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Analysis

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Bohner | Ihlenburg | Ott<br />

Inhaltsverzeichnis<br />

<strong>Analysis</strong><br />

für die Einführungs- und Qualifikationsphase<br />

nach den Vorgaben des Kerncurriculums<br />

Merkur Verlag Rinteln<br />

1<br />

Neubearbeitung<br />

nach Kerncurriculum!


Vorwort<br />

Zielgruppe:<br />

„<strong>Analysis</strong> für die Einführungs- und Qualifi kationsphase“ ist ein Mathematikbuch für Schülerinnen<br />

und Schüler der gymnasialen Oberstufe der berufl ichen Gymnasien (Fachgymnasien)<br />

mit den Schwerpunkten Wirtschaft und Gesundheit und Soziales.<br />

Lehrplanbezug: Kerncurriculum Niedersachsen<br />

Konzeption:<br />

Das Buch deckt die Rahmenrichtlinien (Kerncurriculum) für das Fach Mathematik (<strong>Analysis</strong>)<br />

für die Schulform Berufl iches Gymnasium ab.<br />

Das Buch ist so aufgebaut, dass durch kleine Lerneinheiten und durch anschließende Aufgaben-<br />

und Anwendungsbeispiele der Lernstoff einfach zu bewältigen ist. Die Autoren haben<br />

großen Wert auf die ausführliche, anschauliche und übersichtliche Darstellung der vielen<br />

Beispiele mit Lösungen und Abbildungen gelegt, um dem Schüler die Möglichkeit zum Erwerb<br />

inhaltsbezogener Kompetenzen, zum Selbststudium und zur Wiederholung des Stoffes<br />

zu geben.<br />

Am Ende eines jeden Kapitels fi ndet der Leser eine Vielzahl von Aufgaben unterschiedlicher<br />

Schwierigkeitsgrade, die es dem Schüler ermöglichen, den Stoff einzuüben, zu vertiefen und<br />

mathematische Zusammenhänge zu verstehen.<br />

Bei der Auswahl des zu vermittelnden Stoffes haben die Autoren die Schwerpunkte so gesetzt,<br />

dass die Schüler das für sie wirklich wichtige mathematische Wissen, das sie als Grundlage<br />

den ganzen Oberstufenunterricht hindurch benötigen, übersichtlich und einprägsam vorfi<br />

nden. Diese Konzeption bedeutet keine methodische Einengung für Lehrer und Schüler.<br />

Behandelt werden ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen und gebrochenrationale<br />

Funktionen sowie deren Anwendungen in Wirtschaft und Natur.<br />

Nach einer Einführung wird die Differential- und Integralrechnung auf diese Funktionstypen<br />

und deren Anwendungen angewandt.<br />

Dabei werden die volks- und betriebswirtschaftlichen Begriffe anhand von Beispielen und<br />

Handlungssituationen erläutert, so dass die zugehörigen Aufgaben ohne besondere Vorkenntnisse<br />

aus der Ökonomie gelöst werden können.<br />

Die trigonometrischen Funktionen werden im Anhang abgebildet, da sie nicht prüfungsrelevant<br />

sind.<br />

Alle Aufgaben können mit einem graphikfähigen Taschenrechner (GTR) oder einem CAS-<br />

System gelöst werden. Die vorgelegten Beispiele wurden mit dem TI-84 Plus erstellt.<br />

Andere an der Schule eingeführte, graphikfähige Taschenrechner können ebenso gut eingesetzt<br />

werden.<br />

Für die Qualifi kationsphase werden der Band Lineare Algebra und der Band Stochastik<br />

angeboten. Damit sind alle Lernbereiche des Kerncurriculums vollständig abgedeckt.<br />

Für die Abiturvorbereitung sind für das Grundlegende und das Erweiterte Anforderungsniveau<br />

jeweils eine Aufgabensammlung erschienen.<br />

3


Inhaltsverzeichnis<br />

I. Funktionen ...............................................................................................................................9<br />

1 Abhängigkeiten ............................................................................................................................ 9<br />

2 Defi nition einer Funktion........................................................................................................... 11<br />

II. Ganzrationale Funktionen ................................................................................................ 14<br />

1 Lineare Funktionen ................................................................................................................... 14<br />

1.1 Einführung ................................................................................................................................. 14<br />

1.2 Die Steigung einer Geraden ....................................................................................................... 17<br />

1.3 Schnittpunkte ............................................................................................................................. 20<br />

1.3.1 Schnittpunkt einer Geraden mit den Koordinatenachsen .......................................................... 20<br />

1.3.2 Schnittpunkt von zwei Geraden ................................................................................................. 21<br />

1.4 Aufstellen von Geradengleichungen ......................................................................................... 22<br />

1.5 Wirtschaftliche Anwendungen (Gesamtkosten, Erlös, Gewinn, Nachfragefunktion,<br />

Angebotsfunktion, Marktgleichgewicht, Isokostengerade) ....................................................... 24<br />

2 Quadratische Funktionen ........................................................................................................... 34<br />

2.1 Einführungsbeispiel ................................................................................................................... 34<br />

2.2 Von der Normalparabel zur allgemeinen Parabel 2. Ordnung ................................................... 35<br />

2.3 Quadratische Gleichungen ......................................................................................................... 38<br />

2.4 Gemeinsame Punkte .................................................................................................................. 44<br />

2.5 Aufstellen von Parabelgleichungen ........................................................................................... 48<br />

