Die Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der ... - GSI

Die Laplace-Transformation
und ihre Anwendung in der
Elektrotechnik
Jürgen Struckmeier
j.struckmeier@gsi.de, www.gsi.de/˜struck
Vortrag im Rahmen des Winterseminars
” Aktuelle Probleme der Beschleuniger- und Plasmaphysik“
des Instituts für Angewandte Physik
der Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main
Riezlern, 3.–7. März 2008
Laplace-Transformation – p. 1

Überblick
• Mathematische Grundlagen der
Laplace-Transformation (LT)
• Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten
• Beispiel 1: LRC-Stromkreis
• Beispiel 2: Netzwerk-Analyse
• Ausblicke: Lösung von speziellen Typen von
gewöhnlichen Differentialgleichungen
mit variablen Koeffizienten
• Transformation von partiellen Differentialgleichungen
in gewöhnliche Differentialgleichungen
• Zusammenfassung
Laplace-Transformation – p. 2

Mathematische Grundlagen
Definition 1: Eine Abbildungsvorschrift T , die jeder
gegebenen Funktion f(t) eindeutig eine Funktion F(s)
zuordnet, heißt Funktionaltransformation:
f(t)
T
−→ F(s) ⇐⇒ T {f(t)} = F(s)
t bezeichnet die unabhängige Variable im Originalraum,
s die unabhängige Variable im Bildraum.
Laplace-Transformation – p. 3

Mathematische Grundlagen
Definition 1: Eine Abbildungsvorschrift T , die jeder
gegebenen Funktion f(t) eindeutig eine Funktion F(s)
zuordnet, heißt Funktionaltransformation:
f(t)
T
−→ F(s) ⇐⇒ T {f(t)} = F(s)
t bezeichnet die unabhängige Variable im Originalraum,
s die unabhängige Variable im Bildraum.
Definition 2: Eine Funktionaltransformation heißt Laplace-
Transformation L, wenn jeder Funktion f(t), t ∈Ê, die
für t > 0 definiert ist, eine komplexwertige Funktion
F(s), s ∈nach folgendem Muster zugeordnet wird:
∞
L {f(t)} = F(s) = f(t) e −st dt
0
Laplace-Transformation – p. 3

• Dies ist ein uneigentliches Integral!
❀Für s ∈existiert die Laplace-Transformierte von
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.
Laplace-Transformation – p. 4

• Dies ist ein uneigentliches Integral!
❀Für s ∈existiert die Laplace-Transformierte von
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.
• Die Menge dieser Punkte s ∈bildet das
Definitionsgebiet der Funktion F(s). Für physikalisch
sinnvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals
leer, jedoch muss ℜs > 0 gelten.
Laplace-Transformation – p. 4

• Dies ist ein uneigentliches Integral!
❀Für s ∈existiert die Laplace-Transformierte von
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.
• Die Menge dieser Punkte s ∈bildet das
Definitionsgebiet der Funktion F(s). Für physikalisch
sinnvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals
leer, jedoch muss ℜs > 0 gelten.
• Als Folge der Konvergenz des Integrals geht in
diesem Gebiet der Integrand mit t → ∞ gegen Null:
lim
t→∞ f(t) e−st = 0 ⇒ ℜs !
> 0.
Laplace-Transformation – p. 4

• Dies ist ein uneigentliches Integral!
❀Für s ∈existiert die Laplace-Transformierte von
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.
• Die Menge dieser Punkte s ∈bildet das
Definitionsgebiet der Funktion F(s). Für physikalisch
sinnvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals
leer, jedoch muss ℜs > 0 gelten.
• Als Folge der Konvergenz des Integrals geht in
diesem Gebiet der Integrand mit t → ∞ gegen Null:
lim
t→∞ f(t) e−st = 0 ⇒ ℜs !
> 0.
• Die reellwertige Funktion f(t) stellt i.a. eine messbare
Größe dar; die unabhängige Variable t ist dann die
Zeit. Ihr wird durch die Laplace-Transformation eine
komplexwertige Funktion F(s) zugeordnet, die einer
anschaulichen Deutung i.a. nicht zugänglich ist.
Laplace-Transformation – p. 4

