7. Quadratische Funktionen lineare Funktion: y = f (x) = ax + b Graph ...

mathekurs.ch

7. Quadratische Funktionen lineare Funktion: y = f (x) = ax + b Graph ...

7. Quadratische Funktionen lineare Funktion: y = f (x) = ax + b Graph: Gerade mit der Steigung a und dem y- Achsenabschnitt b quadratische Funktion: y = f (x) = ax 2 + bx + c Graph: Parabel, sofern a ≠ 0 Es wird im Folgenden untersucht, wie die Parameter a, b, c interpretiert werden können. Spezialfälle: a) y = f (x) = ax 2 Skizze: a = 1, 2 , 1 /4 , - 1 /4 Satz: Der Graph der Funktion f: x → y = ax 2 , a ≠ 0 (Die Kurve mit der Gleichung y = ax 2 ) heisst quadratische Parabel. Die y-Achse ist Symmetrieachse, der Nullpunkt Scheitelpunkt der Parabel. Die Parabel ist für a > 0 nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Der Parameter a bewirkt eine Dehnung oder Pressung der Normalparabel y = x 2 in y-Richtung im Verhältnis a:1 (normale Affinität zur x-Achse). Hinweis: Eine Ellipse ist das normalaffine Bild eines Kreises. Aufgabe: Bestimme den Parameter a so, dass die Parabel y = f (x) = ax 2 durch den Punkt Q(-3, 6) geht. Die Koordinaten des Punktes Q erfüllen die Kurvengleichung: f (-3) = 6 oder 6 = 9a oder also a = 2 /3. b) y = f (x) = ax 2 + c a, c ∈ R, a ≠ 0 Skizze: a = 1 /4 c = 0, -3, 2 Satz: Der Graph der Funktion f: x → y = ax 2 + c ist eine zur y-Achse symmetrische Parabel mit dem Scheitel S(0, c). Sie entsteht aus der Parabel y = ax 2 durch Translation ⎛0 ⎞ um den Vektor ⎜ ⎟ . ⎝c ⎠ Aufgabe: Eine zur y-Achse symmetrische Parabel geht durch die Punkte P(4, 2) und Q(2, -1). Bestimme ihre Gleichung. f 4 = 2 16a + c = 2 ( ) ( 2) = −1 4a + c = −1 f y = f(x) = ¼ x 2 - 2 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul 1


2 c) y f ( x) ax bx x ( ax b) = = + = ⋅ + a, b∈ R, a ≠ 0 In diesem Fall können die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse unmittelbar angegeben werden: b x1 = 0 und x 2 = − a . Aus Symmetriegründen liegt der b Scheitel folglich an der Stelle u = − 2a . Die y- Koordinate v ergibt sich dann zu v = f(u). Skizze : a = ½, b = -2 Scheitel S(2, -2) Verallgemeinerung : Liegt die Gleichung in der Form y = a ⋅( x − x1) ⋅( x − x2) a ≠ 0 vor, so ergeben sich daraus die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte zu x1 und x2. Aus x1 + x2 Symmetriegründen ist dann die x-Koordinate des Scheitels u = . 2 d) Wegen c) ist die x-Koordinate u des Scheitels auch im allgemeinen Fall bekannt, denn der zusätzliche Summand c verändert nur die y- Koordinate des Scheitels. Beispiel: 1 2 y = f ( x) = 2 ⋅ x − 2x + 3, a = ½, b = -2, c = 3 Die Parabel entsteht aus der von Beispiel c) durch eine Translation um 3 in y-Richtung: Die Funktionsgleichung kann durch quadratische Ergänzung folgendermassen umgeformt werden: 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul ( ) ( ) 2 y = f ( x) = ⋅ x − 2x + 3 = ⋅ x − 4x + 4 + 1 = ⋅ x − 2 + 1 1 2 1 2 1 2 2 2 In dieser Form sind die Scheitelkoordinaten S(2, 1) direkt zu erkennen. Vorgehen im allgemeinen Fall: b Wegen c) kann die x-Koordinate des Scheitels angegeben werden u = − 2a . Die y-Koordinate erhält man, indem man u in die Parabelgleichung einsetzt: v = f(u). Illustration am Beispiel y = f x 1 2 = ⋅ x + x + 4 ( ) 4 1 x-Koordinate des Scheitels: = − 1 = − 2 v = f(-2) = 3 u 2⋅ 4 Es handelt sich also um eine Parabel mit dem Scheitel S(-2, 3). Sie geht aus der Parabel mit 1 2 der Gleichung y = 4 ⋅ x durch eine Parallelverschiebung hervor. Nach quadratischer Ergänzung ergibt sich die Parabelgleichung in der Form: ( ) ( ) 2 1 2 1 y = f x = ⋅ x + x + 4 = ⋅ x + 2 + 3 Allgemein gilt 4 4 2