2.6 Anwendungen (Gesamtkosten, Erlös, Gewinn, Erlös bei Angebotsmonopol) .......................... 50<br />

3 Potenzfunktionen ....................................................................................................................... 56<br />

4 Ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades .............................................................................. 58<br />

4.1 Ganzrationale Funktionen 3. Grades .........................................................................................58<br />

4.2 Ganzrationale Funktionen 4. Grades .........................................................................................60<br />

4.3 Gleichungen 3. und 4. Grades ................................................................................................... 63<br />

4.4 Aufstellen von Parabelgleichungen ........................................................................................... 72<br />

4.5 Gemeinsame Punkte .................................................................................................................. 75<br />

4.6 Anwendungen (Gesamtkosten, Erlös, Gewinn, Stückkosten, Betriebsminimum) ................... 77<br />

III. Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen .............................................. 84<br />

1 Änderungsrate ............................................................................................................................ 84<br />

2 Ableitung ................................................................................................................................... 88<br />

2.1 Defi nition ................................................................................................................................... 88<br />

2.2 Ableitungsregeln ........................................................................................................................ 90<br />

2.3 Höhere Ableitungen ................................................................................................................... 93<br />

2.4 Ableitung und Steigung ............................................................................................................. 94<br />

2.5 Tangente ..................................................................................................................................... 96<br />

2.6 Tangente von einem Punkt P aus ............................................................................................... 99<br />

2.7 Monotonie ................................................................................................................................ 102<br />

4


Inhaltsverzeichnis<br />

2.8 Extrempunkte ........................................................................................................................... 106<br />

2.9 Wendepunkte ........................................................................................................................... 113<br />

2.10 Kurvenuntersuchung ................................................................................................................ 117<br />

3 Aufstellen von Kurvengleichungen aus gegebenen Bedingungen .......................................... 134<br />

4 Extremwertaufgaben ................................................................................................................ 140<br />

5 Untersuchung von Kurvenscharen ........................................................................................... 144<br />

6 Ganzrationale Funktionen in wirtschaftlichen Anwendungen ................................................. 148<br />

IV. Exponentialfunktionen ..................................................................................................... 152<br />

1 Einführung ............................................................................................................................... 152<br />

2 Defi nition einer Exponentialfunktion ...................................................................................... 153<br />

3 Der natürliche Logarithmus ..................................................................................................... 158<br />

4 Exponentialgleichungen ........................................................................................................... 159<br />

5 Schaubilder von Exponentialfunktionen .................................................................................. 165<br />

6 Differentialrechnung bei Exponentialfunktionen .................................................................... 169<br />

6.1 Ableitung und Ableitungsregeln .............................................................................................. 169<br />

6.2 Kurvenuntersuchung ................................................................................................................ 176<br />

6.3 Untersuchung einer Kurvenschar ............................................................................................. 179<br />

7 Exponentialfunktionen in Anwendungen (Gesamtkosten, Gewinn, Betriebsoptimum, Betriebsminimum,<br />

Marktgleichgewicht, Produktlebenszyklus, Wachstum [exponentiell, beschränkt,<br />

logistisch], Exponentialfunktionen zur Modellierung von Vorgängen in der Natur) .............. 182<br />

V. Gebrochenrationale Funktionen ................................................................................... 205<br />

1 Defi nition ................................................................................................................................. 205<br />

2 Die Grundfunktion f mit f(x) = 1 _<br />

x ............................................................................................. 206<br />

3 Schaubilder von gebrochenrationalen Funktionen .................................................................. 209<br />

4 Untersuchung von gebrochenrationalen Funktionen mit Hilfe der Ableitung ......................... 213<br />

4.1 Ableitung und Ableitungsregeln .............................................................................................. 213<br />

4.2 Kurvenuntersuchung ................................................................................................................ 215<br />

5 Wirtschaftliche Anwendungen (Stückkosten, Marktgleichgewicht, Zahlungsströme, Produktionsfunktionen,<br />

Elastizitäten) ................................................................................................. 219<br />

VI. Integralrechnung ............................................................................................................... 240<br />

1 Fläche und Stammfunktion ...................................................................................................... 240<br />

2 Das bestimmte Integral ............................................................................................................ 248<br />

3 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung ................................................................ 255<br />

4 Anwendungen der Integralrechnung (Integrale im wirtschaftlichen Kontext, Konsumentenrente,<br />

von der Änderungsrate zum Bestand, Gesamtwirkung, Gesamtmenge, Mittelwert) .... 265<br />

VII. Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung ...................................................................281<br />

Anhang: Trigonometrische Funktionen ...........................................................................286<br />

Stichwortverzeichnis ................................................................................................................ 295<br />

