Vorlesung 2 - Mathematik

Lineare Algebra Martin Haas
Dozent: Prof. Dr. Matthias Ludwig
Mitschrift vom 22.04.2008
1.2. Äquivalenzrelationen
Durch Relationen werden Beziehungen beschrieben, welche Elemente einer Menge
untereinander haben. Formal: Relationen auf einer Menge X bilden eine Teilmenge ρ
von X x X. Gilt (x,y) ∈ρ, so sagen wir x steht in der Relation ρ mit y; kurz: x ρ y oder x
~ y.
Relationen sind aus alltäglichen Situationen bekannt:
x ~ y ⇔ x ist in der gleichen Klasse mit y
x ist befreundet mit y
x ist per du mit y
x ist verliebt in y
Die wichtigsten Eigenschaften mathematischer Relationen sind:
- Reflexivität: Eine Relation heißt reflexiv, falls gilt x ~ x ∀ x ∈ X .
- Symmetrie: Eine Relation heißt symmetrisch, falls gilt x ~ y ⇔ y ~ x
∀ x, y ∈ X
.
- Transitivität: Eine Relation heißt transitiv, falls gilt (x ~ y, y ~ z
⇒ x ~ z)
∀x,
y,
z ∈ X.
Eine Relation, die alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Äquivalenzrelation (ÄR).
Beispiele:
a) Die Relation ~ definiert auf der Menge der Schüler S einer Schule durch
x ~ y ⇔ x und y sind in der gleichen Klasse eine ÄR.
Beweis:
- Reflexiv: x ~ x (x ist in der gleichen Klasse wie x)
- Symmetrie: x ~ y ⇔ y ~ x (wenn x in der gleiche Klasse wie y ist, so ist y in
der gleiche Klasse wie x)
- Transitivität: x ~ y, y ~ z ⇒ x ~ z (wenn x in der gleichen Klasse wie y ist
und y in der gleichen Klasse wie z, dann ist x in der selben Klasse wie z)
Diese Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, also ist es (mit obiger
Def.) eine ÄR.
b) Die Relation „per du sein“ ist keine ÄR.
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Die Relation ~ zwischen x und y ist definiert: x ~ y ⇔ x ist mit y per du.
- Reflexiv: x ~ x
- Symmetrisch: x ~ y ⇔ y ~ x
- Transitiv: x ~ y, y ~ z ⇒ x ~ z
Die Bedingung der Transitivität ist nicht erfüllt.
c) Die Gleichheitsrelation „=“ ist eine ÄR.
d) Die Relation II definiert auf Geraden im R 2 bzw. im R 3 durch g II h ⇔ g ist
parallel zu h, eine ÄR.
e) Die Relation ⊥ definiert auf den Geraden im R 2 durch g ⊥ h ⇔ g ist
senkrecht auf h keine ÄR. (Argumentation: Reflexivität und Transitivität nicht
erfüllt.)
f) Behauptung: Die Relation x ~ y ⇔ Iy – xI ist eine gerade Zahl ist eine ÄR.
- Reflexivität: x – x = 0 (0 ist gerade)
- Symmetrie: Ix – yI = 2n = Iy – xI
- Transitivität: x ~ y und y ~ z ⇒ x ~ z wegen
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y − x = 2n
+ z − y = 2m
.
z − x = 2(
n + m)
Diese spezielle Relation teilt die Zahlen aus Z in zwei Gruppen (bzw.
Äquivalenzklassen A(x) (s. u.)): Die geraden Zahlen und die ungeraden
Zahlen.
Die Menge A(x) ist die Menge aller Elemente von X, die mit x in der Relation ~
stehen; man nennt A(x) die Äquivalenzklasse von x.
A(x) := {y∈X I y ~ x}
So bildet die Relation „II zu einer Geraden“ die ÄK A(g) := {h ∈ R 3 I h II g}.
Die Relation „Schulklasse“ bildet auf der Menge der Schüler s ∈ S die ÄK
A(s) := {r ∈ S I r ~ s} (r ist in der gleichen Klasse wie s).
Satz: Äquivalente Elemente haben dieselbe ÄK. x ~ y ⇒ A(x) = A(y). (~ ist eine ÄR)
Beweis:

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Wir zeigen, dass A(x) ⊆ A(y) und dass A(y) ⊆ A(x) ist.
Sei z ∈ A(x) ⇒ z ~ x; wegen x ~ y gilt auf Grund der Transitivität z ~ y ⇒ z ∈A(y).
⇒ ∀ z ∈ A(
x)
⇒ z ∈ A(
y)
⇒ A(
x)
⊆ A(
y).
Sei nun z ∈ A(y) ⇒ z ~ y; wegen y ~ x gilt z ~ x ⇒ ∀z
∈ A(
y)
⇒ A(
y)
⊆ A(
x).
Hier gibt es aber noch eine intelligentere Lösung: Um zu zeigen, dass A(y) ⊆ A(x),
argumentiert man einfach mit der Symmetrie der ÄR x ~ y: Aus x ~ y folgt A(x) ⊆
A(y) (oben gezeigt). Nutzt man die Symmetrieeigenschaft so folgt daraus y ~ x ⇒
A(y) ⊆ A(x). (Man vertauscht im Prinzip nur die Buchstaben x und y.)
Satz: Zwei ÄK sind entweder gleich oder disjunkt (haben also kein Element
gemeinsam).
Beweis:
Haben A(x) und A(y) auch nur ein Element gemeinsam, so sind sie gleich (s. o.).
Daraus folgt, dass jedes Element von X genau in einer ÄK liegt. Man spricht bei der
überdeckungsfreien vollständigen Zerlegung einer Menge X auch von Partitionen,
die eben durch diese Art der Zerlegung entstehen.
1.3. Abbildungen
Eine Abbildung von X nach Y (oder von X in Y) ist eine Vorschrift f, die jedem x ∈X
genau ein Element y aus Y zuordnet. Dieses Element wird mit f(x) bezeichnet.
Die Definition lässt offen, ob es sich dabei um eine injektive, surjektive oder bijektive
Abbildung handelt oder ob sie keine dieser Eigenschaften hat.
f: X → Y
f: x → f(x)
Elemente aus X heißen Urbild
Elemente aus Y heißen Bilder, sofern sie ein Urbild in X haben (aber das ist ja hier
so definiert).
X heißt Definitionsbereich
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Y heißt Bild- oder Wertebereich
Beispiele für konkrete Abbildungen:
− Sei f: Z → N mit f(z) = z²; Anmerkung: Besser wäre f(z) = IzI, da erstere
Abbildung nicht alle Natürlichen Zahlen erzeugt, sondern nur solche, die
Quadratzahlen sind. Da f aber hier nicht zwingend surjektiv sein soll, ist die
Zuordnungsvorschrift f(z) = z² an dieser Stelle nicht falsch.
− Sei H: F x M → EP; H: Hochzeit
− Division der reellen Zahlen ist die Abbildung D: R x R \{0} → R; D: (r,s) → r/s
− Die Identität ist die Abbildung, die alles so lässt, wie es ist: id(x) = x ∀ x ∈ X .
Hinweis: Verkettet man eine Funktion und ihre Invertierung, so erhält man die
Identität.
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