1. Eine Leiter hat 9 Sprossen in gleichmäßigen Abständen. Die erste ...

1. Eine Leiter hat 9 Sprossen in gleichmäßigen Abständen. Die erste Sprosse ist 30 cm hoch, die letzte
2,10 m. Berechne die Höhe der anderen Sprossen!
a1 = 30 und a9 = 210
a9 = a1 + 8k : 210 = 30 + 8k → k = 22,5
a1 = 30;a2 = 52,5;a3 = 75;a4 = 97,5,5;a5 = 120,5;a6 = 142,5;a7 = 165;a8 = 187,5;a9 = 210
2. Eine Maschine hat einen Neuwert von 60000 Euro. Nach 5 Jahren beträgt der Wert bei linearer
Abschreibung (d.h. jedes Jahr wird derselbe Betrag abgeschrieben) nur noch 35000 Euro. Gib den
Wert nach 1, 2, 3, 4 Jahren an. Nach wieviel Jahren ist die Maschine ganz abgeschrieben?
Anfangswert: a0 = 60000
nach 1 Jahr: a1 = = 55000
nach 2 Jahren: a2 = = 50000
nach 3 Jahren: a3 = = 45000
nach 4 Jahren: a4 = = 30000
nach 5 Jahren: a5 = a0 + 5k → 35000 = 60000 + 5k → k = −5000
an = 60000 − 5000k
Wert 0: 60000 − 5000k = 0 → k = 12
Nach 12 Jahren ist der Wert auf 0 gesunken!
3. Ein Sportler bereitet sich auf einen Marathonlauf vor. Am ersten Tag läuft er 5000 m. Er hat vor,
drei Wochen lang seine Leistung täglich um 500 m zu steigern. Wie weit läuft er am 21. Tag? Welche
Strecke legt er in den drei Wochen insgesamt zurück?
Tag 1: a1 = 5000
Tag 2: a2 = 5500
Tag 3: a3 = 6000
...
Tag n: an = 5000 + (n − 1) · 500
Tag 21: a21 = 5000 + 20 · 500 = 15000
Gesamtstrecke: s21 = 21
2
· (5000 + 15000) = 210000 m = 210 km
4. Bei einem Wettbewerb werden 10 Preise vergeben. Der 1. Preis beträgt 1500 Euro, jeder weitere
Preisträger erhält um 100 Euro weniger als der vorige. Wie hoch ist der 10. Preis? Berechne die
Summe aller Preise.
1. Preis: a1 = 1500
2. Preis: a2 = 1400 = 1500 − 100
3. Preis: a3 = 1300 = 1500 − 2 · 100
...
10. Preis : a10 = 1500 − 9 · 100 = 600
Summe aller Preise: s10 = 10
2
· (1500 + 600) = 10500
1

5. Sterne werden nach ihrer scheinbaren Helligkeit in Größenklassen eingeteilt, die eine geometrische
Folge bilden. Ein Stern 1. Größe ist dabei 100mal so hell wie ein Stern 6. Größe. Angenommen, ein
Stern 6. Größe hat die Helligkeit 1. Wie hell sind dann Sterne 1., 2., 3., 4. und 5. Größe?
1. Größe: b1
2. Größe: b2 = b1 · q
3. Größe: b3 = b1 · q 2
4. Größe: b4 = b1 · q 3
5. Größe: b5 = b1 · q 4
6. Größe: b6 = b1 · q 5
b1 = 100 · b6 → b1 = 100 · b1 · q 5 → q = 5√ 0,01 ≈ 0,3981
1. Größe: b1 = 100
2. Größe: b2 = 100 · 0,3981 = 39,81
3. Größe: b3 = b1 · q 2 = 100 · 39,81 2 ≈ 15,84
4. Größe: b4 = b1 · q 3 = 100 · 39,81 2 ≈ 6,31
5. Größe: b5 = b1 · q 4 = 100 · 39,81 2 ≈ 2,51
6. Größe: b6 = b1 · q 5 = 1
6. Wenn die Frequenz eines Tons verdoppelt wird, klingt er um eine Oktav höher. Bei der gleichschwebendtemperierten
Stimmung von Musikinstrumenten wird eine Oktav in 12 Halbtöne eingeteilt, deren
Frequenzen eine geometrische Folge bilden. Berechne die Frequenzen aller Halbtöne zwischen a 1
(440 Hz) und a 2 (880 Hz)!
a 1 b0 = 440
1. Halbtonschritt: b1 = b0q
2. Halbtonschritt: b2 = b0q 2
3. Halbtonschritt: b3 = b0q 3
...
11. Halbton: b11 = b0q 11
12. Halbtonschritt = a 2 b12 = b0q 12 → 880 = 440q 12 → q = 12√ 2 ≈ 1,059
Frequenzfolge: 440 − 465,96 − 493,45 − 522,57 − 553,40 − 586,05 − 620,62 − 657,24 − 696,02 −
737,08 − 780,57 − 826,62 − 880
7. Ein Kind baut einen Turm aus 8 Plastikwürfeln. Die Seitenlänge des 1. Würfels beträgt 12 cm, jeder
weitere hat die 0,8-fache Seitenlänge des vorigen. Welche Seitenlänge hat der 8. Würfel? Welches
Volumen hat der 1. bzw. 8. Würfel? Wie hoch ist der Turm? Berechne die Summe der Rauminhalte
aller 8 Würfel!
1. Würfel: b1 = 12 mit V1 = 12 3 = 1728
2. Würfel: b2 = b1 · q = 12 · 0,8 = 9,6 mit V2 = 9,6 3 = 884,736
3. Würfel: b3 = b1 · q 2 = 12 · 0,8 2 = 7,68
...
8. Würfel: b8 = b1 · q 7 = 12 · 0,8 7 ≈ 2,52 mit V8 = 16
Höhe des Turmes: h = b1 + b2 + ... + b8 → h = s8 = b1 · 1−q8
1−q
Summe der Rauminhalte: V = V1 + V2 + ... + V8
geometrische Reihe mit q = V2
V1
V = V1 · 1−q8
1−q
= 1728 · 1−0,5128
1−0,512
2
= 884,736
1728
= 12 · 1−0,88
1−0,8
≈ 0,512
≈ 3524,26 cm3
≈ 49,93 cm