Satz: Der Graph der Funktion f(x) = ax 2 + bx + c ist eine Parabel mit dem Scheitel ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ S ⎜ − , f ⎜ − ⎟ 2a 2a ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ . Sie geht aus der Ursprungsparabel mit der Gleichung y = ax2 durch eine Translation hervor. Für a > 0 ist sie nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Bemerkung: Die Form der Parabel wird allein durch den Wert des Parameters a bestimmt. b bzw. c bestimmen die Lage der Parabel im Koordinatensystem. Übungsaufgabe: ( ) ( ) 2 1 2 5 1 y = f x = − 2 ⋅ x + x − 2 = − 2 ⋅ x −1 − 2 S(1, -2) e) Die Scheitelkoordinaten können auch bestimmt werden, indem man den Funktionsterm mit quadratischer Ergänzung auf die Form ( ) 2 y = a ⋅ x − u + v bringt. Beispiel: y = f x = 2 ⋅ x − 3x + ( ) 1 2 1 2 2 ( x x [ ] ) ( x ) = ⋅ − 6 + 9 − 9 + 1 = ⋅ − 3 − 4 1 1 2 2 Die Parabel entsteht aus der mit der Gleichung y = f x 1 2 = ⋅ x durch eine Parallelverschiebung um ( ) 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul 2 3 Einheiten in positiver x-Richtung und um 4 Einheiten in negativer y-Richtung hervor. Lösung im allgemeinen Fall : 2 2 2 2 2 ⎛ 2 2 b ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎞ ⎛⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎞ y = ax + bx + c = a ⎜ x + 2⋅ x + − + c = a x + − + c ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ ⎟ ⎜⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 ⎛ b ⎞ = a ⎜ x + ⎟ ⎝ 2a ⎠ b 4a ⎛ b ⎞ − + c ⋅ = a⎜ x + ⎟ 4a 4a ⎝ 2a ⎠ b − − 4ac ⎛ b ⎞ = a⎜ x + ⎟ 4a ⎝ 2a ⎠ D − 4a ⎛ b ⎛ b ⎞ −D ⎞ Für die Scheitelkoordinaten gilt damit: S ⎜u = − , v = f ⎜ − ⎟ = 2a 2a 4a ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ Satz: 2 Der Graph der Funktion f: x → y = f ( x) = a ⋅( x − u) + v ist eine Parabel mit dem Scheitel S(u, v). Sie entsteht aus der Parabel mit der Gleichung y = ax 2 durch Translation um den Vektor u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ v ⎠ . 3


8. Zusammenhang zwischen quadratischer Funktion und Gleichung 1 2 In der Skizze sind die Parabeln y = 2 ⋅ x − x + c für die Parameterwerte a) c = 2 b) c = 1 /2 und c) c = -2 dargestellt. Die Parabeln gehen durch Parallelverschiebung in y-Richtung auseinander hervor. Die Bestimmung der Schnittpunkte der Parabel mit der 1 2 x-Achse führt auf die quadratische Gleichung ⋅ x − x + c = 0 a) c = 2 Diskriminante D < 0 die Parabel meidet die x-Achse b) c = 1 /2 D = 0: genau eine Lösung die Parabel berührt die x-Achse c) c = -2 D > 0: zwei reelle Lösungen die Parabel schneidet die x-Achse Schreibt man die quadratische Auflösungsformel in der −b D Form x1,2 = ± so sieht man, dass sich im Fall 2a 2a D > 0 die beiden Lösungen x1 ,2 ergeben, indem man von der x-Koordinate des Scheitels 2 D ausgehend 2a 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul addiert bzw. subtrahiert. Allgemein: (1) quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 mit der Diskriminante D (2) zugehörige quadratische Funktion y = f(x) = ax 2 + bx+ c a) D < 0 Gleichung (1) hat keine reelle Lösung die quadratische Parabel (2) meidet die x-Achse b) D = 0 Gleichung (1) hat genau eine reelle Lösung die quadratische Parabel (2) berührt die x-Achse c) D > 0 Gleichung (1) hat zwei reelle Lösungen die quadratische Parabel (2) schneidet die x-Achse 2 − b a 4


