Vorlesung 2 - Mathematik
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Lineare Algebra Martin Haas<br />
Dozent: Prof. Dr. Matthias Ludwig<br />
Mitschrift vom 22.04.2008<br />
1.2. Äquivalenzrelationen<br />
Durch Relationen werden Beziehungen beschrieben, welche Elemente einer Menge<br />
untereinander haben. Formal: Relationen auf einer Menge X bilden eine Teilmenge ρ<br />
von X x X. Gilt (x,y) ∈ρ, so sagen wir x steht in der Relation ρ mit y; kurz: x ρ y oder x<br />
~ y.<br />
Relationen sind aus alltäglichen Situationen bekannt:<br />
x ~ y ⇔ x ist in der gleichen Klasse mit y<br />
x ist befreundet mit y<br />
x ist per du mit y<br />
x ist verliebt in y<br />
Die wichtigsten Eigenschaften mathematischer Relationen sind:<br />
- Reflexivität: Eine Relation heißt reflexiv, falls gilt x ~ x ∀ x ∈ X .<br />
- Symmetrie: Eine Relation heißt symmetrisch, falls gilt x ~ y ⇔ y ~ x<br />
∀ x, y ∈ X<br />
.<br />
- Transitivität: Eine Relation heißt transitiv, falls gilt (x ~ y, y ~ z<br />
⇒ x ~ z)<br />
∀x,<br />
y,<br />
z ∈ X.<br />
Eine Relation, die alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Äquivalenzrelation (ÄR).<br />
Beispiele:<br />
a) Die Relation ~ definiert auf der Menge der Schüler S einer Schule durch<br />
x ~ y ⇔ x und y sind in der gleichen Klasse eine ÄR.<br />
Beweis:<br />
- Reflexiv: x ~ x (x ist in der gleichen Klasse wie x)<br />
- Symmetrie: x ~ y ⇔ y ~ x (wenn x in der gleiche Klasse wie y ist, so ist y in<br />
der gleiche Klasse wie x)<br />
- Transitivität: x ~ y, y ~ z ⇒ x ~ z (wenn x in der gleichen Klasse wie y ist<br />
und y in der gleichen Klasse wie z, dann ist x in der selben Klasse wie z)<br />
Diese Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, also ist es (mit obiger<br />
Def.) eine ÄR.<br />
b) Die Relation „per du sein“ ist keine ÄR.<br />
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Lineare Algebra Martin Haas<br />
Dozent: Prof. Dr. Matthias Ludwig<br />
Mitschrift vom 22.04.2008<br />
Die Relation ~ zwischen x und y ist definiert: x ~ y ⇔ x ist mit y per du.<br />
- Reflexiv: x ~ x<br />
- Symmetrisch: x ~ y ⇔ y ~ x<br />
- Transitiv: x ~ y, y ~ z ⇒ x ~ z<br />
Die Bedingung der Transitivität ist nicht erfüllt.<br />
c) Die Gleichheitsrelation „=“ ist eine ÄR.<br />
d) Die Relation II definiert auf Geraden im R 2 bzw. im R 3 durch g II h ⇔ g ist<br />
parallel zu h, eine ÄR.<br />
e) Die Relation ⊥ definiert auf den Geraden im R 2 durch g ⊥ h ⇔ g ist<br />
senkrecht auf h keine ÄR. (Argumentation: Reflexivität und Transitivität nicht<br />
erfüllt.)<br />
f) Behauptung: Die Relation x ~ y ⇔ Iy – xI ist eine gerade Zahl ist eine ÄR.<br />
- Reflexivität: x – x = 0 (0 ist gerade)<br />
- Symmetrie: Ix – yI = 2n = Iy – xI<br />
- Transitivität: x ~ y und y ~ z ⇒ x ~ z wegen<br />
2<br />
y − x = 2n<br />
+ z − y = 2m<br />
.<br />
z − x = 2(<br />
n + m)<br />
Diese spezielle Relation teilt die Zahlen aus Z in zwei Gruppen (bzw.<br />
Äquivalenzklassen A(x) (s. u.)): Die geraden Zahlen und die ungeraden<br />
Zahlen.<br />
