Analysis

Ganzrationale Funktionen
2) Die Gesamtkosten eines Unternehmens lassen sich beschreiben durch die ganzrationale
Kostenfunktion K mit K(x) = x 3 – 9 x 2 + 28x + 25; x ≥ 0, x in ME, K(x) in GE.
Die Kapazitätsgrenze liegt bei 7 ME.
Skizzieren Sie die zugehörige Kostenkurve.
Berechnen Sie den Wendepunkt und die Steigung der Wendetangente.
Interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.
Lösung
Ableitungen: K′(x) = 3 x 2 – 18x + 28;
K′′(x) = 6x – 18; K′′′(x) = 6 ≠ 0
y
100
Wendepunkt
80
K
Bedingung: K″(x) = 0
60
0 = 6x – 18 ⇔ x = 3
40
Mit K′′′(x) = 6 ≠ 0 und K(3) = 55 ergibt sich der
20
Wendepunkt W(3 | 55).
0
0 2 4 6
Steigung der Wendetangente: K′(3) = 1
x
Im Wendepunkt hat K die kleinste Steigung K′(3) = 1
In x W = 3 ist der Kostenzuwachs am geringsten.
Die minimale Kostenänderung bei einer Erhöhung der Ausbringungsmenge um eine ME
beträgt 1 GE.
Bis x W wachsen die Kosten degressiv (K ist rechtsgekrümmt; K″(x) < 0),
für x > x W wachsen die Kosten progressiv (K ist linksgekrümmt; K″(x) > 0).
x W heißt Schwelle des Ertragsgesetzes.
Die ganzrationale Kostenfunktion K 3. Grades heißt ertragsgesetzlich.
3) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Angebotsfunktion p A mit p A (x) = 1 __
12 x 2 + x
streng monoton steigend und linksgekrümmt verläuft.
Lösung
Ableitungen: p′ A (x) = 1 __
6
x + 1; p′′ A (x) = 1 __
6
p A ist streng monoton steigend, wenn p′ A (x) > 0: 1 __
6
x + 1> 0 ⇔ x > – 6
p A ist linksgekrümmt, wenn p′′ A (x) > 0: 1 __
6
> 0
Die Angebotsfunktion p A verläuft für x ≥ 0 streng monoton steigend und linksgekrümmt.
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