9. Quadratische Ungleichungen Quadratische Ungleichungen können gelöst werden, indem man die zugehörige quadratische Funktion betrachtet. Die Lösungsmenge ergibt sich dann, indem man die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse bestimmt und deren Öffnung berücksichtigt. Illustration an Beispielen: a) x 2 + 2x - 3 < 0 Der Graph der zugehörigen quadratischen Funktion f(x) = x 2 + 2x – 3 = (x + 3)⋅(x - 1) ist eine nach oben geöffnete Parabel, welche die x-Achse an den Stellen x1 = 1 und x2 = -3 schneidet. Die Parabel verläuft im Intervall ]-3/1[ unterhalb der x-Achse, das heisst dort f(x) < 0 ist. Lösungsmenge L = ]-3/1[ Bemerkung: Die Lösungsmenge L kann auch mit einer Fallunterscheidung gelöst werden. L besteht aus den reellen Zahlen für die einer der Faktoren negativ und der andere positiv ist. Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen: Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn man • auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert (subtrahiert) • beide Seiten mit derselben positiven Zahl multipliziert. b) - ¼ x 2 + x + 3 ≤ 0 Hilfsfunktion f(x) = - ¼ x 2 + x + 3 Lösungsmenge L = ]-∞ , -2] ∪ [6 , ∞[ x − 2 c) > 0 x + 1 Eine Fallunterscheidung lässt sich vermeiden, indem man mit dem Quadrat des Nenners multipliziert. Die neue Ungleichung (x - 2)⋅(x + 1) > 0 hat die Lösungsmenge L = ]-∞ , -1[ ∪ ]2, ∞[ 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul 5


Aufgabe: Beschreibe die gefärbte Punktmenge in der Abbildung (ohne Rand) durch ein System von Ungleichungen. Da die Parabel die x-Achse an den Stellen x = 0 und x = 4 schneidet, kann ihre Gleichung in der y = ax ⋅ x − 4 angesetzt werden. Form ( ) Der Scheitel S(2, 4) erfüllt die Parabelgleichung: 4 = a ⋅ 2⋅ 4 − 2 mit der Lösung a = ½. ( ) Gesuchtes Ungleichungssystem: 1 2 ( 4 ) y < x − x y > 2 − x 1 2 10. Parabelgleichung gesucht Aufgabe: Bestimme eine Gleichung der Parabel mit den angegebenen Eigenschaften: a) wenn der Scheitel S(3, 4) und der Parabelpunkt A(-1, 0) gegeben sind. b) wenn die Parabelpunkte A(2, 5), B(4, 4) und C(-2, 1) gegeben sind. a) 2 Ansatz: y = f ( x) = a ⋅( x − 3) + 4 A erfüllt die Gleichung oder f(-1) = 0 ( ) 2 a − 1+ 3 + 4 = 0 ergibt a = - 1 /4 Gesuchte Gleichung: b) y = f x = ax + bx + c Ansatz: ( ) 2 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul y = f x = − ⋅ x − + 1 2 ( ) 4 ( 3) 4 Die drei Parabelpunkte erfüllen die Parabelgleichung: f 2 = 5 4a + 2b + c = 5 ⋅( −1) ⋅1 f ( ) ( 4) = 4 16a + 4b + c = 4 ⋅1 ( − 2) = 1 4a − 2b + c = 1 ⋅( −1) f 12 2 1 4 1 a + b = − a = − 4b = 4 b = 1 Mit dem Additionsverfahren ergibt sich die Lösung y = f(x) = - 1 /4 x 2 + x + 4 6


