementar-
wellen, die von den Wellenfronten
1 , 2 und 3 zu den Zeiten
0, T und 2 T erzeugt wurden.
c2 < c1
c1
c2
Elementarwellen
Abb.4.9.2 Wellenfronten
1
Momentaufnahme zur Zeit 3T
3
2
1
1
2
neue Wellenfronten
Einfallende Welle
ϕ1 A B C
λ2
3λ2
Abb.4.9.3 Zum Brechungsgesetz
c2
1
c1
3λ1
n1
n2
D
ϕ2
3
λ1
2
ϕ1 ϕ∗ 1
1
Einfallslot
Ist c die Vakuumlichtgeschwindigkeit und sind εr1 und εr2 die relativen Dielektrizitätskonstanten
der beiden Medien, dann gilt
c1 = c
√ εr1
Mit der Definition des Brechungsindexes
eines Stoffes folgt
c1 = c
n1
und c2 = c
√ εr2
n = √ εr
und c2 = c
Abb.4.9.3 entnimmt man für den Einfallswinkel ϕ1 und den Ausfallswinkel ϕ2
und damit
sin ϕ1 =
n2
3 λ1
AD , sin ϕ2
3 λ2
=
AD
sin ϕ1
sin ϕ2
= c1
c2
= n2
n1
(Brechungsgesetz)
ϕ2
(4.9.1)
(4.9.2)
(4.9.3)
(4.9.4)
(4.9.5)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 102
Zeichnet man die Elementarwellen in Abb.4.9.3 auch nach oben ein, dann folgt (siehe Aufgaben)
das Reflexionsgesetz:
Aus dem Brechungsgesetz folgt
und damit
n1
n2
ϕ1 = ϕ ∗ 1
· sin ϕ1 = sin ϕ2 ≤ 1 (4.9.7)
sin ϕ1 ≤ n2
n1
(4.9.8)
(4.9.8) ist immer erfüllt, wenn n2 > n1, d.h. wenn
das Medium 2 optisch dichter ist als das Medium
PSfrag replacements
1 . Beim Übergang vom optisch dichteren
ins optisch dünnere Medium (z.B. von Wasser in
Luft) tritt Brechung nur dann auf, wenn der Ein-
fallswinkel ϕ1 kleiner ist als der Grenzwinkel ϕg
mit
sin ϕg = n2
n1
(4.9.9)
3
n1
n2
1 1
2 2
ϕg
Abb.4.9.4 Totalreflexion
2
1
(4.9.6)
Für ϕ1 > ϕg gibt es keine gebrochene Welle, d.h. die ganze Energie der einfallenden Welle findet
sich in der reflektierten Welle wieder (Totalreflexion).
n1 < n2 ∧ 0 < ϕ1 < 90 ◦ =⇒ Reflexion und Brechung gleichzeitig
n1 > n2 ∧ 0 < ϕ1 < ϕg =⇒ Reflexion und Brechung gleichzeitig
n1 > n2 ∧ ϕ1 > ϕg =⇒ Totalreflexion
Totalreflexion in Glasprismen wird z.B. verwendet, um Lichtstrahlen in optischen Geräten ver-
lustfrei umzulenken.
3

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 103
4.10 Polarisation
4.10.1 Polarisation mit Polfiltern
Eine elektromagnetische Welle heißt li-
near polarisiert, wenn der Feldstärke-
vektor E seine Schwingungsrichtung nicht
ändert. Die Strahlung eines Dipols ist z.B.
linear polarisiert.
Ein Polarisationsfilter (Polfilter) PSfrag replacements
besteht
aus einem Material, in dem die Elektronen
nur in eine Richtung schwingen können,
d.h. er besteht aus lauter kleinen Dipo-
len. Liegt die Länge dieser Dipole in der
Größenordnung der Wellenlänge der ein-
fallenden Strahlung, dann werden die Di-
pole von der zur Dipolachse parallelen
Komponente E der einfallenden Welle
zum Mitschwingen angeregt. E wird vom
Polfilter also reflektiert (wie an einer Me-
tallwand) und ist somit hinter dem Filter Abb.4.10.1 Polarisationsfilter
nicht mehr vorhanden. Ein Polfilter lässt
also nur den Teil E⊥ der Welle durch, der senkrecht auf den Dipolachsen steht. Die Welle nach
dem Polfilter ist linear polarisiert.
Ee
D
E⊥
ϕ
D
Ee
E
Durchlassrichtung
Elektron
Pol-Filter
Ein Polfilter für Mikrowellen (cm-Bereich) besteht aus einem Gitter von parallelen Drähten.
Polfilter für Licht (400 nm bis 800 nm) werden aus Kunststoffen gefertigt, die aus langgestreckten
Molekülen bestehen, die ein über das ganze Molekül frei bewegliches Elektron besitzen.
Trifft eine linear polarisierte Welle Ee auf ein Polfilter und ist ϕ der Winkel zwischen Ee und der
Durchlassrichtung D, dann gilt für den Betrag des Feldstärkevektors der durchgehenden Welle
Ed = E⊥ = Ee · cos ϕ (4.10.1)
Für die Intensität der durchgehenden Welle gilt dann wegen J ∼ E 2
PSfrag replacements
Natürliches Licht, das alle Polarisationsrichtungen
enthält, wird durch ein Polfilter linear polarisiert. In
Abb.4.10.2 trifft natürliches Licht auf ein Polfilter mit
der Durchlassrichtung D. Danach ist es linear pola-
risiert ( E1 D). Trifft dieses polarisierte Licht jetzt
auf ein weiteres Polfilter, dessen Durchlassrichtung D ′
senkrecht auf D steht, dann ist wegen cos 90 ◦ = 0 die
Welle hinter dem zweiten Filter verschwunden.
Jd = Je · cos 2 ϕ (4.10.2)
ϕ
Pol-Filter
Durchlassrichtung
Elektron
natürliches
Licht
D
E1
Ed
lin. pol.
D⊥ D ′
Abb.4.10.2 gekreuzte Filter
E2 = 0
D ′
c

