Derivate und Bewertung Wintersemester 2005/06

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Derivate und Bewertung Wintersemester 2005/06

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Klausur

Derivate und Bewertung

. . . . . . . . . .

Wintersemester 2005/06

Dr. Daniel Sommer

Marie-Curie-Str. 30

60439 Frankfurt am Main


Klausur Derivate und Bewertung

Wintersemester 2005/06

Aufgabe 1: Statische Optionsstrategien

Betrachten Sie eine Aktie S. Diese Aktie zahle während der Laufzeit der in dieser Aufgabe betrachteten

Optionen keine Dividende.

a) Was sagt die Put-Call-Parität für Europäische Optionen auf Aktien aus, die während der Optionslaufzeit

keine Dividende zahlen? Geben Sie zur Beantwortung dieser Frage die entsprechende

Gleichung an und erläutern Sie die von Ihnen gewählte Notation.

b) Leiten Sie die Aussage unter a) mittels eines No-Arbitrage-Arguments her.

c) Was versteht man unter einem Box-Spread bestehend aus Europäischen Optionen auf Aktien,

die während der Optionslaufzeit keine Dividenden zahlen? Geben Sie das Portfolio an und erläutern

Sie die von Ihnen gewählte Notation.

d) Zeichnen Sie das Pay-Off-Profil der Einzelkomponenten und des kompletten Box-Spreads unter

c) zum Zeitpunkt der Fälligkeit der Optionen (D.h. Anfangsinvestitionen bleiben bei der

Darstellung unberücksichtigt.).

e) Leiten Sie aus einem No-Arbitrage-Argument den Preis des Box-Spreads unter c) her.

f) Betrachten Sie folgende Preise von Europäischen Optionen auf die Aktie S. Die Laufzeit aller

Optionen ist gleich. Nehmen Sie an, Sie können zum aktuellen Zeitpunkt t0 diese Optionen zu

den aufgeführten Preisen in beliebigen Stückzahlen kaufen und verkaufen.

Strike = 50 EUR Strike = 70 EUR

Call 9,9996 EUR 0,5941 EUR

Put 0,3785 EUR 10,7246 EUR

Benutzen Sie die Put-Call-Parität und den Box-Spread und bestimmen Sie den Kurs der Aktie

S zum aktuellen Zeitpunkt t0.

2


Aufgabe 2: Exotische Optionen, Sensitivitäten und dynamische Modelle

Betrachten Sie den dividendengeschützten Aktienindex I. Eine Bank emittiert eine Anleihe, deren

Verzinsung von der Performance dieses Index abhängt. Die Ausstattungsmerkmale der Anleihe

sind wie folgt:

Nominal: 100 EUR

Laufzeit: 2 Jahre

Rückzahlung: 100 EUR pro 100 EUR Nominal

Coupon: Jahr 1: 0% vom Nominal;

Jahr 5: 0% vom Nominal, falls der Index nach Ablauf von 2 Jahren unter 40 notiert

10% vom Nominal, falls der Index nach Ablauf von 2 Jahren bei oder über 40

notiert

a) Zeichnen Sie den Graphen der Höhe der Couponzahlung in EUR je 100 EUR Nominal nach

Ablauf von 5 Jahren in Abhängigkeit vom Indexstand.

b) Durch welche exotische Option lässt sich die Couponzahlung am Ende des zweiten Jahres darstellen?

Geben Sie die Formel für den Payoff der Option an. Nehmen Sie dabei an, dass je 100

EUR Nominal der Anleihe mit jeweils einer Option verbunden sind.

c) Zum Zeitpunkt der Emission der Anleihe können die in der Tabelle am Ende der Teilaufgabe

dargestellten Standardoptionen auf den Index mit einer Laufzeit von 2 Jahren zu den in der

Tabelle angegebenen Werten in beliebiger Menge gekauft und verkauft werden. Wählen Sie

aus diesen Optionen ein Portfolio aus Standardoptionen aus, dessen Payoff folgende Bedingungen

erfüllt:

i. Der Payoff ist immer mindestens so groß ist wie die Couponzahlung.

ii. Bei einem Indexstand von 30 und niedriger beträgt der Payoff Null.

iii. Bei einem Indexstand von 40 und mehr entspricht der Payoff exakt der Couponzahlung.

Zeichnen Sie den Graphen des Payoffs, der sich aus diesem Portfolio von Standardoptionen

zum Zeitpunkt der Fälligkeit (d.h. ohne Berücksichtigung von Anfangsinvestitionen) ergibt.

Strike = 20

EUR

Strike = 30

EUR

Strike = 40

EUR

Strike = 50

EUR

Strike = 60

EUR

Call 30,98 21,56 13,04 6,79 3,13

Put 0,00 0,09 1,09 4,35 10,20

d) Bestimmen Sie unter Nutzung des in c) ermittelten Portfolios und der dort angegebenen Optionspreise

einen approximativen Wert für den Coupon dieser Anleihe zum Emissionszeitpunkt.

e) Betrachten Sie die folgenden Grafiken 1-4 von Sensitivitäten von Portfolien aus Standardoptionen.

Die Grafiken zeigen jeweils das Delta, Gamma und Theta des jeweiligen Portfolios.

Welche der Grafiken passt in einer arbitragefreien Welt am besten zu dem unter c) zu ermittelnden

Portfolio? Begründen Sie KURZ Ihre Antwort, indem Sie z.B. bei den nicht in Frage

kommenden Grafiken auf einen Punkt hinweisen, der in einer arbitragefreien Welt nicht zu

dem unter c) zu ermittelnden Portfolio paßt.

3


1

2

3

4

Delta

Delta

Delta

Delta

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

Portfolio-Delta

0

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

Aktienkurs

Portfolio-Delta

0

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

-0,1

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

Aktienkurs

Portfolio-Delta

0

-0,1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

0,3

0,2

0,1

-0,2

Aktienkurs

Portfolio-Delta

0

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

-0,1

Aktienkurs

Gamma

Gamma

Gamma

Gamma

0,04

0,03

0,02

0,01

-0,02

-0,03

Portfolio-Gamma

0

-0,01 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

0,03

0,02

0,01

-0,02

-0,03

-0,04

Aktienkurs

Portfolio-Gamma

0

-0,01 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

0,03

0,02

0,01

-0,02

-0,03

Aktienkurs

Portfolio-Gamma

0

-0,01 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

0,03

0,02

0,01

-0,02

-0,03

Aktienkurs

Portfolio-Gamma

0

-0,01 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Theta

Theta

Theta

Theta

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,4

-0,6

Portfolio-Theta

0

-0,2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

0,6

0,4

0,2

-0,4

-0,6

-0,8

Aktienkurs

Portfolio-Theta

0

-0,2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

-0,4

-0,6

-0,8

-1

-1,2

-1,4

Aktienkurs

Portfolio-Theta

0

-0,2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

1

0,8

0,6

0,4

0,2

Aktienkurs

Portfolio-Theta

0

-0,2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

-0,4

Aktienkurs

f) Die emittierende Bank hat zur exakten Berechnung des Wertes des Coupons einen Binomialbaum

für den Indexwert aufgestellt und in diesem Binomialbaum den Coupon durch Rückwärtsinduktion

(Erwartungswertbildung und Diskontierung) berechnet. Die folgende Grafik

zeigt die Situation vor dem letzten Rückwärtsinduktionsschritt von t1 nach t0. Die in der Grafik

angegebenen Preise der AD-Securities PV1(t0,0;t1,0) und PV1(t0,0; t1,1), die in t1 in Zustand 0

bzw. 1 genau einen EUR auszahlen, wurden mit Hilfe von duplizierenden Portfolien in Index

und Nullcouponanleihe ermittelt. Beurteilen Sie anhand dieser Preise, ob das in der Grafik gezeigte

Modell arbitragefrei ist.