Definition 3: Die Umkehroperation bezeichnet man als
inverse Laplace-Transformation:
L −1 {F(s)} = f(t).
Die direkte Berechnung der inversen Laplace-
Transformierten von F(s) erfordert i.a. eine aufwändige
Integration in der komplexen Ebene. In der Praxis können
für die Funktionen F(s) die transformierten Funktionen f(t)
aus Tafeln entnommen werden.
Laplace-Transformation – p. 5

Definition 3: Die Umkehroperation bezeichnet man als
inverse Laplace-Transformation:
L −1 {F(s)} = f(t).
Die direkte Berechnung der inversen Laplace-
Transformierten von F(s) erfordert i.a. eine aufwändige
Integration in der komplexen Ebene. In der Praxis können
für die Funktionen F(s) die transformierten Funktionen f(t)
aus Tafeln entnommen werden.
Folgerung 1: Aus der Linearität der Integrationsoperation
ergibt sich die Linearität der Laplace-Transformation:
L {af(t) + bg(t)} = a L {f(t)} + b L {g(t)}.
❀Man kann jeden Summanden einer Gleichung einzeln
für sich transformieren.
❀Konstante Faktoren bleiben unverändert.
Laplace-Transformation – p. 5

Folgerung 2: Als Laplace-Transformierte der abgeleiteten
Funktion f ′ (t) folgt mittels partieller Integration:
L {f ′ (t)} =
∞
0
f ′ (t) e −st dt
= f(t) e −st
∞
t=0
+ s
∞
0
f(t) e −st dt
= lim
t→∞ f(t) e −st − f(0) + s L {f(t)}.
Laplace-Transformation – p. 6

Folgerung 2: Als Laplace-Transformierte der abgeleiteten
Funktion f ′ (t) folgt mittels partieller Integration:
L {f ′ (t)} =
∞
0
f ′ (t) e −st dt
= f(t) e −st
∞
t=0
+ s
∞
0
f(t) e −st dt
= lim
t→∞ f(t) e −st − f(0) + s L {f(t)}.
Der Grenzwertterm verschwindet im Definitionsgebiet von
F(s), wie oben festgestellt. Als Endergebnis erhält man
somit:
L {f ′ (t)} = s L {f(t)} − f(0) = sF(s) − f(0).
Laplace-Transformation – p. 6

Folgerung 3: Die Laplace-Transformierte der zweifach
abgeleiteten Funktion f ′′ (t) folgt durch zweifaches
Anwenden dieser Regel:
L {f ′′ (t)} = s 2 L {f(t)} − sf(0) − f ′ (0).
Entsprechend können die Laplace-Transformierten aller
höheren Ableitungsfunktionen gebildet werden.
❀Die Anzahl der eingehenden Anfangsbedingungen ist
gleich dem Grad der Ableitung der zu transformierenden
Funktion.
Laplace-Transformation – p. 7

Folgerung 3: Die Laplace-Transformierte der zweifach
abgeleiteten Funktion f ′′ (t) folgt durch zweifaches
Anwenden dieser Regel:
L {f ′′ (t)} = s 2 L {f(t)} − sf(0) − f ′ (0).
Entsprechend können die Laplace-Transformierten aller
höheren Ableitungsfunktionen gebildet werden.
❀Die Anzahl der eingehenden Anfangsbedingungen ist
gleich dem Grad der Ableitung der zu transformierenden
Funktion.
Folgerung 4: Als Laplace-Transformierte des Einheitssprungs
Θ(t) = 0,t ≤ 0, Θ(t) = 1,t > 0 erhalten wir:
L {Θ(t)} =
∞
0
1 e −st dt = − 1
s e−st
∞
t=0
= 1
s
für ℜs > 0.
Laplace-Transformation – p. 7

Folgerung 5: Die Laplace-Transformierte der
Integralfunktion von f(t) kann aus den Folgerungen 2
und 4 ermittelt werden. Mit φ ′ (t) = f(t) folgt einerseits:
L {φ(t)} = 1 1
L {f(t)} +
s s φ(0).
Andererseits folgt aus der Linearität der LT:
⎧ ⎫
⎨t
⎬
L f(τ)dτ = L {φ(t) − φ(0)Θ(t)}
⎩ ⎭
0
⎧
⎨
L
⎩
0
t
⎫
⎬
f(τ)dτ
⎭
= L {φ(t)} − φ(0) L {Θ(t)}
=s −1
= 1
s
= 1
s
1 1
L {f(t)} + φ(0) −
s s φ(0)
L {f(t)} = F(s)
s .
Laplace-Transformation – p. 8

