Funktionentheorie I

2.3 Weitere Hauptsätze über holomorphe Funktionen
Mit „v = u ′ “ definiere
z
z
T (u, v) (z) = u0 + v(w) dw, u1 − (au + bv) dw
für r < min{R, 1, 1
2M }, z ∈ B(0, r), (u, v) ∈ H(B(0, R))2 ∩ C(B(0, R)) 2 =: E.
Setze q = min{r, 2m} < 1. Dann: T (u, v) ∈ E und E ist ein Vektorraum mit Norm
Beh.: (E, · ) ist vollständig.
0
(u, v)∞ = max{|u(z)|
, |v(z)|}.
|z|≤r
Beweis. Sei (un, vn) eine Cauchyfolge in E. =⇒ (un), (vn) sind Cauchyfolgen in C(B(0, r))
bezüglich der Supremumsnorm. Dies ist ein Banachraum (Ana 2).
=⇒ ∃ u, v ∈ C(B(0, r)) mit un → u, vn → v gleichmäßig auf B(0, r).
Aus Theorem 2.34 folgt: u, v ∈ H(B(0, r)). Beachte:
(un, vn) − (u, v)∞ −→ 0, n → ∞.
Seien (u, v), (ũ, ˜v) ∈ E. Dann:
z
T (u, v) − T (ũ, ˜v)∞ = max v(w) − ˜v(w) dw
|z|≤r
0
,
z
a(w)(u(w) − ũ(w)) + b(w)(v(w) − ˜v(w)) dw
(∗∗)
≤ max
|w|≤|z|≤r {|z|
≤r
0
0
|v(w) − ˜v(w)| , |z| (M |u(w) − ũ(w)| + M |v(w) − ˜v(w)|)}
≤r
≤ r max{r, 2M} (u, ũ) − (v, ˜v)∞
=q