Übung 2 - Minterme und Maxterme (DNF, KNF) - Technische ...

Universität Duisburg-Essen Prof. Dr. -Ing. A. Hunger WS 12/13
Technische Informatik
Übung: Grundlagen der technischen Informatik Übung 2
1. Boolesche Algebra und Schaltalgebra
2) Min-, Maxterme; DNF, KNF
Minterm:
Eine konjunktive Verknüpfung aller Eingangsvariablen (in negierter oder nicht
negierter Form) heißt Minterm (oder Vollkonjunktion).
Maxterm:
n
k = ∏
i=
1
b
i
b
1
b
2
m A i = A 1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 ⋅L
⋅ A n mit
b
3
b n
b
A
i i
⎧ Ai
für bi
= I
= ⎨
⎩Ai
für bi
= 0
Eine disjunktive Verknüpfung aller Eingangsvariablen (in negierter oder nicht
negierter Form) heißt Maxterm (oder Volldisjunktion).
n
k = ∑
i=
1
Normalform:
b
i
b
1
b
2
M A i = A 1 + A 2 + A 3 + L + A n mit
b
3
b n
A
b
i i
⎧ Ai
für b =
=
i I
⎨
⎩Ai
für bi
= 0
Normalformen sind quasi standardisierte Darstellungen von Booleschen Funktionen.
Disjunktive Normalform (DNF):
Werden alle Minterme mk einer Booleschen Funktion f(A1, A2, ... An) disjunktiv
miteinander verknüpft, bei denen der Funktionswert f den Wert logisch 1 aufweist, so
erhält man die Disjunktive Normalform.
f ( A , A ,... A ) =
1
2
n
∑
k
m
c
k
k
mit
c ⎧mk
für ck
= I
mk
= ⎨
⎩0
für ck
= 0
k
und ck = Funktionswert f in der k-ten Zeile der Wahrheitstabelle von f.
In der Literatur findet sich auch die Bezeichnung "vollständig Disjunktive
Normalform". Dabei drückt der Zusatz "vollständig" aus, dass die nach oben
beschriebenem Schema erstellte DNF noch nicht minimiert ist.
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Technische Informatik
Übung: Grundlagen der technischen Informatik Übung 2
Konjunktive Normalformen:
Werden alle Maxterme Mk einer Booleschen Funktion f(A1, A2, ... An) konjunktiv
miteinander verknüpft, bei denen der Funktionswert f den Wert logisch 0 aufweist, so
erhält man die Konjunktive Normalform (KNF).
Beispiel:
c
f( A
k
1,
A 2,...
An
) ΠMk
k
= mit
c ⎧Mk
Mk
= ⎨
⎩I
k
für
für
ck
= 0
ck
= I
und ck = Funktionswert f in der k-ten Zeile der Wahrheitstabelle von f.
A B C
Minterme, mk,
für f(A,B,C)=1
Maxterme, Mk,
für f(A,B,C)=0
0 0 0 A ⋅ B ⋅ C A + B + C
0 0 I A ⋅ B ⋅C
A + B + C
0 I 0 A ⋅ B ⋅ C A + B + C
0 I I A ⋅ B ⋅C
A + B + C
I 0 0 A ⋅ B ⋅ C A + B + C
I 0 I A ⋅ B ⋅ C A + B + C
I I 0 A ⋅ B ⋅ C A + B + C
I I I A ⋅ B ⋅ C A + B + C
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Technische Informatik
Übung: Grundlagen der technischen Informatik Übung 2
1.2 Aufgabe
Die Funktion Y = ABD + C + ACD + B ist in die vollständige Disjunktive Normalform zu
bringen
a) durch Anwendung der Booleschen Gesetze,
b) durch Aufstellen der Funktionstabelle.
A B C D
0 0 0 0
0 0 0 I
0 0 I 0
0 0 I I
0 I 0 0
0 I 0 I
0 I I 0
0 I I I
I 0 0 0
I 0 0 I
I 0 I 0
I 0 I I
I I 0 0
I I 0 I
I I I 0
I I I I
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