5


2.9 Wendepunkte<br />

Der Amazonas verläuft<br />

in einer Linkskurve, danach in<br />

einer Rechtskurve (vgl. Abbildung)<br />

und anschließend wieder in einer<br />

Linkskurve.<br />

Im Übergang von Linkskurve<br />

zu Rechtskurve oder von Rechtskurve<br />

zu Linkskurve liegt ein Wendepunkt.<br />

Die Kurve wechselt ihre Krümmung.<br />

Ist x Wendestelle von f, so ist x die<br />

1 1<br />

Stelle mit größter (kleinster) Steigung,<br />

also Extremstelle von f ′.<br />

Daraus folgt:<br />

Notwendige Bedingung für die<br />

Wendestelle x :<br />

1<br />

Steigung von K in x<br />

f ′<br />

also: (f ′)′( x<br />

1 ) = 0<br />

Ganzrationale Funktionen<br />

Links- Rechts- Links- krümmung<br />

Steigung Steigung Steigung<br />

nimmt zu nimmt ab nimmt zu<br />

1 ist null, f ′ wachsend f ′ fallend f ′ wachsend<br />

f ″( x ) = 0 1<br />

Nachweis für die Wendestelle x :<br />

1<br />

I. f ″(x) hat Vorzeichenwechsel<br />

x 1<br />

−1<br />

x 2<br />

4<br />

x<br />

von + nach – oder von – nach + f ″(x) > 0 f ″( x ) = 0 f ″(x) < 0 f ″( x ) = 0 f ″(x) > 0<br />

1 2<br />

f ″ fallend f ″ steigend<br />

II. f ″′( x ) < 0 oder f ″′( x ) > 0<br />

1 2<br />

f ″′( x ) < 0<br />

1<br />

f ″′( x ) > 0<br />

2<br />

Bestimmung von Wendepunkten:<br />

Notwendige Bedingung: f ″(x) = 0 liefert die Stellen x , x , ...<br />

1 2<br />

Hinreichende Bedingung: f ″′(x) ≠ 0<br />

Ist f ″′( x ) ≠ 0, so hat K<br />

1 f den Wendepunkt W( x | f( x )).<br />

1 1<br />

Einsetzen der x-Werte in f(x) liefert die y-Werte der Wendepunkte.<br />

113<br />

K<br />

f ′<br />

x<br />

1<br />

y<br />

2<br />

W<br />

1<br />

−1<br />

y<br />

2<br />

x 1<br />

1<br />

−1<br />

y<br />

2<br />

1<br />

x<br />

2<br />

x 2<br />

K<br />

f ″<br />

K f<br />

4<br />

4<br />

x<br />

x


Beispiele<br />

Ganzrationale Funktionen<br />

1) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 __<br />

2<br />

x 3 – 3 x 2 + 9 __<br />

2<br />

x; x ∈ R.<br />

a) Untersuchen Sie das Schaubild K von f rechnerisch auf Wendepunkte.<br />

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt.<br />

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von K.<br />

Lösung<br />

a) Ableitungen: f ′(x) = 3 __<br />

2<br />

x 2 – 6x + 9 __<br />

2<br />

; f ″(x) = 3x – 6; f ″′(x) = 3<br />

Notw. Bedingung für Wendestellen: f ″(x) = 0 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2<br />

Nachweis durch Einsetzen des x-Wertes in f ″′(x): f ″′(2) = 3 � 0<br />

Wendestelle: x = 2<br />

Mit f(2) = 1 ergibt sich der Wendepunkt W(2 | 1).<br />

b) Tangente in W(2 | 1):<br />

Steigung in W: f ′(2) = – 3 __<br />

2<br />

Hauptform: y = mx + b<br />

Einsetzen von m = – 3 __<br />

2<br />

und W(2 | 1) ergibt: 1 = – 3 __<br />

2<br />

· 2 ⇔ b = 4<br />

Gleichung der Wendetangente G: y = – 3 __<br />

2<br />

x + 4<br />

Bemerkungen: 1. Die Tangente an das Schaubild K von f im Wendepunkt heißt<br />

Wendetangente.<br />

2. Die Wendetangente ist die einzige Tangente, die das Schaubild K<br />

von f im Wendepunkt W( x w | y w ) berührt und „durchschneidet“.<br />

ist dreifache Schnittstelle von K und Wendetangente.<br />

x w<br />

c) Im Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten von K.<br />

Wendestelle: x w = 2<br />

y<br />

6<br />

f ″(x) ändert in x = 2 das Vorzeichen von – nach +.<br />

4<br />

Mit f ″(x) < 0 für x < 2 gilt:<br />

2<br />

K ist rechtsgekrümmt für x < 2.<br />

Mit f ″(x) > 0 für x > 2 gilt:<br />

−2<br />

K ist linksgekrümmt für x > 2.<br />

Beachten Sie: Die Kurve K f ist linksgekrümmt (rechtsgekrümmt), wenn<br />

f ″(x) > 0 (f ″(x) < 0) ist.<br />

114<br />

−1 1 2 3 4<br />

−4<br />

K<br />

f<br />

K<br />

f ′′<br />

x


Ganzrationale Funktionen<br />

2) Die Gesamtkosten eines Unternehmens lassen sich beschreiben durch die ganzrationale<br />

Kostenfunktion K mit K(x) = x 3 – 9 x 2 + 28x + 25; x ≥ 0, x in ME, K(x) in GE.<br />

