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Ubungen zur Mathematik f ur Chemiker - KOPS

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Universitat Konstanz,<br />

Fachbereich Chemie, Fachbereich <strong>Mathematik</strong> und Statistik,<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke<br />

Marz 2001<br />

<strong>Ubungen</strong><br />

<strong>z<strong>ur</strong></strong><br />

<strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> <strong>Chemiker</strong><br />

Ubungsaufgaben mit Losungsvorschlagen<br />

f<strong>ur</strong> die Ubungsstunden, die den im 1. Studienjahr statt ndenden<br />

K<strong>ur</strong>s '<strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> <strong>Chemiker</strong> ` begleiten.


Vorwort.<br />

Eine Hochschulausbildung in den Grundlagen der <strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> <strong>Chemiker</strong> ist ohne vorlesungsbe-<br />

gleitende <strong>Ubungen</strong> nicht denkbar, denen eher mehr Bedeutung zuzumessen ist wie der eigentlichen<br />

Vorlesung. Es ist sicher ein Schwachpunkt in den meisten Studienordnungen, dass sie dieser Tatsa-<br />

che n<strong>ur</strong> wenig Rechnung tragen. Denn wahrend uber die Inhalte einer '<strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> <strong>Chemiker</strong> `<br />

d<strong>ur</strong>chaus diskutiert werden kann | eine typische '<strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> <strong>Chemiker</strong> ` gibt es nicht, es wird,<br />

besonders f<strong>ur</strong> Studienanfanger, stets n<strong>ur</strong> eine Auswahl moglicher Inhalte zu tre en sein |, ist das<br />

Einuben und Anwenden der einen oder anderen mathematischen Methode unverzichtbar, weil hiermit<br />

| neben der Vermittlung konkreter <strong>Mathematik</strong> | auch die Kreativitat trainiert wird, ohne die ein<br />

Studium kaum Fruchte tragen kann.<br />

Die vorliegende Auswahl von Ubungsaufgaben deckt n<strong>ur</strong> einen Teil des in der Vorlesung behandelten<br />

Sto es ab, und auch hiervon kann | wegen der knapp bemessenen Zeit, die uns die Studienordnung<br />

f<strong>ur</strong> das Uben zugesteht | wiederum n<strong>ur</strong> ein Teil in den vorlesungsbegleitenden Ubungsstunden<br />

erarbeitet werden. Die nicht besprochenen Aufgaben eignen sich jedoch gut auch zum Wiederholen<br />

und Vertiefen, insbesondere als Vorbereitung f<strong>ur</strong> die Tests und die Abschluss-Klaus<strong>ur</strong>.<br />

Von den angegebenen Losungen und Losungswegen ist mit Bedacht Gebrauch zu<br />

machen! Sie sollten stets zunachst einmal vergessen, dass es solche gibt, und selbst versuchen,<br />

die Aufgaben zu losen. Das darf auch muhsam und anstrengend und mitunter sogar vergebens sein:<br />

dann erst, wenn sie eine Aufgabe in ihrer ganzen Problematik erfasst (oder erlitten) haben, ist es<br />

sinnvoll und nutzlich, den vorgeschlagenen Losungsweg anzusehen. Wenn dagegen sehr schnell zu<br />

den Losungen gegri en wird, verfehlen diese <strong>Ubungen</strong> in der Regel nicht n<strong>ur</strong> ihren Sinn, sie bewirken<br />

dann oft das Gegenteil dessen, was sie bewirken sollen. Denn ein plausibel beschriebener Losungsweg,<br />

dem kein eigener Losungsversuch vorangegangen ist, vermittelt eine falsche Sicherheit, lasst glauben,<br />

etwas verstanden zu haben, was nicht verstanden ist.<br />

Aus diesem Grund ist und war es immer umstritten, Lasungswege allzu bequem erreichbar bereit-<br />

zustellen. | Ich habe mich nach rei ichem Abwagen entschlossen, mit diesen <strong>Ubungen</strong> und ihren<br />

Losungen die Mundigen unter den Studentinnen und Studenten anzusprechen ...<br />

Es gibt zahlreiche Aufgabensammlungen auf dem Markt. Ich mochte drei von ihnen hervorheben,<br />

die mir besonders angemessen und hilfreich zu sein scheinen:<br />

Lothar Papula: <strong>Ubungen</strong> und Anwendungen <strong>z<strong>ur</strong></strong> <strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> <strong>Chemiker</strong>.<br />

Ferdinand Enke Verlag, Stuttgart.<br />

Lothar Papula: <strong>Ubungen</strong> <strong>z<strong>ur</strong></strong> <strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> Ingenie<strong>ur</strong>e.<br />

Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.<br />

J.Fuhrmann/H.G.Zachmann: Ubungsaufgaben <strong>z<strong>ur</strong></strong> <strong>Mathematik</strong> f<strong>ur</strong> <strong>Chemiker</strong>.<br />

VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim.


Teil I : Ubungsaufgaben.<br />

: Fingerubung, !! : wichtig und obligatorisch, ! : ebenfalls wichtig, : Zusatzaufgabe (bei Unterbelastung)<br />

Zu Lektion 1: Schreibweisen und Grundlagen.<br />

Aufgabe 1.1<br />

Berechne : 5! � 100!<br />

98! �<br />

Aufgabe 1.2<br />

5<br />

2<br />

!<br />

�<br />

13<br />

8<br />

!<br />

�<br />

100<br />

98<br />

!<br />

�<br />

(N +1)!<br />

N !<br />

(x +1) 4 =? � (x ; 2) 4 =? � 8a 3 ; 12a 2 +6a ; 1=(?; 1) ? .<br />

Aufgabe 1.3<br />

12X<br />

3 �<br />

Berechne:<br />

n=0<br />

Aufgabe 1.4<br />

Schreibe s = 1<br />

2<br />

Aufgabe 1.5 !!<br />

4X<br />

k=1<br />

k�<br />

5X<br />

j=2<br />

(j ; 1) �<br />

3X<br />

m=0<br />

2 3<br />

10<br />

+ + + +<br />

4 8 1024<br />

Berechne die Summen: S 1 =<br />

6X<br />

j=2<br />

(m +1)�<br />

(2j;2) � S 2 =<br />

und die geometrische Summe S 4(n� x) =<br />

Aufgabe 1.6 !!<br />

4Y<br />

k=1<br />

�<br />

k�<br />

als Summe s =<br />

nX<br />

k=2<br />

5X<br />

n=0<br />

2 k+2 x k;1 .<br />

!<br />

N +1<br />

(f<strong>ur</strong> N 2 IN 0 ).<br />

N<br />

4Y<br />

j=2<br />

?X<br />

n=1<br />

2 j �<br />

2<br />

n +1 � S 3 =<br />

2Y<br />

m=0<br />

2 m+2 .<br />

an mit geeigneten an .<br />

Mit der indizierten Gro e: xi = i 2 =2 f<strong>ur</strong> i 2 IN 0 und f<strong>ur</strong> N 2 IN sei S(N )=<br />

S(N ) und insbesondere die Werte S(5) und S(6) .<br />

Aufgabe 1.7 !<br />

Vereinfache die Doppelsummen: S 5(K� M) =<br />

S 7(N�M) =<br />

NX<br />

MX<br />

n=1 m=1<br />

KX<br />

MX<br />

k=0 m=1<br />

5X<br />

=0<br />

m<br />

k +1 � !! S 6(N )=<br />

a (1+b ) mit a = ;1 � b = ,<br />

NX<br />

j=0<br />

NX<br />

xj . Bestimme (allgemein)<br />

2kX<br />

k=1 n=k<br />

2 ;(k+n) und<br />

n(M ; m) und bestimme hiermit die Werte S 5(5� 6) � S 6(3) und S 7(3� 2)<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 1


Aufgabe 1.8 !!<br />

Berechne die Produkte: P 1(N )=<br />

P 3(N )=<br />

NY<br />

Aufgabe 1.9<br />

2kY<br />

k=1 n=k<br />

NY<br />

j=0<br />

2 j+1 , insbesondere P 1(4) � P 2 =<br />

2 ;(k+n) , insbesondere P 3(1) und P 3(2) .<br />

4Y<br />

kX<br />

k=1 j=1<br />

In einem Behalter be nden sich 20 verschieden-farbige Kugeln, u.a. eine rote und eine grune.<br />

(a) Wieviele Moglichkeiten gibt es, drei (verschiedene) Kugeln herauszugreifen?<br />

(k ; j +1) und<br />

(b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit n 1 daf<strong>ur</strong>, dass beim blinden Herausgreifen von drei Kugeln die<br />

rote und die grune Kugel dabei sind?<br />

(c) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit n 2 daf<strong>ur</strong>, dass beim blinden Herausgreifen von drei Kugeln die<br />

grune Kugel dabei ist?<br />

(Die elementare Wahrscheinlichkeit ist jeweils n =<br />

Aufgabe 1.10<br />

Ein Germane fertigt f<strong>ur</strong> seinen Sprossling eine<br />

Multiplikationstafel der nebenstehenden Art an: er<br />

kritzelt ein quadratisches Gitter in den Sand und<br />

legt jeweils in das j {te Feld der i {ten Reihe i j<br />

Steinchen (also z.B. 6 = 2 3 Steinchen in das<br />

3. Feld der 2. Reihe) . Wieviel Steinchen benotigt<br />

er insgesamt<br />

(a) f<strong>ur</strong> das kleine Einmaleins (M=N=10) ,<br />

(b) f<strong>ur</strong> das gro e Einmaleins (M=10, N=100) ?<br />

Anzahl der gunstigen Falle<br />

Anzahl der moglichen Falle .)<br />

1 2 3 N<br />

2 4 6 2N<br />

3 6 9 3N<br />

.<br />

.<br />

.<br />

M 2M 3M MN<br />

Zu Lektion 2: Ungleichungen, Betrag, Beschranktheit, Monotonie.<br />

Aufgabe 2.1<br />

Skizziere auf der reellen Zahlengeraden die folgenden Mengen:<br />

o n o<br />

(a)<br />

, (b) y 2 IR j 0 < jy ; 2j < 4 ,<br />

(c)<br />

n<br />

1<br />

x 2 IR jjx ; 2j < 2<br />

n o<br />

1<br />

z 2 IR jjz ; 2j > , (d)<br />

2<br />

n o<br />

w 2 IR j 1 < jw +3j < 4 .<br />

2 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

.