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN
PSfrag replacements
104
4.10.2 Polarisation durch Reflexion
Eine Welle fällt auf die Grenzfläche zwei-
er Medien mit den Brechungsindizes n1
bzw. n2. Die Elektronen im Medium mit
n2 schwingen in Richtung des Feldstärke-
vektors Ed des gebrochenen Strahls. Diese
schwingenden Elektronen sind kleine Dipo-
le und somit die Ursache für die reflektier-
te Welle. Für einen bestimmten Einfallswin-
kel ϕe = ϕB, den sogenannten Brewster-
Winkel, sind die Achsen dieser Dipole par-
allel zur Richtung der reflektierten Welle
(cd ⊥cr). Da die Intensität der Dipolstrah-
lung in Richtung der Dipolachse Null ist,
gibt es in diesem Fall keine reflektierte Welle.
n1
n2
ce
Ee
Im gezeichneten Fall ist
cr⊥cd, d.h. ϕe = ϕB
ϕe
ϕr
ϕd
cd
Abb.4.10.3 Zum Brewster-Winkel
Aus dem Reflexionsgesetz ϕe = ϕr und Abb.4.10.3 folgt für den Brewster-Winkel
oder
ϕr + ϕd = ϕe + ϕd = ϕB + ϕd = 90 ◦ =⇒ ϕd = 90 ◦ − ϕB (4.10.3)
Aus dem Brechungsgesetz und (4.10.4) folgt
oder endgültig
sin ϕd = sin(90 ◦ − ϕB) = cos ϕB
sin ϕd = cos ϕB = n1
n2
tan ϕB = n2
n1
· sin ϕB
L
Er
Ed
cr
(4.10.4)
(4.10.5)
(4.10.6)
Die von ce und dem Einfallslot L gebildete Ebene nennen wir die Einfallsebene. Fällt jetzt
unpolarisiertes Licht (alle Polarisationsrichtungen vorhanden) unter dem Brewster-Winkel auf
die Grenzfläche (d.h. ϕe = ϕB), dann werden alle zur Einfallsebene parallelen Komponenten der
elektrischen Feldvektoren nicht reflektiert. Der reflektierte Strahl enthält also nur E−Vektoren,
die senkrecht zur Einfallsebene und damit parallel zur Grenzfläche sind. Der reflektierte Strahl
ist also linear polarisiert.
Fällt unpolarisiertes Licht unter dem Brewster-Winkel ϕB
auf die Grenzfläche zweier Medien, dann ist die reflektier-
te Welle linear polarisiert. Der E−Vektor der reflektierten
Welle schwingt dann parallel zur Grenzfläche.

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 105
4.11 Summen von Sinusfunktionen
Die Grundformel für alle Arten von Schwingungsüberlagerungen ist:
sin ϕ =
x + y
a · sin x + b · sin y = A · sin + ϕ
2
mit A = a 2 + b 2 + 2 a b cos(y − x) ,
b − a
A
· sin y − x
2
und cos ϕ =
b + a
A
· cos y − x
2
Für die Überlagerung gleichfrequenter Sinusschwingungen mit beliebigen Phasen gilt:
n
ak · sin(ωt + ϕk) = A · sin(ωt + Φ)
k=1
n
mit A =
sin Φ =
n
k=1
ak sin ϕk
k=1
A
ak sin ϕk
n−1
sin
sin(k ϕ) =
k=0
n−1
sin
cos(k ϕ) =
k=0
2
+
n
k=1
und cos Φ =
n ϕ
2
n ϕ
2
ak cos ϕk
n
(n − 1)ϕ
· sin
2
sin ϕ
2
(n − 1)ϕ
· cos
2
sin ϕ
2
2
ak cos ϕk
k=1
A
,
(4.11.1)
(4.11.2)
(4.11.3)
Für die Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen mit gleicher Amplitude und äquidistanten
Phasen ϕk = k · ϕ folgt aus (4.11.2) und (4.11.3):
n−1
a · sin(ωt + k ϕ) = A · sin(ωt + Φ)
k=0
n ϕ
a sin
mit A = 2
sin ϕ
2
und Φ =
(n − 1) ϕ
2
(4.11.4)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 106
4.12 Überlagerung von zwei gleichfrequenten Wellen
Wir untersuchen die Überlagerung
zweier gleichfrequenter Wellen
und
u1 = a sin(kx − PSfrag ωt) replacements
(4.12.1)
u2 = b sin(kx − ωt + Φ) (4.12.2)
δ
Abb.4.12.1 Gangunterschied
mit der Phasendifferenz Φ. Da sich die Wellen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten sol-
len, folgt aus der Gleichheit der Frequenzen auch die Gleichheit der Wellenlängen. Den kürzesten
Abstand zweier Wellenberge nennt man den Gangunterschied der beiden Wellen.
Dem Gangunterschied λ entspricht die Phasendifferenz 2π, d.h.
δ Φ
=
λ 2π
Aus (4.11.1) folgt für die Amplitude der Überlagerung u = u1 + u2
(4.12.3)
A = a 2 + b 2 + 2 a b cos Φ (4.12.4)
Die Intensitäten der Wellen sind proportional zum Quadrat ihrer Amplituden, d.h.
J1 = α · a 2
Für elektromagnetische Wellen ist nach (4.8.18)
, J2 = α · b 2 und J = α · A 2
α = 1√
εr · ε0 · c0
2
Mit (4.12.4) erhält man für die Intensität der resultierenden Welle
und damit
(4.12.5)
(4.12.6)
J = α · A 2 = α · a 2 + α · b 2 + 2 √ α a 2 α b 2 cosΦ (4.12.7)
J = J1 + J2 + 2 J1 J2 · cos Φ (4.12.8)
Für den Spezialfall zweier gleichstarker Wellen (a = b) erhält man
und aus (4.12.8)
A = 2 a 2 + 2 a 2 cos Φ = a √ 2 √ 1 + cos Φ = a √ 2
A = 2 a
Φ
cos
2
2 Φ
J = 2 J1 + 2 J1 cos Φ = 2 J1 · 2 cos
2
2 Φ
J = 4 J1 · cos
2
Φ
2 cos2 2
(4.12.9)
(4.12.10)
(4.12.11)
(4.12.12)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 107
PSfrag replacements
4.13 Zweistrahlinterferenzen
Die Überlagerung der Wellen
von mehreren Sendern nennt
man Interferenz. Wir betrach-
ten zwei gleichphasig schwin-
gende Sender an den Or-
d
d
ten S1 0 | 2 und S2 0 | − 2 .
Beide Sender sollen in der xy-
Ebene in alle Richtungen gleich
stark strahlen (z.B. zwei Dipole,
y
S1
S2
ϕ
r1
r2
Abb.4.13.1 Zwei Sender
deren Achsen parallel zur z-Achse sind und die vom gleichen Generator gespeist werden). Der
Gangunterschied δ der beiden Wellen im Punkt P(x|y) ist
δ = r2 − r1 = x2
+ y + d
2
− x
2
2
+ y − d
2 2
P
x
S1
ϕ
d
S2
ϕ
δ
P
P
(4.13.1)
Ist P sehr weit von den Sendern entfernt (OP ≫ d), dann ist S1P ungefähr parallel zu S2P und
es gilt δ = d · sin ϕ (4.13.2)
Zeige zur Übung, dass (4.13.2) mit Hilfe der linearen Näherung aus (4.13.1) folgt!
Die aus den beiden Teilwellen resultierende Welle hat maximale Intensität, wenn zwei Wellen-
berge zusammentreffen, d.h. wenn der Gangunterschied ein(4.13.2) ganzzahliges Vielfaches der
Wellenlänge ist. Die Intensität ist dagegen minimal, wenn ein Wellenberg der einen Welle auf
ein Tal der anderen Welle trifft, d.h. wenn der Gangunterschied ein Vielfaches einer ganzen plus
einer halben Wellenlänge ist:
Maximum ν-ter Ordnung = { P | δ = ν · λ ∧ ν ∈ }
Minimum ν-ter Ordnung = { P | δ = ν + 1
2 · λ ∧ ν ∈ }
Für OP ≫ d folgt aus (4.13.2) und (4.13.3):
Maximum ν-ter Ordnung : sin ϕν = ν · λ
d
Minimum ν-ter Ordnung :
sin ϕν = ν + 1
2
· λ
d
(4.13.3)
(4.13.4)
Für OP ≫ d und gleich starke Sender sind die Intensitäten der beiden Einzelwellen am Ort
P gleich, d.h. J1(P) = J2(P). Aus (4.12.3), (4.12.12) und (4.13.2) folgt für die Intensität der
resultierenden Welle im Punkt P:
J(P) = 4 J1(P) · cos 2
π d sin ϕ
λ
(4.13.5)