Die Kapazitätsgrenze liegt bei 7 ME.<br />

Skizzieren Sie die zugehörige Kostenkurve.<br />

Berechnen Sie den Wendepunkt und die Steigung der Wendetangente.<br />

Interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.<br />

Lösung<br />

Ableitungen: K′(x) = 3 x 2 – 18x + 28;<br />

K′′(x) = 6x – 18; K′′′(x) = 6 ≠ 0<br />

y<br />

100<br />

Wendepunkt<br />

80<br />

K<br />

Bedingung: K″(x) = 0<br />

60<br />

0 = 6x – 18 ⇔ x = 3<br />

40<br />

Mit K′′′(x) = 6 ≠ 0 und K(3) = 55 ergibt sich der<br />

20<br />

Wendepunkt W(3 | 55).<br />

0<br />

0 2 4 6<br />

Steigung der Wendetangente: K′(3) = 1<br />

x<br />

Im Wendepunkt hat K die kleinste Steigung K′(3) = 1<br />

In x W = 3 ist der Kostenzuwachs am geringsten.<br />

Die minimale Kostenänderung bei einer Erhöhung der Ausbringungsmenge um eine ME<br />

beträgt 1 GE.<br />

Bis x W wachsen die Kosten degressiv (K ist rechtsgekrümmt; K″(x) < 0),<br />

für x > x W wachsen die Kosten progressiv (K ist linksgekrümmt; K″(x) > 0).<br />

x W heißt Schwelle des Ertragsgesetzes.<br />

Die ganzrationale Kostenfunktion K 3. Grades heißt ertragsgesetzlich.<br />

3) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Angebotsfunktion p A mit p A (x) = 1 __<br />

12 x 2 + x<br />

streng monoton steigend und linksgekrümmt verläuft.<br />

Lösung<br />

Ableitungen: p′ A (x) = 1 __<br />

6<br />

x + 1; p′′ A (x) = 1 __<br />

6<br />

p A ist streng monoton steigend, wenn p′ A (x) > 0: 1 __<br />

6<br />

x + 1> 0 ⇔ x > – 6<br />

p A ist linksgekrümmt, wenn p′′ A (x) > 0: 1 __<br />

6<br />

> 0<br />

Die Angebotsfunktion p A verläuft für x ≥ 0 streng monoton steigend und linksgekrümmt.<br />

115


Ganzrationale Funktionen<br />

Aufgaben<br />

1. Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Wendepunkte.<br />

a) f(x) = − 2 __<br />

3<br />

x 3 + x 2 b) f(x) = 1 __<br />

4<br />

x 4 − 1 __<br />

2<br />

x 3 + 1 c) f(x) = 2 __<br />

3<br />

x 3 – 2x + 3<br />

2. Ermitteln Sie die exakten Koordinaten der Wendepunkte des Graphen K von f.<br />

a) f(x) = − 1 __<br />

8<br />

x 3 + 1 __<br />

4<br />

x 2 + 5 __<br />

2<br />

x + 3 b) f(x) = 6 x 2 – 2 __<br />

3<br />

x 4<br />

3. Machen Sie eine Aussage über das Krümmungsverhalten des Graphen K von f.<br />

Wie lautet die Gleichung der Wendetangente? Zeichnen Sie K und die Wendetangente.<br />

a) f(x) = 3 __<br />

2<br />

x − 3 __<br />

8<br />

x 3 b) f(x) = x 3 – 3 x 2 – x + 3<br />

4. Eine Parabel hat ihren Wendepunkt in W(0 | 3). Die Wendetangente hat die Steigung – 2.<br />

Skizzieren Sie eine mögliche Parabel.<br />

5. Die Abbildung zeigt das Schaubild<br />

der 1. Ableitungsfunktion einer Funktion f.<br />

Begründen Sie mit Hilfe der Zeichnung, dass das<br />

Schaubild von f einen Hoch-, einen Tief- und einen<br />

Wendepunkt mit positiver Steigung besitzt.<br />

6. Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K durch K(x) = 1 __<br />

5<br />

x 3 – 8 x 2 + 110x + 180.<br />

Bestimmen Sie den Wendepunkt W von K und die Steigung der Wendetangente.<br />

Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.<br />

7. Der Hersteller eines neuen Stoffes gibt eine Marktuntersuchung in Auftrag.<br />

Es wurde festgestellt, dass die Nutzer dieses Stoffes Preisvorstellungen entsprechend der<br />

Nachfragefunktion p N mit p N (x) = – 0,1 x 2 – x +12 haben. Er bietet sein Produkt entsprechend<br />

der Angebotsfunktion p A mit p A (x) = 1 __<br />

10 x 2 + 2x an.<br />

Bestimmen Sie den maximalen, ökonomisch sinnvollen Defi nitionsbereich dieser<br />

Marktsituation und begründen Sie Ihre Antwort. Berechnen Sie algebraisch das<br />

Marktgleichgewicht. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Nachfragefunktion streng<br />

monoton fallend und rechtsgekrümmt verläuft.<br />

8. Der Produktlebenszyklus eines Luxusgutes kann durch die Absatzfunktion a mit<br />

a(t) = 0,15 t 4 – 2,4 t 3 + 9,6 t 2 y3<br />

2<br />

1<br />

K f ′<br />

1 2 3 x<br />

-1 −1<br />

−2<br />

; t ≥ 0 beschrieben werden. Dabei ist a(t) der Absatz in<br />

Stück/Jahr, t ist die Zeit in Jahren seit der Produkteinführung. Bestimmen Sie den maximalen,<br />

ökonomisch sinnvollen Defi nitionsbereich D ök . Bestimmen Sie den maximalen<br />

Absatz. In welchem Jahr nimmt der Absatz am stärksten zu, in welchem am stärksten ab?<br />

116


Logistisches Wachstum<br />

Situationen<br />

Exponentialfunktionen<br />

1) Das Wachstum einer Fichte wird näherungsweise durch die Funktion<br />

__________ 30<br />

f mit f(t) =<br />

29 e –0,1758t beschrieben. t ist die Zeit in Jahren seit Beginn der Messungen,<br />