Die Ableitung und das Integral einer gegebenen Funktion
f(t) erscheint im Raum der Laplace-transformierten
Funktionen als Multiplikations- bzw. Divisionsoperation.
❀Wir können dies bei der Lösung von Differentialgleichungen
auszunutzen, d.h. sie mittels Laplace-
Transformation in algebraische Gleichungen überführen:
g f(t),f ′ (t),...,f (n) (t) = 0
L
−→ h
s,F(s)
Letztere lassen sich i.a. leicht nach der Funktion F(s)
auflösen. Die gesuchte Lösungsfunktion f(t) der Dgl.
ergibt sich daraus durch die inverse LT:
f(t) = L −1 {F(s)}.
= 0.
Hierbei wird die Tatsache ausgenutzt, dass die inverse
Laplace-Transformierte eindeutig bestimmt ist, wenn wir
Null-Funktionen ausschließen.
Laplace-Transformation – p. 9

Der direkte Weg zur Lösung einer inhomogenen linearen
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht
aus drei Schritten:
• Bestimmung der allgemeinen Lösung der
zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Laplace-Transformation – p. 10

Der direkte Weg zur Lösung einer inhomogenen linearen
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht
aus drei Schritten:
• Bestimmung der allgemeinen Lösung der
zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
• Berechnung einer speziellen Lösung der
inhomogenen Differentialgleichung (z.B. mit der
Methode der Variation der Konstanten). Die
Linearkombination dieser beiden Lösungen stellt die
allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung dar.
Laplace-Transformation – p. 10

Der direkte Weg zur Lösung einer inhomogenen linearen
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht
aus drei Schritten:
• Bestimmung der allgemeinen Lösung der
zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
• Berechnung einer speziellen Lösung der
inhomogenen Differentialgleichung (z.B. mit der
Methode der Variation der Konstanten). Die
Linearkombination dieser beiden Lösungen stellt die
allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung dar.
• Einsetzen der Anfangsbedingungen, d.h. Anpassen
der Integrationskonstanten der allgemeinen Lösung
der Differentialgleichung.
Laplace-Transformation – p. 10

Der Weg über die Laplace-Transformation verläuft
demgegenüber folgendermaßen:
• Die Differentialgleichung wird zusammen mit den
Anfangsbedingungen in eine algebraische Gleichung
überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung
somit im Hinblick auf die Anfangsbedingungen
spezialisiert.
Laplace-Transformation – p. 11

Der Weg über die Laplace-Transformation verläuft
demgegenüber folgendermaßen:
• Die Differentialgleichung wird zusammen mit den
Anfangsbedingungen in eine algebraische Gleichung
überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung
somit im Hinblick auf die Anfangsbedingungen
spezialisiert.
• Das Auflösen der Gleichung im Bildraum, d.h. die
explizite Darstellung der Funktion F(s), ist nur ein
algebraisches Problem.
Laplace-Transformation – p. 11

Der Weg über die Laplace-Transformation verläuft
demgegenüber folgendermaßen:
• Die Differentialgleichung wird zusammen mit den
Anfangsbedingungen in eine algebraische Gleichung
überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung
somit im Hinblick auf die Anfangsbedingungen
spezialisiert.
• Das Auflösen der Gleichung im Bildraum, d.h. die
explizite Darstellung der Funktion F(s), ist nur ein
algebraisches Problem.
• Die Rücktransformationen müssen i.a. nicht „zu Fuß“
berechnet werden, da die rücktransformierten
Funktionen f(t) für gegebenes F(s) in Tafeln
nachgeschlagen werden können.
Laplace-Transformation – p. 11

Lineare Schaltungen bestehen aus parallel und
hintereinander geschalteten Kombinationen von
Ohmschen Widerständen R, Induktivitäten L und
Kapazitäten C:
u(t) = R i(t), u(t) = L di(t)
dt
, u(t) = 1
C
t
0
i(τ)dτ.
Laplace-Transformation – p. 12

