Löser 2007/1 - OSZ Konstruktionsbautechnik

oszkt

Löser 2007/1 - OSZ Konstruktionsbautechnik

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Bildung, Wissenschaft und

Forschung

HRP 2007

-BOS-

Anlage:

Erwartungshorizont zum

Vorschlag 1 der zentralen

schriftlichen Prüfungsaufgaben der

Hochschulreifeprüfung im Fach

Mathematik.

Beschreibung der erwarteten Leistungen und ihre Bewertung bezüglich des entsprechenden

Anforderungsbereichs.

Teilaufgabe

1.1

1.2

1.3

Aufgabe 1

Erwartete Teilleistung

Graphische Darstellung der Funktion B1:

Wertetabelle mit den gerundeten Funktionswerten:

t in a 0 1 3 6 10 15

B1(t)

x100000

10 13,63 19,02 23,98 27,29 29

Es gilt:

B(10) 1 − B(0) 1 27,29 −10

= ≈1,

73 .

10 10

Ergebnis:

Es wird mit einem durchschnittlichen

Bevölkerungswachstum von 173 000 Einwohnern

pro Jahr gerechnet.

Es gilt:

B(1) 1 −B(0) 1 13,63−10 = ≈ 0,36 .

B(0) 10

1

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 1 von 10

Soll

I II III

Ergebnis:

Im ersten Jahr rechnet man mit einem Wachstum

von etwa 36%.

Zwischensumme (Aufgabe 1): 12 12 - -

6

3

3

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Erwartete Teilleistung

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 2 von 10

Soll

I II III

Übertrag (Aufgabe 1): 12 12 - -

1.4 Es gilt:

B1(t) = 20

−0,2t

⇔ 30 −20⋅ e = 20

−0,2t

1

⇔ e =

2

⇔− 0,2t =−ln2

⇔ t = 5⋅ln2 ⇔ t ≈ 3,47 .

Ergebnis:

Nach etwa 3,47 Jahren ist die Einwohnerzahl auf

etwa 2 000 000 angewachsen.

1.5 Es gilt:

B1(t + 1) − B1(t) < 1

− 0,2(t + 1) −0,2t

⇔ 30 −20⋅e −(30 −20 ⋅ e ) < 1

1.6.1

⇔ ⋅ −

−0,2t −0,2

20 e (1 e ) < 1

0,2t

e −

< −

− 0,2

1

20(1 e )

⇔ t > −

− − 0,2

1 1

ln

0,2 20(1 e )

⇔ t >≈ 6, 44.

Ergebnis:

Nach etwa 6, 44 Jahren nimmt die Bevölkerung um

weniger als 100 000 Einwohner pro Jahr zu.

−0,2t

B'(t) 1 = 4e ⋅

B'(t) 1 = B'(t) 2

−0,2t

4⋅ e = 2,2

ln(0,55)

t = ≈ 2,99.

−0,2

Ergebnis: Nach etwa 2, 99 Jahren haben beide

Regionen die gleiche Wachstumsgeschwindigkeit.

1.6.2 Berechnung der Differenzfunktion:

−0,2t

d(t) = B 1(t) − B 2(t)

= 30−20⋅e − (2,2t + 5,29)

Berechnung des Mittelwertes dMittel

t2

1

dMittel = d(t)dt

t2 − t ∫

1 t1

10

1

−0,2t

= ⋅ (30 20e (2,2t 5,29))dt

10 ∫ − − +

0

10

1

−0,2t

= ⋅ (24,71 2,2t 20e )dt

10 ∫ − −

0

1

10

2 −0,2t

= ⋅⎡24,71t 1,1t 100e ⎤

10 ⎣

− +

⎦0

≈ 5,06

Ergebnis: In den ersten 10 Jahren beträgt die

durchschnittliche Differenz der Einwohnerzahlen

beider Regionen etwa 506 000.

6

6

4

3 3

Summe (Aufgabe 1): 34 12 19 3

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.2.1

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Aufgabe 2

Erwartete Teilleistung

0,99

0,003

V

0,01

0,997 0,02

V

0,98

Gefragt ist nach

P T = P V∩ T + P V∩T = 0,00297 + 0,01994

= 0,02291.