Aufgabe: Gemäss einer Faustformel gilt für die Anhaltestrecke eines Autos bei nasser Strasse 2 b v = cv + dv ( ) b(v) bezeichnet die Anhaltestrecke in Meter, v die Geschwindigkeit in km/h, c, d sind Konstanten. Man weiss, dass b(80) = 70 b(100) = 105 Wie gross ist b(130)? 80c + 6400d = 72 100c + 10000d = 105 b(130) ≈130.65 m 11. Die Parabel als geometrischer Ort 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul Lösung d = 3 /10, d = 3 /400 Aufgabe: Bestimme die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt F und einer gegebenen Geraden l gleichen Abstand haben. Bezeichnungen: l heisst Leitgerade, F Brennpunkt, der Abstand des Brennpunkts F von der Leitgeraden l heisst Para- Meter und wird mit p bezeichnet. Skizze: l: y = -1 F(0,1) Konstruktion: Schneide die Parallele zur Leitgeraden im Abstand r mit dem Kreis um F mit Radius r. Ortsbedingung: 2 2 2 2 ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ 2 PL = PF ⎜ y + ⎟ = ⎜ y − ⎟ + x nach Pythagoras, vereinfacht zu ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 x 2 (1) y = = ax Gleichung der Parabel mit dem Brennpunkt F(0, ½ p) 2 p und der Leitgeraden l: y = - ½ p Aufgabe: Berechne für die Ursprungsparabel y = x 2 die Koordinaten des Brennpunkts. 1 Zusammenhang zwischen a und p nach (1): a = 2 p Für die Normalparabel mit a = 1 ergibt sich p zu p = ½. Koordinaten des Brennpunkts F(0, ¼) 7


Für technische Anwendungen ist die folgende Parabeleigenschaft wichtig: Achsenparallel einfallendes Licht wird an einem parabolförmigen Spiegel nach dem Brennpunkt reflektiert (Parabolspiegel, Parabolantenne). Übungsaufgabe: a) Auf welcher Kurve liegen die Mittelpunkte M(x, y) der Kreise, die durch den Punkt C(2,1) gehen und die x-Achse berühren? 1 2 5 Lösung: y = 2 x − 2x + 2 b) Über der Grundseite A(-c, 0)B(c, 0) werden Dreiecke betrachtet, deren Ecke C auf der Geraden y = h mit h > 0 liegen. Auf welcher Kurve liegen die Höhenschnittpunkte dieser Dreiecke? Lösung: 2 1 2 c y = − ⋅ x + h h 12. Extremalaufgaben Beispiele: a) Dem Rechteck mit den Seiten a = 5 und b = 3 wird ein Parallelogramm einbeschrieben. Für welche Wahl von x wird der Parallelogramminhalt I minimal? Zielfunktion: Der Parallelogramminhalt soll minimal werden: I(x) = 15 - x⋅(3 - x) - x⋅(5 - x) = 2x 2 - 8x+ 15 Bestimmung des Extremums: Der Graph der Funktion I ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Scheitelkoordinaten ergeben sich zu u = 2 bzw. v = I(2) = 7 Ergebnis: Der Inhalt des Parallelogramms wird für x = 2 minimal. Der minimale Inhalt beträgt I(2) = 7. 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul 8


b) Eine Fabrik setzt monatlich 200 Stück eines Zubehörteils ab und hat an jedem Stück einen Reingewinn von 10 Fr.. Marktforschung hat ergeben, dass eine Preissenkung von Fr. 1.-, Fr 2.-, usf. eine Erhöhung des Monatsumsatzes von c = 50 Stück, 2c Stück bewirken würde. Bei welcher Preissenkung pro Stück ist der grösste Gesamtgewinn zu erwarten? Zielfunktion: Gewinn in Fr. pro Stück bei einer Preisreduktion um x Fr.: 10 - x Anzahl verkaufte Stücke 200 + 50x Gesamtgewinn G ( x) = ( 10 − x) ⋅( 200 + 50x) = 50 ⋅ ( 10 − x) ⋅( 4 + x) Bestimmung des Extremums: Der Graph der Zielfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, welche die x-Achse an den Stellen 10 und -4 schneidet. Der Scheitel liegt damit aus Symmetriegründen an der Stelle x = 3. Der Gesamtgewinn wird bei einer Preisreduktion von Fr. 3.- maximal und beträgt G(3) = 2450 Fr. c) Eine ebene 400 m-Bahn soll so angelegt werden, dass sie ein Rechteck mit zwei angesetzten Halbkreisen begrenzt. Wie gross muss der Radius r sein und wie lang ein gerades Stück zwischen den Kurven, wenn das Rechteck maximalen Flächeninhalt haben soll? A( r) = 2r ⋅ ( 200 − πr) Der Inhalt des Rechtecks ist bei 100 r = m maximal. π Länge des geraden Stücks 100 m. Bemerkung: Die Bestimmungen des IAAF schreiben für die Geraden eine Länge von 84.39 Meter und für den Kurvenradius 36.80 Meter vor. 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul 9