Lineare Schaltungen bestehen aus parallel und
hintereinander geschalteten Kombinationen von
Ohmschen Widerständen R, Induktivitäten L und
Kapazitäten C:
u(t) = R i(t), u(t) = L di(t)
dt
Im s-Raum heißt das:
, u(t) = 1
C
t
0
i(τ)dτ.
U(s) = R I(s), U(s) = sLI(s), U(s) = I(s)
sC .
Als Impedanzen, also den Quotienten von Spannung und
Strom, haben wir somit:
ZR(s) = R, ZL(s) = sL, ZC(s) = 1
sC .
Laplace-Transformation – p. 12

Lineare Schaltungen bestehen aus parallel und
hintereinander geschalteten Kombinationen von
Ohmschen Widerständen R, Induktivitäten L und
Kapazitäten C:
u(t) = R i(t), u(t) = L di(t)
dt
Im s-Raum heißt das:
, u(t) = 1
C
t
0
i(τ)dτ.
U(s) = R I(s), U(s) = sLI(s), U(s) = I(s)
sC .
Als Impedanzen, also den Quotienten von Spannung und
Strom, haben wir somit:
ZR(s) = R, ZL(s) = sL, ZC(s) = 1
sC .
Alle diese Schaltungselemente können nun auf gleiche
Weise nach den Kirchhoffschen Gesetzen (Knoten- und
Maschenregel) behandelt werden.
Laplace-Transformation – p. 12

Beispiel 1:
LRC-Stromkreis
C =
R = 16 Ω
1
i(t)
gegeben : u(t), sowie die Konstanten L,R,C
gesucht : i(t)
1. Schritt: Aufstellen der Dgl. für i(t) mittels Maschenregel.
50 F
u(t) = 30 V, t > 0
£L =
2 H
Für die Summe aller Spannungsabfälle ui(t) entlang einer
Masche gilt:
ui(t) = 0.
i
Laplace-Transformation – p. 13

Für den Fall des Fall LRC-Stromkreises heißt das:
L di(t)
dt
+ R i(t) + 1
C
t
0
i(τ)dτ − u(t) = 0.
Der Zeitpunkt t = 0 wird so definiert, dass als
Anfangsbedingung gesetzt werden kann:
i(t) = 0 für t ≤ 0.
Laplace-Transformation – p. 14

Für den Fall des Fall LRC-Stromkreises heißt das:
L di(t)
dt
+ R i(t) + 1
C
t
0
i(τ)dτ − u(t) = 0.
Der Zeitpunkt t = 0 wird so definiert, dass als
Anfangsbedingung gesetzt werden kann:
i(t) = 0 für t ≤ 0.
2. Schritt: Die Laplace-Transformation der obigen Dgl.
ergibt mit den Bezeichnungen I(s) = L {i(t)} und
U(s) = L {u(t)}:
L [sI(s) − i(0) ] + R I(s) +
=0
1
Cs
I(s) = U(s).
Laplace-Transformation – p. 14

Im Bildraum erhält man also eine Gleichung von der Form
des Ohmschen Gesetzes:
Z(s)I(s) = U(s),
wenn mit Z(s) die Summe der Impedanzen bezeichnet
wird:
Z(s) = Ls + R + 1
Cs .
Laplace-Transformation – p. 15

Im Bildraum erhält man also eine Gleichung von der Form
des Ohmschen Gesetzes:
Z(s)I(s) = U(s),
wenn mit Z(s) die Summe der Impedanzen bezeichnet
wird:
Z(s) = Ls + R + 1
Cs .
3. Schritt: Die gesuchte Stromfunktion i(t) ergibt sich
schließlich durch die inverse Laplace-Transformation:
i(t) = L −1
U(s)
.
Ls + R + 1/Cs
Laplace-Transformation – p. 15

Zahlenbeispiel:
L = 2 H , R = 16 Ω , C = 1
50
F , u(t) =
30 V für t > 0
0 V für t ≤ 0.
Laplace-Transformation – p. 16

Zahlenbeispiel:
L = 2 H , R = 16 Ω , C = 1
50
F , u(t) =
30 V für t > 0
0 V für t ≤ 0.
Hieraus folgt für die transformierten Größen Z(s) und U(s)
und somit für I(s):
Z(s) = 2s + 16 + 50
s
U(s) = 30
s
=⇒ I(s) =
15
s 2 + 8s + 25 =
= 2
s (s2 + 8s + 25)
15
(s + 4) 2 + 3 2.
Laplace-Transformation – p. 16