I

( t 0 , 0)

= 50

( t0

, t1

) = 0,99376949

( t 0 , 0;

t1

, 1)

= 0,50316188

( t , 0;

t , 0)

= 0,49060761

B

PV1

PV1

0

1

I

( t1

, 1)

=

( t , t )

B

1

1

= 1

PVCoupon

I

( t1

, 0)

=

( t , t )

B

0

1

PVCoupon

55,2585459

= 1

( t , 1)

= 12,0074119

1

45,2418709

( t , 0)

= 4,77171128

1

4


g) Geben Sie die Gleichungssysteme an, die die duplizierenden Portfolien in Index und Nullcouponanleihe

für die beiden AD-Securities jeweils erfüllen müssen. (Das Nachrechnen der angegebenen

Preise der AD-Securities ist ausdrücklich NICHT verlangt.)

h) Bestimmen Sie mit Hilfe der Preise der AD-Securities den Preis des Coupons zum Zeitpunkt

t0, bezeichnet mit PVCoupon(t0,0). Ist dieser Preis größer, kleiner oder gleich dem in d) ermittelten

Preis? Ist dieses Ergebnis intuitiv sinnvoll? Begründen sie KURZ Ihre Antwort.

5


Aufgabe 3: Zinsen

Gegeben seien die folgenden Preise von Nullkuponanleihen

B

( t , t ) = ; B(

t , t ) = 0,94176453;

B(

t , t ) = 0,90032452

0

1

0,97530991 0 2

0 3

für die Laufzeiten von einem, zwei und drei Jahren.

Außerdem sei gegeben der Swapsatz für einen Zinsswap mit einer Laufzeit von 4 Jahren

sw

( t , t ) = 4,0292816% .

0

4

a) Erläutern Sie, was ein Zinsswap ist. Gehen Sie dabei besonders auf die wesentlichen Parameter

ein, die bei Abschluß eines Swaps vereinbart werden müssen, um die Höhe der Zahlungen aus

dem Swap eindeutig zu bestimmen (Angaben zum Settlement der Zahlungen wie z.B. Kontoangaben

brauchen nicht erwähnt zu werden). Was versteht man unter den Begriffen Payer- und

Receiver-Swap?

b) Welche Beziehung besteht zwischen dem Swapsatz und den Preisen von Nullkuponanleihen?

Drücken Sie in einer allgemeinen Formel unter Benutzung der obigen Notation den 4-Jahres-

Swapsatz durch die Preise von Nullkuponanleihen aus.

c) Ermitteln Sie den Preis der Nullkuponanleihe B(t0,t4).

d) Ein Marktteilnehmer möchte heute (Zeitpunkt t0) mit Ihnen ein FRA abschließen, das nach 3,5

Jahren beginnt und in 4 Jahren fällig wird. Ermitteln Sie den Preis der Nullkuponanleihe mit

Fälligkeit zum Zeitpunkt 3,5 Jahre durch lineare Interpolation der Continuously Compounded

Nullkuponrenditen der Nullkuponanleihen mit Fälligkeit 3 Jahre und 4 Jahre. Bestimmen Sie

sodann den heutigen Terminpreis für den Kauf in 3,5 Jahren einer Nullkuponanleihe mit einer

Laufzeit von 0,5 Jahren.

e) Betrachten Sie nun einen in der Vergangenheit abgeschlossenen Swap mit einer Restlaufzeit

von 3 Jahren, dessen Zahlungen exakt zu den gleichen Terminen erfolgen wie die eines heute,

d.h. in t0 abgeschlossenen Swaps mit einer Laufzeit von 3 Jahren. Der Swapsatz dieses in der

Vergangenheit abgeschlossenen Swaps betrage 3%. Bewerten Sie diesen Swap auf Basis der

heute, d.h. im Zeitpunkt t0, geltenden Preise von Nullkuponanleihen. Geben Sie den Lösungsweg

an.

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