+ 1<br />

f(t) gibt die Höhe der Fichte in Meter an.<br />

a) Mit welcher Höhe kann man bei dieser Fichte nach 10 Jahren rechnen?<br />

Bestimmen Sie die mittlere Zuwachsrate über dem Zeitintervall [ 5; 10 ] .<br />

In welchem Jahr wächst die Fichte am schnellsten?<br />

b) Nach wie viel Jahren ist die Fichte zu 90 % ausgewachsen?<br />

Um wie viel cm ist die Fichte dann durchschnittlich in einem Jahr gewachsen?<br />

Lösung<br />

a) Höhe nach 10 Jahren:<br />

___________ 30<br />

f(10) =<br />

29 e – 0,1758�10 = 5,00<br />

+ 1<br />

Nach 10 Jahren hat die Fichte eine Höhe von 5 m.<br />

0<br />

0 10 20 30<br />

Mittlere Änderungsrate:<br />

_________ f(10) – f(5) ______ 5 – 2,30<br />

5<br />

=<br />

5<br />

= 0,54 Mittlere jährliche Zunahme auf [ 5; 10 ] um 54 cm.<br />

Momentane Zuwachsrate:<br />

–0,1758t<br />

______________<br />

152,9 e<br />

(Wachstumsgeschwindigkeit in m pro Jahr): f ′(t) =<br />

(29 e –0,1758�t + 1) 2<br />

Maximales Wachstum liegt vor, wenn f ′ den größten Wert liefert.<br />

GTR (CAS): In t = 19,15 ist das Wachstum maximal mit 1,32 m in diesem Jahr.<br />

Im Schaubild von f entspricht dies der Wendestelle (Stelle mit der größten Steigung).<br />

b) Für t → � strebt f(t) → 30, da e – 0,1758t → 0 für t → �: lim f(t) = 30<br />

t → �<br />

Die Fichte wird (nach diesem Modell) also maximal 30 m hoch.<br />

Bemerkung: Die Funktion f beschreibt das logistische Wachstum der Fichte.<br />

90 % von 30 m = 27 m<br />

__________ 30<br />

Bedingung: f(t) =<br />

29 e –0,1758t = 27 für t = 31,65<br />

+ 1<br />

Nach 31 Jahren hat die Fichte 90 % ihrer größtmöglichen Höhe erreicht.<br />

Durchschnittliches jährliches Wachstum auf [ 0; 31 ] :<br />

1 __<br />

1<br />

31<br />

(f(31) – f(0)) = __<br />

31<br />

(26,675 – 1) ≈ 0,83<br />

Die Fichte wächst in einem Jahr um durchschnittlich etwa 83 cm.<br />

194<br />

y<br />

30<br />

20<br />

10<br />

K<br />

f<br />

t<br />

Jahre x


Exponentialfunktionen<br />

Beachten Sie: Logistisches Wachstum liegt vor, wenn die Änderungsrate (Wachstumsgeschwindigkeit)<br />

f ′(t) proportional zum Bestand f (t) und zum Sättigungsmanko (G – f(t))<br />

ist: f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))<br />

____________ G · a<br />

Ansatz für logistisches Wachstum: f(t) =<br />

– kGt mit Anfangsbestand f(0) = a<br />

a + (G – a) e<br />

Dabei ist:<br />

G: Wachstumsgrenze, Sättigungswert a: Anfangsbestand<br />

e – k : Wachstumsfaktor; für k > 0 ist 0 < e – k < 1 t: Wachstumszeit<br />

_________ 30<br />

Prüfung der Bedingung f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t)) am Beispiel 1) f(t) =<br />

29 e –0,1758t + 1<br />

Mit G = 30 und a = 1 erhält man k aus 30k = 0,1758: k = 0,1758 ______<br />

30<br />

Einsetzen ergibt: 0,1758 _____<br />

30 ·<br />

_________ 30<br />

29 e –0,1758t _________ 30<br />

· (30 –<br />

+ 1 29 e –0,1758t + 1 )<br />

= 0,1758 _____<br />

30 ·<br />

_________ 30<br />

29 e –0,1758t –0,1758t<br />

30 __________<br />

· 29 e<br />

·<br />

+ 1 29 e –0,1758t –0,1758t<br />

____________<br />

30 · 29 e<br />

=<br />

+ 1 ( 29 e –0,1758t + 1) 2<br />

____________<br />

(29 e –0,1758�t 2 = f ′(t)<br />

+ 1)<br />

f(t) erfüllt die Differentialgleichung f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))<br />

195<br />

– 0,1758t<br />

152,946 e<br />

=<br />

2) Das Einkommen eines aufstrebenden Wirtschaftszweiges wird näherungsweise durch<br />