+ + +

( ) ( ) ( )

+

T


T

+

T


T

0,00297

0,00003

0,01994

0,97706

2,291 % der Inselbevölkerung haben ein positives

Testergebnis.

Gefragt ist nach:

+

P( V∩T ) 0,00297

P + ( V)

= = ≈ 0,1296 .

T

+

P T 0,02291

( )

Die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich infiziert zu sein,

wenn man positiv getestet worden ist, beträgt nur

knapp 13 %.

Der Grund für dieses auf den ersten Blick

verblüffende Ergebnis liegt darin, dass die

Infektionsrate

lediglich 0,3 % beträgt. Betrüge sie statt 0,3 %

30 %, so gälte

+

P( V∩T ) 0,3 ⋅ 0,99

P + ( V)

= =

.

T

+

P T 0,3⋅ 0,99+ 0,7⋅0,02 ( )

≈ 0,9550.

Mit X werde die Anzahl der positiv Getesteten

bezeichnet. Dann ist nach dem Erwartungswert

E( X ) gefragt.

Es gilt E( X) = n⋅ p = 350 ⋅0,02291 ≈ 8 .

Man muss daher im Durchschnitt mit acht positiv

Getesteten rechnen.

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 3 von 10

Soll

I II III

Zwischensumme (Aufgabe 2): 23 9 11 3

5

4

7

4

3

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

2.2.2

2.3

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Erwartete Teilleistung

Gefragt ist nach

⎛100⎞ P(X ≤ 1) = ⎜ ⎟⋅0,02291

⋅0,97709

⎝ 0 ⎠

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 4 von 10

Soll

I II III

Übertrag (Aufgabe 2): 23 9 11 3

0 100

100 1 99

0,02291 0,97709 0,32947.

⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⋅

⋅ ≈

⎝ 1 ⎠

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person positiv

getestet wird, beträgt 32,9%.

Mit Y werde die Anzahl der infizierten Personen

bezeichnet. Gefragt ist nach

⎛3⎞ ⎛17⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟

1 5

P( Y = 1)

=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛20⎞ ⎜ ⎟

⎝ 6 ⎠

3 ⋅ 6188

= ≈ 0,4789.

38760

Die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer Gruppe von

6 Personen genau eine infiziert ist, beträgt etwa

48%.

Summe (Aufgabe 2): 33 14 16 3

5

5

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

3.1

3.2

3.3

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Aufgabe 3

Lösung des LGS

Erwartete Teilleistung

I 2 -1 2 2

II 0 2 8 12

III 0 2(2a-3)+2 0 0

2(2a-3)y + 2y = 0; 4y(a-1) = 0;

Ergebnis:

für a1 = 0 sind: x = − 1

3

, y = 0, z =

2 2 ;

⎧ 1 3⎫

L 1 = ⎨− ,0, ⎬

⎩ 2 2 ⎭

;

für a2 = 1 gilt 0 = 0; mit z = t: y= 6 – 4t, x = 4 – 3t ist

L = 4 −3t,6 −4t,t ; t ∈R.

2

{ }

Geometrische Bedeutung der Lösungsmenge:

E1, E2 und E3 schneiden sich für a1 = 0 im Punkt

⎛ 1 3⎞

S ⎜−/0/ ⎟

⎝ 2 2 ⎠

;

für a2 = 1 kann die Schnittmenge als Schnittgerade

aufgefasst werden:

gs:

⎛4−3t⎞ ⎛4⎞ ⎛−3⎞ � ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x = ⎜6− 4t⎟ = ⎜6⎟+ t⎜−4⎟. ⎜ t ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Schnittwinkel α von E1 und E2

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞

� ⎜ ⎟ � ⎜ ⎟

Normalenvektoren: n1 = ⎜− 1⎟undn 2=

⎜−3⎟; ⎜ 2 ⎟ ⎜−6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� �

n1⋅ n2 4+ 3−12 0

cosα= � � = ≈0,238; α≈76,2

.

n ⋅ n 3⋅7 1 2

Ergebnis:

Die Ebenen E1 und E2 schneiden sich unter einem

Winkel von α ≈ 76,2 0 .

