26. Das Riemann-Stieltjes-Integral

26. Das Riemann-Stieltjes-Integral
Stets in diesem Paragraphen: f, g : [a, b] → R beschränkt. RS := Riemann-Stieltjes.
Definition
(1) Sei (Z, ξ) ∈ Z ∗ .
σf (Z, ξ, g) :=
n
f(ξj)(g(xj) − g(xj−1))
j=1
heißt eine Riemann-Stieltjes-Summe.
(2) f heißt Riemann-Stieltjes-integrierbar bzgl. g über [a, b] : ⇐⇒ ∃S ∈ R : σf (Zn, ξ (n) , g) →
S (n → ∞) für jede Nullfolge ((Zn, ξ (n) )) ∈ Z ∗ .
In diesem Fall heißt b
a fdg := b
a f(x)dg(x) := S das Riemann-Stieltjes-Integral von
f bzgl. g und wir schreiben f ∈ Rg[a, b]. g heißt auch Integrator(funktion).
Beispiele:
(1) Ist g(x) = x, so ist Rg[a, b] = R[a, b] und b
a fdg = b
a fdx.
(2) Ist g auf [a, b] konstant =⇒ f ∈ Rg[a, b] und b
a fdg = 0.
(3) Sei τ ∈ (a, b).
0, x ∈ [a, τ)
g(x) =
1, x ∈ [τ, b]
Sei (Z, ξ) ∈ Z ∗ , Z = {x0, . . . , xn}, ξ = (ξ1, . . . , ξn). Es existiert genau ein j0 mit τ ∈
(xj0−1, xj0 ].
σf (Z, ξ, g) = n
j=1 f(ξj)(g(xj) − g(xj−1)) = f(ξj0 )(g(xj0 ) − g(xj0−1)) = f(ξj0 ).
Ist f stetig in τ =⇒ f ∈ Rg[a, b] und b
a fdg = f(τ).
Satz 26.1
(1) Rg[a, b] ist ein reeller Vektorraum und die Abbildung
ist linear.
f ↦→
(2) Sei h : [a, b] → R eine weitere beschränkte Funktion, α, β ∈ R, f ∈ Rg[a, b] und
f ∈ Rh[a, b]. Dann gilt: f ∈ Rαg+βh[a, b] und b
a fd(αg + βh) = α b
a fdg + β b
a fdh.
b
a
fdg
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(3) Sei c ∈ (a, b) und f ∈ Rg[a, b] =⇒ f ∈ Rg[a, c], f ∈ Rg[c, b] und b
a fdg = c
a fdg +
b
c fdg.
Beweis
Übung.
Bemerkung zu 26.1(3): Ist f ∈ Rg[a, c] und f ∈ Rg[c, b], so gilt i.A. nicht: f ∈ Rg[a, b] (Beispiel:
Übungen).
Satz 26.2 (Partielle Integration)
Ist f ∈ Rg[a, b] =⇒ g ∈ Rf [a, b] und
b
fdg = f(x)g(x)|
a
b b
a −
a
gdf.
Beweis
Sei (Z, ξ) ∈ Z ∗ , Z = {x0, . . . , xn}, ξ = (ξ1, . . . , ξn), ξ0 := a, ξn+1 := b.
Nachrechnen: σg(Z, ξ, f) = f(x)g(x)| b a
=:c
−
n
f(xj)(g(ξj+1) − g(ξj))
j=0
=:A
Die verschiedenen unter den Punkten ξ0, . . . , ξn+1 definieren eine Zerlegung ˜ Z ∈ Z mit | ˜ Z| ≤
2|Z|. Dann ist A eine RS-Summe σf ( ˜ Z, η, g), wobei η geeignet zu wählen ist.
Also: σg(Z, ξ, f) = c − σf ( ˜ Z, η, g).
Sei ((Zn, ξ (n) )) ∈ Z∗ eine Nullfolge. Zu jeden (Zn, ξ (n) ) konstruiere ( ˜ Zn, η (n) ) wie oben. Dann
ist (( ˜ Zn, η (n) )) eine Nullfolge in Z∗ und σg(Zn, ξ (n) , f) = c − σf ( ˜ Zn, η (n) , g) ∀n ∈ N. Aus der
Voraussetzung folgt: σf ( ˜ Zn, η (n) , g) → b
a fdg =⇒ σg(Zn, ξ (n) , f) → c − b
a fdg (n → ∞).
Beispiel
f(x) = x, R[a, b] = Rf [a, b]. Sei g ∈ R[a, b] = Rf [a, b]
xg(x)| b a − b
a gdx.
26.2
==⇒ f ∈ Rg[a, b] und b
xdg =
Satz 26.3
Sei f ∈ R[a, b], g sei differenzierbar auf [a, b] und g ′ ∈ R[a, b]. Dann: f ∈ Rg[a, b] und
b
a
fdg =
b
a
fg ′ dx.
Beweis
Sei (Z, ξ) ∈ Z ∗ , Z = {x0, . . . , xn}, ξ = (ξ1, . . . , ξn). mj, Mj, Ij seien wie immer und α > 0 sei
so, dass |g ′ (x)| ≤ α ∀x ∈ [a, b].