6<br />

___________ 210 · 10<br />

die Funktion h mit h(t) =<br />

9,488 e – 0,47t prognostiziert. Dabei ist t die Zeit in Jahren.<br />

+ 1<br />

Bestätigen Sie, dass das Anfangseinkommen etwa bei 20 · 10 6 GE beträgt.<br />

Bestimmen Sie die Sättigungsgrenze.<br />

Skizzieren Sie das Schaubild von h in ein geeignetes Koordinatensystem.<br />

Bestimmen Sie den Zeitpunkt der Trendwende.<br />

Lösung<br />

6<br />

________ 210 · 10 6<br />

Anfangseinkommen: h(0) =<br />

9,488 + 1<br />

= 20,02 · 10<br />

6<br />

___________ 210 · 10<br />

Sättigungsgrenze: Für t → ∞: h(t) =<br />

9,488 e – 0,47t + 1<br />

→ 210 · 10 6 wegen e – 0,47t → 0<br />

Ableitung: h′(t) = – 210 · 10 6 – 0,47t<br />

__________________________<br />

· (– 0,47) · 9,488 e<br />

– 0,47t<br />

(9,488 e + 1) 2<br />

h′(t) = 936,4656 · 10 6 – 0,47t<br />

_________________ · e<br />

(9,488 e – 0,47t + 1) 2<br />

· 10 y<br />

200<br />

h′ hat eine Maximalstelle in t 1 = 4,787.<br />

150<br />

Der Graph von h hat in t 1 eine Wendestelle.<br />

100<br />

Nach etwa 5 Jahren nimmt die Zuwachsrate<br />

50<br />

des Einkommens wieder ab;<br />

Umstrukturierungen sollten geplant werden.<br />

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16<br />

t in Jahren x<br />

6


Wachstumsformen<br />

Exponentialfunktionen<br />

Exponentielles Wachstum: f(t) = a e kt<br />

Wachstum um den gleichen Faktor in der gleichen Zeiteinheit.<br />

f(t) erfüllt die Differentialgleichung (DGL): f ′(t) = k · f(t)<br />

– kt<br />

Beschränktes Wachstum: f(t) = G – (G – a) e<br />

f(t) erfüllt die Differentialgleichung: f ′(t) = k(G – f(t))<br />

____________ G · a<br />

Logistisches Wachstum: f(t) =<br />

– kGt mit Anfangsbestand f(0) = a<br />

a + (G – a) e<br />

f(t) erfüllt die Differentialgleichung: f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))<br />

Situation<br />

Eine Tierpopulation hat sich in 5 Jahren von 200 auf 250 Tiere vergrößert.<br />

a) Angenommen, die Vermehrung erfolgt exponentiell.<br />

Exponentielles Wachstum:<br />

Mit Anfangsbestand f(0) = a = 200 folgt aus f(5) = 250: 200 e 5k = 250 ⇒ k ≈ 0,0446<br />

Die Wachstumsgleichung f(t) = 200 e 0,0446t erfüllt die DGL: f ′(t) = k · f(t)<br />

b) Die Zahl der Tiere ist nach oben beschränkt mit G = 1000.<br />

Beschränktes Wachstum:<br />

Mit a = 200, Sättigungswert G = 100 folgt aus f(5) = 250: 1000 – 800 e – 5k = 250<br />

Wachstumskonstante k: k = – 1 __<br />

5<br />

ln(<br />

15 __<br />

16<br />

) ≈ – 0,0129<br />

Die Wachstumsgleichung f(t) = 1000 – 800 e – 0,0129t erfüllt die DGL f ′(t) = k(G – f(t)):<br />

Bestätigung durch Einsetzen: f ′(t) = 0,0129(1000 – 1000 + 800 e – 0,0129t – 0,0129t<br />

) = 10,32 e<br />

c) Die beste Näherung für die Vermehrung der Tiere erhält man, indem man logistisches<br />

Wachstum unterstellt.<br />

Logistisches Wachstum:<br />

Mit a = 200, G = 1000 folgt aus f(5) = 250:<br />

_____________<br />

1000 · 200<br />

200 + 800 e – 5000k = 250<br />

Wachstumskonstante k: k ≈ 0,0000575<br />

Die Wachstumsgleichung f(t) =<br />

– 0,0575t<br />

_______________<br />

9200000 e<br />

Bestätigung durch Einsetzen: f ′(t) =<br />

(200 + 800 e – 0,0575t 2<br />

)<br />

_____________<br />

1000 · 200<br />

200 + 800 e – 0,0575t erfüllt die DGL: f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))<br />

196


Exponentialfunktionen<br />

Aufgaben<br />

1. Zur Untersuchung eines Organs werden dem Patienten 59 mg eines Farbstoffes<br />

gespritzt. Der gesunde Körper baut pro Minute 4 % des Momentanbestandes ab.<br />

Ist der Patient gesund, wenn nach 20 Minuten noch 30 mg Farbstoff im Blut<br />

nachweisbar sind?<br />

2. Eine Musikagentur veröffentlicht eine CD „ Summer Hits“. In der ersten Verkaufswoche<br />

werden nur 135 CDs verkauft. Die Tabelle enthält die Verkaufszahlen der Folgewochen.<br />

Folgewoche Nummer 1 2 3<br />

Wöchentliche Verkaufszahl 223 371 600<br />

a) Die zeitliche Entwicklung der wöchentlichen Verkaufszahlen soll näherungsweise<br />

durch eine Exponentialfunktion vom Typ y = a e kt beschrieben werden.<br />

Begründen Sie, dass die vorliegenden Daten einen derartigen Ansatz rechtfertigen.<br />

Ermitteln Sie eine geeignete Funktion f.<br />

Wie viel CDs werden nach diesem Modell in der achten Folgewoche verkauft?<br />

In welcher Woche werden voraussichtlich erstmals über 20000 CDs verkauft?<br />

b) Die Marketingabteilung erwartet eine Entwicklung der wöchentlichen Verkaufszahlen<br />