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 5 von 10

Soll

I II III

Zwischensumme (Aufgabe 3): 18 10 8 -

10

4

4

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Erwartete Teilleistung

3.4 Bestimmung des Parameters a:

Der Winkel zwischen E1 und E3 beträgt 90 0 .

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞

� ⎜ ⎟ � ⎜ ⎟

n1 = − 1 ;n3 = −a

Mit ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ 2 ⎟ ⎜ 5 ⎟

gilt

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.5

3.5.1

3.5.2

⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜−1⎟⋅⎜− a⎟ = 0 ⇔ 6+ a+ 10 = 0 ⇔ a = −16.

⎜ 2 ⎟ ⎜ 5 ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ergebnis:

Für a = -16 stehen die Ebenen E1 und E3

aufeinander senkrecht.

Hessesche Normalformen von E1 und E2:

⎡ ⎛1⎞⎤ ⎛ 2 ⎞

⎢�⎜ ⎟⎥ 1 ⎜ ⎟

E 1 : ⎢x−⎜2⎟⎥⋅ − 1 = 0und

3

⎜ ⎟

⎢ ⎜1⎟⎥ ⎜ 2 ⎟

⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠

⎡ ⎛1⎞⎤ ⎛ 2 ⎞

⎢�⎜ ⎟⎥ 1 ⎜ ⎟

E 2 : ⎢x−⎜2⎟⎥⋅ − 3 = 0.

7

⎜ ⎟

⎢ ⎜1⎟⎥ ⎜−6⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 6 von 10

Soll

I II III

Übertrag (Aufgabe 3): 18 10 8 -

Abstand d des Punktes P(0/22/0) von E1 und E2

⎡⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞⎤ ⎛ 2 ⎞

⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 1 ⎜ ⎟

E 1 :d = ⎢⎜22⎟−⎜2⎟⎥⋅ − 1 = −8

3

⎜ ⎟

⎢⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟⎥ ⎜ 2 ⎟

⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠

⎡⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞⎤ ⎛ 2 ⎞

⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 1 ⎜ ⎟

E 2 :d= ⎢⎜22⎟−⎜2⎟⎥⋅ − 3 = −8

7

⎜ ⎟ .

⎢⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟⎥ ⎜−6⎟ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠

Ergebnis:

Der Punkt P ist mit d = 8 LE gleichweit von

E1 und E2 entfernt.

Ansatz zur Ermittlung der Ebene E4:

Die HNF der Ebenen E1 und E2 müssen

gleichgesetzt werden.

Ergebnis:

Der Ansatz zur Ermittlung der Ebene E4 lautet:

⎡ ⎛1⎞⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎡ ⎛1⎞⎤ ⎛ 2 ⎞

⎢� ⎜ ⎟⎥ 1⎜ ⎟ ⎢� ⎜ ⎟⎥ 1⎜


⎢x−⎜2⎟⎥⋅ − 1 = x− 2 ⋅ −3

3

⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎥ 7

⎜ ⎟.

⎢ ⎜1⎟⎥ ⎜ 2 ⎟ ⎢ ⎜1⎟⎥ ⎜−6⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠

Summe (Aufgabe 3): 33 13 17 3

3

4

5

3

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

4.1.1

4.1.2

4.1.3

4.1.4

4.2

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Aufgabe 4

D fmax = R \ {1}.

Erwartete Teilleistung

Bestimmung der Polstelle:

2

2

Aus 2x ≠ 0 und x − 2x+ 1= 0 für x = 1 folgt,

dass x = 1 eine Polstelle und keine hebbare

Definitionslücke ist.

x = 1 ist die einzige Nullstelle des Nenners.

lim f(x)

lim f(x) =+∞

Aus

+

x→1 =+∞ und


x→1 folgt x = 1 ist eine Polstelle ohne

Vorzeichenwechsel.

Bestimmung der Asymptoten:

4x − 2

Aus f(x) = 2+ 2

x − 2x+ 1

folgt:

a(x) = 2 ist eine waagrechte Asymptote.

Eine senkrechte Asymptote ist g : x = 1.

Bestimmung der Extremalpunkte:

Hinreichendes Kriterium zum Nachweis von

Extremalpunkten kennen und anwenden können.

−4x

f'(x) = (siehe Aufgabenstellung).