Aus einer Tafel für (inverse) Laplace-Transformationen
entnehmen wir:
F(s) =
1
(s − b) 2 1
⇐⇒ f(t) =
+ a2 a ebt sin at.
Laplace-Transformation – p. 17

Aus einer Tafel für (inverse) Laplace-Transformationen
entnehmen wir:
F(s) =
1
(s − b) 2 1
⇐⇒ f(t) =
+ a2 a ebt sin at.
Im hier gewählten Beispiel haben wir: a = 3 und b = −4,
als Endergebnis schließlich:
i(t) = 5 e −4t sin 3t A
Laplace-Transformation – p. 17

Aus einer Tafel für (inverse) Laplace-Transformationen
entnehmen wir:
F(s) =
1
(s − b) 2 1
⇐⇒ f(t) =
+ a2 a ebt sin at.
Im hier gewählten Beispiel haben wir: a = 3 und b = −4,
als Endergebnis schließlich:
i(t) = 5 e −4t sin 3t A
Der maximale Strom fließt zum Zeitpunkt
und hat den Wert:
tmax = 1
3
tan−1 3
4
s ≈ 0, 2145 s
i(tmax) = 5 e −4tmax sin 3tmax A ≈ 1, 27215 A.
Laplace-Transformation – p. 17

i(t) [A]
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t [s]
Zeitlicher Verlauf der Stromfunktion i(t).
Laplace-Transformation – p. 18

Beispiel 2: Netzwerk-Analyse
Allgemeines Netzwerk aus drei Maschen mit beliebigen
Impedanzen Zi:
Z1
Ue(s)
I1(s)
I2(s)
I3(s)
Ua(s)
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Laplace-Transformation – p. 19

Beispiel 2: Netzwerk-Analyse
Allgemeines Netzwerk aus drei Maschen mit beliebigen
Impedanzen Zi:
Z1
Ue(s)
I1(s)
I2(s)
I3(s)
Ua(s)
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Die Maschenregel führt im Bildraum zu dem linearen
System von Gleichungen
Ue(s) = a11(s)I1(s) + a12(s)I2(s) + a13(s)I3(s)
0 = a21(s)I1(s) + a22(s)I2(s) + a23(s)I3(s)
0 = a31(s)I1(s) + a32(s)I2(s) + a33(s)I3(s).
Laplace-Transformation – p. 19

Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten anm und
den Impedanzen Zi ist:
a11 = Z1 + Z2, a12 = −Z2, a13 = 0
a21 = −Z2, a22 = Z2 + Z3 + Z4, a23 = −Z4
a31 = 0, a32 = −Z4, a33 = Z4 + Z5 + Z6.
Laplace-Transformation – p. 20

Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten anm und
den Impedanzen Zi ist:
a11 = Z1 + Z2, a12 = −Z2, a13 = 0
a21 = −Z2, a22 = Z2 + Z3 + Z4, a23 = −Z4
a31 = 0, a32 = −Z4, a33 = Z4 + Z5 + Z6.
Das Gleichungssystem kann nun mit Hilfe der Cramerschen
Regel nach den Strömen Ij(s) aufgelöst werden.
Zwei charakteristische Systemgrößen sind die
Eingangsimpedanz Ze(s) und die dimensionslose
Übertragungsfunktion ZT(s)
wobei
Ze(s) = Ue(s)
I1(s) , ZT(s) = Ua(s)
Ue(s) ,
Ua(s) = Z6(s)I3(s).
Laplace-Transformation – p. 20

Pol-Nullstellen Diagramm
Die Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm
(PN-Plan) dargestellt.
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:
• einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom
Laplace-Transformation – p. 21

Pol-Nullstellen Diagramm
Die Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm
(PN-Plan) dargestellt.
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:
• einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom
• imaginäre Pole: Sinuswelle konstanter Amplitude
Laplace-Transformation – p. 21

Pol-Nullstellen Diagramm
Die Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm
(PN-Plan) dargestellt.
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:
• einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom
• imaginäre Pole: Sinuswelle konstanter Amplitude
• komplexe Pole in der linken Halbebene: exponentiell
abklingende Sinuswelle (Einschwingvorgänge)
Laplace-Transformation – p. 21

