Betrag im Funktionsterm

(b) f ′
x+
(x) =
1
2 für x > 1, x = 2
−x− 1
, f
2 für x < 1
′ 3
+ (1) = 2 , f′ − (1) = −3
2
f nicht differenzierbar bei x = 1 (bei x = 2 nicht def. und damit auch nicht differenzierbar).
f ′ (x) = 0 =⇒ x = −1 2 , waagrechte Tangente bei (−0,5|1,125)
1
(c) Dg =R\{2}, g(x) = 2 (x2 +x−2) für x ≦ 1 und x > 2
−1 2 (x2 +x−2) für 1 < x < 2
g stetig bei x = 1, nicht stetig bei x = 2 (Sprung).
g ′
x+
(x) =
1
2 für x < 1 und x > 2
−x− 1 , g
2 für 1 < x < 2
′ +(1) = −3 2 , g′ −(1) = 3
2
g nicht differenzierbar bei x = 1 (bei x = 2 nicht def. und damit auch nicht differenzierbar).
g ′ (x) = 0 =⇒ x = −1 2 , waagrechte Tangente bei (−0,5| −1,125)
4. Wir betrachten die Funktion f(x) = (4−x2 )·|x+1|
.
2x+4
(a) Schreiben Sie die Definitionsmenge und eine betragsfreie, möglichst einfache
Darstellung von f hin. Untersuchen Sie f auf Stetigkeit und geben Sie, wenn
möglich, eine stetige Fortsetzung von f an.
(b) Untersuchen Sie f auf Differenzierbarkeit. An nichtdifferenzierbaren Stellen
sind die einseitigen Ableitungen zu berechnen. Wo hat der Graph Gf eine
waagrechte Tangente? ZeichnenSieGf inderEinheit 1cmimIntervall [−3;3].
(c) Die Teilaufgaben (a) und (b) sind jetzt für die Funktion
g(x) = (4−x2 )·|x+1|
|2x+4|
zu lösen. Dabei ist reger Gebrauch von den Ergebnissen der Teilaufgaben (a)
und (b) zu machen!
1
Lösung: (a) Df =R\{−2}, f(x) = 2 (x2 −x−2) für x < −1, x = −2
−1 2 (x2 −x−2) für x ≧ −1
f stetig bei x = −1, stetig fortsetzbar bei x = −2: ˜
f(x) für x = −2
f(x) =
2 für x = −2
(b) f ′
x−
(x) =
1
2 für x < −1, x = −2
−x+ 1 , f
2 für x > −1
′ 3
+ (−1) = 2 , f′ − (−1) = −3
2
f nicht differenzierbar bei x = −1 (bei x = −2 nicht def. und damit auch nicht
differenzierbar).
f ′ (x) = 0 =⇒ x = 1
2 , waagrechte Tangente bei (0,5|1,125)
−
(c) Dg =R\{−2}, g(x) =
1
2 (x2 −x−2) für x ≧ −1 und x < −2
1
2 (x2 −x−2) für −2 < x < −1
g stetig bei x = −1, nicht stetig bei x = −2 (Sprung).
g ′
−x+
(x) =
1
2 für x > 1 und x < −2
x− 1
, g
2 für −2 < x < −1
′ +(−1) = 3
2 , g′ −(−1) = −3 2
3