g replacements
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 108
Doppelspalt
Abb.4.13.2 Doppelspalt mit Licht
Schirm
Abb.4.13.2 zeigt die Realisierung von zwei gleichpha-
sigen Sendern mit Licht. Das Auftreten eines Inten-
sitätsmaximums im geometrischen Schattenraum bei
ξ = 0 auf dem Schirm zeigt, dass sich Licht wie ei-
ne Welle ausbreitet. Damit und mit der altbekannten
Tatsache
ξ
PSfrag replacements
c =
J
1
√ ε0 µ0
ν = 2
ν = 1
ν = 0
Abb.4.13.3 Kreiswellen
ν = 1
ν = 2
(4.13.6)
ist eindeutig nachgewiesen, dass es sich bei Licht um eine elektromagnetische Welle handelt.
Abb.4.13.3 zeigt, wie man die Orte maximaler Intensität bei zwei gleichphasigen Sendern kon-
struieren kann. Jeder Kreis gibt die Lage der Maxima der Einzelwellen an.
PSfrag replacements
S1 S2
ϕ = 0
Abb.4.13.4 Intensität beim Doppelspalt (mit MAPLE erzeugt)
Abb.4.13.4 veranschaulicht die Intensitätsverteilung von zwei gleich starken Sendern, wobei die
Intensitätsabnahme, bedingt durch das 1
r 2 −Gesetz, nicht berücksichtigt ist.

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 109
4.14 Das optische Gitter
Trifft ein paralleler Lichtstrahl (ebene Welle!) auf
einen n-fach-Spalt (optisches Gitter), dann wirken
die Spalte wie n gleichphasige Sender. Für OP ≫
S1Sn sind die Geraden S1P bis SnP fast parallel
und der Gangunterschied zwischen benachbarten
Strahlen ist δ = d · sin ϕ. Der Gangunterschied des
µ−ten Strahls zum nullten Strahl ist dann
PSfrag replacements
δµ = µ d sin ϕ = µ · δ1
(4.14.1)
Die Phase des µ−ten Strahls relativ zum nullten
Strahl ist wegen (4.12.3)
oder
Φµ =
2 π δµ
λ
Φµ = µ · Φ mit Φ =
= 2 π µ d sin ϕ
λ
2 π d sin ϕ
λ
(4.14.2)
(4.14.3)
Unter unserer Voraussetzung OP ≫ S1Sn und der
weiteren Annahme gleich starker Sender lautet die
Gleichung der µ−ten Welle
Eµ = a · sin(kx − ωt + Φµ) (4.14.4)
S1
O
Sn
S1
d
d
d
d
Sn
ϕ
ϕ
ϕ
d sin ϕ
(n − 1)d sin ϕ
Abb.4.14.1 n Sender
n−1
Nach (4.11.4) hat die resultierende Welle E = Eµ die Amplitude
µ=0
sin
A = a ·
n Φ
2
sin Φ
2
Nehmen wir noch an, dass alle Sender isotrop strahlen, dann ist
die Intensität J0 der Einzelsender auf einem Kreis mit Radius r
um den Gittermittelpunkt konstant:
J0 = α · a 2
(4.14.6)
Für die Intensität J(ϕ) = α · A 2 der resultierenden Welle auf dem
Kreis gilt dann mit (4.14.5), (4.14.6) und (4.14.3)
J(ϕ) = J0 ·
n π d sin ϕ
sin2 λ
2 π d sin ϕ
sin λ
PSfrag replacements
(4.14.7)
ϕ
Abb.4.14.2
r
P
0
1
2
n − 1
(4.14.5)
Ist der Gangunterschied zwischen benachbarten Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wel-
lenlänge, dann treffen von allen Wellen die Berge aufeinander (alle Teilstrahlen gleichphasig)
J(ϕ)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 110
und es entsteht die maximale Intensität der resultierenden Welle:
Für ϕν mit δ = d sin ϕν = ν · λ ist A(ϕν) = n · a und J(ϕν) = n 2 · J0 (4.14.8)
(Hauptmaxima)
J(ϕν) = n 2 · J0 folgt auch aus (4.14.7) mit der Regel von de l’Hospital.
Für die Nullstellen von (4.14.7) findet man aus
die Bedingung
n π d sin ϕ
λ
d sin ϕν = ν
· λ mit
n
= ν · π (4.14.9)
(n − 1 Nullstellen zwischen zwei Hauptmaxima)
ν
n
/∈ (4.14.10)
ν darf kein ganzzahliges Vielfaches von n sein, da sich sonst die Bedingung für ein Hauptma-
ximum ergäbe! Da die Intensität überall größer als Null ist, muss zwischen zwei Nullstellen ein
Maximum von J(ϕ) liegen.
Mit der Substitution
geht (4.14.7) über in
mit der Gitterfunktion
Zwischen zwei Hauptmaxima gibt es n − 2 Nebenmaxima. (4.14.11)
x :=
π d sin ϕ
λ
(4.14.12)
J(x) = J0 · f(x) (4.14.13)
f(x) = sin2 nx
sin 2 x
Hauptmaxima von f bei x = ν · π, Nullstellen bei x = ν ν
· π mit
n n
16
14
12
10
y 8
6
4
2
-1 0
1 2
x
3 4
Abb.4.14.3 f(x) mit n = 4
100
80
60
y
40
20
/∈ und lim
x→νπ = n2 .
(4.14.14)
-1 0
1 2
x
3 4
Abb.4.14.4 f(x) mit n = 10
Genauere Untersuchungen der Gitterfunktion (z.B. mit MAPLE) ergeben, dass ca. 90 % der
Energie in die Hauptmaxima gestreut werden.