In den folgenden Beispielen treten sogenannte Nebenbedingungen auf: d) Von einer rechteckigen Glasplatte von 15 dm und b = 12 dm ist an einer Ecke ein Stück in Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten c = 6 dm und d = 4 dm abgebrochen. Aus der restlichen Platte soll eine rechteckige Platte von möglichst grossem Flächeninhalt geschnitten werden. Bestimme Länge und Breite dieses Rechtecks. 1. Zielfunktion: Flächeninhalt A minimal A = ( 15 − x) ⋅( 12 − y) 2. Nebenbedingung : (Geradengleichung oder Strahlensatz) 2 y = − 3 x + 4 3. Zielfunktion in einer Variablen: 2 A = ( x + 12) ⋅ ( 15 − x) 3 4. Bestimmung des Extremums: Maximaler Inhalt für x = 1.5 dm. Länge: 13.5 dm, Breite 9 dm e) Bewegung zweier Massenpunkte ⎛− 3⎞ Der 1. Punkt: startet zur Zeit t = 0 in A(7, 0), Geschwindigkeit vA = ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ r ⎛ 0 ⎞ Der 2. Punkt startet zur Zeit t = 0 in B(0, 6), Geschwindigkeit vB = ⎜ ⎟ ⎝− 4⎠ r Zu welcher Zeit ist der Abstand der beiden Punkte minimal? 1. Zielfunktion: Stelle die Grösse, die extremal werden soll, mit Hilfe geeigneter Variablen dar: Der Abstand ist genau dann minimal, wenn das Abstandsquadrat D minimal ist. D = x 2 + y 2 2. Nebenbedingungen : x = 7 - 3t y = 6 - 4t 3. Zielfunktion als Funktion einer einzigen Variablen D(t) = (7 - 3t) 2 + (6 - 4t) 2 = 25t 2 - 90t + 85 4. Bestimmung des Extremums: b 90 9 Das Abstandsquadrat wird minimal für t = − = = 50 5 2a Das minimale Abstandsquadrat ergibt sich mit 3. zu D = 4. Der minimale Abstand ist also 2. 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul 10


13. Ein Beispiel aus der Physik: Der schiefe Wurf r ⎛ vx ⎞ Ein Stein wird von einer um h erhöhten Plattform mit der Geschwindigkeit v = ⎜ ⎟ mit v 27.03.2013 quadrfkt_neu/ul ⎝ y ⎠ vx > 0 geworfen (der Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt). Nach welcher Zeit erreicht er den höchsten Punkt und wie gross ist die Scheitelhöhe. Bewegungsgleichung für den schiefen Wurf ohne Luftwiderstand: 1) x = v x⋅ t 1 2 2) y = v ⋅t − gt + h h > 0 y x aus 1) t = eingesetzt in 2) v x 2 y y x x h 2 2vx vx 2 g v = − ⋅ + ⋅ + mit x > 0 numerisches Beispiel: h = 8 m, vx = 20 m/s, vy = 15 m/s, g = 10 m/s 2 1 2 3 y = − 80 ⋅ x + 4 x + 8 Der Stein erreicht den höchsten Punkt S in 30 m horizontaler Entfernung, wegen 1) nach 1.5 s. Die Scheitelhöhe beträgt 19.25 m, die erreichte Weite 69.2 ≈ 70 m. Im allgemeinen Fall mit h = 0, Anfangsgeschwindigkeit v0 und Abwurfwinkel α gilt: x(t) = v0⋅t⋅cos α (1) y(t) = v0⋅t⋅sin α - ½ gt 2 (2) (1) nach t aufgelöst 0 cos x t = v α eingesetzt in (2) Gleichung der Bahnkurve (Wurfparabel): g 2 y = − ⋅ x + x ⋅ tanα (3) 2 2 2v cos α Wurfweite w in horizontaler Richtung: 2 v0 sin( 2α ) w = g zugehörige Wurfzeit T: v T = g 2 0 sinα Scheitelhöhe h: h Bei gegebenem v0 wird v 0 = 0 2 2 = 0 2 w maximal für α = 45° w v g h maximal für α = 90° w v = g 0 2 2 T maximal für α = 90° v T = g 2 0 sin α T (y-Wert zur Zeit /2) 2g 11

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine