LK Physik 13 Kernphysik - am Werdenfels-Gymnasium

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KAPITEL 3. STATISTISCHE BESCHREIBUNG DES RADIOAKTIVEN ZERFALLS 23 bzw. ∆N = −λ · N ∆t (3.2.9) Im Grenzübergang ∆t → 0 erhalten wir daraus die Differentialgleichung des Zerfalls: dN dt = −λ · N (3.2.10) Zur Lösung dieser Gleichung formen wir um (Trennung der Variablen) und integrieren beide Seiten woraus dN N = −λ dt (3.2.11) ln N = −λ t + C ′ −λ t+C′ N(t) = e = e C′ · e −λ t −λ t = C · e folgt. Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Anfangsbedingung N(0) = C · e 0 = N0 PSfrag replacements zu C = N0. Das Zerfallsgesetz lautet also endgültig Strenggenommen ist das Zerfallsgesetz eine Gleichung für den Mittelwert von N, die aber für große N ausgezeichnet mit der Realität übereinstimmt. Für kleine N machen sich die statistischen Schwankun- gen bemerkbar (siehe Abb.3.2.1). Für die durch N t 1 2 = 1 · N0 (3.2.16) 2 definierte Halbwertszeit t 1 2 aus (3.2.15) t 1 2 = ln 2 λ erhält man (3.2.17) −λ t N(t) = N0 · e N0 90 80 70 60 N0 2 40 30 20 10 0 N 1 2 3 4 5 6 7 8 t 1 2 t s Abb.3.2.1 Ideales und reales N(t) (3.2.12) (3.2.<strong>13</strong>) (3.2.14) (3.2.15)
KAPITEL 3. STATISTISCHE BESCHREIBUNG DES RADIOAKTIVEN ZERFALLS 24 Die Aktivität A einer radioaktiven Probe ist die Zahl der Zerfälle pro Zeit. Aus (3.2.10) folgt Mit A0 = λ · N0 folgt aus (3.2.15) A(t) = dN dt = −dN dt −λ t A(t) = A0 · e Die Einheit der Aktivität A ist das schon bekannte 1 Bequerel = 1 Bq = 1 1 s = λ · N(t) (3.2.18) (3.2.19) (3.2.20) |∆N| ist die Zahl der Zerfälle im Zeitintervall [t , t + ∆t]. Aus (3.2.10), (3.2.18) oder direkt aus (3.2.8) folgt für kleine ∆t die Näherung |∆N| ≈ N(t) · λ · ∆t für ∆t ≪ t 1 2 Der exakte Wert für ∆N berechnet sich wie folgt aus (3.2.15) |∆N| = N(t) − N(t + ∆t) = N0 · e −λt − e −λ(t+∆t) = = N0 · e −λ t −λ · 1 − e ∆t −λ = N(t) · 1 − e ∆t Aus (3.2.22) folgt oder in anderer Form |∆N| = N(t) · −λ 1 − e ∆t −λ ∆t N(t + ∆t) = N(t) · e −λ (t−t1) N(t) = N(t1) · e (3.2.21) (3.2.22) (3.2.23) (3.2.24) (3.2.25) Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Kern im Zeitintervall [t , t + ∆t] zerfällt, ist nach (3.2.1) ungefähr λ · ∆t. Wir können jetzt wegen (3.2.23) den exakten Wert angeben: p = P (∆t) = |∆N| N Als Beispiel betrachten wir 1 kg 235 U mit t 1 2 N = = 1 − e−λ ∆t = 4, 51 · 10 9 a = 1, 42 · 10 17 s. Mit 1 kg 238 u = 2, 53 · 1024 und ln 2 −18 1 λ = = 4, 87 · 10 t 1 s 2 folgt für ∆t = 1 s mit der Näherung (3.2.21): |∆N| ≈ λ · N · ∆t = 1, 23 · 10 7 . (3.2.26) Die exakte Formel (3.2.23) liefert wegen der Ungenauigkeit des Taschenrechners den Wert |∆N| = 0 !! Wieder ein Beispiel für die Wichtigkeit der linearen Näherung!
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