Übung: Berechnung von Ortskurven - MatheNexus

Aufgaben:
Übung: Berechnung von Ortskurven
(1) Eine von reellen Parameter c ≠ 0 abhängige Funktion mit der Gleichung
1
f1( c , x)
12 x4
1
⋅
6 x3 ⋅ ⋅ c c 2 x 2
:= + − ⋅ besitzt zwei von c abhängige Wendepunkte.
Bestimmen Sie die Ortskurve der beiden Wendepunkte.
Skizzieren Sie den Graphen von f1 für c = 0.5, 1, 1.5
Skizzieren Sie die Ortskurven in das gleiche Koordinatensystem.
Ortskurven_Ueb_1.gxt
MK 4.6.2003 Ortskurven_Ueb.mcd
(2) Bestimmen Sie die Ortskurve der vom reellen Parameter d abhängigen Extrempunkte der Funktion
1
f2( d , x)
2 x4 ⋅ x 3 1
− ⋅ d
3 x3 − ⋅
3
2 x2
5
⋅ ⋅ d
2 x2
:=
+ − ⋅ + 6 ⋅ x ⋅ d − 2 ⋅ x
Ortskurven_Ueb_2.gxt

Lösungen:
(1)
Eine von reellen Parameter c ≠ 0 abhängige Funktion mit der Gleichung
1
f1( c , x)
12 x4
1
⋅
6 x3 ⋅ ⋅ c c 2 x 2
:= + − ⋅ besitzt zwei von c abhängige Wendepunkte.
Bestimmen Sie die Ortskurve der beiden Wendepunkte.
Skizzieren Sie den Graphen von f1 für c = 0.5, 1, 1.5
Skizzieren Sie die Ortskurven in das gleiche Koordinatensystem.
f1a( c , x)
f1aa( c , x)
f1a c x
x ,
d
( ) vereinfachen x
d
2
c ⋅ x 2 c 2
:=
→ + − ⋅ faktor → ( x + 2 ⋅ c)
⋅ ( −c + x)
f1aaa( c , x)
faaa( c , −2c) = −4c + c ≠ 0
f1( c , −2c) −4 c 4
→ ⋅
y11( x)
:= −4
⋅
f1( c , x)
y11( x)
y12( x)
− 4 c 4
⋅
− 3
4 c4 ⋅
f1 c x
x ,
d
:= ( ) →
d
f1aa c x
x ,
d
:= ( ) →
d
⎛
⎜
⎝
x
−2
⎞
⎟
⎠
4
1
3 x3 ⋅
für
f1( c , c)
y12( x)
1
2 c ⋅ ⋅ x2 2 c 2
+ − ⋅ ⋅ x
c + 2 ⋅ x
:=
→
c ≠ 0
−3
−3
4
4
c 4
⋅
x 4
⋅
faaa( c , c)
= 2c + c ≠ 0
6 4 2 0 2 4
10
10
20
30
40
x , x , x , − 2c
, c
c := 0.5 , 1 .. 1.5
x 1
für
= −2c c ≠ 0
x := −6 , −5.95
.. 5
x2 = c
x := x

(2)
Bestimmen Sie die Ortskurve der vom reellen Parameter d abhängigen Extrempunkte der Funktion
f2( d , x)
1
2 x4 ⋅ x 3 1
− ⋅ d
3 x3 − ⋅
3
2 x2
5
⋅ ⋅ d
2 x2
:=
+ − ⋅ + 6 ⋅ x ⋅ d − 2 ⋅ x
d
f2a( d , x)
:= f2( d , x)
dx
f2a( d , x)
= 0 auflösen, x
d
f2aa( d , x)
:= f2a( d , x)
dx
⎛
f2aa d 3
2 d ⋅
1
⎜ , − ⎟
⎝ 2⎠
vereinfachen
⎛
⎝
f2aa d 3
2 d ⋅
1
⎜ , −
2
Ortskurve:
3
x
2 d ⋅
1
= − auflösen, d
2
y( x)
f2 d 3
2 d ⋅
1
= ⎜ , − ⎟ vereinfachen → y( x)
=
2
−27
32 d4 ⋅
y2( x)
:=
⎛
⎝
+
−1
6
f2( d , x)
y2( x)
9
4 d3 ⋅
( )
f2 d , x3 ( d)
⎞
⎞
⎟
⎠
= 0 auflösen, d
⎞
⎠
→
2
3 x ⋅
45
16 d2
5
+ ⋅
2 d ⋅ − +
x 4 1
⋅
3 x3 + ⋅ 2 x 2
+ ⋅
vereinfachen 2 x 3
⋅ 3 ⋅ d x 2
− ⋅ x 2
→
− + 3 ⋅ x ⋅ d − 5 ⋅ x + 6 ⋅ d − 2
→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1
2
3
2 d ⋅
6 x 2
→ ⋅ − 6 ⋅ x ⋅ d − 2 ⋅ x + 3 ⋅ d − 5
→
1
−
2
+
9
2 d2 ⋅ − 6 ⋅ d
→
1
3
43
96
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−1
3
5
3
ersetzen , d =
d := −0.5 , 0 .. 2
20
10
3 2 1 0 1 2 3 4
10
x 1
x3( d)
⎞ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= −1
:=
5
−
2
3
2 d ⋅
Die zweite Ableitung ist nicht Null für d nicht 1 −
−27
32 d4 ⋅
vereinfachen
x , x , x3 ( d)
1
−
2
+
x2 = 2
9
4 d3 ⋅
2
3 x ⋅
1
+
3 −1
→
6
sind fest
ist variabel
45
16 d2
5
⋅
2 d ⋅ −
+
+
x 4 1
⋅
3 x3 + ⋅ 2 x 2
+ ⋅
x := −3 , −2.95
.. 4.5
43
96
3
, 5
3