_____________<br />

8100000<br />

gemäß der Funktion g mit g(t) =<br />

e 0,5t –0,5t (t Nummer der Folgewoche).<br />

+ 60000 e<br />

Begründen Sie, warum die Funktion g für die Entwicklung der wöchentlichen<br />

Verkaufszahlen realistischer ist als die Funktion f aus Teilaufgabe a).<br />

Wann ändern sich die wöchentlichen Verkaufszahlen am stärksten?<br />

Bestimmen Sie diese Änderungen.<br />

Interpretieren Sie Ihr Ergebnis mathematisch und ökonomisch.<br />

(Nach einer Prüfungsaufgabe BW.)<br />

3. Die Anzahl der pro Jahr in Deutschland installierten Industrieroboter wird näherungs-<br />

__________ 59000<br />

weise beschrieben durch f(t) =<br />

– 0,31t ; 0 ≤ t ≤ 4.<br />

1 + 7,95 e<br />

t = 0 entspricht dem Jahr 2000.<br />

a) Wie viele Roboter waren es im Jahre 2002?<br />

b) Nun soll f(t) auch im Zeitraum 0 ≤ t ≤ 30 gelten.<br />

In welchem Jahr wird der Markt etwa zu 99 % gesättigt sein?<br />

In welchem Jahr ist die größte jährliche Zuwachsrate zu erwarten?<br />

c) Zeigen Sie, dass f(t) die Differentialgleichung f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t)) erfüllt.<br />

197


Von der Änderungsrate zum Bestand<br />

Handlungssituationen<br />

Integralrechnung<br />

1) Der Hersteller JUKO hat beschlossen, seine Produktion zu erweitern. Dafür muss er<br />

Investitionen vornehmen, die die Gesamtkosten verändern. Die Gesamtkosten werden<br />

durch die Funktion K mit K(x) = e 0,2x ((x – 2) 2 + 20) angenähert.<br />

Dabei wird x in ME und K(x) in GE angegeben.<br />

Bestimmen Sie das Integral ∫0 2<br />

K ′(x)dx und interpretieren Sie das Ergebnis aus<br />

mathematischer und aus ökonomischer Sicht.<br />

Lösung<br />

Berechnung des Integrals: ∫0 2<br />

K ′(x)dx = [ K(x) ] 0<br />

2 = K(2) − K(0) ≈ 29,83 – 24 = 5,83<br />

Das Integral berechnet die Flächenmaßzahl zwischen Abszissenachse und<br />

dem Graph der Grenzkostenfunktion in dem Intervall [0; 2].<br />

Die Flächenmaßzahl beträgt ca. 5,83. Aus ökonomischer Sicht gibt dieser Wert<br />

die gesamten variablen Kosten bei einer Produktionsmenge von 2 ME an.<br />

Sie betragen also 5,83 GE.<br />

2) Der Konzern EABW befürchtet aufgrund der aktuellen wirtschaftlichen Lage, dass sich<br />

der Gewinn verringert. Die neue Gewinnfunktion G wird durch die Gleichung<br />

G(x) = 0,7x – 96 __<br />

x – 19,4 dargestellt. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 45 ME.<br />

45<br />

Bestimmen Sie die Gewinnschwelle x S und ermitteln Sie das Integral ∫ x G ′(x)dx .<br />

S<br />

Interpretieren Sie das Ergebnis aus mathematischer und aus ökonomischer Sicht.<br />

Lösung<br />

Gewinnschwelle x S : G(x) = 0 ⇔ x = 32 ⋁ x = − 4,29 < 0<br />

x = 32 ist die Gewinnschwelle<br />

45<br />

∫ G′(x)dx = G(45) − G(32) = G(45) ≈ 9,97<br />

32<br />

Interpretation: Das Integral berechnet die Maßzahl der Fläche zwischen der Abszissenachse<br />

und dem Graph der Grenzgewinnfunktion in dem Intervall [32; 45] . Die<br />

Flächenmaßzahl beträgt ca. 9,97. Aus ökonomischer Sicht gibt dieser Wert den zusätzlichen<br />

Gewinn bzw. die Gewinnänderung an, wenn statt 32 ME 45 ME produziert werden.<br />

In diesem Fall ist der Wert der Gewinn an der Kapazitätsgrenze.<br />

270


Integralrechnung<br />

Bedeutet f ′(x) eine Änderungsrate dann bedeutet ∫ a<br />

271<br />

b<br />

f ′(x)dx = f(b) – f(a)<br />

die Bestandsänderung<br />

• Grenzkosten (K′(x)) Zunahme der variablen Gesamtkosten<br />

bei Produktionserhöhung von a auf b<br />

• Grenzgewinn (G′(x)) Gesamtänderung des Gewinns bei Produktionserhöhung<br />

von a auf b<br />

• Wachstumsgeschwindigkeit<br />

Zunahme der Höhe<br />

{<br />

im Intervall [a; b]<br />

Zunahme der Bakterienzahl<br />

3) Die Wachstumsrate fototroper Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit wird durch die<br />

Funktion f mit f (t) = t · e – 0,5t ; t ∈ R* , in Zeiteinheiten (ZE) t, beschrieben.<br />

