Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle - Reinhold Kainhofer

KAPITEL 7. MARKOV MODELLE 35
1. dt > 0 f.s., daher auch Yt > 0 f.s. ∀t = 1, . . . , T
2. dt ist Ft-messbar, daher auch Yt ∀t = 1, . . . , T
3. EP[dt+1|Ft] Def
Zt+1
= EP EP
Zt
St+1,
St
Ft
EP
EP [Zt+1/Zt| Ft]
= 1
Z
EP[Zt+1|Ft]
t Mart.
= 1
Z Zt=1
t
=h( e St, e St+1)
St = 1. Daher gilt
Lem. 7.2
Yt+1
EP
Yt
Ft
dt+1
= EP[h( St, St+1)| St]= 1EP[Zt+1/Zt| St] bed.EW
=
= 1 ,
weshalb Yt ein P-Martingal ist und daher EP[YT ] = EP[Y0] = EP[Z0] = 1 erfüllt.
Insgesamt wird also durch dQ
dP = YT ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Q ∼ P definiert.
Martingaleigenschaft von ( S0, . . . , ST ) bezüglich Q:
EQ[ St+1|Ft] Bayes
= EP[Yt+1 St+1|Ft]
EP[Yt+1|Ft]
=Yt
eSt+1 ist
eSt+1-mb
= EP EP
= EP[ St| St] = St.
Zt+1
Zt
Yt+1
= EP
Yt
dt+1
St+1Ft
St,
St+1 St
= EP
Lemma mit
h( e St, e St+1)=
dt+1 e St+r
= EP
Zt+1 St+1
Zt
dt+1 St+1| St
1
St = EP EP[Zt+1
Zt
St+1|Ft]
St
Bayes
= EQ ′ [ e St+1|Ft] Q′ -Mart.
= e St
Markov-Eigenschaft von ( S0, . . . , ST ) bezüglich Q: Sei g : R d → R beschränkt und messbar.
EQ[g( St+1|Ft] Bayes
= EP[Yt+1g( St+1)|Ft]
= EP[dt+1g(
EP[Yt+1|Ft]
St+1) |Ft]
Lemma
= EP[dt+1g( St+1)| St] = . . .
Yt
=:h( e St, e St+1)
· · · = EQ[g( St+1)| St]
Korollar 7.4. Der Preis im Zustand F ∈ E hängt nicht von der Vergangenheit ab, sondern nur vom
momentanen Zustand:
Def. MM
St = EQ
St+s
ME
Ft = EQ
St+1
∀t, s
gesamter
bish. Verlauf
St
Knoten im
Baum/Gitter
Beispiel 7.2. Das Binomialmodell ist ein Spezialfall des Markov-Modells.
Bemerkung 7.5 (Faktormodell). Obige Eigenschaften gelten nur für deterministischen Zins rm. Ist das
Bankkonto nicht deterministisch, sondern stochastisch, ist St i.A. keine Markovkette mehr (auch wenn
Bt ein Markov-Prozess ist!).
Mögliche Lösung in diesem Fall: Marktmodell mit zugrunde liegendem Faktorprozess X (Markov-Prozess),
von dem das Bankkonto abhängt (z.B. Preise aller relevanten Wertpapiere).
1 Da σ( e St) ⊂ σ( e St, e St+1)