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a

Aus dem Mittelwertsatz folgt: ∀j ∈ {1, . . . , n} ∃ηj ∈ Ij : g(xj) − g(xj−1) = g ′ (ηj)|Ij|. Dann gilt:
Daraus folgt:
σf (Z, ξ, g) =
=
n
f(ξj)(g(xj) − g(xj−1)) =
j=1
n
(f(ξj) − f(ηj))g ′ (ηj)|Ij| +
j=1
|σf (Z, ξ, g) − σfg ′(Z, η)| ≤
≤ α
j=1
n
f(ξj)g ′ (ηj)|Ij|
j=1
n
f(ηj)g ′ (ηj)|Ij|
j=1
=σfg ′(Z,η), η:=(η1,...,ηn)
n
|f(ξj) − g ′ (ηj)| |g
≤Mj−mj
′ (ηj)| |Ij|
≤α
n
(Mj − mj)|Ij| = α(Sf (Z) − sf (Z)).
j=1
Sei ((Zn, ξ (n) )) eine Nullfolge. Zu jedem (Zn, ξ (n) ) konstruiere man η (n) wie oben. Dann gilt:
|σf (Zn, ξ (n) , g) − σfg ′(Zn, η (n) )
→ b
a fg′ dx
| ≤ α (Sf (Zn) − sf (Zn))
→0
=⇒ σf (Zn, ξ (n) , g) → b
a fg′ dx.
Beispiel
1
0 exd(e−x ) = 1
0 ex (−e−x )dx = 1
0
(−1)dx = −1.
Satz 26.4 (Abschätzen des RS-Integrals mit Hilfe der Totalvarianz)
Sei g ∈ BV[a, b] und f ∈ Rg. Dann:
b
a
fdg
≤ γVg[a, b], wobei γ := sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]}
Beweis
Sei (Z, ξ) ∈ Z∗ , Z = {x0, . . . , xn}, ξ = (ξ1, . . . , ξn).
n
n
|σf (Z, ξ, g)| = | f(ξj)(g(xj) − g(xj−1))| ≤ |f(ξj)||g(xj) − g(xj−1)| ≤ γVg(Z) ≤ γVg[a, b]
j=1
j=1
Bezeichnungen
Sei Z = {x0, . . . , xn} ∈ Z. mj, Mj, Ij seien wie immer, dj
:= g(xj)−g(xj−1) (j = 1, . . . , n). s(Z) =
n
j=1 mjdj, S(Z) = n j=1 Mjdj.
Hilfssatz 26.5
g sei wachsend ( =⇒ dj ≥ 0)
.
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26. Das Riemann-Stieltjes-Integral
(1) s(Z1) ≤ S(Z2) ∀Z1, Z2 ∈ Z.
(2) sup{s(z) : z ∈ Z} ≤ S(Z) ∀z ∈ Z.
Beweis
(1) Wie in 23.1
(2) folgt aus (1)
Satz 26.6 (Weiteres Kritierium zur RS-Integrierbarkeit)
Ist f ∈ C[a, b] und g ∈ BV[a, b] =⇒ f ∈ Rg[a, b].
Beweis
Wegen 25.2 und 26.1(2) O.B.d.A: g wachsend. c := g(b) − g(a) (≥ 0). O.B.d.A: c > 0.
1. Sei (Z, ξ), Z = {x0, . . . , xn}, ξ = (ξ0, . . . , ξn).mj, Mj, Ij, dj seien wie oben. S := sup{s(z) :
z ∈ Z}, also S ≤ S(Z). α := S(Z) − s(Z)
Es gilt: mj ≤ f(ξj) ≤ Mj
dj≥0
===⇒ mjdj ≤ f(ξj)dj ≤ Mjdj =⇒ (∗) s(z) ≤ σf (Z, ξ, g) ≤ S(Z).
Dann: −α = s(z) − S(Z) ≤ S − S(Z) (∗)
≤ S − σf (Z, ξ, g) ≤ S(Z) − σf (Z, ξ, g) (∗)
α =⇒ |s − σf (Z, ξ, g)| ≤ α = n j=1 (Mj − mj)dj.
≤ S(Z) − s(z) =
Sei ε > 0. f ist auf [a, b] gleichmäßig stetig =⇒ ∃δ > 0 : |f(t) − f(s)| < ε
c ∀t, s ∈ [a, b] mit
n
= ε.
|t − s| < δ. Sei |Z| < δ =⇒ Mj − mj < ε
c =⇒ |s − δf (Z, ξ, g)| < ε
c
j=1
dj
=c
2. Sei ((Zn, ξ (n) )) eine Nullfolge in Z ∗ . Sei ε > 0. Dann existiert ein δ > 0 wie in (1),
|Zn| → 0 =⇒ ∃n0 ∈ N : |Zn| < δ ∀n ≥ n0 =⇒ |s − σf (Zn, ξ (n) , g)| < ε ∀n ≥ n0.
Also: σf (Zn, ξ (n) , g) → S (n → ∞).
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