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 111
4.15 Beugung
Paralleles Licht fällt auf einen Spalt der
Breite a. Nach dem Huygens’schen Prin-
zip kann jeder Punkt des Spalts als Aus-
gangspunkt einer kugelförmigen Elemen-
tarwelle angesehen werden. Von jeder zu b
parallelen Strecke des Spaltes PSfraggeht replacements dann
eine zylinderförmige Elementarwelle aus
(Einhüllende aller von der Strecke ausge-
henden Kugelwellen). Wir denken uns den
Spalt in n äquidistante Sender mit dem
gegenseitigen Abstand d = a
n
zerlegt und
führen dann den Grenzübergang n → ∞
aus.
Das Huygens’sche Prinzip macht keine Aussage über
die Intensität der Elementarwellen.
d
S1
Sn
Abb.4.15.1 Spalt
J ′ = Intensität einer Elementarwelle im PSfrag Abstand replacements L
J0 = Gesamtintensität für ϕ = 0 im Abstand L
Unabhängig von n muss J0 konstant sein, da der Spalt
ja nur gedanklich in n Sender zerlegt wird! J0 ist eine
messbare Größe, J ′ nicht!
Mit (4.14.8) folgt für die Intensität einer Elementarwelle
J ′ = J0
n 2
d
d
a
Abb.4.15.2
Aus (4.14.7) und (4.15.1) folgt dann für die Gesamtintensität der n Sender
Mit
und der Definition
folgt
und
Jn(ϕ) = J0
n 2 · sin2 nx
sin 2 x
Mit der Regel von de l’Hospital folgt
0
lim =
n→∞ 0
u :=
d = a
n
mit x =
a π sin ϕ
λ
x = u
n
Jn(ϕ) = J0
n2 · sin2 u
2 u = J0 · sin
sin 2 u ·
1
n
sin u
n
n
= lim
n→∞
− 1
n 2
− u
n 2 · cos u
n
a
d π sin ϕ
λ
1
n
sin u
n
2 = lim
n→∞
1
u cos u
n
L
ϕ
= 1
u
a
b
J(0) = J0
(4.15.1)
(4.15.2)
(4.15.3)
(4.15.4)
(4.15.5)
(4.15.6)
(4.15.7)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 112
Aus (4.15.6) und (4.15.7) folgt dann für die Intensitätsverteilung am Spalt
J(ϕ) = lim
n→∞ Jn(ϕ) = J0 · sin2 u
u 2
mit u =
J(0) ist nicht definiert, aber es gilt wegen ϕ → 0 =⇒ u → 0
Damit ist endgültig
⎧
⎨
J(ϕ) =
⎩
lim
ϕ→0 J(ϕ) = J0
· lim
u→0
J0 · sin2 u
u 2 für ϕ = 0
Für die Nullstellen ϕν von J(ϕ) gilt
u = ν · π =⇒
Abb.4.15.3 entnimmt man:
J0 für ϕ = 0
a π sin ϕν
λ
2 sin u
= J0 · 1 = J0
u
mit u =
a π sin ϕ
λ
a π sin ϕ
λ
= ν · π PSfrag(4.15.11) replacements
a sin ϕν = ν · λ , ν = 0 (4.15.12)
Bei der Beugung am Spalt ist die Intensität Null,
wenn der Gangunterschied der Randstrahlen
ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.
(4.15.13)
a ϕν
ϕν
a sin ϕν
Abb.4.15.3
(4.15.8)
(4.15.9)
(4.15.10)
Randstrahlen
Zur Bestimmung der Intensitätsmaxima bei der Beugung am Spalt setzen wir die Ableitungen
der Funktion
gleich Null:
g(u) = sin2 u
u 2
Aus sin u = 0 folgen die Nullstellen, d.h. die Minima
von J. Für die Maxima ergibt sich
und damit
(4.15.14)
dg 2 sin u · (u cos u − sin u)
=
du u3 = 0 (4.15.15)
u cos u = sin u (4.15.16)
PSfrag replacements
tan u = u (4.15.17)
(Bedingung für Maxima)
Das Hauptmaximum (Maximum nullter Ordnung)
liegt bei u = 0 und somit bei ϕ = 0.
π
1
Abb.4.15.4
Abb.4.15.4 entnimmt man die recht brauchbare Näherungsbedingung für die Nebenmaxima:
uν ≈ ν + 1
· π (4.15.18)
2
tan u
π
u
u