Aufgabe 2.2 !!<br />

Skizziere die folgenden Funktionen:<br />

(a) y = (3x +2); 1 , (c) y = j3x +2j;1 ,<br />

(b) y = (3x +2); 1 , (d) y = j3x +1j;1 .<br />

Aufgabe 2.3 !<br />

Skizziere in der x� y -Ebene den Bereich B : jx + yj 1 .<br />

Aufgabe 2.4 !<br />

Skizziere | ausgehend vom Graphen der Funktion y =lnx | ungefahr die Graphen der Funktionen:<br />

f 1(x) =j ln x j � f 2(x) =lnjxj � f 3(x) =lnjx +2j � f 4(x) =1; ln jx +2j � f 5(x) = 1 ; ln jx +2j .<br />

Zu Lektion 3: Konvergenz von Folgen und Funktionen.<br />

Aufgabe 3.1<br />

Bestimme (soweit vorhanden) die eigentlichen bzw. uneigentlichen Grenzwerte:<br />

2<br />

lim ; �<br />

n!1 n<br />

1 n +1<br />

lim 1 ; � lim �<br />

n!1 n n!1 n<br />

1 ; n<br />

lim<br />

n!1 n<br />

lim<br />

x!+0<br />

1<br />

� lim<br />

x x!;0<br />

Aufgabe 3.2 !!<br />

1<br />

� lim<br />

x x!0<br />

1<br />

� lim<br />

x x!1<br />

Bestimme die folgenden Grenzwerte:<br />

; 2 x +2 ;x :<br />

2n<br />

(a) lim<br />

n!1<br />

2 ; 1<br />

3n2 2n ; 1<br />

, (b) lim<br />

; 2n ; 1 n!1 3n2 ; 2n ; 1<br />

(2n ; 1)(3n +2)<br />

(d) lim<br />

n!1 9n2 , (e) lim<br />

; 2n ; 1<br />

n!1<br />

Aufgabe 3.3<br />

Ebenso:<br />

(g) lim<br />

n!1<br />

(h) lim<br />

n!1<br />

(j) lim<br />

n!1<br />

(2n 2 ; 1)(3n +2)(n ; 6)<br />

(5n +4)(3n 2 ; 2n ; 1)(n=2 ; 7) ,<br />

3<br />

1 ;<br />

2n<br />

3<br />

2 ;<br />

2n<br />

;4n=3<br />

;4=3n<br />

, (i) lim<br />

n!1<br />

, (k) lim<br />

n!1<br />

� lim<br />

n!1 1 ; 2;n � lim<br />

n!;1 1 ; 2;n und<br />

1 ; 1<br />

2n<br />

2 ; 3<br />

2n<br />

2n ; 3<br />

2n<br />

n<br />

;4n=3<br />

, (c) lim<br />

n!1<br />

, (f) lim<br />

n!1<br />

,<br />

2n 3 ; 1<br />

3n 2 ; 2n ; 1 ,<br />

1+ 1<br />

n<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 3<br />

;2=n<br />

.<br />

1=n<br />

.


Zu Lektion 4: Stetigkeit, Zahlenreihen.<br />

Aufgabe 4.1 !!<br />

Bestimme die eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwerte:<br />

(a)<br />

1X<br />

n=1<br />

2<br />

, (b)<br />

n<br />

Aufgabe 4.2 !!<br />

1X<br />

n=0<br />

3 ;n , (c)<br />

1X<br />

n=1<br />

3 ;n 4 n , (d)<br />

1X<br />

n=0<br />

4 2;n .<br />

Entscheide (mit Begrundung), ob die folgenden Reihen eigentlich oder uneigentlich konvergieren oder<br />

wesentlich divergieren (einige Grenzwerte kann man auch sofort angeben!):<br />

(a)<br />

(e)<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=0<br />

2<br />

2n , (b)<br />

+1<br />

e n2<br />

n!<br />

Aufgabe 4.3<br />

Ebenso: (i)<br />

Aufgabe 4.4 !<br />

, (f)<br />

1X<br />

n=3<br />

n!<br />

, (j)<br />

nn 1X<br />

n=0<br />

1X<br />

n=0<br />

cos 2 3n<br />

2 n , (c)<br />

2 ;n<br />

n!<br />

1X<br />

n=0<br />

, (g)<br />

n n<br />

n!<br />

, (k)<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=0<br />

3n +1<br />

2n2 , (d)<br />

+1<br />

n ;n 2 n , (h)<br />

(2n)!<br />

, (l)<br />

n! n!<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

n 3n +1<br />

(;1)<br />

2n2 1 ; 1<br />

n<br />

sin (1=n) .<br />

Uberprufe, ob die folgenden Funktionen stetig sind und an welchen Stellen (und von welcher Art) sie ggfs.<br />

jx +1j<br />

unstetig sind: (a) f (x) =<br />

x +1 , (b) g(x) =x3 ; 1<br />

x ; 1 , (c) h(x) = sin; x ;2 .<br />

Aufgabe 4.5 !<br />

Bestimme den Schnittpunkt der K<strong>ur</strong>ven y =ln 1 ; x<br />

x +1<br />

und y = x ; 2 .<br />

Zu Lektion 5: Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen.<br />

Aufgabe 5.1 !!<br />

Bestimme die Umkehrfunktion y = f ;1 (x) der Funktion f (x) =1+ln(1 ; x) .<br />

Aufgabe 5.2<br />

Bestimme die Werte z1 =lg1000�z2 =ln p e� z3 =log28� z4 = log4 16 � z5 = log16 4 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

1<br />

n<br />

.<br />

,<br />

1<br />

4 .


Aufgabe 5.3 !!<br />

Wie muss man g(0) de nieren, damit g(y) = ay ; 1<br />

y<br />

Aufgabe 5.4 !<br />

Bestimme den De nitionsbereich der Funktion:<br />

stetig ist? (a >0 )<br />

f (x) =3lg(1+x) +2lg 0:1(x ; 1) 1:5 , schreibe sie mit Hilfe des nat<strong>ur</strong>lichen Logarithmus',<br />

und vereinfache sie. An welcher Stelle x , hat sie den Funktionswert 1 ?<br />

Aufgabe 5.5 !!<br />

Welche Exponentialfunktion f (t) =ce t hat in einem halblogarithmischen Koordinatensystem (Abszisse<br />

normal, Ordinate dekadisch{logarithmisch unterteilt) die Form der Geraden y =2t ; 3 ?<br />

Aufgabe 5.6<br />

E ;<br />

Skizziere die K<strong>ur</strong>ve k = e RT f<strong>ur</strong> E<br />

R<br />

Trage hierzu als Ordinate lg k und als Abszisse 1<br />

T<br />

= 300 im Bereich von T =0 bis T =300.<br />

mit geeigneten Ma stabsfaktoren auf.<br />

Zu Lektion 6: Trigonometrische und hyperbolische Funktionen.<br />

Aufgabe 6.1<br />

Skizziere die K<strong>ur</strong>ven: (a) (x +1) 2 +(y ; 2) 2 =9, (b)<br />

(x +1)2<br />

(c) ;<br />

9<br />

(y ; 2)2<br />

(x +1)2<br />

=1, (d) ;<br />

16<br />

9<br />

(y ; 2)2<br />

= ;1 .<br />

16<br />

Aufgabe 6.2 !!<br />

(x +1)2<br />

+<br />

9<br />

(y ; 2)2<br />

=1,<br />

16<br />

Finde f<strong>ur</strong> die folgenden K<strong>ur</strong>venbogen jeweils eine geschlossene Darstellung und die ubliche Parameterdar-<br />

stellung:<br />

1. linker Halbkreis um (1� ;2) vom Radius 3 �<br />

2. 3. Kreisquadrant um (;2� 1) vom Radius 4 (also x ;2 � y 1 )�<br />

3. untere Halfte der Ellipse um (2� ;1) mit den Halbachsenlangen a =3 in x {Richtung und b =2 in<br />

y {Richtung�<br />

4. die obere Halfte des linken Zweiges der Hyperbel um (2� ;1) mit einer <strong>z<strong>ur</strong></strong> Abszisse parallelen Achse<br />

und den selben Halbachsenlangen wie in (3) �<br />

5. die linke Halfte des oberen Zweiges der Hyperbel wie in (4) , jedoch mit einer <strong>z<strong>ur</strong></strong> Ordinate parallelen<br />

Achse.<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 5


Aufgabe 6.3<br />

Skizziere in der x� y {Ebene die beiden Bereiche:<br />

B 1 : ;<br />

q 16 ; (x +3) 2 y 6 � ;5 x ;1 � B 2 : 4 (x ; 1) 2 +4(y ; 2) 2<br />

Zu Lektion 7: Polar- und Zylinderkoordinaten.<br />

Aufgabe 7.1<br />

Ersetze in dem Ausdruck: x 2 + y 2<br />

Polarkoordinaten r�'�# und vereinfache so weit wie moglich.<br />

Aufgabe 7.2<br />

16 .<br />

q x 2 + y 2 + z 2 die cartesischen Koordinaten x� y� z d<strong>ur</strong>ch raumliche<br />

Bestimme den Abstand d der in raumlichen Polarkoordinaten r�#�' gegebenen Punkte<br />

P =(3� =2 � =3) und Q =(2� =3 � ; =4).<br />

Aufgabe 7.3 !!<br />

Welche Polarkoordinaten (r�') hat der Punkt mit den cartesischen Koordinaten P (3� ;1) ?<br />

Aufgabe 7.4 !!<br />

Bestimme die Zylinderkoordinaten (r�'�z) � (r�'�x) und Polarkoordinaten (r�#�') des Punktes mit den<br />

cartesischen Koordinaten Q(2� 1� ;2) .<br />

Aufgabe 7.5<br />

Die K<strong>ur</strong>ve C habe die Polargleichung (= Gleichung in Polarkoordinaten r� '):<br />

r = 4cos'<br />

sin 2 '<br />

� 0 6= ' 2 [; =2 � =2] .<br />

(a) Wie lautet die Gleichung von C in cartesischen Koordinaten x� y ?<br />

(b) Skizziere C ungefahr und bestimme auf C den Punkt, der zum Wert ' = ; =4 gehort.<br />

(c) Was passiert bei ' =0?<br />

Zu Lektion 8: Di erentiation.<br />

Aufgabe 8.1<br />

Bestimme die Ableitungen f 0 (x) der folgenden Funktionen:<br />

(a) f (x) =x sin x , (b) f (x) = 1<br />

x sin x2 s<br />

x ; 1<br />

, (c) f (x) =<br />

x +1<br />

p q<br />

(d) f (x) = 2 ; x2 (e) f (x) =ln j2 ; x2 2<br />

j (f) f (x) =sin p x<br />

(g) f (x) = arccot x (h) f (x) =;x cot x +lnj sin xj (i) f (x) =2 x;1<br />

6 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001


Aufgabe 8.2 !!<br />

Bestimme den Gradienten und das totale Di erential der beiden Funktionen:<br />

P (V�T) = nRT<br />

q<br />

und r(x� y� z) = x2 + y2 + z2 V<br />

und au erdem alle Ableitungen von r(x� y� z) bis <strong>z<strong>ur</strong></strong> Gesamtordnung 2.<br />

Aufgabe 8.3 !<br />

Der Zusammenhang zwischen Dampfdruck P und Temperat<strong>ur</strong> T einer Flussigkeit ist<br />

gegeben d<strong>ur</strong>ch: ln P = ; A<br />

RT<br />

Aufgabe 8.4<br />

Bestimme die Geschwindigkeit d~x<br />

dt<br />

~x =(cost� sin t� t 2 ) � berechne auch<br />

Aufgabe 8.5<br />

+ C (A� R� C sind Konstanten) . Bestimme dP<br />

dT .<br />

eines Teilchens mit der Bahnk<strong>ur</strong>ve<br />

d(~x ~x)<br />

dt<br />

F<strong>ur</strong> welche Werte von a und an welcher Stelle x 0 beruhrt die K<strong>ur</strong>ve y = a x die Gerade y = x ?<br />