Pol-Nullstellen Diagramm
Die Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm
(PN-Plan) dargestellt.
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:
• einfacher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom
• imaginäre Pole: Sinuswelle konstanter Amplitude
• komplexe Pole in der linken Halbebene: exponentiell
abklingende Sinuswelle (Einschwingvorgänge)
• Nullstelle: bei der Übertragungsfunktion bewirkt eine
Nullstelle einen Anstieg des Betrages, sowie eine
Phasendrehung um +90 ◦ bei der zu der Nullstelle
gehörenden Frequenz. Laplace-Transformation – p. 21

Spezielle variable Koeffizienten
Folgerung 6: Als Laplace-Transformierte der Funktion tf(t)
folgt mittels Differentiation unter dem Integralzeichen:
dF(s)
=
ds
d
∞
f(t) e
ds
−st ∞
∂
dt =
∂s f(t) e−st dt
= −
0
∞
L {tf(t)} = − dF(s)
ds .
0
tf(t) e −st dt = −L {tf(t)}
0
Laplace-Transformation – p. 22

Spezielle variable Koeffizienten
Folgerung 6: Als Laplace-Transformierte der Funktion tf(t)
folgt mittels Differentiation unter dem Integralzeichen:
dF(s)
=
ds
d
∞
f(t) e
ds
−st ∞
∂
dt =
∂s f(t) e−st dt
= −
0
0
∞
tf(t) e −st dt = −L {tf(t)}
L {tf(t)} = − dF(s)
ds .
Differentialgleichungen mit Koeffizienten, welche die
unabhängige Variable t in der Form t n f(t) enthalten,
können somit in einfachere Dgln. mit konstanten
Koeffizienten transformiert werden.
0
Laplace-Transformation – p. 22

Partielle Differentialgln.
Folgerung 7: Für eine Funktion f(x,t) folgt:
∂f(x,t) s.o.
L = sF(x,s) − f(x, 0)
∂t
∂f(x,t)
L
∂x
=
∞
∂f(x,t)
e
∂x
−st dt
0
= d
dx
∞
0
f(x,t) e −st dt = dF
dx
.
s
Laplace-Transformation – p. 23

Partielle Differentialgln.
Folgerung 7: Für eine Funktion f(x,t) folgt:
∂f(x,t) s.o.
L = sF(x,s) − f(x, 0)
∂t
∂f(x,t)
L
∂x
=
∞
∂f(x,t)
e
∂x
−st dt
0
= d
dx
∞
0
f(x,t) e −st dt = dF
dx
.
s
Partielle Differentialgleichungen können somit in
gewöhnliche transformiert werden (bei festgehaltenem s).
❀Durch Rücktransformation der Lösung der gewöhnlichen
Dgl. erhalten wir die Lösung der partiellen Dgl.
Laplace-Transformation – p. 23

Zusammenfassung
• Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung
gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen
von Erregungen und Antworten.
Laplace-Transformation – p. 24

Zusammenfassung
• Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung
gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen
von Erregungen und Antworten.
• Für die Theorie der Laplace-Transformationen
bedeutet dies, die Variable s durch iω, also einen rein
imaginären Wert, zu ersetzen.
Laplace-Transformation – p. 24

Zusammenfassung
• Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung
gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen
von Erregungen und Antworten.
• Für die Theorie der Laplace-Transformationen
bedeutet dies, die Variable s durch iω, also einen rein
imaginären Wert, zu ersetzen.
• Die Laplace-Transformation beschreibt beliebige
Erregungen und Antworten. Sie liefert die
allgemeinste Lösung des Problems, welche sowohl
den Einschwingvorgang, als auch den stationären
Zustand umfasst.
Laplace-Transformation – p. 24

Zusammenfassung
• Die konventionelle komplexe Wechselstromrechnung
gilt nur für den Spezialfall sinusartiger Schwingungen
von Erregungen und Antworten.
• Für die Theorie der Laplace-Transformationen
bedeutet dies, die Variable s durch iω, also einen rein
imaginären Wert, zu ersetzen.
• Die Laplace-Transformation beschreibt beliebige
Erregungen und Antworten. Sie liefert die
allgemeinste Lösung des Problems, welche sowohl
den Einschwingvorgang, als auch den stationären
Zustand umfasst.
• Dieser Vortrag kann heruntergeladen werden von
“http://www.gsi.de/ ˜struck”
Laplace-Transformation – p. 24