Funktionentheorie I

Satz 2.7. Seien Γ stückweise C 1 , fn ∈ C(Γ, C), n ∈ N, D ⊆ C offen.
(a) Wenn fn → f gleichmäßig für n → ∞, dann folgt
fn(z) dz −
f(z) dz
≤ l(γ)fn − f∞ → 0
für n → ∞.
Γ
(b) Sei h ∈ C(D × Γ, C). Dann ist die Abbildung
z ↦→ h(z, w) dw
von D nach C stetig.
(c) Wenn
fn(z) gleichmäßig in z ∈ Γ konvergiert, dann gilt:
n≥1
Γ n=1
Γ
Γ
∞
fn(z) dz =
∞
n=1
Γ
2.1 Das komplexe Kurvenintegral
fn(z) dz.
(d) Sei h ∈ C(D × Γ, C), sodass für jedes w ∈ Γ die Abbildung z ↦→ h(z, w) von D nach C
differenzierbar ist und ∂
∂z h ∈ C(D × Γ, C). Dann existiert
d
∂
h(z, w) dw = h(z, w) dw.
dz
∂z
Beweis. (a)
b
≤
a
Γ
für n → ∞.
fn(z) dz −
Γ
Γ
Γ
f(z) dz
=
b
(fn(γ(t)) − f(γ(t)))γ ′
(t) dt
|fn(γ(t)) − f(γ(t))| · |γ ′ (t)| dt ≤ f − fn∞
a
b
|γ ′ (t)| dt = f − fn∞l(γ) → 0
(b) Seien zn, z0 ∈ D mit zn → z0. Sei r > 0, so dass B = B(z0, r) ⊆ D. Für alle genügend
großen n ∈ N gilt dann zn ∈ B. Da (z, w) ↦→ h(z, w) auf der kompakten Menge B × Γ
gleichmäßig stetig ist, konvergiert fn(w) = h(zn, w) gleichmäßig in w ∈ Γ gegen f(w) :=
h(z0, w) für n → ∞. Mit (a) folgt die Behauptung.
∞
(c) Folgt aus (a) mit fk statt fn.
k=1
(d) Seien z0 ∈ D, r > 0, zn ∈ B := B(z0, r) ⊆ D mit zn = z0 für alle n ∈ N und zn → z0 für
n → ∞. Sei w ∈ Γ. Dann gilt:
h(zn, w) − h(z0, w) (2.1)
1
zn − z0
=
1 d
zn
− z0 0 dt h(z0
+ t(zn − z0), w) dt
KR
1
=
1 ∂h
(z0 + t(zn − z0), w) · (zn − z0) dt
zn − z0 0 ∂z
1
1
≤
∂h
|zn − z0| (z0 + t(zn − z0), w)
0 ∂z
· |zn − z0| dt
1
≤
∂h
(z0 + t(zn − z0), w)
∂z
dt ≤ max
∂h
z∈B,w∈Γ (z, w)
∂z =: c1 < ∞.
0
a
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