Überblick über die Kurvendiskussion (1) - MatheNexus

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Überblick über die Kurvendiskussion (1) - MatheNexus

−12 − 3600

−12 + 3600

xe2 := xe2 = −3

xe3 := xe3 = 2

2 ⋅ 12

2 ⋅ 12

In diesem Beispiel sind xe1 = −1

, xe2 = −3

und xe3 = 2 Kandidaten für Extremstellen.

(2) Als nächstes wird nachgewiesen, dass die Kandidaten auch wirklich Extremstellen (und keine

Terassenpunkte) sind. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:

(2.1) Man bestimmt die Monotonie

Überblick über die Kurvendiskussion (1)

Monotonie, Extrema am Beispiel

f( x)

3x 4

8x 3

+ 30x 2

:= − − 72x − 37 mit D = [ -4 ; 4 ] "Es gibt Ränder!"

Extrema:

(1) Die Kandidaten für Extremwerte bestimmt man, indem

a) die 1. Ableitung f ' gebildet wird und

b) der Funktionsterm 0 gesetzt wird und

c) die Gleichung (mit Poldiv) gelöst wird.

4 1

a) f ' : fs( x)

4 ⋅ 3 x −

3 1

⋅ 3 ⋅ 8 x −

2 1

+ ⋅ 2 ⋅ 30 x −

:=

− ⋅ − 72

fs( x)

12 x 3

⋅ 24 x 2

→ + ⋅ − 60 ⋅ x − 72

b) fs( x)

= 0 12 x 3

⋅ 24 x 2

→ + ⋅ − 60 ⋅ x − 72 = 0

c) Durch Probieren: xe1 := −1

( ) x + 1

Poldiv.: 12 x 3

⋅ 24 x 2

+ ⋅ − 60 ⋅ x − 72 ÷ ( ) 12 x 2

= ⋅ + 12 ⋅ x − 72

Monotonie: a) Man skizziert den Graphen der ersten Ableitung f ' (nicht f ).

MK 26.1.2006 UeberblickKurvendisk_1.mcd

Quadr. Gl.: 12 x 2

⋅ + 12 ⋅ x − 72 = 0 D 12 2

:= − 4 ⋅ 12 ⋅ ( −72)

→ 3600 > 0, also 2 Lsgn.

Jetzt kann man ablesen, wo f '

unterhalb (f ' < 0) und

oberhalb (f ' > 0) der x-Achse

verläuft.

x ∈ [-4 ; -3]: Graph von f (nicht f ' ) ist streng

monoton fallend (smofa).

x ∈ [-3 ; -1]: Graph von f ist streng monoton

steigend (smost).

x ∈ [-1 ; 2]: Graph von f ist smofa.

x ∈ [2 ; 4]: Graph von f ist smost.

Die Stellen -3, -1, 2 sind sowohl smost wie smofa.


( ) −72

( ) 120

( ) 180

fss xe 3

b) Zum Graphen von f ' werden Steig- und Fallpfeile gezeichnet:

(2.2) Man kann zum Nachweis der Extremstellen auch die 2. Ableitung f '' benutzen.

= > 0 => bei xe3 = 2 gibt es ein relatives Minimum

(3) Werden nicht nur Extremstellen (d.h. nur die x-Werte) gesucht, muss man noch die Funktionswerte (y-Werte)

berechnen. Dazu werden die x-Werte in f (nicht in f ' und nicht in f '' ) eingesetzt.

f( xe1) = 0 f( xe2) −64

= f xe 3

( ) −189

= f( −4)

= 27 f( 4)

= 475

Max Min Min RMax RMax

Der Vorzeichenwechsel von f '

ist der Nachweis für die Existenz

der Extremstellen.

a) Die 2. Ableitung f '' wird gebildet und

b) die Kandidaten für die Extremstellen werden in f '' (nicht in f und nicht in f ' ) eingesetzt und

das Vorzeichen bestimmt die Art der relativen Extremstelle.

An den Rändern funktioniert dieses Verfahren nicht.

3 1

a) f '' : fss( x)

3 ⋅ 12 x −

2 1

⋅ 2 ⋅ 24 x −

:=

+ ⋅ − 60

b) fss xe 1

fss( x)

36 x 2

→ ⋅ + 48 ⋅ x − 60

fss xe 2

= < 0 => bei xe1 = −1

gibt es ein relatives Maximum

= > 0 => bei xe2 = −3

gibt es ein relatives Minimum

(4) Die absoluten Extrempunkte erhält man, wenn man den absolut größten und den absolut kleinsten

Funktionswert gefunden hat. (Macht keinen Sinn, wenn die Funktion unbeschränkt ist)

Hier ist das Randmaximum (4; 475) absolutes Maximum und das relative Minimum (-3; -189) absolutes Minimum.


Randextremwerte:

lim fs( −4 + h)

h → 0

lim

h → 0

fs( 4 − h)

→ −216

< 0 am linken Rand => Randmaximum

→ 840 > 0 am rechten Rand => Randmaximum

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