Die Menge A(x) ist die Menge aller Elemente von X, die mit x in der Relation ~<br />
stehen; man nennt A(x) die Äquivalenzklasse von x.<br />
A(x) := {y∈X I y ~ x}<br />
So bildet die Relation „II zu einer Geraden“ die ÄK A(g) := {h ∈ R 3 I h II g}.<br />
Die Relation „Schulklasse“ bildet auf der Menge der Schüler s ∈ S die ÄK<br />
A(s) := {r ∈ S I r ~ s} (r ist in der gleichen Klasse wie s).<br />
Satz: Äquivalente Elemente haben dieselbe ÄK. x ~ y ⇒ A(x) = A(y). (~ ist eine ÄR)<br />
Beweis:
Lineare Algebra Martin Haas<br />
Dozent: Prof. Dr. Matthias Ludwig<br />
Mitschrift vom 22.04.2008<br />
Wir zeigen, dass A(x) ⊆ A(y) und dass A(y) ⊆ A(x) ist.<br />
Sei z ∈ A(x) ⇒ z ~ x; wegen x ~ y gilt auf Grund der Transitivität z ~ y ⇒ z ∈A(y).<br />
⇒ ∀ z ∈ A(<br />
x)<br />
⇒ z ∈ A(<br />
y)<br />
⇒ A(<br />
x)<br />
⊆ A(<br />
y).<br />
Sei nun z ∈ A(y) ⇒ z ~ y; wegen y ~ x gilt z ~ x ⇒ ∀z<br />
∈ A(<br />
y)<br />
⇒ A(<br />
y)<br />
⊆ A(<br />
x).<br />
Hier gibt es aber noch eine intelligentere Lösung: Um zu zeigen, dass A(y) ⊆ A(x),<br />
argumentiert man einfach mit der Symmetrie der ÄR x ~ y: Aus x ~ y folgt A(x) ⊆<br />
A(y) (oben gezeigt). Nutzt man die Symmetrieeigenschaft so folgt daraus y ~ x ⇒<br />
A(y) ⊆ A(x). (Man vertauscht im Prinzip nur die Buchstaben x und y.)<br />
Satz: Zwei ÄK sind entweder gleich oder disjunkt (haben also kein Element<br />
gemeinsam).<br />
Beweis:<br />
Haben A(x) und A(y) auch nur ein Element gemeinsam, so sind sie gleich (s. o.).<br />
Daraus folgt, dass jedes Element von X genau in einer ÄK liegt. Man spricht bei der<br />
überdeckungsfreien vollständigen Zerlegung einer Menge X auch von Partitionen,<br />
die eben durch diese Art der Zerlegung entstehen.<br />
1.3. Abbildungen<br />
Eine Abbildung von X nach Y (oder von X in Y) ist eine Vorschrift f, die jedem x ∈X<br />
genau ein Element y aus Y zuordnet. Dieses Element wird mit f(x) bezeichnet.<br />
Die Definition lässt offen, ob es sich dabei um eine injektive, surjektive oder bijektive<br />
Abbildung handelt oder ob sie keine dieser Eigenschaften hat.<br />
f: X → Y<br />
f: x → f(x)<br />
Elemente aus X heißen Urbild<br />
Elemente aus Y heißen Bilder, sofern sie ein Urbild in X haben (aber das ist ja hier<br />
so definiert).<br />
X heißt Definitionsbereich<br />
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Y heißt Bild- oder Wertebereich<br />
Beispiele für konkrete Abbildungen:<br />
− Sei f: Z → N mit f(z) = z²; Anmerkung: Besser wäre f(z) = IzI, da erstere<br />
Abbildung nicht alle Natürlichen Zahlen erzeugt, sondern nur solche, die<br />
Quadratzahlen sind. Da f aber hier nicht zwingend surjektiv sein soll, ist die<br />
Zuordnungsvorschrift f(z) = z² an dieser Stelle nicht falsch.<br />
− Sei H: F x M → EP; H: Hochzeit<br />
− Division der reellen Zahlen ist die Abbildung D: R x R \{0} → R; D: (r,s) → r/s<br />
− Die Identität ist die Abbildung, die alles so lässt, wie es ist: id(x) = x ∀ x ∈ X .<br />
Hinweis: Verkettet man eine Funktion und ihre Invertierung, so erhält man die<br />
Identität.<br />
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