Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie

itp1.uni.stuttgart.de

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie

Kosmologisches Dreieck, dunkle

Materie, dunkle Energie

Hauptseminar: Neuere Entwicklungen der

Kosmologie

Thorsten Losch

Universität Stuttgart

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.1/50


Einstein-Gleichung

Einsteinsche Feldgleichungen:

Rµν = − 8πG

c 4 T ∗ µν

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.2/50


Einstein-Gleichung

Einsteinsche Feldgleichungen:

mit

Rµν = − 8πG

c 4 T ∗ µν

T ∗ µν = Tµν − 1

2

· gµνT

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.2/50


Einstein-Gleichung

Rµν über Robertson-Walker-Metrik:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.3/50


Einstein-Gleichung

Rµν über Robertson-Walker-Metrik:

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2

dr 2

1 − qr 2 + r2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2


Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.3/50


Einstein-Gleichung

Rµν über Robertson-Walker-Metrik:

ds 2 = c 2 dt 2 − a(t) 2

dr 2

Räume mit konstanter Krümmung:

1 − qr 2 + r2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2

q = 0 Euklidischer Raum

q = 1 sphärischer Raum

q = −1 pseudosphärischer Raum


Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.3/50


Einstein-Gleichung

Kosmologisches Postulat:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.4/50


Einstein-Gleichung

Kosmologisches Postulat:

RZ homogen mit Materie erfüllt

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.4/50


Einstein-Gleichung

Kosmologisches Postulat:

RZ homogen mit Materie erfüllt

Isotropie

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.4/50


Einstein-Gleichung

Energie-Impuls-Tensor

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.5/50


Einstein-Gleichung

Materiemodell:

Energie-Impuls-Tensor

ideale Flüssigkeit mit Dichte σ und Druck p

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.5/50


Einstein-Gleichung

Materiemodell:

Energie-Impuls-Tensor

ideale Flüssigkeit mit Dichte σ und Druck p

⇒ T µν =


σ + p

c2

u µ u ν − pg µν

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.5/50


Einstein-Gleichung

Materiemodell:

Energie-Impuls-Tensor

ideale Flüssigkeit mit Dichte σ und Druck p

u µ = dxµ


⇒ T µν =


σ + p

c2

u µ u ν − pg µν

: Vierergeschwindigkeit der Flüssigkeit

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.5/50


Einstein-Gleichung

Materiemodell:

Energie-Impuls-Tensor

ideale Flüssigkeit mit Dichte σ und Druck p

u µ = dxµ


⇒ T µν =


σ + p

c2

u µ u ν − pg µν

: Vierergeschwindigkeit der Flüssigkeit

dτ = 1 − β 2 dt : Eigenzeitdifferential

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.5/50


Einstein-Gleichung


σ − p

c2

a 2


3ä = −4πG σ + 3 p

c2

a

aä + 2 ˙a 2 + 2qc 2 = 4πG

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.6/50


Einstein-Gleichung


σ − p

c2

a 2


3ä = −4πG σ + 3 p

c2

a

aä + 2 ˙a 2 + 2qc 2 = 4πG

⇒ ˙a 2 + qc 2 = 8πG

3 σa2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.6/50


Einstein-Gleichung


σ − p

c2

a 2


3ä = −4πG σ + 3 p

c2

a

aä + 2 ˙a 2 + 2qc 2 = 4πG

⇒ ˙a 2 + qc 2 = 8πG

3 σa2

→ drei verschiedene Lösungen:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.6/50


Einstein-Gleichung

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.7/50


Einstein-Gleichung

Keine statische Lösung möglich

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.7/50


Einstein-Gleichung

Einstein favorisierte statisches und ewiges Universum

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.8/50


Einstein-Gleichung

Einstein favorisierte statisches und ewiges Universum

Er postulierte folgende korrigierte Form:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.8/50


Einstein-Gleichung

Einstein favorisierte statisches und ewiges Universum

Er postulierte folgende korrigierte Form:

Rµν + Λµν = − 8πG

c 4 T ∗ µν

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.8/50


Einstein-Gleichung

Einstein favorisierte statisches und ewiges Universum

Er postulierte folgende korrigierte Form:

Rµν + Λµν = − 8πG

c 4 T ∗ µν

Λµν = Λgµν; Λ : Kosmologische Konstante

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.8/50


Einstein-Gleichung

Einstein favorisierte statisches und ewiges Universum

Er postulierte folgende korrigierte Form:

Rµν + Λµν = − 8πG

c 4 T ∗ µν

Λµν = Λgµν; Λ : Kosmologische Konstante

positives Λ entspricht abstoßender Kraft → Antigravitation

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.8/50


Einstein-Gleichung

Einstein favorisierte statisches und ewiges Universum

Er postulierte folgende korrigierte Form:

Rµν + Λµν = − 8πG

c 4 T ∗ µν

Λµν = Λgµν; Λ : Kosmologische Konstante

positives Λ entspricht abstoßender Kraft → Antigravitation

Λ sollte Universum stabilisieren

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.8/50


Einstein-Gleichung

1929 entdeckt Edwin Hubble die Expansion des Universums

v = H0 · l

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.9/50


Einstein-Gleichung

1929 entdeckt Edwin Hubble die Expansion des Universums

Einstein nahm Λ zurück

v = H0 · l

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.9/50


Einstein-Gleichung

1929 entdeckt Edwin Hubble die Expansion des Universums

Einstein nahm Λ zurück

v = H0 · l

Kosmos expandiert, Gravitation sucht diese Expansion zu bremsen

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.9/50


Kritische Dichte

Einstein-Gleichung:

−qc 2 = ˙a 2 − 8πG

3 σa2

= ˙a 2


1 − 8πG a2

σ ·

3 ˙a 2



1 − 8πG


σ

= a 2 H 2 0

−qc 2 = a 2 H 2 0

3H 2 0


1 − σ

σcrit


; σcrit := 3H2 0

8πG

> 0 ⇒ q < 0

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.10/50


Kritische Dichte

Einstein-Gleichung:

−qc 2 = ˙a 2 − 8πG

3 σa2

= ˙a 2


1 − 8πG a2

σ ·

3 ˙a 2



1 − 8πG


σ

= a 2 H 2 0

−qc 2 = a 2 H 2 0

3H 2 0


1 − σ

σcrit


; σcrit := 3H2 0

8πG

> 0 ⇒ q < 0

⇐⇒ σ > σcrit ⇐⇒ q > 0

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.10/50


kritische Dichte

σ = σcrit : q = 0

σ > σcrit : q = 1

σ < σcrit : q = −1

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.11/50


kritische Dichte

σ = σcrit : q = 0

σ > σcrit : q = 1

σ < σcrit : q = −1

−30 g

σcrit ≈ 5 · 10

cm3 Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.11/50


Bestimmung der Materiedichte

Milchstraße hat eine mittlere Materiedichte von ca. 10 −23 g/cm 3

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.12/50


Bestimmung der Materiedichte

Milchstraße hat eine mittlere Materiedichte von ca. 10 −23 g/cm 3

typische Entfernung zwischen Galaxien beträgt etwa 10 Mio.

Lichtjahre

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.12/50


Bestimmung der Materiedichte

Milchstraße hat eine mittlere Materiedichte von ca. 10 −23 g/cm 3

typische Entfernung zwischen Galaxien beträgt etwa 10 Mio.

Lichtjahre


σ

σcrit

=: Ωm ≈ 0, 02

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.12/50


Dunkle Materie

Fritz Zwicky entdeckte vor 50 Jahren, daß in einigen großen

Galaxienhaufen sich die einzelnen Galaxien so schnell bewegen,

daß die Gravitation der leuchtenden Materie allein sie nicht

zusammenhalten konnte

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.13/50


Dunkle Materie

Fritz Zwicky entdeckte vor 50 Jahren, daß in einigen großen

Galaxienhaufen sich die einzelnen Galaxien so schnell bewegen,

daß die Gravitation der leuchtenden Materie allein sie nicht

zusammenhalten konnte

Es muß einen großen Anteil an sog. dunkler Materie (DM) geben,

welche nicht mit Strahlung wechselwirkt

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.13/50


Dunkle Materie

Fritz Zwicky entdeckte vor 50 Jahren, daß in einigen großen

Galaxienhaufen sich die einzelnen Galaxien so schnell bewegen,

daß die Gravitation der leuchtenden Materie allein sie nicht

zusammenhalten konnte

Es muß einen großen Anteil an sog. dunkler Materie (DM) geben,

welche nicht mit Strahlung wechselwirkt

Einen weiteren Hinweis auf die Existenz von DM ergibt die Untersuchung

der Rotationsgeschwindigkeiten von Spiralgalaxien

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.13/50


Spiralgalaxien

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.14/50


Spiralgalaxien

Scheibe von Sternen, die sich auf Kreisbahnen um das Zentrum

bewegen

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.14/50


Spiralgalaxien

Scheibe von Sternen, die sich auf Kreisbahnen um das Zentrum

bewegen

Sphäroid mit älteren Sterne

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.14/50


Spiralgalaxien

Scheibe von Sternen, die sich auf Kreisbahnen um das Zentrum

bewegen

Sphäroid mit älteren Sterne

Halo mit Kugelsternhaufen

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.14/50


Milchstraße

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.15/50


Dunkle Materie

Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien:

G ·

M · m

r 2

m · v2

=

r

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.16/50


Dunkle Materie

Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien:

G ·

M · m

r 2

v =

m · v2

=

r

G · M

r

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.16/50


Dunkle Materie

Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien:

G ·

M · m

r 2

v =

m · v2

=

r

G · M

Wäre Leuchtkraft ein zuverlässiger Indikator für Masse, so müßte sich

die Masse einer Galaxie auf ihren zentralen Bereich konzentrieren.

r

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.16/50


Dunkle Materie

Rotationsgeschwindigkeit von Spiralgalaxien:

G ·

M · m

r 2

v =

m · v2

=

r

G · M

Wäre Leuchtkraft ein zuverlässiger Indikator für Masse, so müßte sich

die Masse einer Galaxie auf ihren zentralen Bereich konzentrieren.

Rotationsgeschwindigkeit müßte dann mit wachsendem Abstand vom

Zentrum abnehmen.

r

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.16/50


Dunkle Materie

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.17/50


Dunkle Materie

nur 20% der Materie in einer Galaxie leuchtet

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.17/50


Dunkle Materie

nur 20% der Materie in einer Galaxie leuchtet

→ Halo besteht aus dunkler Materie

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.17/50


Dunkle Materie

weitere Hinweise auf Existenz von DM:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.18/50


Dunkle Materie

weitere Hinweise auf Existenz von DM:

Röntgenstrahlung in elliptischen Galaxien

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.18/50


Dunkle Materie

weitere Hinweise auf Existenz von DM:

Röntgenstrahlung in elliptischen Galaxien

heißes Gas, welches gravitativ gebunden ist

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.18/50


Dunkle Materie

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.19/50


Dunkle Materie

weitere Hinweise auf Existenz von DM:

Röntgenstrahlung in elliptischen Galaxien

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.20/50


Dunkle Materie

weitere Hinweise auf Existenz von DM:

Röntgenstrahlung in elliptischen Galaxien

heißes Gas, welches gravitativ gebunden ist

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.20/50


Dunkle Materie

weitere Hinweise auf Existenz von DM:

Röntgenstrahlung in elliptischen Galaxien

heißes Gas, welches gravitativ gebunden ist

Gravitationslinseneffekt

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.20/50


Dunkle Materie

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.21/50


Was ist dunkle Materie ?

Nukleosynthese:

p + n → 2 H + γ

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.22/50


Was ist dunkle Materie ?

Nukleosynthese:

p + n → 2 H + γ

2 H + 2 H → 3 He + n

2 H + 2 H → 3 H + p

3 H + 2 H → 4 He + n

4 He + 3 H → 7 Li

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.22/50


Was ist dunkle Materie ?

Nukleosynthese:

p + n → 2 H + γ

2 H + 2 H → 3 He + n

2 H + 2 H → 3 H + p

3 H + 2 H → 4 He + n

4 He + 3 H → 7 Li

Aus gemessenen Deuteriumhäufigkeit kann die Baryonendichte im

Universum abgeschätzt werden

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.22/50


Was ist dunkle Materie ?

Nukleosynthese:

p + n → 2 H + γ

2 H + 2 H → 3 He + n

2 H + 2 H → 3 H + p

3 H + 2 H → 4 He + n

4 He + 3 H → 7 Li

Aus gemessenen Deuteriumhäufigkeit kann die Baryonendichte im

Universum abgeschätzt werden

Messung des primordialen Deuterium-Anteils aus

intergalaktischen Gaswolken Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.22/50


Was ist dunkle Materie ?

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.23/50


Was ist dunkle Materie ?

ΩBaryonen = σBaryonen/σcrit ≈ 0, 04 − 0, 07

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.24/50


Was ist dunkle Materie ?

ΩBaryonen = σBaryonen/σcrit ≈ 0, 04 − 0, 07

leuchtende Materie: Ω ≈ 0, 02

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.24/50


Was ist dunkle Materie ?

ΩBaryonen = σBaryonen/σcrit ≈ 0, 04 − 0, 07

leuchtende Materie: Ω ≈ 0, 02

⇒ baryonische dunkle Materie:

ΩbarDM ≈ 0, 02 − 0, 05

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.24/50


Was ist dunkle Materie ?

ΩBaryonen = σBaryonen/σcrit ≈ 0, 04 − 0, 07

leuchtende Materie: Ω ≈ 0, 02

⇒ baryonische dunkle Materie:

Baryonische DM:

ausgebrannte Sterne

ΩbarDM ≈ 0, 02 − 0, 05

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.24/50


Was ist dunkle Materie ?

ΩBaryonen = σBaryonen/σcrit ≈ 0, 04 − 0, 07

leuchtende Materie: Ω ≈ 0, 02

⇒ baryonische dunkle Materie:

Baryonische DM:

ausgebrannte Sterne

Planeten

ΩbarDM ≈ 0, 02 − 0, 05

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.24/50


Was ist dunkle Materie ?

ΩBaryonen = σBaryonen/σcrit ≈ 0, 04 − 0, 07

leuchtende Materie: Ω ≈ 0, 02

⇒ baryonische dunkle Materie:

Baryonische DM:

ausgebrannte Sterne

Planeten

Objekte geringer Masse

ΩbarDM ≈ 0, 02 − 0, 05

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.24/50


Was ist dunkle Materie ?

ΩBaryonen = σBaryonen/σcrit ≈ 0, 04 − 0, 07

leuchtende Materie: Ω ≈ 0, 02

⇒ baryonische dunkle Materie:

Baryonische DM:

ausgebrannte Sterne

Planeten

Objekte geringer Masse

. . .

ΩbarDM ≈ 0, 02 − 0, 05

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.24/50


WIMP’s

Nicht-Baryonische DM ist eher exotischer Natur.

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.25/50


WIMP’s

Nicht-Baryonische DM ist eher exotischer Natur.

Beispielsweise gehören Neutrinos (ν) dazu.

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.25/50


WIMP’s

Nicht-Baryonische DM ist eher exotischer Natur.

Beispielsweise gehören Neutrinos (ν) dazu.

→ es muß weitere schwach wechselwirkende Teilchen geben, sog.

WIMP’s

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.25/50


WIMP’s

Nicht-Baryonische DM ist eher exotischer Natur.

Beispielsweise gehören Neutrinos (ν) dazu.

→ es muß weitere schwach wechselwirkende Teilchen geben, sog.

WIMP’s

WIMP’s aus SUSY

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.25/50


Dunkle Materie

leuchtende Materie: Ωleucht ≈ 0, 02

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.26/50


Dunkle Materie

leuchtende Materie: Ωleucht ≈ 0, 02

Materie insgesamt: ΩM = 0, 2 ± 0, 1

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.26/50


Dunkle Materie

leuchtende Materie: Ωleucht ≈ 0, 02

Materie insgesamt: ΩM = 0, 2 ± 0, 1

→ offenes Universum ???

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.26/50


CMB

CMB entspricht denjenigen Photonen, die in der Rekombinationsära

von der Materie entkoppelten

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.27/50


CMB

CMB entspricht denjenigen Photonen, die in der Rekombinationsära

von der Materie entkoppelten

CMB ist isotrop und hat Planck-Charackter

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.27/50


CMB

CMB entspricht denjenigen Photonen, die in der Rekombinationsära

von der Materie entkoppelten

CMB ist isotrop und hat Planck-Charackter

λmax ≈ 1mm; T = 2, 7 Kelvin

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.27/50


CMB

CMB entspricht denjenigen Photonen, die in der Rekombinationsära

von der Materie entkoppelten

CMB ist isotrop und hat Planck-Charackter

λmax ≈ 1mm; T = 2, 7 Kelvin

wichtiger Stützpfeiler für die Urknall-Theorie

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.27/50


Mängel der Urknall-Theorie

Horizontproblem

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.28/50


Mängel der Urknall-Theorie

Horizontproblem

Um die Isotropie des CMB zu erklären müssen alle

Raumbereiche zur Zeit der Rekombination in kausalem

Zusammenhang stehen

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.28/50


Mängel der Urknall-Theorie

Horizontproblem

Um die Isotropie des CMB zu erklären müssen alle

Raumbereiche zur Zeit der Rekombination in kausalem

Zusammenhang stehen

Im Urknall gestarteter Lichtstrahl hätte jedoch bis zur

Rekombination nicht den ganzen Raum durchqueren können

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.28/50


Horizontproblem

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.29/50


Flachheitsproblem

Einstein-Gleichung:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.30/50


Flachheitsproblem

Einstein-Gleichung:

−qc 2 = ˙a 2 − 8πG

3 σa2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.30/50


Flachheitsproblem

Einstein-Gleichung:

−qc 2 = ˙a 2 − 8πG

3 σa2

− qc2

a 2 = H2 − 8πG

3 σ

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.30/50


Flachheitsproblem

Einstein-Gleichung:

−qc 2 = ˙a 2 − 8πG

3 σa2

− qc2

a 2 = H2 − 8πG

3 σ

qc2 8πG

=

a2 3 σ


1 − 3H2

8πG


1

; ¯σ :=

σ

σcrit

σ

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.30/50


Flachheitsproblem

Einstein-Gleichung:

−qc 2 = ˙a 2 − 8πG

3 σa2

− qc2

a 2 = H2 − 8πG

3 σ

qc2 8πG

=

a2 3 σ


1 − 3H2

8πG

1 − ¯σ = 3c2 q

8πGa 2 σ


1

; ¯σ :=

σ

σcrit

σ

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.30/50


Flachheitsproblem

für die Dichte gilt:

σ = σ0

a0

a

n

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.31/50


Flachheitsproblem

für die Dichte gilt:

σ = σ0

a0

a

n

1 − ¯σ = 3c2 q

8πGa 2 σ = 3c2 q

8πGa 2 0 σ0

·

a

a0

n−2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.31/50


Flachheitsproblem

für die Dichte gilt:

σ = σ0

a0

a

n

1 − ¯σ = 3c2 q

8πGa 2 σ = 3c2 q

8πGa 2 0 σ0

·

a

a0

n−2

Vorzeichen der linken Seite bleibt für alle Zeiten erhalten

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.31/50


Flachheitsproblem

für die Dichte gilt:

σ = σ0

a0

a

n

1 − ¯σ = 3c2 q

8πGa 2 σ = 3c2 q

8πGa 2 0 σ0

·

a

a0

n−2

Vorzeichen der linken Seite bleibt für alle Zeiten erhalten

je kleiner a war, desto genauer war ¯σ = 1

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.31/50


Flachheitsproblem

für die Dichte gilt:

σ = σ0

a0

a

n

1 − ¯σ = 3c2 q

8πGa 2 σ = 3c2 q

8πGa 2 0 σ0

·

a

a0

n−2

Vorzeichen der linken Seite bleibt für alle Zeiten erhalten

je kleiner a war, desto genauer war ¯σ = 1

→ Universum begann mit größter Flachheit !!!

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.31/50


Inflation

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.32/50


Inflation

10 −36 − 10 −33 s nach Urknall ereignete sich eine sog. Inflation

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.32/50


Inflation

10 −36 − 10 −33 s nach Urknall ereignete sich eine sog. Inflation

Aufblähung des Universums um Faktor 10 50

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.32/50


Inflation

10 −36 − 10 −33 s nach Urknall ereignete sich eine sog. Inflation

Aufblähung des Universums um Faktor 10 50

Vorstellung der Inflation:

vor Inflation GUT

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.32/50


Inflation

10 −36 − 10 −33 s nach Urknall ereignete sich eine sog. Inflation

Aufblähung des Universums um Faktor 10 50

Vorstellung der Inflation:

vor Inflation GUT

Higgs-Feld bewirkt Symmetriebrechung

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.32/50


Inflation

10 −36 − 10 −33 s nach Urknall ereignete sich eine sog. Inflation

Aufblähung des Universums um Faktor 10 50

Vorstellung der Inflation:

vor Inflation GUT

Higgs-Feld bewirkt Symmetriebrechung

von Null verschiedene Energiedichte des Vakuums

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.32/50


Inflation

Lösung des Horizontproblems:

Thermalisierung fand vor Inflation statt

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.33/50


Inflation

Lösung des Horizontproblems:

Thermalisierung fand vor Inflation statt

Inflation sagt ein flaches Universum voraus

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.33/50


Inflation

Lösung des Horizontproblems:

Thermalisierung fand vor Inflation statt

Inflation sagt ein flaches Universum voraus

→ Widerspruch zu Messungen der Materiedichte

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.33/50


Inflation

Lösung des Horizontproblems:

Thermalisierung fand vor Inflation statt

Inflation sagt ein flaches Universum voraus

→ Widerspruch zu Messungen der Materiedichte

2 Möglichkeiten:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.33/50


Inflation

Lösung des Horizontproblems:

Thermalisierung fand vor Inflation statt

Inflation sagt ein flaches Universum voraus

→ Widerspruch zu Messungen der Materiedichte

2 Möglichkeiten:

Universum ist offen und Inflationsmodell ist falsch

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.33/50


Inflation

Lösung des Horizontproblems:

Thermalisierung fand vor Inflation statt

Inflation sagt ein flaches Universum voraus

→ Widerspruch zu Messungen der Materiedichte

2 Möglichkeiten:

Universum ist offen und Inflationsmodell ist falsch

Energieform, die nicht mit gewöhnlicher Materie verknüpft ist, sorgt

für eine flache Raumzeit

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.33/50


Messung der kosmolog. Expansion

Änderungen der kosmologischen Expansion können mit der

Helligkeits-Rotverschiebung-Relation bestimmt werden. Dazu benötigt

man sog. Standardkerzen, deren absolute Helligkeit bekannt ist.

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.34/50


Messung der kosmolog. Expansion

Änderungen der kosmologischen Expansion können mit der

Helligkeits-Rotverschiebung-Relation bestimmt werden. Dazu benötigt

man sog. Standardkerzen, deren absolute Helligkeit bekannt ist.

Entfernung dL: absolute Helligkeit ↔ scheinbare Helligkeit

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.34/50


Messung der kosmolog. Expansion

Änderungen der kosmologischen Expansion können mit der

Helligkeits-Rotverschiebung-Relation bestimmt werden. Dazu benötigt

man sog. Standardkerzen, deren absolute Helligkeit bekannt ist.

Entfernung dL: absolute Helligkeit ↔ scheinbare Helligkeit

Rotverschiebung z mißt die Expansion des Universums seit der

Emission des Lichts

z = λ0 − λ(t1)

λ(t1)

; λ0 = a0

a(t1)

· λ(t1)

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.34/50


Messung der kosmolog. Expansion

Änderungen der kosmologischen Expansion können mit der

Helligkeits-Rotverschiebung-Relation bestimmt werden. Dazu benötigt

man sog. Standardkerzen, deren absolute Helligkeit bekannt ist.

Entfernung dL: absolute Helligkeit ↔ scheinbare Helligkeit

Rotverschiebung z mißt die Expansion des Universums seit der

Emission des Lichts

z = λ0 − λ(t1)

λ(t1)

; λ0 = a0

a(t1)

→ z = a0

a(t1)

− 1

· λ(t1)

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.34/50


Messung der kosmolog. Expansion

Hubble-Beziehung v = H0 · l gilt nur für nahe Objekte, da die

Expansion des Universums früher schneller oder langsamer verlaufen

ist

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.35/50


Messung der kosmolog. Expansion

Hubble-Beziehung v = H0 · l gilt nur für nahe Objekte, da die

Expansion des Universums früher schneller oder langsamer verlaufen

ist

Zwei Forschergruppen haben Supernovae vom Typ 1a untersucht

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.35/50


Messung der kosmolog. Expansion

Hubble-Beziehung v = H0 · l gilt nur für nahe Objekte, da die

Expansion des Universums früher schneller oder langsamer verlaufen

ist

Zwei Forschergruppen haben Supernovae vom Typ 1a untersucht

SCP (Supernova-Cosmology-Project)

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.35/50


Messung der kosmolog. Expansion

Hubble-Beziehung v = H0 · l gilt nur für nahe Objekte, da die

Expansion des Universums früher schneller oder langsamer verlaufen

ist

Zwei Forschergruppen haben Supernovae vom Typ 1a untersucht

SCP (Supernova-Cosmology-Project)

HZS-Team (High-z-Supernova-Search)

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.35/50


Messung der kosmolog. Expansion

Relative brightness

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

fainter

magnitude

Perlmutter, Physics Today (2003)

26

24

22

20

18

16

Supernova Cosmology Project

High-Z Supernova Search

Calan/Tololo

25

Supernova Survey

24

23

14

0.01 0.02 0.04 0.1

22

21

20

Accelerating

Universe

Type Ia Supernovae

0.2 0.4 0.6 1.0

0.2 0.4

0.6 1.0

redshift

with vacuum energy

without vacuum energy

Decelerating

Universe

0.8 0.7

0.6 0.5

Scale of the Universe

0

mass

density

1

empty

[relative to today's scale] Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.36/50


Messung der kosmolog. Expansion

Beobachtung:

Supernovae mit hohem z erscheinen dunkler als erwartet, selbst für

einen leeren Kosmos

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.37/50


Messung der kosmolog. Expansion

Beobachtung:

Supernovae mit hohem z erscheinen dunkler als erwartet, selbst für

einen leeren Kosmos

dunkle Energie als treibende Kraft

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.37/50


Messung der kosmolog. Expansion

Beobachtung:

Supernovae mit hohem z erscheinen dunkler als erwartet, selbst für

einen leeren Kosmos

dunkle Energie als treibende Kraft

gegenwärtige Strukturen im Universum nur erklärbar wenn sich

die Expansion des Universums nicht immer beschleunigt hat

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.37/50


Messung der kosmolog. Expansion

Beobachtung:

Supernovae mit hohem z erscheinen dunkler als erwartet, selbst für

einen leeren Kosmos

dunkle Energie als treibende Kraft

gegenwärtige Strukturen im Universum nur erklärbar wenn sich

die Expansion des Universums nicht immer beschleunigt hat

dunkle Energie hat erst im Verlauf der Zeit Oberhand gewonnen

gegenüber der Gravitationskraft

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.37/50


Messung der kosmolog. Expansion

Beobachtung:

Supernovae mit hohem z erscheinen dunkler als erwartet, selbst für

einen leeren Kosmos

dunkle Energie als treibende Kraft

gegenwärtige Strukturen im Universum nur erklärbar wenn sich

die Expansion des Universums nicht immer beschleunigt hat

dunkle Energie hat erst im Verlauf der Zeit Oberhand gewonnen

gegenüber der Gravitationskraft

→ noch weiter entfernte Supernovae müßten relativ heller

erscheinen

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.37/50


Messung der kosmolog. Expansion

Beobachtung:

Supernovae mit hohem z erscheinen dunkler als erwartet, selbst für

einen leeren Kosmos

dunkle Energie als treibende Kraft

gegenwärtige Strukturen im Universum nur erklärbar wenn sich

die Expansion des Universums nicht immer beschleunigt hat

dunkle Energie hat erst im Verlauf der Zeit Oberhand gewonnen

gegenüber der Gravitationskraft

→ noch weiter entfernte Supernovae müßten relativ heller

erscheinen

Beginn der Beschleunigung vor 5 Milliarden Jahren

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.37/50


Auferstehung von Λ

Wiedereinführung Einsteins kosmologischer Konstante Λ

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.38/50


Auferstehung von Λ

Wiedereinführung Einsteins kosmologischer Konstante Λ

heute: σΛc 2 > σM c 2 → Beschleunigung

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.38/50


Auferstehung von Λ

Wiedereinführung Einsteins kosmologischer Konstante Λ

heute: σΛc 2 > σM c 2 → Beschleunigung

früher: σΛc 2 < σM c 2 → Abbremsung

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.38/50


Auferstehung von Λ

Wiedereinführung Einsteins kosmologischer Konstante Λ

heute: σΛc 2 > σM c 2 → Beschleunigung

früher: σΛc 2 < σM c 2 → Abbremsung

Scale of the Universe

Relative to Today's Scale

1.5

1.0

0.5

0.0

Expansion History of the Universe

Perlmutter, Physics Today (2003)

relative

brightness

0.0001

After inflation,

the expansion either...

first decelerated, then accelerated

0.001

past

...or always decelerated

0.01

0.1

1

–20 –10 0

Billions Years from Today

today future

collapses

10

expands

forever

redshift

0

0.5

1

1.5

2

3

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.38/50


Friedmann-Gleichung

Rechnet man die korrigierte Feldgleichung mit der RW-Metrik durch,

ergibt sich schließlich:

˙a 2 − 8π

3 Gσa2 − Λc2a2 3

= −qc2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.39/50


Friedmann-Gleichung

Rechnet man die korrigierte Feldgleichung mit der RW-Metrik durch,

ergibt sich schließlich:

Umformung:

˙a 2 − 8π

3 Gσa2 − Λc2a2 3

H 2 = ˙a2 8π Λc2

= Gσ +

a2 3 3

= −qc2

− qc2

a 2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.39/50


Friedmann-Gleichung

Rechnet man die korrigierte Feldgleichung mit der RW-Metrik durch,

ergibt sich schließlich:

Umformung:

˙a 2 − 8π

3 Gσa2 − Λc2a2 3

H 2 = ˙a2 8π Λc2

= Gσ +

a2 3 3

1 = 8πG Λc2 qc2

σ + −

3H2 3H2 = −qc2

− qc2

a 2

a2H 2 ; σcrit = 3H2

8πG

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.39/50


Summenregel

1 = 8πG Λc2 qc2

σ + −

3H2 3H2 a 2 H 2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.40/50


Summenregel

1 = 8πG Λc2 qc2

σ + −

3H2 3H2 Ωm := σ

σcrit

ΩΛ := Λc2 σΛ

=:

3H2 σcrit

a 2 H 2

Ωq := − qc2

a2 σq

=:

H2 σcrit

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.40/50


Summenregel

1 = 8πG Λc2 qc2

σ + −

3H2 3H2 Ωm := σ

σcrit

ΩΛ := Λc2 σΛ

=:

3H2 σcrit

a 2 H 2

Ωq := − qc2

a2 σq

=:

H2 σcrit

⇒ Summenregel: Ωm + ΩΛ + Ωq = 1

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.40/50


Kosmologisches Dreieck

2.0

Ω m

1.5

0.0

1.0

0.5

SCDM

recollapses eventually

expandsforever

0.5

0.0

OCDM

accelerating

decelerating

FLAT

CLOSED

Ω Λ

1.0

1.0

OPEN

ΛCDM

0.5

Ω k

0.0

1.5

-0.5

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.41/50


Kosmologisches Dreieck

2.0

Ω m

1.5

0.0

1.0

0.5

SCDM

CLOSED

0.5

0.0

OCDM

CMB

FLAT

Ω Λ

1.0

1.0

ΛCDM

OPEN

SNe

0.5

CLUSTERS

Ω k

0.0

1.5

-0.5

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.42/50


Kosmologisches Dreieck

2.0

Ωm

1.5

0.0

1.0

0.5

0.5

0.0

OCDM

OPEN

FLAT

CLOSED

Ω Λ

1.0

1.0

SCDM ΛCDM

0.5

1.5

Ω k

0.0

-0.5

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.43/50


Was ist dunkle Energie?

Dunkle Energie als Vakuum-Energie

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.44/50


Was ist dunkle Energie?

Dunkle Energie als Vakuum-Energie

ä

a

= −4πG

3


σ + 3 p

c2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.44/50


Was ist dunkle Energie?

Dunkle Energie als Vakuum-Energie

wenn p < − σc2

3

ä

a

= −4πG

3


σ + 3 p

c2

wirkt Gravitation abstoßend

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.44/50


Was ist dunkle Energie?

Dunkle Energie als Vakuum-Energie

wenn p < − σc2

3

ä

a

= −4πG

3


σ + 3 p

c2

wirkt Gravitation abstoßend

virtuelle Teilchen im Vakuum: ∆E∆t ≈ ¯h

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.44/50


Was ist dunkle Energie?

Man betrachte einen expandierenden Kolben, der ein Vakuum

einschließt:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.45/50


Was ist dunkle Energie?

Man betrachte einen expandierenden Kolben, der ein Vakuum

einschließt:

1.HS

dE = −pdV

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.45/50


Was ist dunkle Energie?

Man betrachte einen expandierenden Kolben, der ein Vakuum

einschließt:

1.HS

dE = −pdV

d(σvacc 2 V ) = σvacc 2 dV = −pvacdV

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.45/50


Was ist dunkle Energie?

Man betrachte einen expandierenden Kolben, der ein Vakuum

einschließt:

1.HS

dE = −pdV

d(σvacc 2 V ) = σvacc 2 dV = −pvacdV

pvac = −σvacc 2

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.45/50


Was ist dunkle Energie?

Man betrachte einen expandierenden Kolben, der ein Vakuum

einschließt:

1.HS

dE = −pdV

d(σvacc 2 V ) = σvacc 2 dV = −pvacdV

⇒ ä

a

pvac = −σvacc 2

= −4πG

3 (−2σvac)

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.45/50


Was ist dunkle Energie?

Vakuumsenergie entspricht mathematisch der kosmologischen

Konstante

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.46/50


Was ist dunkle Energie?

Vakuumsenergie entspricht mathematisch der kosmologischen

Konstante

Probleme der Kosmologischen Konstante:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.46/50


Was ist dunkle Energie?

Vakuumsenergie entspricht mathematisch der kosmologischen

Konstante

Probleme der Kosmologischen Konstante:

Abschätzungen der von allen bekannten Feldern erzeugten

Vakuumenergie:

σvac = 10 92 g/cm 3

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.46/50


Was ist dunkle Energie?

Vakuumsenergie entspricht mathematisch der kosmologischen

Konstante

Probleme der Kosmologischen Konstante:

Abschätzungen der von allen bekannten Feldern erzeugten

Vakuumenergie:

Koinzidenzproblem:

σvac = 10 92 g/cm 3

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.46/50


Koizidenzproblem

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.47/50


Kosmologische Konstante

Vorschläge:

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.48/50


Kosmologische Konstante

Vorschläge:

Eine bisher unentdeckte Symmetrie in den physikalischen

Grundgesetzen bewirkt, daß die großen Effekte einander exakt

aufheben und die Vakuumenergie auf Null bringen

→ SUSY

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.48/50


Kosmologische Konstante

Vorschläge:

Eine bisher unentdeckte Symmetrie in den physikalischen

Grundgesetzen bewirkt, daß die großen Effekte einander exakt

aufheben und die Vakuumenergie auf Null bringen

→ SUSY

unvollkommener Ausgleichsmechanismus hebt kosmologische

Konstante nur auf 120 Dezimalstellen genau auf

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.48/50


Quintessenz

Beide Problem können gelöst werden, wenn man die kosmologische

Konstante durch eine räumlich und zeitlich abhängige dunkle Energie

ersetzt

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.49/50


Quintessenz

Beide Problem können gelöst werden, wenn man die kosmologische

Konstante durch eine räumlich und zeitlich abhängige dunkle Energie

ersetzt

Diese sog. Quintessenz wird durch ein sich langsam variierendes Skalarfeld

(Cosmon) vermittelt

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.49/50


Zusammenfassung

Ωleucht = 0, 005

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.50/50


Zusammenfassung

Ωleucht = 0, 005

ΩBaryonen = 0, 045

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.50/50


Zusammenfassung

Ωleucht = 0, 005

ΩBaryonen = 0, 045

ΩDM = 0, 27

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.50/50


Zusammenfassung

Ωleucht = 0, 005

ΩBaryonen = 0, 045

ΩDM = 0, 27

ΩΛ = 0, 72

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.50/50


Zusammenfassung

Ωleucht = 0, 005

ΩBaryonen = 0, 045

ΩDM = 0, 27

ΩΛ = 0, 72

Wir leben in einem flachen beschleunigten Universum

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.50/50


Zusammenfassung

Ωleucht = 0, 005

ΩBaryonen = 0, 045

ΩDM = 0, 27

ΩΛ = 0, 72

Wir leben in einem flachen beschleunigten Universum

Kosmologische Konstante ↔ Quintessenz

Kosmologisches Dreieck, dunkle Materie, dunkle Energie – p.50/50


Literatur

[1] Heinrich J. Wendker Alfred Weigert. Astronomie und Astro-

physik. VCH Verlagsgesellschaft, 1996.

[2] Perlmutter Steinhardt Bahcall, Ostriker. The cosmic trian-

gle. Science, 284, 1999.

[3] Straumann Giulini. Das rätsel der kosmischen vakuum-

energiedichte und die beschleunigte expansion des univer-

sums. Physikalische Blätter, 2000.

[4] Lawrence Krauss. neuer auftrieb für ein beschleunigtes

universum. Spektrum der Wissenschaft, 1999.

[5] Dierck-Ekkehard Liebscher. Kosmologie. Barth Verlagsge-

sellschaft mbH, 1994.

[6] Saul Perlmutter. Supernovae, dark energy, and the accele-

rating universe. Physics Today, 2003.

[7] Joseph Silk. Die Geschichte des Kosmos. Spektrum Aka-

demischer Verlag, 1996.

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