Das elektrische Feld

Das elektrische Feld
1. In Muskel- und Nervenzellen besteht eine elektrische Spannung quer durch die Zellmembran.
Die Größe der Spannung beträgt 90mV im Ruhezustand, die Dicke der
Membran beträgt 4 − 5nm. Berechne die Feldstärke, die über der Zellmembran
herrscht und bewerte das Ergebnis.
Lösung: E ≈ 2·10 7 V
m
, die Feldstärke ist größer als bei einem Blitz; die Durchschlagfeldstärke der
Membran ist sehr hoch
2. Ein durch Reibung aufgeladener Kamm trägt eine Ladung von Q = 10 −7 C. Schätze
die Feldstärke in der Umgebung des Kammes ab.
Lösung: Oberfläche = 2· Fläche des Kammes ≈ 2·(15cm · 2,5cm) ≈ 10−2m2 ⇒ σ = 10−5 C
E = 1
σ
2 ε0
= 6·105 V
m
m 2 ⇒
Der Wert ist plausibel, denn in der Nähe eines geladenen Kammes knistert es, d. h. die
Durchschlagsfeldstärke von Luft wird überschritten.
3. Zeichne für folgende Ladungensverteilungen die Feldlinien ein.
Quelle: Elektrodynamik Sommer 2003, Prof. Thomas Müller, Universität Karlsruhe,
Blatt 1
1

Lösung: .
Lösung: 3
Lösung:
4. Ein Öltröpfchen der Masse 3·10 −11 g schwebt in einem Kondensator mit vertikalen
Feldlinien. Die Kondensatorspannung beträgt 7400V, der Plattenabstand 12mm.
Wie viele Elementarladungen sind auf dem Tröpfchen?
5. Finde im WWW fünf Seiten über Elmsfeuer. Davon sollten drei möglichst gut und
zwei möglichst schlecht sein. Nenne die Gründe für deine Bewertung.
6. Zeichne die Feldlinienbilder folgender Ladungsverteilungen (Leiter sind grau). Achte
auf Symmetrien.
2

Lösung:
(a) (b)
(c)
(a) (b)
(c)
+
−
−
+ + + + + + + +
(d)
(d)
− −
+ + + + + +
7. E1(r), ...., En(r) seien die Feldstärken der Punktladungen Q1, ....,Qn am Ort r.
Beweise das Superpositionsprinzip für Feldstärken:
E(r) =
n
Eν(r)
Lösung: Das Superpositionsprinzip gilt für Kräfte und damit auch für Feldstärken (q ist eine Testladung
am Ort r und F(r) ist die Kraft auf q):
E(r) = F(r)
q
= 1
q ·
ν=1
n
Fν(r) =
ν=1
n
ν=1
Fν(r)
q =
n
Eν(r)
8. Welche Beschleunigung erhält eine kleine Alukugel der Masse m = 0,50g mit der
Ladung Q = 2,0·10 −9 4 N
C in einem elektrischen Feld der Feldstärke E = 4,0·10 C ?
3
ν=1

Lösung: a = F QE
=
m m
= 0,16 m
s 2
9. Eine Kugel der Masse m = 0,100g trägt die Ladung Q = 5,00 ·10 −8 C und hängt
an einem l = 2,00m langen Faden. Die horizontale Auslenkung der Kugel in einem
waagrechten und homogenen elektrischen Feld der Stärke E beträgt x = 2,50cm.
Berechne E!
Lösung: Die Kugel ist in Ruhe, d.h. die Gesamtkraft
auf die Kugel ist null ( FF ist die Fadenkraft):
Fe + G+ FF = 0
Damitist− FF parallelzumFadenundaus
der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt
Fe
G
E =
= QE
mg
= x
y =
xmg
x
√ l 2 −x 2
Q √ l2 N
= 245
−x2 C
4 V
10. (a) Ein elektrisches Feld mit dem Betrag E = 3,00·10 zeigt in die Richtung von
m
P(−2,00m 3,00m 1,00m) nach Q(−5,00m −3,00m 4,00m). Berechne E.
2 km
(b) Ein Flugzeug startet mit v = 2,30 · 10 h
genau nach NNO mit einem Steigungswinkel
von ϕ = 22,5◦ gegen den Boden. Berechne v.
Lösung: (a) Der Einheitsvektor in Feldrichtung ist e =
E = E ·e = 5000 √ 6 N
C
4
y
ϕ
−→
PQ 1
=
|PQ| 3 √ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−3 √ −1
⎝−6⎠
6
= ⎝−2⎠
6 6
3 1
FF
⎛ ⎞ ⎛
−1 −1,22·10
⎝−2⎠
= ⎝
1
4⎞
⎠ N
C
−2,45·10 4
1,22·10 4
x
l
G
ϕ
Fe
− FF