g replacements
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 113
und damit
a · sin ϕν ≈
ν + 1
· λ (4.15.19)
2
(Bedingung für Nebenmaxima)
Für das Maximum ν−ter Ordnung folgt aus (4.15.18)
d.h. für die Höhe der Nebenmaxima gilt
J1 ≈ J0
22
J(ϕν) = Jν ≈ J0
u 2 ν
, J2 ≈ J0
62
sin uν ≈ ±1 (4.15.20)
≈
J0
1 2
ν + 2 π2 , J3 ≈ J0
128
(4.15.21)
u.s.w. (4.15.22)
Die Intensitätsformel (4.14.7) für das Gitter gilt nur, wenn die einzelnen Sender isotrop strah-
len. In Wirklichkeit ist jeder Sender ein Spalt der Breite a und J0 in (4.14.7) muss durch die
Spaltfunktion (4.15.10) ersetzt werden:
Wegen u =
35
30
25
20
15
10
5
J(x) = J0 · sin2 u
u 2 · sin2 nx
sin 2 x
0
−30
a x
d
gilt dann
mit x = π d sin ϕ
λ
J(x) = J0 · n2 d2 a2 · sin2
ax
d
x2 ·
B(x)
sin2 nx
n2 sin2 x
G(x)
−20
−10
0
und u =
mit x =
Abb.4.15.5 Gitterintensität für n = 6, a = 0,2 mm und d = 0,9 mm
10
π d sin ϕ
λ
π a sin ϕ
λ
20
30
(4.15.23)
(4.15.24)

PSfrag replacements
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 114
4.16 Das elektromagnetische Spektrum
Spalt Linse Gitter
Bogenlampe
Abb.4.16.1 Erzeugung eines Spektrums
L
Schirm
xv1
xr1
weißer Fleck
violett
rot
violett
rot
1. Ordnung
2. Ordnung
Der in Abb.4.16.1 dargestellte Versuch (das Gitter hat 570 Linien
mm , L = 2,00 m) liefert für die
Ränder des Spektrums 1. Ordnung xv1 = 47 cm und xr1 = 102 cm. Damit folgt aus
tan ϕ = x 1 mm
, d =
L 570
für die Wellenlängen des sichtbaren Lichts:
400 nm
violett
<
≈ λ < ≈ 800 nm rot
und λ = d sin ϕ (4.16.1)
Vereinigt man die Spektralfarben mit einer Linse, so entsteht wieder weißes Licht:
Weißes Licht ist ein Gemisch aller Wellenlängen des sichtbaren Lichts!
(4.16.2)
Isolierte Atome (stark verdünnte Gase) senden Licht mit diskreten Wellenlängen aus, man erhält
dann mit obiger Anordnung ein Linienspektrum. Atome mit starker Wechselwirkung zu den
Nachbaratomen (dichte Gase, Festkörper) senden ein Gemisch sehr vieler Wellenlängen aus, man
erhält ein kontinuierliches Spektrum.
Jede beschleunigte Ladung sendet
PSfrag
elektroma-
replacements
gnetische Wellen aus. Werden sehr schnelle Elek-
tronen (fast Lichtgeschwindigkeit) in Materie
abgebremst, dann senden sie eine kurzwellige
Strahlung aus, die sogenannte Röntgenstrah-
lung. Wenn elektromagnetische Strahlung auf
Materie trifft, treten komplizierte Wechselwir-
kungsprozesse mit den Atomen auf, die nur mit
Hilfe der Quantenmechanik beschrieben werden
12 V ∼
Glühdraht
+
U
(Beschleunigungsspannung)
Abb.4.16.2 Röntgenröhre
v
Strahlung
können. Im wesentlichen kann die einfallende Strahlungsenergie entweder nicht beeinflusst, ab-
sorbiert (Umwandlung in Wärme) oder gestreut (kuzzeitige Absorption und anschließendes Aus-
senden in eine beliebige Richtung) werden. Einen guten Überblick über das Wechselwirkungs-
verhalten der Strahlung mit einem bestimmten Material liefern Resonanzkurven, in denen z.B.
die absorbierte Energie in Abhängigkeit von der Wellenlänge oder Frequenz aufgetragen wird
(Beispiele siehe Abb.4.16.3).

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 115
Überblick über das elektromagnetische Spektrum
λ
m Name Erzeugung Anwendung
↑ Niederfrequenz ↑ ↑ Generatoren ↑
10 4 Mikrofone
10 3 Langwelle
10 2 Mittelwelle Rundfunk
10 1 Kurzwelle Schwingkreis
10 0 UKW
10 −1 Dezimeterwellen
10 −2
10 −3 Mikrowellen Klystron
10 −4
PSfrag replacements
Fernsehen
Radar
Herd
10−5 Infrarot Medizin
10−6 (Temperaturstrahlung)
Atome
(Wärme)
10−7 sichtbares Licht
10−8 UV
10−9 Röntgenröhre Medizin
10−10 Röntgenstrahlung (Diagnostik)
10−11 Beschleuniger
10−12 Materialprüfung
Atomkerne
10−13 Gammastrahlung
Teilchenvernichtung
10 −14 ↓ ↓ Höhenstrahlung
10 −15 ↓ ↓
absorbierte Energie
dunstige Luft
sichtbar
absorbierte Energie
Knochen
Muskeln, Haut
10 λ
m
−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−7 10−8 10−8 10−10 10−12 Infrarotfotografie
Röntgendiagnostik
Abb.4.16.3 Resonanzkurven
λ
m

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 116
4.17 Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallen
In Kristallen sind die Atome in einem re-
gelmäßigen Gitter angeordnet. Für jeden
Kristall gibt es einen Satz von drei Vektoren
mit folgenden Eigenschaften:
PSfrag replacements
• Verschiebt man den ganzen (unendlich
groß gedachten) Kristall um den Vek-
tor x = ia + j b + k c mit i, j, k ∈ ,
dann geht er in sich selbst über.
• a , b und c sind die ” kleinsten“ Vekto-
ren mit dieser Eigenschaft.
c
γ
b
β
a
Abb.4.17.1 Kristallgitter
Den durch a , b und c aufgespannten Spat nennt man eine Elementarzelle des Gitters. Die
PSfrag
Struktur
replacements
einer Elementarzelle kann viel komplizierter sein als in Abb.4.17.1.
Trifft eine elektromagnetische Welle auf den Kristall, dann schwingen die Elektronen der Atome
mit und senden ihrerseits wieder eine Welle der gleichen Frequenz (und somit auch der gleichen
Wellenlänge) aus. Die volle Theorie der Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallen wurde von
Max v. Laue entwickelt. Wir betrachten den vereinfachten Fall einer Atomanordnung wie in
Abb.4.17.1 mit β = γ = 90 ◦ , d.h. b steht senkrecht auf a und c. Weiter betrachten wir zunächst
einen Strahl, dessen Einfallsebene parallel zu der von a und c aufgespannten Ebene ist (siehe
Abb.4.17.2).
V
c
Q
α
a
P ϕ
α T
Abb.4.17.2 Interferenz am Kristallgitter
Der Gangunterschied von Strahl
2 relativ zu Strahl 1 ist
γ
s
ξ
α
V
ψ
R
ϕ
S
1
D
d
2
3
1. Netzebene
2. Netzebene
δ21 = PT · (cos α − cos ϕ) = D · (cos α − cos ϕ) (4.17.1)

