Diplomarbeit Quantitative Analyse des Ausscheidungs- verhaltens ...

getrennt. Unter diesen Annahmen ergibt sich aus Gleichung 4.9 die nachfolgende
Formel.
dΣ
dΩ
( ) 1
2
= ⋅ ( ρ − ρ β ) ⋅ ∫ξ
() r
2
q i⋅q⋅r
3
α ⋅ e d r
(4.10)
Vat
V
Die Integration erstreckt sich wieder über das gesamte durchstrahlte
Probenvolumen V. Die Funktion ξ(r) ist 1, wenn r innerhalb der β-Phase liegt und
ansonsten 0. Aufgrund des Babinetschen Prinzips kann man die Phasen α und β
natürlich vertauschen. Das Integral enthält nur mehr Informationen über
geometrische Aspekte der Inhomogenitäten und gibt keinen Aufschluss über
deren inneren (atomaren) Aufbau. Im nächsten Schritt wird der sogenannte
Streukontrast ∆ρ eingeführt. In dieser Formel ist N α bzw. N β die Anzahl der
Atome pro Einheitsvolumen in der Phase α bzw. β.
( ρ − ρ )
2
2
α α
∆ρ = = ⎜
α β ⎜∑
N j ⋅b
j −∑
j
j
⎛
⎝
N
β
j
⋅b
β
j
⎞
⎟
⎠
2
(4.11)
Für Flüssigkeiten und auch für viele Festkörper (Polykristalle ohne Textur), gibt
es keine Richtungsabhängigkeit der gestreuten Intensität. Bei solchen sphärisch
isotropen Systemen ist es ausreichend, eine sphärisch gemittelte Intensität zu
betrachten. Abbildung 4.1 zeigt den typischen Messaufbau einer Kleinwinkel-
Anlage mit zweidimensionalem Detektorbild.
Monochromatische
Strahlquelle
Blenden
Probe
Abb. 4.1: Prinzipieller Aufbau eines Kleinwinkelstreuexperiments.
2θ
Beamstop
χ
2D-Detektor
Die sphärisch gemittelte Intensität Is errechnet sich mit folgender Formel. Die
Integration läuft über die Einheitskugel U mit dem Vektor n. χ und ϕ sind die
Winkel in Kugelkoordinaten.
I
s
1
4π
2
( q)
= ⋅ I(
q,
) ⋅d
n = ⋅ I(
q,
χ,
ϕ )
∫ ∫∫ ⋅sin
χ ⋅dχ
⋅
U
2ππ
1
n dϕ
(4.12)
4π
00
27