Notizen zu Mechanik

Für den Gesamtschwerpunkt müssen alle Einzelschwerpunkte berücksichtigt werden, da ihre
Gewichtung im Nenner von Gleichung (27.1) unabhängig von der Schwerpunktlage eingeht
(d. h. auch bei xi = 0). Wenn Teilsysteme nicht hinzugefügt, sondern entfernt werden sollen
(z. B. Aussparungen auf einer Platte), dann geht die dazugehörige Gewichtung Gi negativ
ein. Beim Linienschwerpunkt ergeben sich durch Aussparungen zusätzliche Linien, die
(positiv) berücksichtigt werden müssen. Je nach Lage des Koordinatensystems ändern sich
die Entfernungen der Teilschwerpunkte xi und des Gesamtschwerpunkts xs.
c) Guldinsche Regeln
z
y
x
y
SA
SL
Ein Schnittelement (dargestellt in der Mitte) soll um eine Achse gedreht werden. Mit Hilfe
der beiden Guldinschen Regeln kann das Volumen bzw. die Oberfläche des Rotationskörpers
durch Größen am Schnittelement bestimmt werden.
Um die Oberfläche O des Rotationskörpers zu be-
stimmen, kann Gleichung (28.1) benutzt werden. Im
Schnitt müssen der Abstand dL vom Linienschwer-
L
A
x
z
y
x
O = 2πdLL (28.1)
punkt SL zur Rotationsachse und die Gesamtlinienlänge L (Umfang) bestimmt werden.
Hier ist zu beachten, dass Linien auf der Drehachse nach der Rotation keine äußeren Linien
mehr sind und somit nicht zur Gesamtlinienlänge L zählen.
Analog wird für das Volumen V die Querschnittsfläche
A und der Abstand dA vom Flächenschwerpunkt SA
zur Rotationsachse bestimmt und in Gleichung (28.2)
eingesetzt.
Beispiel
Obefläche und Volumen bei Rotation um die x- bzw. y-Achse:
y
a
l
l
h
a
a
x
V = 2πdAA (28.2)
Orot,x = 2π(h + l
)(6l − 2a)
2
[L=6l−2a]
Vrot,x = 2π(h + l
2 )(3al − 2a2 ) [A=3al−2a2 ]
Orot,y = 2π(2l 2 + 3al − 3a 2 ) [L=5l−2a]
Vrot,y = 2π(al 2 + a2
2 l − a3 ) [A=3al−2a 2 ]
Je nach Lage des Koordinatensystems ändern sich die Entfernungen der Teilschwerpunkte
xi und des Gesamtschwerpunkts xs.
28
Beispiel