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 117
Würde die einfallende Welle nur an der er-
sten Netzebene (oberste Atomschicht) reflek-
tiert, dann hätten wir als Bedingung für Inter-
ferenzmaxima
cos α − cos ϕ = µ · λ
D
PSfrag replacements
(4.17.2)
Ist λ ≫ D (es genügt schon λ > 2 D), dann ist
(4.17.2) nur für µ = 0 erfüllbar (warum?), d.h.
es gilt das Reflexionsgesetz (ϕ = α) oder der
einfallende Strahl geht geradlinig weiter. Dies
µ = 1
µ = 1
µ = 1
µ = 2
α ϕ
µ = 1
oberste Netzebene oder Reflexionsgitter
µ = 0 (ϕ = α)
µ = −1
µ = −2
Abb.4.17.3 Reflexion an nur einer Netzebene
gilt sicher für sichtbares Licht (400 nm < λ < 800 nm), da die Atomabstände in der Größenord-
nung 1 nm liegen. An der ersten Netzebene wird nur ein Teil der einfallenden Welle reflektiert.
Vom durchgehenden Strahl wird wieder ein Teil an der zweiten Netzebene reflektiert u.s.w. Für
die Maxima der reflektierten Strahlen muss dann neben (4.17.2) auch noch der Gangunterschied
zwischen den Strahlen 3 und
1 ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:
mit s = d
cos ψ
δ31 = QR + RS = s · (sin γ + sin ξ) = ν · λ (4.17.3)
, tan ψ = V
d
Mit den Additionstheoremen und (4.17.4) folgt aus (4.17.3)
, γ = α + ψ und ξ = ϕ − ψ (4.17.4)
2 d γ + ξ γ − ξ
ν · λ = · sin · cos
cos ψ 2 2 =
2 d α + ϕ α − ϕ
= · sin · cos + ψ =
cos ψ 2
2
2 d α + ϕ α − ϕ
α − ϕ
= · sin · cos · cos ψ − sin · sin ψ =
cos ψ 2
2
2
α + ϕ α − ϕ α + ϕ α − ϕ
= 2 d · sin · cos − sin · sin · tan ψ =
2 2 2 2
= d · sin α + sin ϕ + V
· (cos α − cos ϕ) =
d
(4.17.2)
µ λ V
= d · sin α + sin ϕ +
D d
Aus (4.17.2) und (4.17.2) folgen somit die Bedingungen für Maxima:
cos α − cos ϕ = µ · λ
=: A
D
sin α + sin ϕ
und
=
ν − µ · V
·
D
λ
=: B
d
(4.17.5)
(4.17.6)
Bei der Reflexion an nur einer Netzebene oder am Reflexionsgitter gibt es zu jedem Einfalls-
winkel α einen oder mehrere Reflexe, da nur die eine Gleichung (4.17.2) erfüllt sein muss. Beim
Kristall müssen beide Gleichungen (4.17.6) erfüllt sein und es gibt nur für einige Einfallswinkel
reflektierte Strahlen.

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 118
Für Reflexe mit α = ϕ (µ = 0) vereinfacht sich das
System (4.17.6) zur Formel von Bragg:
2 d sin ϕ = ν · λ (4.17.7)
PSfrag replacements
Nur für Einfallswinkel, die (4.17.7)
erfüllen ( ” Glanzwinkel“) gibt es reflek-
tierte Strahlen nach dem Reflexionsgesetz!
Die Bragg’sche Formel folgt auch direkt aus Abb.4.17.4.
Zur Lösung des Systems (4.17.6) werden beide Gleichun-
gen quadriert, addiert und mit dem Pythagoras der Tri-
gonometrie (sin 2 x + cos 2 x = 1) vereinfacht zu
Aus (4.11.1) folgt mit cos α = sin(α + π
2 )
oder
B sin α + A cos α = A2 + B 2
sin(α + Ψ) = 1
2 · A2 + B2 mit tan Ψ = A
B
1
α = arcsin
2 · A2 + B2
− arctan A
B
A = µ · λ
D
mit
und B =
2
ϕ
ϕ ϕ
Abb.4.17.4 Zur Bragg’schen Formel
ν − µ · V
·
D
λ
d
Aus (4.17.7) folgt wegen | cos α − cos ϕ| ≤ 2 die Abschätzung
2 D
−
λ
≤ µ ≤ 2 D
λ
d
ϕ
1
2
(4.17.8)
(4.17.9)
(4.17.10)
(4.17.11)
Abb.4.17.2 entnimmt man δ > 0 und damit ν ≥ 1. Aus (4.17.9) folgt A 2 + B 2 ≤ 4 und daraus
nach einiger Rechnung
µ V
D
− d ·
4
λ
2 − µ2
µ V
≤ ν ≤ + d ·
D2 D
4 µ2
−
λ2 D2 Als Beispiel betrachten wir einen KCl-Kristall mit einem kubischen Gitter mit
D = 0,315 nm , d = 0,315 nm , V = 0,
(4.17.12)
der mit Röntgenstrahlung der Wellenlänge λ = 0,15418 nm bestrahlt wird. µ liegt wegen (4.17.11)
zwischen −4 und 4. Für µ = −1 folgt aus (4.17.12) −3 ≤ ν ≤ 3 und wegen der Zusatzbedingung
ν ≥ 1 endgültig 1 ≤ ν ≤ 3. Da die Gleichungen (4.17.6) zur Herleitung von (4.17.10) qua-
driert wurden, ging Information verloren. Nicht jeder Wert von (4.17.10) muss also Lösung von
(4.17.6) sein, d.h. es ist eine Probe notwendig. Für µ = −1 und ν = 1 folgt aus (4.17.10)
B = −A = 0,48946 und α = 65,249 ◦ . Aus der ersten Gleichung von (4.17.6) folgt dann
ϕ = arccos(cos α − A) = 24,751 ◦ . Einsetzen von α und ϕ in die zweite Gleichung von (4.17.6)
liefert einen Widerspruch (sin α + sin ϕ = 1,327 = B), d.h. keine Lösung für das Paar µ = −1,
ν = 1. Ein CAS (z.B. MAPLE) kann man so programmieren, dass es für alle nach (4.17.11) und

