Funktionentheorie I

und
2.2 Integralsatz und -formel von Cauchy für sternförmige Gebiete
(w, z) ↦→ ∂n
∂zn f(w)
w − z
ist stetig für w ∈ T , z ∈ B(z0, r). Somit folgt aus der (CIF) und Satz 2.7(d) (mit „D = B(z0, r)“),
dass f auf D beliebig oft differenzierbar ist und (2.6) gilt. Da l(Γ) = 2πr und (w − z0) −n−1 =
r −n−1 , folgt (2.7) aus (2.6) (mit z = z0).
Seien nun 0 < r ′ < r, z ∈ B(z0, r ′ ). Dann gilt:
Damit:
f(w)
w − z
= f(w)
w − z0
|z − z0| r′
≤
|w − z0| r
1
1 − z−z0
w−z0
=: q < 1.
= f(w)
w − z0
∞
z − z0
n=0
w − z0
n
. (∗)
Diese Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig für w ∈ Γ und z ∈ B(z0, r ′ ). Dann gilt:
f(z) (CIF)
= 1
f(w)
2πi Γ w − z dw
∞
(∗)
n 1 f(w)
= (z − z0) dw .
Satz 2.7(c)
2πi
n=0
Γ (w − z0) n+1
(2.6)
= 1
n! f (n) (z0)
Damit folgt (2.8). Wenn D = C, wähle z = 0, r beliebig groß und erhalte so letzte Bedingung.
Beispiel 2.26. (a) Das Theorem ist falsch im Reellen, Beispiel aus Analysis 1:
x
(1) f(x) =
3
2 sin 1
x , x > 0,
0, x ≤ 0. =⇒ f ist differenzierbar auf R (mit f ′ (0) = 0) aber f ′
ist unbeschränkt für x → 0+, also unstetig und ∄f ′′ .
1
−
e x2 , x > 0,
0, x ≤ 0. f ∈ C∞ (R) aber f (n) (0) = 0 (∀n ∈ N), als Taylorreihe
von f in 0 ist konstant 0, also ungleich f.
(2) f(x) =
(b) Sei f(z) = (1 + z) α (wobei α ∈ R fest, z ∈ D = C \ (−∞, −1]) f ist holomorph auf D.
Aus Theorem 2.25 folgt: f hat Potenzreihe in z0 = 0. Diese ist gleich der Binomialreihe
aus Analysis 1. Nach Theorem 2.25 ist der Konvergenzradius ρ ≥ 1. Falls ρ < 1 hätten alle
Ableitungen von f eine stetige Fortsetzung auf ∂B(0, 1). Das widerspricht der Definition
von f =⇒ ρ = 1.
Korollar 2.27. Gegeben sei eine Borelmenge X ⊆ R d und eine Funktion h: D × X → C, wobei
D ⊆ C offen, mit:
(a) ∀z ∈ D ist x ↦→ h(z, x) integrierbar auf X.
(b) ∀x ∈ X ist z ↦→ h(z, x) holomorph auf D.
(c) Es existiert ein integrierbares g : X → R+ mit |h(z, x)| ≤ g(x) (∀z ∈ D, x ∈ X).
Dann ist
holomorph auf D und es gilt:
H (k)
(z) =
z ↦→ H(z) :=
X
X
h(z, x) dx
∂k h(z, x) dx (∀k ∈ N).
∂zk 41