Extremwertaufgabe Minimale Dosenoberfläche - MatheNexus

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Extremwertaufgabe Minimale Dosenoberfläche - MatheNexus

Lösung:

Zielfunktion Oberfläche: (1) O( r, h)

2 r 2

⋅ ⋅π r 2 := + ⋅π + 2⋅r⋅ π ⋅h

Nebenbedingung Volumen des Körpers: V( r , h)

r 2 := π ⋅h

r 2 π ⋅h

2

3 r3 + ⋅ ⋅π

= 15 ergibt Gleichung (2) h( r)

:=

Definitionsmenge: ID = { r I 0 < r

Bestimmung des Extremums:

d

1. Ableitung: Or( r)

:= O( r)

dr

Bedingung für die kleinste Oberfläche:

3

45

≤ }

2⋅π 10

3 r ⋅ π ⋅

30

r 2

→ −

10

3 r ⋅ π ⋅

30

r 2

− = 0 d.h.:

Funktionswert für kleinste Oberfläche: O( rmin) = 31.7

Vergleich mit Randwerten:

lim

+

r → 0

O( r)

→ ∞

−2

3 r ⋅

+

lim


r → rmax

( )

2

3 r3 + ⋅ ⋅π

15

r 2 ( ⋅π)

(2) in (1) eingesetzt: O( r, h)

2 r 2

⋅ ⋅π r 2 := + ⋅π + 2⋅r⋅ π ⋅

und vereinfacht die Zielfunktion: O( r)




5

3 r2

30

:= ⋅ ⋅π

+

r

O( r)




−2

3 r ⋅ +

Bedingung für maximalen Radius: h( r)

= 0 d.h. −2⋅π r 3

3

45

⋅ + 45 = 0 rmax ≡

2⋅π 15

r 2 ( ⋅π)

rmax = 1.928

1

3 r3

3

9

⋅ ⋅π − 3 = 0 rmin := rmin = 1.42

π

3

2 45

1

2

3

3 2

→ ⋅ ⋅ = 35.02

1




1

π

⎞ ⎟⎠

⎤⎤

⎥⎥⎦


3

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