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN UND WELLEN 119
(4.17.12) möglichen Wertepaare (µ, ν) die Winkel α und
ϕ berechnet und nur diejenigen ausgibt, für die die Pro-
be stimmt. Das Ergebnis für unseren KCl-Kristall ist in
nebenstehender Tabelle zusammengefaßt.
Zur experimentellen Ermittlung der Winkel gibt es die
Drehkristall- und die Pulvermethode.
Bei der Drehkri-
PSfrag replacements
stallmethode wird
der Detektor im-
mer um den dop-
pelten Winkel ge-
dreht wie der Kri-
stall. Damit wer-
den nur diejeni-
Röntgenquelle
α
Detektor
α
2α
Kristall
Abb.4.17.5 Drehkristallmethode
gen Reflexe, die dem Reflexionsgesetz genügen (µ = 0),
registriert. Die Einfallsebene des Strahls muss auch genau
µ ν α ϕ
α + ϕ
2
−1 2 59.74 6.610 33.18
−1 3 69.14 32.27 50.71
0 1 14.17 14.17 14.17
0 2 29.31 29.31 29.31
0 3 47.24 47.24 47.24
0 4 78.21 78.21 78.21
1 1 −24.75 65.25 20.25
1 2 6.610 59.74 33.18
1 3 32.27 69.14 50.71
2 1 −30.26 96.61 33.18
2 2 −1.200 88.80 43.80
2 3 28.24 95.62 61.93
3 1 −20.86 122.27 50.71
3 2 5.620 118.24 61.93
senkrecht zu den Netzebenen stehen.
Eine viel elegantere Methode ist die Pulvermethode (Debye und Scherrer). Der einfallende
Strahl trifft auf ein feines Kristallpulver, dessen einzelne Kristalle regellos durcheinander liegen.
Für jeden passenden Einfallswinkel gibt es einige Kristalle, die genau richtig orientiert sind.
Zu jedem Paar (α, ϕ), für das es Intensitätsmaxima gibt, entstehen somit reflektierte Strahlen,
die einen Kegelmantel mit dem Auftreffpunkt als Spitze bilden und einen Film schwärzen. Der
Radius der Filmkammer wird meistens so gewählt, dass der halbe Ablenkwinkel direkt in der
Einheit mm abgelesen werden kann (1 ◦ = 1 mm).
PSfrag replacements
α+ϕ
2
50 60 70 80 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50
E
E
r
A
Filmkammer
Abb.4.17.6 Debye-Scherrer-Aufnahme (Pulvermethode)
α
A
Aufnahme mit KCl
ϕ
α + ϕ = Ablenkwinkel
α + ϕ

Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Messung linearer Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Wiederholung Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Der Teilchenbaukasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Ladung und Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Die Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Das Ohm’sche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Elektrostatik 13
2.1 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Das Coulombsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Das Feld von Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Der Gauß’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Arbeit im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Das Potential des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Gegenüberstellung von Elektrostatik und Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Zusammenhänge zwischen E, ϕ und ϱ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.10 Die Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11 Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.11.1 Berechnung der Geschwindigkeit in einem beliebigen Feld . . . . . . . . . 38
2.11.2 Bewegung im homogenen Feld (vollständige Lösung) . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Die Elementarladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Elektrodynamik 43
3.1 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Wiederholung Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Der magnetische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Die Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Die Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Gerader Leiter, v ⊥ Leiter und B ⊥ Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3 Bewegung einer Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
120

INHALTSVERZEICHNIS 121
3.5 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Wirbelfelder und Wirbelströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.8 Bewegung in kombinierten elektrischen und magnetischen Feldern . . . . . . . . . 58
3.8.1 Der Massenspektrograf nach Thomson (1907) . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8.2 Das Wienfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8.3 Das Zyklotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Das Ampèrsche Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.10 Berechnung von Magnetfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.10.1 Die langgestreckte Spule (Solenoid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.10.2 Die Ringspule (Toroid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.10.3 Das Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilung . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11 Induktivität und magnetische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.12 Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12.1 Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12.2 Ohmsche Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12.3 Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.12.4 Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.12.5 Maschenregel und Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.13 Die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen 74
4.1 Wechselströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Ideale Kapazität (kein Ohm’scher Widerstand) . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2 Reale Kapazität (mit Ohm’schem Widerstand) . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.3 Ideale Spule (kein Ohm’scher Widerstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.4 Reale Spule (mit Ohm’schem Widerstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Der elektrische Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.1 Der ideale Schwingkreis (kein Ohm’scher Widerstand) . . . . . . . . . . . 79
4.3.2 Der reale Schwingkreis (R = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 Die Dreipunktschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.1 Die fortlaufende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6.2 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.7 Wellen auf Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7.1 Die Oszillatorkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7.2 Das Paralleldrahtsystem (Lechersystem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7.3 Einseitig unendliches Lechersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7.4 Endliches Lechersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7.5 Das Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.7.6 Wellen auf geraden Leitern - der Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.8 Elektromagnetische Wellen im Vakuum oder Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . 96

INHALTSVERZEICHNIS 122
4.8.1 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.8.2 Energietransport mit elektromagnetischen Wellen . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.10 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10.1 Polarisation mit Polfiltern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10.2 Polarisation durch Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.11 Summen von Sinusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.12 Überlagerung von zwei gleichfrequenten Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.13 Zweistrahlinterferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.14 Das optische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.15 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.16 Das elektromagnetische Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.17 Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Index
Äquipotentialfläche, 29
Überführungsarbeit, 25
Ableitung
partielle, 3
Amplitude, 80
Ampèredefinition, 65
Antiteilchen, 5
Atome, 5
Atomkern, 5
Atommasse, relative, 41
Atomuhr, 1
Ausgleichsgerade, 4
Basisgröße, 1
Beugung, 113
Bewegungsinduktion, 47
Biot-Savart, Gesetz von, 67
Bragg, 120
Brechung, 103
Brewster-Winkel, 106
Coulomb, 7
Coulomb’sches Gesetz, 18
Debye-Scherrer, 121
Dielektrikum, 96
Dielektrizitätskonstante, 18
Dipol, 96
Drehkristallmethode, 121
Dreipunktschaltung, 86
Driftgeschwindigkeit, 8, 9
Durchflutungsgesetz, Ampèr’sches, 64
Effektivwerte, 75
Eigenfrequenz, 1, 82
Einheitensystem, 1
Einschwingzeit, 84
Elektrolyse, 41
123
Elektron, 5
Elektronenmasse, 37, 57
Elektronenradius, 37
Elektronenvolt, 38
Elektrostatik, 15, 20
Elementarladung, 5, 42, 57
Elementarwelle, 113
Elementarwellen, 103
Elementarzelle, 118
Energie
des elektrischen Feldes, 36
des Magnetfeldes, 69
potentielle, 25
Energiedichte, 36, 69
Energietransport, 100
Fadenstrahlrohr, 56
Farad, 34
Faraday-Käfig, 16
Faradaykonstante, 41
Fehler
Feld
absoluter, 3
mittlerer, 3
prozentualer, 3
relativer, 3
homogenes, 16, 26
Feldenergie, 37
Feldkonstante
elektrische, 18
magnetische, 18, 65
Feldlinie
elektrische, 15
magnetische, 43
Feldstärke
Fluss
elektrische, 14

INDEX 124
elektrischer, 20
magnetischer, 45
Flussdichte, magnetische, 44
Frequenz, 1, 81
Galvanometer, ballistisches, 50
Ganghöhe, 56
Gangungenauigkeit, 1
Gangunterschied, 108, 111, 118
Gauß, 3, 4
Gauß’scher Satz, 22, 45
Gitter, 115
Gitter, optisches, 111
Gitterfunktion, 112
Glanzwinkel, 120
Halbleiter, 11
Hallsonde, 51
Hallspannung, 51
Hauptmaxima, 112
Helmholtz-Spulen, 56
Henry, 68
Huygens’sches Prinzip, 102
Impedanz, 76
Induktionsgesetz, 52
Induktionsspannung, 47
Induktionsstrom, 49
Induktivität, 68, 71, 78
Influenzladungen, 17
Intensität, 101
Interferenz, 109
Kapazität, 33, 70
Kilomol, 41
Kilowattstunde, 9
Kirchhoff, 7, 71
Klemmspannung, 70
Knotenregel, 71
Koaxialkabel, 96
Kondensator, 33, 70, 76
Konstantan, 11
Korkenzieherregel, 43
Kraftflussdichte, 44
Kraftstoß, 50
Kreisbahn, 55
Kreisfrequenz, 80
Kreuzprodukt, 44
Kristallgitter, 118
Kugelkondensator, 35
Ladung, 5
Ladung, spezifische, 56
Laplace-Gleichung, 32
Laue, Max von, 118
Lechersystem, 92
Leistung, 8
Leistung, mittlere, 74
Leiter, 12
Leiterschleife, 48
Lenz’sche Regel, 49
Lepton, 5
Licht, sichtbares, 116
Lichtgeschwindigkeit, 2, 18, 94
Lichtjahr, 2
Linienspektrum, 116
Lorentzkraft, 46
Länge, 2
Magnetfeld, 43
magnetischer Monopol, 45
Magnetpole, 43
Maschenregel, 71
Masse, 2
Masse, molare, 41
Masseneinheit, atomare, 41
Massenspektrograf, 58
Maxwell, 72
Maxwellgleichungen, 72
Messreihe, 2
Meter, 2
Milikan, 42
Mittelwert, 2
Moleküle, 5
Myon, 5
Netzebene, 119
Netzwerk, 70
Neutrino, 5
Neutron, 5

INDEX 125
Ohm, 11
Ohm’scher Widerstand, 70
Ohm’sches Gesetz, 11
Oszillatorkette, 92
Paralleldrahtsystem, 92
partielle Ableitung, 32
Phase, 80
Phasendifferenz, 108
Phasenverschiebung, 76
Photon, 5
Plattenkondensator, 33
Poisson-Gleichung, 32
Polardiagramm, 101
Polarisation, 105
Polfilter, 105
Potential, 27
Proton, 5
Pulvermethode, 121
Punktladung, 20
Quarks, 5
Randstrahlen, 114
RC-Schaltung, 77
Rechte-Hand-Regel, 43
Rechtssystem, 43
Reflexion, 104
Reflexionsgitter, 119
Resonanzfrequenz, 82, 85, 90
Resonanzkurve, 84, 91, 116
RL-Schaltung, 79
Rogowski-Spirale, 63
Röntgenstrahlung, 116, 120
Röntgenstrukturanalyse, 41
Rückkopplung, 86
Scheitelspannung, 74
Scheitelstrom, 74
Schwingkreis
idealer, 80
realer, 82
Schwingungsdauer, 81
Schwingungsgleichung, 55, 80
Schwingungsüberlagerung, 107
Sekunde, 1
Senderfunktion, 88
Solenoid, 66
Spannung, 8, 28, 47
Spannungsabfall, 71
Spannungsmesser, magnetischer, 63
Spannungsstoß, 50
Spannungsstoß, 63
Spektrum, 85, 116
spezifischer Widerstand, 10
Spiegelgalvanometer, 51
Spule, 78
Stoffmenge, 41
Stromquelle, 70
Stromstärke, 7
Stromwaage, 50
Superposition, 13
Superpositionsprinzip, 19
Tauon, 5
Tesla, 44
Toroid, 66
Totalreflexion, 104
Umlaufspannung, 53
Urspannung, 70
Vektorprodukt, 44
Verstärkung, 86
Volt, 8
Weber, 45
Wechselstrom, 74
Wechselstromwiderstand, 76
Welle
ebene, 98
elektromagnetische, 98
fortlaufende, 87
stehende, 87
Wellenfront, 102
Wellengleichung, 73, 87, 93
Wellenlänge, 89
Wellenzahl, 88
Widerstand, 10
Wienfilter, 60

INDEX 126
Wirbelfeld, elektrisches, 53
Zeigerdiagramm, 76
Zeit, 1
Zentralfeld, 22
Zentripetalkraft, 55
Zyklotron, 62
Zählpfeil, 70