(b) e ist ein Einheitsvektor, der in die Richtung
von v zeigt. Mit ϕ = 22,5◦ und |e| =
1 folgt aus der Abbildung AB = cosϕ und
damit ⎛
sinϕcosϕ
e = ⎝ cos2 ⎞
ϕ ⎠
sinϕ
Probe:
e = |e| =
=
sin 2 ϕcos 2 ϕ+cos 4 ϕ+sin 2 ϕ =
cos2ϕ(sin 2 ϕ+cos 2 ϕ) +sin2 ϕ = 1 x
1
z
zr
oben
⎛
sinϕcosϕ
v = v ·e = v ⎝ cos2 ⎞ ⎛ ⎞
81,3
ϕ ⎠ = ⎝196⎠
sinϕ 88,0
km
h
yr
22,5
A B
◦
22,5◦ 22,5◦ xr
r
O
y
NNO
AB = |e|·cosϕ = cosϕ
11. Informationstheoretisches Modell der elektrischen Wechselwirkung
In der Zeit ∆t sendet jede Elementarladung
∆n = α∆t Informationspakete (IPAs)
gleichmäßig in alle Richtungen verteilt aus.
Jedes Teilchen der Ladung q und der Masse
m hat pro Elementarladung die ” Antennenfläche“
A0. Jedes IPA, das von einer Ladung
Qausgesandt wurdeundaufdiegesamteAntennenfläche
A des Teilchens trifft, übermittelt
die Information (me ist die Elektronenmasse):
” Erhöhe deine Geschwindigkeit in meine Bewegungsrichtung um v0me
, wenn
m
du gleichnamig geladen bist wie mein Absender, sonst in die Gegenrichtung.“
(a) Beantworte zunächst folgende Fragen
Q
r
q
N
A m
• Wie viele IPAs ∆nQ sendet ein Teilchen A mit der Ladung Q in der Zeit
∆t aus?
• Welche Antennenfläche A hat ein Teilchen B der Ladung q?
• Wie viele IPAs ∆nq treffen auf Teilchen B, wenn AB = r ist?
• Welche Geschwindigkeitsänderung ∆v erfährt B in der Zeit ∆t?
und zeige dann, dass unser Modell das Coulombgesetz erklärt. Beweise dabei
den Zusammenhang A0αv0meε0 = e 2 .
(b) Wir nehmen an, dass eine Elementarladung pro Planckzeit tp = 1,35·10 −43 s
ein IPA aussendet. Wie groß ist dann α? Für A0 wählen wir die ” klassische
Elektronenfläche“ A0 = 2,5·10 −29 m 2 . Berechne v0.
5

(c) Welche Abweichungen vom Coulombgesetz ergeben sich mit unserem Modell
für große Entfernungen? Berechne dazu die Zahl der IPAs, die pro Sekunde
an der Wechselwirkung zweier Elektronen in der Entfernung r = 3,8 · 10 6 m
beteiligt sind. Vergleiche auch die Beschleunigungen aCoulomb und aIPA eines
der beiden Elektronen, die nach beiden Theorien zu erwarten sind.
Lösung: (a) ∆nQ = Q
e ·α∆t
A = q
e ·A0
qQA0α∆t
=
4πe2r2 qQA0αv0me∆t
=
4πme2r2 ∆nq = A
4πr2∆nQ = qA0 Qα∆t
·
4πer2 e
∆v = ∆nq · v0me
m
Kraft auf B: F = ma = m · ∆v
∆t
Coulombgesetz, wenn
ist.
(b) α = 1
tp
ε0 =
42 1
= 7,4·10
s , v0 =
e 2
A0αv0me
A0αv0me
=
4πe2 · qQ
. Das entspricht genau dem
r2 oder A0αv0 = e2
e2 m
= 1,7·10−11
meε0A0α s
meε0
(c) A = A0 =⇒ ∆nq
∆t = e2A0α 4πe2 A0α 1
= = 1,0
r2 4πr2 s
Die Wechselwirkung mit den IPAs erfolgt für große Entfernungen sprunghaft!
e 2
aCoulomb =
4πε0r2me −11 m
= 1,754·10
s2, aIPA = v0 m
= 1,724·10−11
1s s2 6