8. An einen Halbkreis mit dem Radius r wird ein halb so großer Halbkreis angefügt, daran wieder
ein halb so großer usw., so dass eine Spirale entsteht. Wie lang ist die Spirale, wenn sie aus 12
Halbkreisen besteht? Wie weit ist das Ende der Spirale von ihrem Anfangspunkt entfernt?
Länge der Spirale:
L = r1π + r2π + r3π + ... + r12π
L = r1π + 1
2 r1π + 1
L = rπ + 1
2
L = s12 = rπ 0,512 −1
0,5−1
2r2ππ + ... + r12π
1 rπ + 4rπ + ... +
1 11
2 π
≈ 6,28 · r
Entfernung Anfangspunkt-Endpunkt:
AE = 2r1 − 2r2 + 2r3 ± ... − 2r12
AE = 2r − r + 1
2r ± ... −
1 11
2 r
AE = s12 = 2r (−0,5)12 −1
−0,5−1
≈ 1,33 · r
9. In einem rechtwinkligen Dreieck bilden die Seiten eine arithmetische Folge. Die längere Kathete ist
20 cm lang. Berechnen Sie die fehlenden Seiten.
kürzere Kathete: 20 − k
längere Kathete: 20
Hypotenuse: 20 + k
PLS: (20 − k) 2 + 20 2 = (20 + k) 2 → k = 5
Die Seiten des Dreiecks sind 15, 20 und 25 cm lang!
10. Schalte zwischen 48 und 243 drei Zahlen so ein, dass eine geometrische Folge entsteht. Berechne
die fehlenden Glieder der Folge.
1. Zahl: b1 = 48
1. eingeschaltete Zahl: b2 = b1 · q = 48 · q
2. eingeschaltete Zahl: b3 = b1 · q 2 = 48 · q 2
3. eingeschaltete Zahl: b4 = b1 · q 3 = 48 · q 3
2. Zahl: b5 = 243 = b1 · q 4 = 48 · q 4 → q = 3
2
oder q = −3
2
Lösung 1: q = 3
2 → die eingeschobenen Zahlen lauten: 72, 108 und 162
Lösung 2: q = −3 2 → die eingeschobenen Zahlen lauten: −72, 108 und −162
11. Drei Zahlen bilden eine geometrische Folge. Ihre Summe betragt 14, ihr Produkt ist −1728. Bestimme
die drei Zahlen.
b1 und b2 = b1 · q und b3 = b1 · q 2
b1 + b2 + b3 = 14 b1 + b1 · q + b1 · q 2 = 14 → b1 · 1 + q + q 2 = 14 → b1 = 14
1+q+q 2
b1 · b2 · b3 = −1728 b1 ·1 ·q · b1 · q 2 = b 3 1 · q3 = −1728 → b1 · q = −12
3

14q
1+q+q 2 = −12
14q = −12 − 12q − 12q 2
12q 2 + 26q + 12 = 0
6q 2 + 13q + 6 = 0 ⇒ q = − 2
3
1. Lösung mit q = − 2
3
b1 = 18, b2 = −12 und b3 = 8
2. Lösung mit q = − 3
2
b1 = 8, b2 = −12 und b3 = 18
oder q = −3
2
12. Die Zahl 111 ist in drei Summanden zu zerlegen, die eine geometrische Folge bilden. Der mittlere
Summand ist 36. Wie heissen die beiden anderen?
b1 und b2 = b1 · q = 36 und b3 = b1 · q 2 = 36 · q
b1 + b2 + b3 = 111 b1 + b1 · q + b1 · q 2 = 111 → b1 · 1 + q + q 2 = 111 → b1 = 111
1+q+q 2
b1 · q = 36
111q
1+q+q 2 = 36
111q = 36 + 36q + 36q 2
36q 2 − 75q + 36 = 0 ⇒ q = 4
3
1. Lösung mit q = 3
4
b1 = 48, b2 = 36 und b3 = 27
2. Lösung mit q = 4
3
b1 = 27, b2 = 36 und b3 = 48
oder q = 3
4
13. Bestimme das Anfangsglied und die konstante Differenz der arithmetischen Folge! Berechne a10 und
a30!
a2 = 14 und a3 = 20: k = 6 a1 = 8 a10 = a1 + 9k = 62 a30 = a1 + 29k = 182
a3 = 15 und a4 = 9: k = −6 a1 = 27 a10 = a1 + 9k = −27 a30 = a1 + 29k = −147
a4 = 3 und a8 = 4: k = 1
4 = 0,25 a1 = 2,25 a10 = a1 + 9k = 4,5 a30 = a1 + 29k = 9,5
14. Geometrische Folge mit b4 = 24 und b6 = 96. Berechne q und s10!
b4 = 24 und b6 = 96 : Weil b6 = b4 · q 2 ist, erhält man: q = 2 oder q = −2
1. Lösung mit q = 2 → b1 = 3 und s10 = 3 · 210 −1
2−1
= 3069
2. Lösung mit q = −2 → b1 = −3 und s10 = −3 · (−2)10 −1
−2−1
4
= −1023

15. Arithmetische Folge: a12 = 42,a6 = 66. Berechne d und s10.
a6 = 66 und a12 = 42: Weil a12 = a6 + 6k ist, erhält man k = −4 und a1 = 86
s10 = 5 · (2 · 86 + 9 · (−4)) = 680
16. 22000 Einwohner leben in einer Stadt. Der jährliche Bevölkerungsrückgang beträgt 3%. Nehmen
wir an, dieser Rückgang ist konstant. Nach wie viel Jahren ist dann mit einem Einwohnerstand von
10000 zu rechnen?
Anfangswert: b0 = 22000
nach 1 Jahr: b1 = 22000 · 0,97
nach 2 Jahren: b2 = 22000 · 0,97 2
...
nach n Jahren: bn = 22000 · 0,97 n
Es dauert ca. 26 Jahre.
10000 = 22000 · 0,97 n → 0,97 n = 5
11
5
ln 11
→ n = ln0,97 ≈ 25,86
17. Durch Erdbohrungen hat man festgestellt, dass in 30 m Tiefe unter der Erdoberfläche eine durchschnittliche
mittlere Jahrestemperatur von 10 ◦ C herrscht. Von hier an nimmt die Temperatur um
1 ◦ C auf je 33 m Tiefe zu. Wie hoch ist die Temperatur am Grunde eines 3231 m tiefen Bohrloches?
Temperatur in 30 m Tiefe: t30 = 10 = 10 + (30 − 30) · 1
Temperatur in 31 m Tiefe: t31 = 10 +
33
1
Temperatur in 32 m Tiefe:
33 =
t32 = 10 + 2 ·
1
= 10 + (31 − 30) · 33
1
...
33 = 1
= 10 + (32 − 30) · 33
Temperatur in n m Tiefe: tn = 10 + (n − 30) · 1
Temperatur in 3231 m Tiefe:
33
t3231 = 10 + (3231 − 30) · 1
Die Temperatur beträgt 107
33 = 107
◦ C
18. Die Summe von 3 Zahlen, die eine arithmetischen Folge bilden, ist 21, die Summe ihrer Quadrate
beträgt 347. Wie heissen die Zahlen?
1. Zahl: a1 = x − k
2. Zahl: a2 = x
3. Zahl: a3 = x + k
a1 + a2 + a3 = 21 : (x − k) + x + (x + k) = 21 → 3x = 21 → x = 7
a 2 1 + a2 2 + a2 3 = 347 : (x − k)2 + x 2 + (x + k) 2 = 347
x 2 − 2kx + k 2 + x 2 + x 2 + 2kx + k 2 = 347
3x 2 + 2k 2 = 347 → 147 + 2k 2 = 347 → k = 10 oder k − 10
1. Lösung mit k = 10 : die Zahlen lauten −3;7 und 17
2. Lösung mit k = −10 : die Zahlen lauten 17;7 und −3
19. Eine Turmuhr macht die Viertelstundenschläge (1 mal, dann 2 mal, 3 mal, 4 mal) sowie die Stundenschläge.
Wie oft schlägt sie in einer Woche?
Summe der Viertelstundenschläge an einem Tag: 24 · (1 + 2 + 3 + 4) = 240
Summe der Stundenschläge an einem Tag: 2 · (1 + 2 + 3 + ... + 12) = 2 · 12
2
Anzahl der Schläge in einer Woche: 7 · (240 + 144) = 768
5
· (1 + 12) = 144

20. Das 5. und das 25. Folgeglied einer arithmetischen Folge haben die Summe 101,2. Die Summe der
ersten 25 Folgeglieder beträgt 1335. Berechne die Summe aller Folgeglieder, welche grösser als 0
sind.
a5 + a25 = 101,2 : (a1 + 4k) + (a1 + 24k) = 101,2 → 2a1 + 28k = 101,2
a1 = 50,6 − 14k
s25 = 1335 : 25
2 · (2a1 + 24k) = 1335 → 25a1 + 300k = 1335
5a1 + 60k = 267
5 · (50,6 − 14k) + 60k = 267 → k = −1,4
a1 = 50,6 − 14k = 70,2
Bildungsgesetz der Folge: an = a1 + (n − 1)k
an = 70,2 + (n − 1) · (−1,4) = 71,6 − 1,4n
71,6 − 1,4n > 0 → 1,4n < 71,6 → n < 51,14
Die ersten 51 Glieder der Folge sind größer als 0!
s51 = 51
2
· (2 · 70,2 + 50 · (−1,4)) = 1795,2
21. Bei einer ansteigenden arithmetischen Folge beträgt der Quotient aus dem ersten und dem zweiten
Folgeglied 4. Das Produkt dieser Folgeglieder ist 144. Berechne die Summe der ersten 17 Glieder
dieser Folge.
a2
a1 = 4 : a2 = 4a1
a1 · a2 = 144 : a1 · 4a1 = 144 → 4a 2 1 = 144 → a1 = 6 oder a1 = −6
1. Möglichkeit: a2 = 4a1 = 24 und k = 18
2. Möglichkeit: a2 = 4a1 = −24 (scheidet aus, weil die Folge ansteigend ist!)
s17 = 8,5 · (12 + 16 · 18) = 2550
22. Es sollen 628 m Papier von der Stärke 0,2 mm auf eine Rolle gewickelt werden, die den Durchmesser
20 cm hat. Wie viele Lagen ergeben sich? Welchen Durchmesser hat die Papierrolle nach dem
Aufwickeln?
Länge der 1. Wicklung: a1 = 2r1 · π = 20π
Länge der 2. wicklung: a2 = 2r2 · π = 2(10 + 0,02) · π = 20,04π
Länge der 3. Wicklung: a3 = 2r3 · π = 2(10 + 2 · 0,02) · π = 20,08π
...
Es entsteht ein arithmetische Folge, weil
a2 − a1 = a3 − a2 = 0,04π
62800 = n
2 · (40π + (n − 1) · 0,04π) → n ≈ 618 oder (n ≈ −16,17)
Neuer Durchmesser: 20 + 2 · 618 · 0,02 = 44,72 cm
23. Bei Werkzeugmaschinen haben Getriebe in der Regel geometrische Drehzahlabstufungen. Die Maschine
soll 12 verschiedene Drehzahlen n1 = 12,...,n12 = 530 aufweisen. Wie groß ist der Stufensprung
q und wie gross siend die Drehzahlen n5 und n8?
n1 = 12
n2 = n1 · q
n3 = n1 · q 2
...
n12 = n1 · q 11 = 530 → 12q 11 = 530 → q = 11
530
11
n5 = 12 · 1,41 4 ≈ 47,43 und n8 = 12 · 1,41 7 ≈ 132,96
6
≈ 1,41

24. Von einer GF weiss man, dass die Summe des 1. und 3. Gliedes −26 und die Summe des 2. und 4.
Gliedes 39 beträgt. Bestimme s20.
b1 + b3 = −26 : b1 + b1q 2 = −26 → b1(1 + q 2 ) = −26 → b1 = −26
1+q 2
b2 + b4 = 39 : b1q + b1q 3 = 39 → b1 · q · (1 + q 2 ) = 39
−26
1+q2 · q · (1 + q2 ) = 39 → −26q = 39 → q = −3 2 = −1,5
b1 = −26
1+q 2 = −26
1+ 9
4
s20 = −8 · (−1,5)2 0−1
−1,5−1
= −8
≈ 10637,62
25. Berechne das 1. Glied der GF mit b3 = 50 und b8 = 14814.
b8 = b3 · q 5 → 14814 = 50q 5 → q = 3,12
b3 = b1 · q 2 : 50 = b1 · 3,12 2 → b1 = 5,14
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