– 0,5t<br />

Zeigen Sie, dass zur Funktion f die Stammfunktion F mit F(t) = 4 – 4(1 + 0,5t) e<br />

gehört und dass lim F(t) = 0 gilt. Beschreiben Sie die Bedeutung von F im Sachkontext.<br />

t→ 0<br />

Zeigen Sie, dass die Funktion F für t → ∞ gegen eine endliche Zahl geht und<br />

bestimmen Sie diesen Grenzwert.<br />

Lösung<br />

– 0,5t<br />

Ableiten von F mit F(t) = 4 – 4(1 + 0,5t) e ergibt:<br />

F′(t) = 2(1 + 0,5t) e – 0,5t – 2 e – 0,5t = t e – 0,5t = f(t)<br />

lim F(t) = lim (4 – 4(1 + 0,5t) e<br />

t→ 0 t→ 0<br />

– 0,5t ) = lim (4) – lim 4(1 + 0,5t) e<br />

t→ 0 t→ 0<br />

– 0,5t = 4 – 4 = 0<br />

Bedeutung der Funktion F im Sachkontext<br />

Da f eine Wachstumsfunktion ist, also die Bestandsänderung pro Zeit beschreibt, ist ihr<br />

bestimmtes Integral über die Zeit der Bestand selbst, wenn man aus den Stammfunktionen<br />

die auswählt, die am Anfang den Wert 0 aufweist, genauer den Grenzwert 0 für t → 0.<br />

lim F(t) = lim<br />

t→ ∞ t→ ∞<br />

wegen lim<br />

t→ ∞<br />

(4 – 4(1 + 0,5t) e – 0,5t ) = 4<br />

– 4(1 + 0,5t) e – 0,5t = 0<br />

Der Exponentialsummand strebt gegen Null.<br />

y<br />

4<br />

3<br />

2<br />

1<br />

f<br />

0<br />

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />

F<br />

tx


Integralrechnung<br />

Aufgaben<br />

1. Die Glanz AG führt im Rahmen der Absatzplanung eine Kostenanalyse durch.<br />

Die Gesamtkostenfunktion K ist mit K(x) = 5 e – 0,1 x 2 + x<br />

+ 1 bekannt.<br />

x wird in ME und K(x) in GE gemessen.<br />

Bestimmen Sie den ökonomisch sinnvollen Defi nitionsbereich. Ermitteln Sie algebraisch<br />

die Grenzkostenfunktion K′. Bestimmen Sie das Integral ∫0 3<br />

K ′(x)dx und interpretieren Sie<br />

das Ergebnis aus mathematischer und aus ökonomischer Sicht.<br />

2. Ein Unternehmen stellt Glaskugeln für Großabnehmer her. Die Gesamtkosten und der<br />

Erlös lassen sich in Abhängigkeit der produzierten ME x beschreiben durch<br />

K(x) = 0,1 x 3 – 5 x 2 + 125x + 900 und durch E(x) = – 2,5 x 2<br />

+350x.<br />

30<br />

Bestimmen Sie das Integral ∫10 (E′(x) – K′(x)) dx und interpretieren Sie das Ergebnis<br />

aus mathematischer und aus ökonomischer Sicht.<br />

3. Der Kernzerfall als Ursache der natürlichen Radioaktivität ist ein Phänomen, das dem<br />

Geschwindigkeitsgesetz f(t) = a e – kt gehorcht. Dabei gibt f(t) näherungsweise die Anzahl<br />

der Zerfälle pro Tag an. Zu Beginn der Beobachtung von Radioiod werden 1000 Zerfälle<br />

pro Tag, 10 Tage später 422 Zerfälle pro Tag gemessen.<br />

a) Bestimmen Sie a und k und die Halbwertszeit von Radioiod.<br />

b) Wie viel Tage muss man warten, bis die durch Radioiod verursachte Radioaktivität<br />

auf 5 % des ursprünglichen Wertes abgesunken ist (was 95 % Zerfall bedeutet).<br />

c) Für die Funktion F gilt für t ≥ 0: F(0) = 0 und F′(t) = f(t).<br />

Bestimmen Sie den Funktionsterm. Welche physikalische Bedeutung hat F?<br />

d) Wie viel Kerne sind in den ersten zwanzig Tagen zerfallen?<br />

Wie groß ist die Anzahl der unzerfallenen Kerne bei Beobachtungsbeginn?<br />

4. Die Beschreibung und Vorhersage von Förderungsvorgängen von Rohstoffen wird mit<br />

– 0,1t<br />

_________ e<br />

der Funktion f mit f(t) = 100<br />

(1 + e – 0,1t ) 2<br />

; − 25 ≤ t ≤ 25 angemessen modelliert.<br />

Dabei gibt t den Zeitpunkt in Jahren und f(t) die zugehörige Förderungsrate in Einheiten ________<br />

Jahr<br />

an. Ermitteln Sie die Gesamtförderung zwischen den Zeitpunkten t = − 25 und t = 0 bzw.<br />

t = 0 und t = 25 sowie den Zeitpunkt der maximalen Förderungsrate und deren Größe.<br />

5. Ermitteln Sie die Grenzkostenfunktion K′, wenn die Stückkostenfunktion k mit<br />

k(x) = 0,4 x 2 – 2,4x + 5 + 16,8 ____<br />

x , x in ME, gegeben ist. Skizzieren Sie den Graphen der<br />

Grenzkostenfunktion K′ in einem geeigneten Koordinatensystem. Berechnen Sie die<br />

Maßzahl der Fläche unter dem Graphen von K′ im Intervall [0; 3] und interpretieren Sie<br />

Ihr Ergebnis aus wirtschaftlicher Sicht.<br />

272


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