3

(x −1)

8x + 4

f ''(x) = (siehe Aufgabenstellung).

4

(x −1)

Aus f'(x) = 0⇔ xE = 0 und f ’’(0) > 0 und f (0) = 0

folgt:

Tiefpunkt bei PMin(0|0).

Graphische Darstellung der Funktion f :

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 7 von 10

Soll

I II III

Zwischensumme (Aufgabe 4):21 14 7 -

1

4

4

5

7

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

4.2

4.3

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Erwartete Teilleistung

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 8 von 10

Soll

I II III

Übertrag (Aufgabe 4): 21 14 7 -

Wertetabelle mit den gerundeten Funktionswerten:

x -6 -4 -3 -2 0 2

f(x) 1,47 1,28 1,12 0,89 0 8

x 3 4 5 6 8

f(x) 4,5 3,56 3,12 2,88 2,61

1

HB: A(x,y) = x ⋅ y

2

2

2x

NB: y = 2

x − 2x+ 1

2

1 2x

ZF: A(x) = x ⋅ 2

2 x − 2x+ 1

2

1 2x 1

EWB: A'(x) = ⋅ + x⋅f'(x) 2

2 x − 2x+ 1 2

2

1 2x 1 −4x

= ⋅ + x ⋅

2 3

2 x − 2x+ 1 2 (x−1) 2

(x − 3)x

A'(x) = 0⇔ = 0⇔ x = 3 oder x = 0.

3

(x −1)

VZW: A'(3− h) < 0 und A'(3+ h) > 0

für alle h∈( 0, ε ) .

Wegen des VZW der 1. Ableitungsfunktion von „-”

nach „+” befindet sich an der Stelle x = 3 ein lokales

Minimum.

Daraus folgt für y: y = f (3) = 4, 5.

Ergebnis:

Der minimale Flächeninhalt beträgt: 6, 75FE.

An Stelle des VZW von A’ kann auch

A’’(3) > 0 überprüft werden.

Summe (Aufgabe 4): 33 14 16 3

9

3

Ist

Teilgutachten


Teilaufgabe

5.1

5.2

5.3

5.4

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Aufgabe 5

Erwartete Teilleistung

Bestimmung der Extrempunkte:

hinreichendes Kriterium für Extrempunkte kennen

und anwenden können

2

f'(x) =− 2+ 6sinx⋅ cosxund

f ''(x) = 6 − 12 sin x .

Aus

2

f'(x) E = 0⇔ 6sinxEcosxE = 2 ⇔ sin(2x E)

=

3

folgt xE1 = 0,36 + k π und xE2 = 1,21+ kπ mit k ∈Z

Aus f ''(0,36 + k π ) = 4,5 >0 und

f ''(1,21 + k π ) = − 4,5


Teilaufgabe

5.5.1

5.5.2

Vorschlag 1: Erwartungshorizont für die zentrale schriftliche HRP 2007 im Fach Mathematik in der BOS

Erwartete Teilleistung

F ist Stammfunktion von f, denn

3 3 2 3 2

F'(x) = 1− 2x + + sin x − cos x =

2 2 2

2

1− 2x+ 3sin x = f(x).

BE im AFB

Im Auftrag der Senatsschulverwaltung (11.03.2007) Seite 10 von 10

Soll

I II III

Übertrag (Aufgabe 5): 22 9 10 3

Die Geraden g und h berühren bzw. schneiden

den Graphen der Funktion f im Punkt

P( 2 π/1−2 π ) .

Berechnung der Inhalte der Teilflächen:

π

⎡3 ⎤ 3

A 1 = ∫ (f(x) − g(x))dx = ⎢ (x− sinxcosx = π

0

2


⎣ ⎦02

und

π

2 2

π

⎡ 5 5 ⎤ 5

A 2 = ∫ (g(x) − h(x))dx = ⎢− x + π x = π

0

4 2

⎥ .

⎣ ⎦04

Für das Verhältnis der beiden Flächen zueinander

gilt:

3

A

π

1 = 2 = 1: 2,62 .

A 5

2

2

π

4

π

Summe (Aufgabe 5):33 14 16 3

2

3

6

Ist

Teilgutachten

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