Aufgabe 8.6<br />

und<br />

d j~xj<br />

dt<br />

Bestimmme (mit der Grenzwertde nition!) die Ableitung f 0 (0) der Funktion<br />

f (x) =<br />

8<br />

<<br />

: x2 sin 1<br />

x<br />

f<strong>ur</strong> x 6= 0�<br />

0 f<strong>ur</strong> x =0:<br />

Uberprufe, ob die Ableitung f 0 (x) an der Stelle x =0 stetig ist, d.h. ob lim f<br />

x!0<br />

0 (x) =f 0 (0) .<br />

Zu Lektion 9: Mittelwertsatz der Di erentialrechnung.<br />

Aufgabe 9.1 !!<br />

Bestimme die Grenzwerte:<br />

(a)<br />

ln x<br />

lim ,<br />

x!1 x<br />

(b)<br />

ln x<br />

lim ,<br />

x!1 1 ; x<br />

(c)<br />

p p<br />

lim x ln x ,<br />

x!0<br />

(d)<br />

x<br />

lim ,<br />

x!1 x + sin x<br />

(e)<br />

x<br />

lim ,<br />

x!0 x + sin x<br />

(f) lim<br />

x!1 e;x2 x 4 +3x +1 ,<br />

(g) lim<br />

x!1 x;x , (h) lim x<br />

x!0<br />

p x<br />

, (i) lim x<br />

x!1<br />

1<br />

x;1 ,<br />

(j) lim<br />

x!0<br />

1<br />

sin x<br />

; cot x , (k) lim<br />

x! =2<br />

tan x<br />

, (l) lim<br />

tan 3x x!0<br />

.<br />

tan x<br />

tan 3x .<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 7


Aufgabe 9.2 !!<br />

Welcher prozentuale Fehler ergibt sich bei der Berechnung<br />

(a) des Flacheninhaltes eines Rechtecks mit den Seitenlangen a =2 und b =4 [LE] ,<br />

(b) des Rauminhaltes eines geraden Kreiskegels mit dem Grundkreisradius r =2 und der Hohe h =4<br />

[LE] ,<br />

wenn bei der Messung der Langen von a und r jeweils ein Messfehler von 3% und bei der Messung der<br />

Langen von b und h jeweils ein Messfehler von 5% entstanden ist?<br />

Zu Lektion 10: Potenzreihen und Taylorentwicklung.<br />

Aufgabe 10.1<br />

Die Funktion f (x� y) habe an der Stelle (0� 0) die Taylorentwicklung:<br />

f (x� y) =1; xy + x 3 y + ::: (Glieder hoherer Ordnung) .<br />

Welche Werte haben die folgenden Ableitungen an der Stelle (0� 0) ?:<br />

(a) @f<br />

@x , (b) @2f , (c)<br />

@x2 Aufgabe 10.2 !!<br />

@ 2 f<br />

@x@y<br />

, (d)<br />

@ 3 f<br />

@x 2 @y<br />

, (e)<br />

@3f , (f)<br />

@x@y2 Bestimme die Grenzfunktionen und Konvergenzbereiche der folgenden Reihen:<br />

(a) 1 ; x 2 + x 4 ; x 6 + x 8 ; + :::, (b)<br />

(c)<br />

1X<br />

n=0<br />

1<br />

n! (ln x)n , (d)<br />

Aufgabe 10.3 !!<br />

1X<br />

n=1<br />

(x ; 1) n<br />

(n ; 1)!<br />

1X<br />

n=1<br />

Bestimme die Potenzreihenentwicklung der Funktion<br />

x cos x ; sin x<br />

F (x) =<br />

x2 Aufgabe 10.4 !!<br />

5 ;(n+1) (2x ; 1) n ,<br />

und ermittle hiermit die Werte F (n) (0) f<strong>ur</strong> n 2 IN 0 .<br />

@ 4 f<br />

@x 3 @y .<br />

Approximiere die folgenden Funktionen d<strong>ur</strong>ch Polynome vom Grad 2 und bestimme hiermit jeweils nahe-<br />

rungsweise die Werte f (x 0 +0:1) (vergleiche mit den exakten Werten!) :<br />

(a) f (x) = 1<br />

1+x um x 0 =1� (b) f (x) = 2<br />

x 2 um x 0 = ;1 �<br />

(c) f (x) =lnx um x 0 =1� (d) f (x) =lnx um x 0 =2�<br />

(e) f (x) = cos x um x 0 = =3 � (f) f (x) = 3p x um x 0 =8.<br />

8 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001


Aufgabe 10.5 !!<br />

Bestimme den Anfang der Taylorentwicklung der beiden Funktionen:<br />

(a) f (x� y) =<br />

1<br />

1+x + x 2 + y 2<br />

(b) f (x� y� z) =ze ;r mit r =<br />

um (x� y) =(0� 1) (bis zu Gliedern der Ordnung 2 ),<br />

q x 2 + y 2 + z 2 um (x� y� z) =(1� 0� 0) (bis <strong>z<strong>ur</strong></strong> Ordnung 3 ).<br />

Zu Lektion 11: Fehlerabschatzung (II), Extrema, Hohenlinien.<br />

Aufgabe 11.1 !!<br />

Welcher prozentuale Fehler ergibt sich mit r = ;3 und t =4 bei der Berechnung des Wertes der Gro e<br />

A(r�t)=2+(r + 3)(t ; 4) ,wenn die Werte f<strong>ur</strong> r�t jeweils mit einem Fehler von etwa 5% behaftet sind?<br />

Aufgabe 11.2 !!<br />

Von der Funktion f (x) sind die folgenden Messwerte gegeben:<br />

x 0 1 2 3<br />

f (x) 1 2:5 4 5<br />

D<strong>ur</strong>ch welche Regressionsgerade y = ax + b kann f (x) angenahert werden?<br />

Aufgabe 11.3 !<br />

An welchen Stellen ist die Flache z = x 2 e ;y2<br />

Flache.<br />

Aufgabe 11.4 !<br />

minimal oder maximal? Skizziere die Hohenlinien dieser<br />

Einer Ellipse mit den Halbachsenlangen a� b soll ein achsenparalleles Recheck von maximalem Flacheninhalt<br />

einbeschrieben werden. Welchen Flacheninhalt (in % des Flacheninhaltes der Ellipse) hat dieses Rechteck?<br />

Aufgabe 11.5 !!<br />

Ermittle rechnerisch und mit Hilfe der Anschauung die Maxima der Funktion f (x� y) =e ;(x2 +y 2 ) unter<br />

der Nebenbedingung x + y =1.<br />

Zu Lektion 12: Bestimmtes und unbestimmtes Integral und<br />

Zu Lektion 13: Integrationsmethoden.<br />

Aufgabe 13.1 !!<br />

Bestimme die folgenden Integrale:<br />

Z Z<br />

(a) x ln xdx, (b) ln(3x ; 1) dx , (c)<br />

(d)<br />

Z<br />

x<br />

e sin xdx, (e)<br />

Z<br />

2<br />

cos !x dx , (f)<br />

Z<br />

sin 2x<br />

dx ,<br />

cos 2x<br />

Z<br />

3<br />

cos (2 ) d .<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 9


Aufgabe 13.2 !!<br />

Berechne das Integral<br />

Aufgabe 13.3<br />

Lose das Integral<br />

Aufgabe 13.4<br />

Bestimme die Integrale: (a)<br />

Aufgabe 13.5 !!<br />

Z<br />

dt<br />

8t 2 + b<br />

Berechne die bestimmten Integrale:<br />

(a)<br />

Z<br />

0<br />

a<br />

Aufgabe 13.6 !<br />

in den Fallen (a) b =2, (b) b = ;2 , und (c) b =0.<br />

Z p at 2 +4t + cdt mit (a) a =3�c=1, (b) a =3�c=2, (c) a = ;3 �c= ;1 .<br />

Z<br />

tanh x<br />

p cosh x ; 1 dx , (b)<br />

e 2t<br />

e 2t + e t ; 2<br />

Z<br />

1=2<br />

0<br />

Z 2 x + x +1<br />

dt , (b)<br />

x3 dx .<br />

; 1<br />

ln(1 ; 2x) dx , (c)<br />

Bestimme | auf zwei verschiedene Arten! | die Ableitung: d<br />

dy<br />

Aufgabe 13.7 !!<br />

Berechne mit Hilfe einer geeigneten Rek<strong>ur</strong>sionsformel die Integrale<br />

Aufgabe 13.8<br />

Z1<br />

0<br />

x 4 3p x 5 dx , (d)<br />

Z1<br />

0<br />

arctan x<br />

dx .<br />

y<br />

Z<br />

0<br />

1<br />

Z0<br />

;1<br />

dx<br />

x 2 + x ; 6 .<br />

x n e ;!x dx (n 2 IN 0 �!>0).<br />

Z Z<br />

n n<br />

Finde Rek<strong>ur</strong>sionsformeln f<strong>ur</strong> die Integrale In = x cos !x dx und Jn = x sin !x dx<br />

Z Z<br />

4 5<br />

(n 2 IN 0 ) und bestimme hiermit die Integrale: x cos !x dx � x sin !x dx .<br />

Aufgabe 13.9<br />

Bestimme uber die Reihenentwicklung des Integranden naherungsweise den Wert von I =<br />

Z1=2<br />

;1=2<br />

ln cos xdx.<br />

10 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001


Zu Lektion 14: Komplexe Zahlen.<br />

Aufgabe 14.1<br />

Bestimme f<strong>ur</strong> jede der folgenden komplexen Zahlen z den Betrag jzj :<br />

(a) z = ;3i (b) z =3+2i (c) z =3; 2i (d) z =(3; 2i)(2i +3)<br />

(e) z = e i (f) z = ;e ;i (g) z = 3+2i<br />

3 ; 2i<br />

(h) z = 1 1<br />

;<br />

1+i 1 ; i<br />

(i) z = e ;3i+7 (j) z = e 5 (k) z =4; 3 e i =2 (l) z = e 1<br />

13 i (9i ; p 19 )<br />

(m) z = ei<br />

i<br />

(n) z = e2i<br />

2i<br />

(o) z = ;83 e2463 i (p) z = e i =3 ;i =3<br />

; e<br />

(q) z =3 2i (r) z =5 ei e 5i (s) z = ;2 e ;(2=3) i (t) z = 1<br />

i<br />

Aufgabe 14.2<br />

Sei z0 =2e (4=3) i � z1 = i +1 und z2 = i . Skizziere die Mengen:<br />

n<br />

K1 = z 2 lC jjz ; z0j = 3<br />

o<br />

, 2<br />

n o<br />

3<br />

K2 = z 2 lC jjz ; z0j , 2<br />

n<br />

K3 = z 2 lC j z = z0 + rei' o<br />

3<br />

� 0 r � ' 2 [0� 2 ) ,<br />

2<br />

n o<br />

M0 = z 2 lC j 1 jzj 2 � [argz1 ] 0 [ arg z ] 0 [ arg z2 ] 0 ,<br />

n<br />

1<br />

M1 = z 2 lC j z 2 M o<br />

0 .<br />

Aufgabe 14.3 !!<br />

; i e; 2<br />

7 i<br />

Stelle die folgenden komplexen Zahlen sowohl in algebraischer als auch in exponentieller Form dar:<br />

(a) z 1 = ;2 e ;(3=4) i , (b) z 2 = 4+2i<br />

1+i , (c) z 3 = e ;i =4 (2i ; 1) .<br />

Aufgabe 14.4 !<br />

Bestimme und skizziere alle z 2 lC mit (a) z 4 =1, (b) 243 z 5 = ;1 .<br />

Aufgabe 14.5<br />

F<strong>ur</strong> welche z 2 lC ist z 2 = jzj 2 ?<br />

Zu Lektion 15: Schwingungen. Dgln. 1. Ordnung.<br />

Aufgabe 15.1 !<br />

Schreibe die Funktion f (x) = 2 sin 3x ; 4cos3x in exponentieller Form f (x) =c 1 e i!x + c 2 e ;i!x .<br />

Welche Amplitude A hat diese Schwingung?<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 11


Aufgabe 15.2 !!<br />

Wie muss man die Zahl c wahlen, damit die Funktion<br />

x(t) =ie (;2+ ip 3)t + c2 e (;2; ip 3)t<br />

(t 2 IR ) reellwertig ist? Schreibe x(t) ohne ' i `.<br />

x(t) beschreibt eine harmonische Schwingung: welche Amplitude A , welche Schwingungsdauer T und<br />

welche Kreisfrequenz ! hat diese Schwingung?<br />

Aufgabe 15.3 !!<br />

Lose die Di erentialgleichungen:<br />

(a) xy dx + ; 1+x2 dy =0, (b) cot ydx + xdy =0, (c) xy0 + y =2,<br />

(d) y0 = ex+y , (e) (y0 ) 2 = x (y ; 1) , (f) y 00 q<br />

= 1+(y0 2<br />

) .<br />

Aufgabe 15.4<br />

Bestimme die d<strong>ur</strong>ch den Punkt P (1� 2) verlaufende Losungsk<strong>ur</strong>ve der Di erentialgleichung:<br />

; 1+x 3 dy ; x 2 ydx =0.<br />

Zu Lektion 16: Allgemeine lineare Dgln.<br />

Aufgabe 16.1 !!<br />

Lose die homogenen linearen Di erentialgleichungen:<br />

(a) y 0 +2y =0, (b) y 000 ; y 00 ; 4y 0 +4y =0,<br />

(c) y (4) +4y 00 =0, (d) y 00 ; 2y 0 +10y =0.<br />

Aufgabe 16.2 !!<br />

Sei D = d<br />

dt . Bestimme alle reellen Losungen x(t) der Dgl. (a) (D ; 27)3 x =0, (b) ; D 3 ; 27 x =0.<br />

Aufgabe 16.3<br />

Eine Losung der Dgl. P (D)x =0 mit P (t) = t 4 ; 2t 2 +49 ist ~x(t) = e ;2t sin p 3 t . Bestimme alle<br />

reellen Losungen dieser Dgl. .<br />

Aufgabe 16.4<br />

Welche homogene lineare Dgl. kleinstmoglicher Ordnung wird u.a. von der Funktion ~x(t) =te 2t p<br />

cos 3 t<br />

gelost? Bestimme die allgemeine reelle Losung dieser Dgl. .<br />

12 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001


Aufgabe 16.5 !!<br />

Lose mit Hilfe geeigneter Storgliedansatze die inhomogenen linearen Di erential eichungen:<br />

(a) y 0 + y = ;x , (b) y 00 ; y 0 ; 2y =cosx +3sinx ,<br />

(c) y 00 +2y 0 + y = e ;x , (d) y (4) +2y (3) ; 3y 00 =3x 2 +3e 2x + 4 sin x .<br />

Aufgabe 16.6<br />

Diskutiere (in Abhangigkeit von der Dampfungskonstante 0 und der Eigenkreisfrequenz<br />

! 0 > 0 ) die allgemeine Losung der eindimensionalen Schwingungsdi erentialgleichung (hier: Bewegung<br />

eines linearen gedampften Oszillators, der von einer sinusformigen Kraft angetrieben wird):<br />

x +2 _x + ! 2<br />

d<br />

0x =cos!t x = x(t) � _=<br />

dt<br />

Zu Lektion 17: Variation einer Konstanten� Potenzreihenansatz.<br />

Aufgabe 17.1 !!<br />

Lose mit der Methode 'Variation der Konstanten` die beiden Di erentialgleichungen:<br />

(a) y 0 + y tan x = sin x , (b) xy 00 ; y 0 = ; 2<br />

x<br />

Aufgabe 17.2 !<br />

.<br />

; ln x .<br />

Bestimme die allgemeine Losung der Di erentialgleichung:<br />

1+x 2 y 00 ; 2xy 0 1 ; x2<br />

+2y = .<br />

x<br />

(Veri ziere zunachst, dass y0(x) =x die zugehorige homogene Di erentialgleichung lost!)<br />

Aufgabe 17.3<br />

Approximiere die Losung y(x) mit y(0) = y 0 �y 0 (0) = v 0 der Dgl. (D 2 +1)y =cosx in der Nahe von<br />

x 0 =0 d<strong>ur</strong>ch ein Polynom vom Grad 4 . Wie lautet die exakte Losung dieser Dgl.?<br />

Aufgabe 17.4 !!<br />

Bestimme mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes die Losungen P (x) der Legendre'schen Di erentialglei-<br />

chung:<br />

d<br />

dx<br />

1 ; x 2<br />

dP (x)<br />

dx<br />

+ `(` +1)P (x) =0 (` 0 const. )<br />

F<strong>ur</strong> welche Werte ` ergibt sich als Losung ein Polynom?<br />

Aufgabe 17.5<br />

Ein Mann M hat ein Boot B an einer 10 m langen Leine. Zu<br />

jeder Zeit t schaut der Bug des Bootes auf ihn zu. Er selbst<br />

be ndet sich (<strong>z<strong>ur</strong></strong> Zeit t = 0 ) an der Stelle O = (0� 0) . Er<br />

geht nunmehr mit einer Geschwindigkeit v am Ufer (= x {<br />

Achse) entlang und zieht das Boot hinter sich her. Bestimme<br />

die Bahnk<strong>ur</strong>ve des Bootes in (x� y) {Koordinaten. (Man nennt<br />

diese K<strong>ur</strong>ve auch 'Traktrix` oder 'Schleppk<strong>ur</strong>ve` oder 'Hunde-<br />

k<strong>ur</strong>ve`. Da man y nicht als Funktion von x darstellen kann,<br />

muss man die K<strong>ur</strong>ve in der Form x = x(y) schreiben!)<br />

10 m<br />

y<br />

6<br />

y<br />

b<br />

bbbb<br />

s<br />

bs<br />

-<br />

O x M -<br />

srrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrsqqqqqqqqqqqqqqqqqq<br />

B<br />

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq<br />

10 m<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 13<br />

x


Zu Lektion 18: Fo<strong>ur</strong>ierreihen.<br />

Aufgabe 18.1 !!<br />

Bestimme die Fo<strong>ur</strong>ierreihen der beiden T {periodischen Funktionen f (t) und g (t) (0 < 0 , mit f (t) = (t) f<strong>ur</strong> ; T<br />

(a) Welche Fo<strong>ur</strong>ierreihen{Entwicklung hat diese Funktion? (vgl. mit der letzten Aufgabe!)<br />

(b) Bestimme hiermit den Grenzwert der Reihe:<br />

Aufgabe 18.3<br />

1=<br />

1X<br />

n=0<br />

cos n t .<br />

F<strong>ur</strong> welche Werte der Koe zienten a� b� c approximiert die Funktion g(x) =ax 2 + bx + c die Funktion<br />

f (x) =e x uber dem Intervall [0 � 1] im quadratischen Mittel am besten?<br />

Vergleiche die erhaltenen Koe zienten mit den entsprechenden Koe zienten der Taylorentwicklung von<br />

e x um x 0 =0.<br />

(Tip: die Integrale<br />

Z 1<br />

0<br />

x n e x dx berechnet man am bequemsten rek<strong>ur</strong>siv.)<br />

14 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

2<br />

t<br />

T<br />

2 .<br />

C<br />

C<br />

C<br />

C<br />

C<br />

C<br />

-<br />

-<br />

t<br />

t


Zu Lektion 19: Fo<strong>ur</strong>iertransformation.<br />

Aufgabe 19.1 !!<br />

Bestimme die Fo<strong>ur</strong>iertransformierte F (!) der<br />

nebenan skizzierten Funktion f (t) .<br />

Welche Funktion f1(t) und Fo<strong>ur</strong>iertransfor-<br />

mierte F1(!) erhalt man im Grenzfall<br />

! 0 ? J -<br />

;<br />

Aufgabe 19.2 !<br />

Bestimme die Werte der folgenden Integrale:<br />

(a)<br />

Z<br />

0<br />

sin x x ; 3<br />

Aufgabe 19.3<br />

2<br />

dx , (b)<br />

2Z<br />

0<br />

sin x x ; 3<br />

2<br />

dx , (c)<br />

Z1<br />

;1<br />

f (t)<br />

6<br />

1=<br />

J<br />

J<br />

J<br />

J<br />

J<br />

J<br />

J<br />

J<br />

sin x x ; 3<br />

Wie kann man zeigen, dass die folgenden Rechenregeln f<strong>ur</strong> die Fo<strong>ur</strong>iertransformierte richtig sind?:<br />

n o n o<br />

(1) F f (;t) (!) =F f (t) (;!) ,<br />

n o n o<br />

(2) F f (t ; t0) (!) =e ;i! t0 F f (t) (!) ,<br />

(3) F<br />

(4) F<br />

(5) F<br />

(6) F<br />

n o 1<br />

f ( t) (!) =<br />

j j F<br />

n o !<br />

f (t)<br />

n o n<br />

i!0 f (t) (! ; !0) =F e t f (t)<br />

n o d<br />

t f (t) (!) =i<br />

d! F<br />

o (!) ,<br />

n o<br />

f (t) (!) ,<br />

n o p n<br />

f (t) g(t) (!) = 2 F f (t)<br />

f<strong>ur</strong> 6= 0,<br />

o (!) F<br />

n o<br />

g(t) (!) .<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 15<br />

2<br />

dx<br />

t


Zu Lektion 20: Lineare Raume, lineare (Un-) Abhangigkeit.<br />

Aufgabe 20.1 !<br />

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem<br />

liegt | wie in der Skizze angegeben |<br />

ein regelma iges Oktaeder mit der Kan-<br />

tenlange a.<br />

Bestimme die Ortsvektoren der 6 Eckpunk-<br />

te und die jeweils zugehorigen Einheitsvek-<br />

toren.<br />

Aufgabe 20.2 !!<br />

Zeige, dass die drei Vektoren: ~a =<br />

paarweise linear unabhangig sind.<br />

Aufgabe 20.3 !<br />

0<br />

@ 0<br />

2<br />

7<br />

1<br />

A � ~ b =<br />

F<strong>ur</strong> welche reellen Zahlen sind die drei Vektoren ~a =<br />

linear abhangig?<br />

0<br />

@ 7<br />

;3<br />

z<br />

6<br />

s<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

CQ<br />

C<br />

Q<br />

Q<br />

C Q<br />

C<br />

Q<br />

Q<br />

C<br />

Q<br />

C<br />

Q<br />

s<br />

Qs<br />

C<br />

C<br />

C<br />

-<br />

C<br />

C<br />

s ; Cs<br />

Q<br />

;<br />

Q<br />

Q<br />

;<br />

;<br />

Q<br />

Q<br />

Q<br />

Q<br />

Qs<br />

s<br />

;;;;;<br />

C C<br />

CCCCCCCCCC<br />

; ;;;;;<br />

y<br />

x<br />

0<br />

0<br />

@ 1<br />

1<br />

A � ~c =<br />

0<br />

0<br />

@ ;5<br />

3<br />

1<br />

A � ~ 0<br />

b = @ 1<br />

1<br />

3<br />

1<br />

A linear abhangig, jedoch<br />

1 0<br />

A � ~c = @ 0<br />

1<br />

Zu Lektion 21: Basis und Dimension. Skalarprodukt und Norm.<br />

Aufgabe 21.1 !!<br />

Sei ~a =<br />

0<br />

@ 1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

A � ~ b =<br />

0<br />

@ 1<br />

2<br />

1<br />

1 0<br />

A � ~c = @ 2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

A .<br />

(a) Zeige, dass diese drei Vektoren eine Basis B des IR 3 bilden? (Bilden sie auch eine Basis des lC 3 ?)<br />

(b) Der Vektor ~r habe bzgl. dieser Basis B den Koordinatenvektor #<br />

x =<br />

0<br />

@ 3<br />

2<br />

1 n o<br />

Koordinatenvektor hat ~r bzgl. der nat<strong>ur</strong>lichen Basis Bnat = ~ex � ~ey � ~ez ?<br />

(c) Welchen Koordinatenvektor #<br />

x bzgl. der Basis B hat der Vektor ~r =<br />

0<br />

@ 1<br />

2<br />

3<br />

1<br />

1<br />

A<br />

#<br />

B A : ~r = x . Welchen<br />

16 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

1<br />

A ?


Aufgabe 21.2<br />

Sei 0(x) =1� 1(x) =e x � 2(x) =e ;x � 3(x) =e 2x � 4(x) =e ;2x f<strong>ur</strong> alle x 2 IR.<br />

(a) Zeige, dass diese funf Funktionen eine Basis B eines linearen Funktionenraumes V bilden.<br />

(b) Welche Funktion f 2 V hat bzgl. B die Koordinaten<br />

Aufgabe 21.3 !!<br />

Die Kraft ~ K vom Betrag j ~ K j = 3 kp habe die Richtung des Vektors ~c =<br />

0<br />

B<br />

@<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

C<br />

A ?<br />

0<br />

@ 1<br />

;1<br />

1<br />

1<br />

A . Welche Arbeit A<br />

wird geleistet, wenn ein Massenpunkt der Masse 1 d<strong>ur</strong>ch die Wirkung von ~ K auf einer geraden Strecke<br />

vom Punkt P (1j1j1) zum Punkt Q(3j5j1) bewegt wird? (Arbeit = Kraft Weg)<br />

Aufgabe 21.4<br />

Welcher Winkel wird von den Vektoren ~a =<br />

Aufgabe 21.5<br />

0<br />

@ 1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

A und ~ 0<br />

b = @ 1<br />

0<br />

1<br />

1<br />

A eingeschlossen?<br />

Bestimme die Winkel x � y � z zwischen der Geraden x = y = z und den drei Koordinatenachsen�<br />

veri ziere, dass cos 2 x +cos 2 y +cos 2 z =1.<br />

Aufgabe 21.6<br />

Bestimme die Zahl so, dass die beiden Vektoren ~a =<br />

Aufgabe 21.7<br />

i<br />

1 ; i<br />

Bestimme die (ublichen) Normen der folgenden Vektoren des lC 3 :<br />

(a) ~a =<br />

0<br />

@ 9<br />

2<br />

6<br />

Aufgabe 21.8<br />

1<br />

A , (b) ~ b =<br />

0<br />

@ 3+i<br />

2i<br />

i +1<br />

1<br />

A , (c) ~c =<br />

Bestimme die folgenden Skalarprodukte im lC 3 :<br />

(a)<br />

0<br />

@ 1<br />

2<br />

3<br />

1<br />

A<br />

0<br />

@ 4<br />

5<br />

6<br />

1<br />

A , (b)<br />

0<br />

@ 1+i<br />

i ; 2<br />

3<br />

1<br />

A<br />

0<br />

@ 3i<br />

2<br />

1 ; i<br />

0<br />

@<br />

e<br />

1<br />

A , (c)<br />

ei =3<br />

i<br />

;i =3<br />

und ~ b =<br />

1<br />

A , (d) ~ d =<br />

0<br />

@ 3i<br />

2<br />

1 ; i<br />

1<br />

A<br />

0<br />

@ 1+i<br />

i ; 2<br />

0<br />

@<br />

2<br />

+1<br />

5iei =3<br />

;20i<br />

;4ie ;i =3<br />

orthogonal sind.<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 17<br />

3<br />

1<br />

A .<br />

1<br />

A .


Zu Lektion 22: Unitare Raume ... und<br />

Zu Lektion 23: Orthogonale Projektion.<br />

Aufgabe 23.1 !<br />

Bestimme das (ubliche) innere Produkt h f j g i und die (ublichen) Normen kfk � kgk f<strong>ur</strong> Funktionen uber<br />

dem Intervall [0�T ] f<strong>ur</strong> f (x) =e i!x � g(x) =e ;i!x mit ! =2 =T .<br />

Aufgabe 23.2 !!<br />

Zeige, dass die vier Vektoren:<br />

~e 1 =<br />

0<br />

B<br />

@<br />

1= p 2<br />

0<br />

;1= p 2<br />

0<br />

1<br />

C<br />

A � ~e 2 =<br />

0<br />

B<br />

@<br />

1= p 2<br />

0<br />

1= p 2<br />

0<br />

1<br />

C<br />

A � ~e 3 =<br />

0<br />

B<br />

@<br />

0<br />

;1= p 2<br />

0<br />

1= p 2<br />

bilden und bestimme die Komponenten des Vektors ~a =<br />

Aufgabe 23.3 !!<br />

Sei ~a =<br />

0<br />

@ 1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

A � ~ b =<br />

0<br />

@ 1<br />

0<br />

1<br />

1 0<br />

A � ~r = @ 1<br />

2<br />

3<br />

1<br />

A .<br />

(a) Zerlege den Vektor ~ b orthogonal bzgl. ~a .<br />

1<br />

C<br />

A � ~e 3 =<br />

0<br />

B<br />

@<br />

p 2<br />

2 p 2<br />

p<br />

;2 2<br />

; p 2<br />

0<br />

B<br />

@<br />

1<br />

C<br />

A<br />

0<br />

1= p 2<br />

0<br />

1= p 2<br />

1<br />

C<br />

A<br />

bzgl. B .<br />

eine ONB B des IR4<br />

(b) Bestimme eine ONB B 0 = f~e 1 � ~e 2 g des Teilraumes U , der von ~a und ~ b aufgespannt wird.<br />

(c) Bestimme die Projektion ~rU des Vektors ~r auf den Teilraum U .<br />

(d) Zerlege ~r orthogonal bzgl. U .<br />

(e) Erweitere die ONB B 0 von U zu einer ONB B = f~e 1 � ~e 2 � ~e 3 g des IR 3 und bestimme die Koordi-<br />

naten von ~r bzgl. B .<br />

Aufgabe 23.4 !!<br />

Bestimme eine ONB f<strong>ur</strong> den Teilraum U des IR 4 , der von den drei Vektoren:<br />

~a =<br />

0<br />

B<br />

@<br />

2<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

C<br />

A � ~ 0<br />

B<br />

b = B<br />

@<br />

3<br />

2<br />

1<br />

0<br />

1 0<br />

C<br />

B<br />

A � ~c = B<br />

@<br />

4<br />

3<br />

2<br />

1<br />

1<br />

C<br />

A<br />

erzeugt wird.<br />

Zu Lektion 24: Vektorprodukt. Ebenen und Geraden im IR 3 .<br />

Aufgabe 24.1 !<br />

Vereinfache den Ausdruck: A =(~a + ~ b ) ( ~ b + ~c ) (~c + ~a ) .(Uberlege zunachst, ob A ein Vektor oder<br />

eine Zahl ist.)<br />

18 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001


Aufgabe 24.2 !!<br />

Finde ein Skalar und einen Vektor ~a so, dass die drei Vektoren:<br />

~a � ~ b =<br />

0<br />

@ ;1<br />

2<br />

des IR 3 bilden.<br />

Aufgabe 24.3 !<br />

1<br />

A � ~c =<br />

0<br />

@ 0<br />

2<br />

3<br />

1<br />

A (in dieser Reihenfolge) eine rechts{orientierte Orthogonalbasis<br />

Finde im IR 2 f<strong>ur</strong> die Gerade g : y =2x +3 eine vektorielle Darstellung und bestimme die Schnittpunkte<br />

von g mit den Koordinatenachsen.<br />

Aufgabe 24.4 !<br />

Schreibe die Gerade g : ~r = t<br />

3<br />

5<br />

+ 2<br />

ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br />

Aufgabe 24.5 !<br />

3<br />

(t 2 IR ) in vektorfreier Form g : y = ax+b und bestimme<br />

Finde f<strong>ur</strong> die Ebene E : 4x +3y +2z +1=0 eine vektorielle Darstellung, bestimme ihre Schnittpunkte<br />

mit den Koordinatenachsen und den Abstand d(O�E) des Koordinaten<strong>ur</strong>sprungs O von E .<br />

Aufgabe 24.6 !<br />

Stelle die Ebene E : ~r = s<br />

0<br />

@ 1<br />

0<br />

;3<br />

1 0<br />

A + t @ 0<br />

1<br />

2<br />

1<br />

A +<br />

0<br />

@ 0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

A (s� t 2 IR) in der vektorfreien<br />

Form: E : x + y + z = dar und bestimme ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br />

Aufgabe 24.7 !!<br />

Finde eine positiv orientierte ONB B = f~e 1 � ~e 2 � ~e 3 g des IR 3 so, dass die Vektoren ~e 1 � ~e 2 die zum Vektor<br />

~c =<br />

0<br />

@ 2<br />

1<br />

;2<br />

Aufgabe 24.8<br />

1<br />

A orthogonale Ebene d<strong>ur</strong>ch den Koordinaten<strong>ur</strong>sprung aufspannen.<br />

(a) Bestimme den absoluten Flacheninhalt des von den beiden Vektoren ~a =<br />

und ~ b =<br />

0<br />

@ ;1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

A aufgespannten Parallelogramms.<br />

(b) Bestimme den orientierten Flacheninhalt des von den beiden Vektoren ~a =<br />

und ~ b =<br />

2<br />

2<br />

aufgespannten Parallelogramms.<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 19<br />

0<br />

@ 1<br />

3<br />

2<br />

1<br />

A<br />

1<br />

3


(c) Bestimme das orientierte Volumen des von den drei Vektoren ~a =<br />

und ~c =<br />

Aufgabe 24.9 !<br />

0<br />

@ 2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

A aufgespannten Parallel achs.<br />

0<br />

@ 1<br />

2<br />

3<br />

1<br />

A � ~ 0<br />

b = @ 1<br />

;1<br />

(a) Bestimme den absoluten Flacheninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1j2j3) ,<br />

B(2j;1j1) � C(;2j1j;1) .<br />

(b) Bestimme das absolute Volumen des Tetraeders mit den Eckpunkten A(1j2j3) ,<br />

B(2j;1j1) � C(;2j1j;1) � D(4j0j6) .<br />

(c) Bestimme den Abstand des Punktes P (6j;4j4) von der Geraden g d<strong>ur</strong>ch die Punkte<br />

Q(2j1j2) � R(3j;1j4) .<br />

(d) Bestimme den Abstand des Punktes P (6j;1j4) von der Ebene E d<strong>ur</strong>ch die Punkte Q(2j1j2) �<br />

R(3j;1j4) � S(4j1j7) .<br />

Zu Lektion 25: Richtungsableitung. Wegintegrale.<br />

Aufgabe 25.1 !!<br />

(a) Bestimme an der Stelle (1� 1� 1) die Ableitung der Funktion = x 2 + y 2 + z 2 in Richtung von<br />

(2� 0� ;3) .<br />

(b) Gegeben ist die Konzenztationsverteilung: c(x� y� z) =<br />

1<br />

1+x2 .<br />

+ y2 In welcher Raumrichtung andert sich f<strong>ur</strong> einen Beobachter am Ort (1� 1� 0) die Konzentration am<br />

starksten? Wie gro ist die Konzentrationsanderung pro Langeneinheit in dieser Richtung?<br />

Wie gro sind | f<strong>ur</strong> denselben Beobachter | die Konzentrationsanderungen langs der drei Koordi-<br />

natenachsen?<br />

Aufgabe 25.2 !!<br />

Skizziere die folgenden K<strong>ur</strong>venbogen und berechne ihre Langen:<br />

(a) C : y = x 2 von (x� y) =(0� 0) bis (1� 1) �<br />

(b) C = eine Windung der Helix: x = a cos t� y = a sin t� z = bt (a� b > 0 konstant)�<br />

(c) Cn : r = ' (r�' sind Polarkoordinaten) f<strong>ur</strong> 2<br />

' n � n 2 IN .<br />

20 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

;1<br />

1<br />

A


Aufgabe 25.3 !!<br />

Berechne f<strong>ur</strong> das Vektorfeld ~ A =<br />

x2 ; y<br />

y 2 + x<br />

das Wegintergral<br />

(a) langs der Verbindungsstrecke vom Punkt (0� 1) zum Punkt (1� 2) ,<br />

Z<br />

C<br />

~A d~r :<br />

(b) langs der geraden Linien von (0� 1) nach (1� 1) und dann von (1� 1) bis (1� 2) ,<br />

(c) langs der Parabel x = t� y = t 2 +1 von (0� 1) bis (1� 2) .<br />

Zu Lektion 26: Nabla-Operator. Konservative Felder.<br />

Aufgabe 26.1<br />

Warum ist das Vektorfeld ~ A der letzten Aufgabe nicht konservativ?<br />

Aufgabe 26.2<br />

Sei f (x� y� z) = exp ; 2x 2 y 2 + cos(x ; y) und C dieinderx� y {Ebene gelegene Ellipse um (0� 0� 0)<br />

mit der x {Halbachse a =5 und der y {Halbachse b =3. Berechne das Integral<br />

Aufgabe 26.3 !!<br />

Sei: ~ A = x 2 �x; y� y; z � =(x ; y)z �~r =(x� y� z) � ~! konstant.<br />

Berechne die folgenden Di erentialausdrucke:<br />

(a) grad , (b) div (~! ~r ) (c) div ~ A ,<br />

(d) rot grad , (e) rot ~ A , (f) div rot ~ A ,<br />

(g) div grad , (h) grad div ~ A , (i) ~ r ,<br />

(j) ~ A ~ r , (k) ~ A ~ r , (l) ~ r ln k~r k ,<br />

(m) ~ r 1<br />

k~r k<br />

Aufgabe 26.4 !!<br />

(a) Zeige, dass das Vektorfeld ~ A =<br />

so, dass ~ A =grad ist.<br />

(n) ~ r ~r , (o) lnk~r k .<br />

0<br />

B<br />

@<br />

1+2x<br />

1 ; z<br />

1 ; y<br />

(b) Berechne | mit und ohne Stammfunktion | das Integral<br />

(t� t 2 �t 3 ) � 0 t 1 .<br />

I<br />

C<br />

~r f ; ~ r ~ r f d~r .<br />

1<br />

C<br />

A konservativ ist und nde eine Funktion (x� y� z)<br />

Z<br />

C<br />

~A d~r langs des Weges C : ~r (t) =<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 21


Aufgabe 26.5<br />

Sei Cn der n {mal d<strong>ur</strong>chlaufene komplexe Einheitskreis.<br />

Berechne das Integral In = 1<br />

2 i<br />

I<br />

Cn<br />

dz<br />

z<br />

. (z = x + iy ).<br />

Zu Lektion 27: Exakte Dgln. und integrierender Faktor.<br />

Aufgabe 27.1 !!<br />

Veri ziere die Exaktheit der beiden Di erentialgleichungen und lose sie:<br />

(a)<br />

x<br />

x2 dx +<br />

+ y2 (b) y 0 =<br />

Aufgabe 27.2 !!<br />

y<br />

x 2 + y 2 +4y3 dy =0,<br />

cos y + y cos x<br />

x sin y ; sin x .<br />

Finde f<strong>ur</strong> die beiden Di erentialgleichungen je einen integrierenden Faktor undlose sie:<br />

(a) ; x 2 + y 2 + x dx + xy dy =0, (b) y 0 +2xy =4x .<br />

Zu Lektion 28: 2- und 3-dimensionale Bereichsintegrale.<br />

Aufgabe 28.1 !<br />

Sei f (x� y) = x ; y . Bestimme f<strong>ur</strong> jeden der folgenden Bereiche B 1 bis B 6 die Grenzen f<strong>ur</strong> die beiden<br />

Integrale<br />

Z<br />

Bk<br />

y<br />

1<br />

Z f (x� y) dx dy ,<br />

6<br />

Z<br />

@<br />

@<br />

@<br />

B1 @<br />

@<br />

@ -<br />

O 1<br />

B 3 = rechte Halbkreis ache um (0� 0) vom Radius R>0 �<br />

Bk<br />

x<br />

Z f (x� y) dy dx und berechne jeweils eines dieser zwei Integrale:<br />

y<br />

6<br />

XXXXXXXXXXXX ;2<br />

2<br />

B 4 setzt sich zusammen aus der oberen Ellipsen ache um (0� 0) mit den Halbachsenlangen b (in x {<br />

Richtung) und a (in y {Richtung) und der unteren Halbkreis ache um (0� 0) vom Radius b �<br />

B 5 : x 2 + y a� x 2 + y 2<br />

B 6 : (x +2) 2 +(y +2) 2<br />

4a 2 mit a>0 �<br />

4 � x + y +4 0 .<br />

22 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

2<br />

;1<br />

B 2<br />

-<br />

x


Aufgabe 28.2 !!<br />

Sei B der von den beiden Parabeln x = y 2 und x 2 = ;8y begrenzte Bereich der x� y {Ebene.<br />

Berechne: (a) den Flacheninhalt von B , (b) das Integral<br />

Z<br />

B<br />

Z xdF .<br />

Zu Lektion 29: Substitutionsregel f<strong>ur</strong> Bereichsintegrale.<br />

Aufgabe 29.1 !<br />

Gegeben ist die Koordinatentransformation :(x� y) 7! (u� v) mit u = x 2 ; y 2 und v =2xy .<br />

Bestimme die Funktionaldeterminanten<br />

Aufgabe 29.2 !!<br />

@(u� v)<br />

@(x� y)<br />

und @(x� y)<br />

@(u� v) .<br />

Berechne mit Hilfe geeigneter Polarkoordinaten die beiden Integrale:<br />

Z Z Z Z<br />

2xy dF und 2xy dF uber die Bereiche:<br />

B1<br />

B2<br />

B 1 : (x ; 2) 2 +(y ; 2) 2<br />

4 � x + y 4 ,<br />

B 2 = positiver Quadrant (d.h. x� y 0 ) der Ellipsen ache mit Mittelpunkt (0� 0) , x {Halbachse a =3<br />

und y {Halbachse b =2.<br />

Aufgabe 29.3 !!<br />

q<br />

Mit einem Normierungsfaktor N > 0 und mit r = x2 + y2 + z2 sei (x� y� z) =Nze ;r .<br />

Z Z Z<br />

2<br />

Welchen Wert muss N haben, damit j (x� y� z)j dV =1 ist?<br />

Aufgabe 29.4 !<br />

IR 3<br />

Der Korper K mit der konstanten Dichte % = % 0 werde d<strong>ur</strong>ch die Flachen z =4; x 2 ; y 2 und z =0<br />

begrenzt. Bestimme:<br />

(a) das Volumen V und die Masse m von K ,<br />

(b) die Koordinaten (xs �ys �zs ) des Schwerpunktes von K und<br />

(c) das Tragheitsmoment Jz von K bzgl. der z {Achse.<br />

Aufgabe 29.5<br />

Veri ziere am Beispiel des Bereiches B : x2 + y2 4 � y 0 und des Vektorfeldes<br />

~F = P (x� y) �Q(x� y) = ; x2 (y +1)� (x +1)y2 den Gau 'schen Integralsatz der Ebene:<br />

Z Z I<br />

div FdF ~ = (P dy; Qdx) .<br />

B<br />

@B<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 23


Aufgabe 29.6<br />

Lose das Integral<br />

Z1<br />

Z<br />

1;x<br />

x=0 y=0<br />

exp<br />

y<br />

x + y<br />

dy dx mit Hilfe der Koordinatentransformation:<br />

u = x + y , y = uv .(Tip:um die Grenzen f<strong>ur</strong> u und v zu nden, betrachte f<strong>ur</strong> jedes 0 <<br />

>:<br />

3x ; 2y +5z =4<br />

2x + y ; z =2<br />

;x +3y =4<br />

und nde eine Matrix A so, dass: A~x =<br />

Aufgabe 30.2 !!<br />

0<br />

@<br />

0<br />

@<br />

9<br />

>=<br />

2(x ; y + z)<br />

3x +4z<br />

y ; z<br />

0 1 0<br />

0 0 1<br />

1 0 0<br />

1 0<br />

A (b) A = @<br />

3 0 0<br />

0 5 0<br />

0 0 ;1<br />

>� mit Hilfe einer Matrix: A~x = ~ b ,<br />

1<br />

A .<br />

Berechne |soweit das moglich ist | die folgenden Matrixprodukte:<br />

(a)<br />

(c)<br />

(e)<br />

(g)<br />

0<br />

@<br />

3 2<br />

;1 0<br />

;2 1<br />

; 1 0 1<br />

1<br />

A<br />

; 1 ;2 4<br />

0<br />

@<br />

1 1 1<br />

1 1 0<br />

1 0 0<br />

Aufgabe 30.3 !!<br />

0<br />

@ 1<br />

3<br />

7 0<br />

@<br />

1 0<br />

A @<br />

;1 2 10 0<br />

2 2 ;1 1<br />

1<br />

� (b)<br />

A � (d)<br />

3 ;1 5<br />

7 2 2<br />

2 3 ;3<br />

0 0 1<br />

0 1 ;1<br />

1 ;1 0<br />

1<br />

A � (f )<br />

1<br />

A � (h)<br />

(a) Uberprufe, ob die beiden Matrizen: A =<br />

0<br />

@ 2<br />

3<br />

0<br />

@<br />

1 2<br />

;1 1<br />

1<br />

0<br />

@<br />

1<br />

0<br />

@<br />

1 ;1 5<br />

1 3 7<br />

8 ;3 4<br />

A ; 2 0 4 �<br />

3 ;1 5<br />

7 2 2<br />

2 3 ;3<br />

1 ;1<br />

1 ;1<br />

hermitesch, schiefhermitesch, unitar, normal sind,<br />

(b) bestimme z 1 �z 2 �z 3 2 lC so, dass die Matrix A =<br />

(c) und bestimme a� b2 IR so, dass die Matrix B =<br />

1<br />

A<br />

1 3<br />

1 3<br />

0<br />

@ 1<br />

;2<br />

1 i +1 1 ; i<br />

1 ; i 2 2+3i<br />

1+i 2 ; 3i 3<br />

0<br />

B<br />

@<br />

0<br />

B<br />

@<br />

4<br />

:<br />

1<br />

A �<br />

1<br />

A �<br />

1 0<br />

A � B = @<br />

1 z1 0 0<br />

2 2 z2 1+2i<br />

0 1+i 3 i<br />

0 1+iz3 ;i 4<br />

1p 3<br />

0<br />

1+i<br />

p3<br />

0 a 0<br />

; 1 p 3 + ib 0<br />

1p 3<br />

1 0 0<br />

0 0 i<br />

0 ;i 0<br />

1<br />

A , schreibe das<br />

1<br />

A<br />

1<br />

C<br />

A hermitesch ist,<br />

1<br />

C<br />

A unitar ist.<br />

24 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001


Aufgabe 30.4 !<br />

Seien A� B zwei hermitesche (n� n) {Matrizen. Unter welchen zusatzlichen Bedingungen an A und B sind<br />

die beiden Matrizen C = AB � D = ABA ebenfalls hermitesch?<br />

Aufgabe 30.5<br />

F<strong>ur</strong> eine quadratische Matrix A sei Ah = 1<br />

2 (A + A+ ) und As = 1<br />

2 (A ; A+ ) . Zeige:<br />

(a) Ah ist hermitesch, As ist schiefhermitesch und A = Ah + As �<br />

(b) wenn A = H + S mit einer hermiteschen Matrix H und einer schiefhermiteschen Matrix S ,<br />

dann ist H = Ah und S = As .<br />

Zu Lektion 31: Allgemeine lineare Abbildungen und<br />

Zu Lektion 32: Matrizen und lineare Abbildungen.<br />

Aufgabe 32.1 !<br />

Welche (2� 2) {Matrix projiziert die Ebene IR 2<br />

(a) auf die y {Achse?<br />

(b) auf die Gerade x = y ?<br />

(c) auf die Gerade 2x + y =0?<br />

Aufgabe 32.2 !!<br />

Welche (3� 3) {Matrix projiziert den Raum IR 3<br />

(a) auf die x� y {Ebene?<br />

(b) auf die Ebene x = y ?<br />

(c) auf die zu ~n =<br />

Aufgabe 32.3 !!<br />

0<br />

@ 2<br />

;1<br />

2<br />

1<br />

A orthogonale Ebene d<strong>ur</strong>ch den Koordinaten<strong>ur</strong>sprung?<br />

Sei ' : IR 3 ! IR 3 die Spiegelung an der Ebene E , die von den beiden Vektoren<br />

~a =<br />

0<br />

@ 1<br />

0<br />

1<br />

1<br />

A und ~ b =<br />

0<br />

@ 0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

A aufgespannt wird.<br />

(a) Bestimme die Matrix A von ' bzgl. der nat<strong>ur</strong>lichen Basis�<br />

(b) nde eine Basis B des IR 3 , bzgl. der ' die Matrix ~ A =<br />

0<br />

@<br />

1 0 0<br />

0 1 0<br />

0 0 ;1<br />

1<br />

A hat.<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 25


Aufgabe 32.4 !!<br />

Welche Matrix A dreht den Raum IR 3 um den Winkel =2 =3 um die Achse ~a =<br />

Zu Lektion 33: Gau 'sches Eliminationsverfahren.<br />

Aufgabe 33.1 !!<br />

Bestimme | soweit das sinnvoll und moglich ist | f<strong>ur</strong> jede der folgenden Matrizen Aj :<br />

(a) den Rang und die Dimensionen von Bildraum und Nullraum,<br />

(b) je eine Basis f<strong>ur</strong> den Bildraum und den Nullraum,<br />

(c) die Inverse und<br />

(d) alle Losungen des homogenen LGS's Aj~x = ~o ,<br />

und entscheide, ob diese Matrizen eineindeutig, s<strong>ur</strong>jektiv, regular, invertierbar sind:<br />

A 1 =<br />

0<br />

B<br />

@<br />

1 2 ;3<br />

2 1 0<br />

;2 ;1 3<br />

;1 4 ;2<br />

Aufgabe 33.2 !<br />

1<br />

C<br />

A , A 2 =<br />

0<br />

@<br />

1 3 3<br />

1 4 3<br />

1 3 4<br />

1<br />

A , A 3 =<br />

F<strong>ur</strong> welche Zahlen s� t 2 IR ist das lineare Gleichungssystem:<br />

0<br />

@<br />

6 3 ;4<br />

;4 1 ;6<br />

1 2 ;5<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

1<br />

A , A 4 =<br />

0<br />

@<br />

0<br />

@ 2<br />

;1<br />

2<br />

1<br />

A ?<br />

1 2 2 ;1 3<br />

1 2 3 1 1<br />

3 6 8 1 5<br />

x 1 +2x 3 ; x 4 = 2<br />

;x 1 + x 2 ; 3x 3 +2x 4 = ;4<br />

2x 1 ; 2x 2 + x 3 + x 4 = 3<br />

;2x 1 ; x 2 +(s ; 3)x 4 = t<br />

(a) unlosbar, (b) losbar mit genau einer Losung, (c) losbar mit unendlich vielen Losungen?<br />

Bestimme im letzten Fall alle Losungen.<br />

Zu Lektion 34: Determinanten.<br />

Aufgabe 34.1 !!<br />

Berechne die beiden Determinanten: D 1 =<br />

Aufgabe 34.2 !<br />

0 0 0 1<br />

0 0 2 5<br />

0 3 6 8<br />

4 7 9 9<br />

� D 2 =<br />

Lose mit Hilfe der Cramer'schen Regel das lineare Gleichungssystem:<br />

2x ; 5y + 2z = 7<br />

x + 2y ; 4z = 3<br />

3x + 4y ; 6z = 5 .<br />

1 1 1 6<br />

2 4 1 6<br />

4 1 2 9<br />

2 4 2 7<br />

26 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

.<br />

1<br />

A .<br />

9<br />

>=<br />

>�


Aufgabe 34.3 !!<br />

Berechne f<strong>ur</strong> x 2 lC die Determinante der n� n {Matrix An(x) =<br />

Aufgabe 34.4<br />

Finde f<strong>ur</strong> die Determinanten Dn(x) =<br />

x 1 0 0 0 0 0<br />

1 x 1 0 0 0 0<br />

0 1 x 1 0 0 0<br />

0 0 1 x 1 0 0<br />

.<br />

.<br />

.<br />

.<br />

.<br />

.<br />

0 0 0 1 x 1 0<br />

0 0 0 0 1 x 1<br />

0<br />

B<br />

@<br />

0 0 0 0 0 1 x (n�n)<br />

.<br />

0 x x x x<br />

x 0 x x x<br />

x x 0 x x<br />

.<br />

.<br />

.<br />

.<br />

.<br />

x x x x 0<br />

, x 2 lC � n 2 IN,<br />

eine Rek<strong>ur</strong>sionsformel und berechne hiermit explizit die Determinanten D 1(x) bis D 5(x) .<br />

Zu Lektion 35: Eigenwerte und Eigenelemente.<br />

Aufgabe 35.1<br />

Bestimme | ohne viel zu rechnen | die Eigenwerte und zugehorigen Eigenraume der folgenden Abbil-<br />

dungen ' : IR 3 ! IR 3 :<br />

(a) ' ist die Projektion des IR 3 auf die Ebene E : 2x ; 5y +3z =0�<br />

(b) ' ist die Spiegelung des IR 3 an der Ebene E : 2x ; 5y +3z =0�<br />

(c) d<strong>ur</strong>ch ' wird der IR 3 zunachst auf die Ebene E :2x ; 5y +3z =0 projiziert, anschlie end an der<br />

Geraden g :2x ; 5y +3z =0� x = y gespiegelt�<br />

(d) ' dreht den IR 3 um den Winkel = =3 um die Achse ~a =<br />

Aufgabe 35.2 !<br />

Sei A =<br />

0<br />

@<br />

3 ;1 1<br />

;1 5 ;1<br />

1 ;1 3<br />

1 0<br />

A und B = @<br />

0 0 1<br />

1 0 0<br />

0 1 0<br />

0<br />

@ ;3<br />

0<br />

Bestimme f<strong>ur</strong> jede der vier Abbildungen A : IR 3 ! IR 3 � A : lC 3 ! lC 3 � B : IR 3 ! IR 3 und<br />

1<br />

A .<br />

B : lC 3 ! lC 3 diejenigen Vektoren, die | bis auf ein Vorzeichen | unter dieser Abbildung ihre Richtung<br />

beibehalten.<br />

Aufgabe 35.3 !<br />

4<br />

1<br />

A .<br />

Bestimme alle Eigenwerte und die zugehorigen Eigenvektoren der Matrix: A =<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 27<br />

0<br />

@<br />

0<br />

1<br />

C<br />

A .<br />

0<br />

1<br />

A .


Aufgabe 35.4 !<br />

Zu vorgegebenen 2 IR und ~c 2 IR n mit ~c 6= ~o sei Ac = ~c~c t und Bc = I + Ac . Welche Eigenwerte<br />

und Eigenraume haben diese beiden Matrizen?<br />

Zu Lektion 36: Diagonalisierbare und normale Matrizen.<br />

Aufgabe 36.1 !!<br />

Entscheide jeweils, ob die folgenden Matrizen diagonalisierbar, normal, unitar, hermitesch oder schiefher-<br />

mitesch sind, und bestimme ihre Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenraume:<br />

A 1 =<br />

17 ;9<br />

;9 ;7<br />

� A 2 =<br />

A 5 = 1=p 2 ;i= p 2<br />

i= p 2 ;1= p 2<br />

Aufgabe 36.2 !!<br />

� A 6 =<br />

1 i<br />

;i 0<br />

3 ;1<br />

1 3<br />

� A 3 = 1=p 2 1= p 2<br />

1= p 2 ;1= p 2<br />

� A 7 =<br />

3 ;1<br />

0 3<br />

.<br />

� A 4 =<br />

Diagonalisiere | falls moglich, mit einer unitaren Matrix | die beiden Matrizen:<br />

A =<br />

0<br />

@<br />

1 ;3 3<br />

3 ;5 3<br />

6 ;6 4<br />

Aufgabe 36.3<br />

1<br />

A und B =<br />

0<br />

@ 4<br />

p<br />

2 0<br />

p p<br />

2 4 2<br />

p<br />

0 2 4<br />

1<br />

A .<br />

0 i<br />

i 0<br />

Sei V 1 = C 1 der lineare Raum aller beliebig oft di erenzierbaren Funktionen f : IR ! lC,<br />

V 2 = C 1 0 der lineare Raum aller auf IR beschrankten Funktionen f 2 V 1 und<br />

V 3 = C 1 T der lineare Raum aller T {periodischen Funktionen f 2 V 2 (T > 0 )�<br />

sei 2 lC eine fest vorgegebene Konstante. Bestimme alle Eigenwerte und die zugehorigen Eigenfunktionen<br />

der linearen Abbildungen 'j : Vj ! Vj : 'j f = d<br />

dx f (j = 1� 2� 3 ) und von ' 4 : V 3 ! V 3 mit<br />

' 4 = ' 3 .<br />

F<strong>ur</strong> welche 2 lC ist ' 4 hermitesch? Uberprufe, ob in diesem Fall die Eigenwerte reel und die Eigenfunk-<br />

tionen paarweise orthogonal sind.<br />

Zu Lektion 37: Die Matrix e At und<br />

Zu Lektion 38: Homogene lin. Dgl.-Systeme mit konst. Koe zienten.<br />

Aufgabe 38.1 !!<br />

Sei P : IR 3 ! IR 3 die Projektion auf die zu ~a =<br />

0<br />

@ 6<br />

2<br />

;3<br />

1<br />

A orthogonale Ebene und sei<br />

S : IR 3 ! IR 3 die Spiegelung an dieser Ebene. Bestimme f<strong>ur</strong> t 2 lC die Matrizen e Pt und e St :<br />

(a) mit Hilfe der Spektaldarstellungen von P und S , (b) mit Hilfe der Exponentialreihe.<br />

28 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001<br />

,


Aufgabe 38.2 !<br />

Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A =<br />

das homogene lineare Dgl.System:<br />

Aufgabe 38.3 !!<br />

Bestimme:<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

_x = x + y ; 2z �<br />

_y = ;x +2y + z�<br />

_z = y ; z:<br />

(a) alle Eigenwerte und zugehorige Eigenraume der Matrix A =<br />

(b) die Spektraldarstellung von A ,<br />

0<br />

@<br />

1 1 ;2<br />

;1 2 1<br />

0 1 ;1<br />

0<br />

@<br />

1<br />

A und lose allgemein<br />

1 ;1 0<br />

;1 2 ;1<br />

0 ;1 1<br />

(c) eine positiv-semide nite W<strong>ur</strong>zel B von A (also eine Matrix B mit B 2 = A , deren Eigenwerte<br />

samtlich nicht-negativ sind) ,<br />

(d) f<strong>ur</strong> t 2 lC die Matrix e At und<br />

(e) alle Losungen des Dgl.{Systems:<br />

Aufgabe 38.4<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

_x 1 ; (x 1 ; x 2)=0�<br />

_x 2 + x 1 ; 2x 2 + x 3 =0�<br />

_x 3 ; (x 3 ; x 2)=0:<br />

Sei A die Matrix der letzten Aufgabe. Versuche, mit einem geeigneten Storgliedansatz das inhomogene<br />

lineare Dgl.-System _ ~r = A~r + t� t� t t<br />

zu losen.<br />

Aufgabe 38.5<br />

Lose mit Hilfe geeigneter Ansatze das Dgl.{System:<br />

(siehe die vorletzte Aufgabe)<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

x 1 ; (x 1 ; x 2)=0�<br />

x 2 + x 1 ; 2x 2 + x 3 =0�<br />

x 3 ; (x 3 ; x 2)=0:<br />

~ ENDE DER AUFGABEN ~<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Aufgaben, Feb. 2001 29<br />

1<br />

A ,


30 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, , Feb. 2001


II : Losungswege und Endergebnisse.<br />

Aufgabe 1.1<br />

5! = 120 � 100!<br />

98!<br />

Aufgabe 1.2<br />

= 9900 �<br />

5<br />

2<br />

!<br />

=10�<br />

13<br />

8<br />

!<br />

=1287�<br />

100<br />

98<br />

!<br />

= 4950 �<br />

(N +1)!<br />

N !<br />

=<br />

!<br />

N +1<br />

= N +1.<br />

N<br />

(x+1) 4 = x 4 +4x 3 +6x 2 +4x+1� (x;2) 4 = x 4 ;8x 3 +24x 2 ;32x+16� 8a 3 ;12a 2 +6a;1 =(2a;1) 3 .<br />

Aufgabe 1.3<br />

12X<br />

3=13 3=39�<br />

n=0<br />

4Y<br />

j=2<br />

2 j =<br />

2Y<br />

m=0<br />

Aufgabe 1.4<br />

s = 1 2 3<br />

+ +<br />

2 4 8<br />

Aufgabe 1.5<br />

S 1 =<br />

S 3 =<br />

6X<br />

j=2<br />

5X<br />

=0<br />

S 4(n� x) =<br />

4X<br />

k=1<br />

k =<br />

5X<br />

j=2<br />

2 m+2 =2 2+3+4 =512.<br />

(2j ; 2) = 2<br />

+ + 10<br />

1024 =<br />

5X<br />

j=1<br />

( ; 1)(1 + )=<br />

nX<br />

k=2<br />

Aufgabe 1.6<br />

S(N )=<br />

NX<br />

j=0<br />

Aufgabe 1.7<br />

S 5(K� M) =<br />

j 2<br />

2<br />

(j ; 1) =<br />

10X<br />

n=1<br />

n<br />

2 n<br />

j =30� S 2 =<br />

5X<br />

2 ;<br />

5X<br />

5X<br />

n=0<br />

3X<br />

m=0<br />

= 509<br />

256<br />

(m +1)=<br />

2<br />

n +1 =2<br />

=0 =0<br />

2 k+2 x k;1 n;2 X<br />

= 2 k+4 x k+1 =2 4 n;2 X<br />

x<br />

KX<br />

k=0<br />

= N (N +1)(2N +1)<br />

12<br />

MX<br />

k=0 m=1<br />

m<br />

k +1<br />

= M (M +1)<br />

2<br />

4 5<br />

2 =10�<br />

=1:98828125 .<br />

6X<br />

n=1<br />

1=55; 6=49�<br />

k=0<br />

(2x) k =16x<br />

� S(5) = 55<br />

55<br />

� S(6) =<br />

2 2<br />

K+1 X<br />

k=1<br />

=2 1+ 1<br />

1<br />

k � S 5(5� 6) = 21<br />

2<br />

4Y<br />

k=1<br />

k =4!=24�<br />

1 1 1 1<br />

+ + + +<br />

3 4 5 6<br />

1 ; (2x)n;1<br />

1 ; 2x<br />

+ 36<br />

2<br />

7X<br />

k=1<br />

= 91<br />

2 .<br />

(n 2) .<br />

= 49<br />

10 �<br />

1<br />

k =21809<br />

809<br />

= =40:45 ,<br />

420 20<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 31


S 6(N )=<br />

2<br />

0<br />

B<br />

@<br />

1 ; 1<br />

4<br />

NX<br />

2kX<br />

k=1 n=k<br />

1 ; 1<br />

4<br />

N +1<br />

2 ;(k+n) =<br />

1<br />

C<br />

; 1A<br />

;<br />

S6(3) = 1 1 11<br />

; +<br />

3584 96 21<br />

S 7(N�M) =<br />

Aufgabe 1.8<br />

P 1(N )=<br />

P 2 =<br />

NX<br />

k=1 n=k<br />

NY<br />

4Y<br />

NY<br />

j=0<br />

k=1 j=1<br />

2kX<br />

2kY<br />

k=1 n=k<br />

kX<br />

NX<br />

MX<br />

n=1 m=1<br />

(k + n) =<br />

Aufgabe 1.9<br />

2 j+1 =2<br />

0<br />

B<br />

@<br />

2<br />

NX 6<br />

k=1<br />

4 1<br />

4<br />

1 ; 1<br />

8<br />

1 ; 1<br />

8<br />

= 263<br />

512 ,<br />

n(M ; m) =<br />

P N+1<br />

(k ; j +1)=<br />

NX<br />

kX<br />

k=1 n=0<br />

N +1<br />

NX<br />

n=1<br />

k 1 ; 1<br />

2<br />

1 ; 1<br />

2<br />

1<br />

C<br />

k+1<br />

; 1A<br />

= 1<br />

7<br />

X<br />

M;1<br />

n m<br />

m=0<br />

!<br />

3<br />

7<br />

5 =2<br />

1<br />

8<br />

N<br />

NX<br />

k=1<br />

; 2<br />

3<br />

j=1 j =2 1<br />

2 (N +1)(N +2) � P 1(4) = 2 15 = 32768 ,<br />

4Y<br />

kX<br />

k=1 j=1<br />

j =<br />

(n +2k) = 5<br />

2<br />

4Y<br />

k=1<br />

NX<br />

k=1<br />

1<br />

4<br />

1<br />

4<br />

k<br />

N<br />

;<br />

NX<br />

k=1<br />

+ 11<br />

21 �<br />

1<br />

8<br />

k<br />

=<br />

= N (N +1)M (M ; 1)<br />

� S7(3� 2) = 6 .<br />

4<br />

k(k +1)<br />

=2<br />

2<br />

;4 4! 5! = 180 ,<br />

(k 2 + k) = 5<br />

N (N + 1)(N +2), somit:<br />

6<br />

2 ;(k+n) 5 ;<br />

=2 6 N (N +1)(N +2) � P3(1) = 2 ;5 � P3(2) = 2 ;20 .<br />

(a) Es gibt ; 20<br />

3<br />

Kugeln herauszugreifen.<br />

= 1140 Moglichkeiten, aus einem Behalter mit 20 verschiedenen Kugeln 3 verschiedene<br />

(b) Wenn man die rote und die grune Kugel herausnimmt, bleibt noch eine der restlichen 18 Kugeln<br />

herauszugreifen: damit ist n1 = 18 3<br />

= =0:0157895 �<br />

1140 190<br />

(c) wenn man die grune Kugel herausnimmt, sind noch zwei der verbleibenden 19 Kugeln herauszugreifen:<br />

daher ist n 2 =<br />

Aufgabe 1.10<br />

Allgemein ist: S(M�N) =<br />

10 11<br />

S(10� 10) =<br />

2<br />

Steinchen benotigt.<br />

; 19<br />

2 171 3<br />

= = =0:15 .<br />

1140 1140 20<br />

2<br />

MX<br />

NX<br />

m=1 n=1<br />

M (M +1) N (N +1)<br />

mn = � daher werden f<strong>ur</strong> das kleine Einmaleins<br />

2<br />

2<br />

10 11 100 101<br />

= 3025 und f<strong>ur</strong> das gro e Einmaleins S(10� 100) = =277750<br />

2 2<br />

32 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001


Aufgabe 2.1<br />

(a) , (c) : jx ; 2j < 1<br />

2<br />

3<br />

1<br />

, =2;<br />

2 2<br />

damit ist jz ; 2j > 1<br />

2<br />

3<br />

5<br />

2 2 2<br />

e e<br />

i h<br />

1 5<br />

3 5<br />

:<br />

jw +3j > 1 � d.h. w 62 [;4 � ;2]<br />

und<br />

jw +3j < 4 � d.h. w 2 ] ;7 � 1[<br />

9<br />

>=<br />

>�<br />

, w 2 ] ; 7� ;4[[ ] ; 2� 1[ :<br />

;7 ;4 ;3 ;2 1<br />

e e e e - w<br />

j3x +2j<br />

B B B<br />

B B<br />

B<br />

B<br />

B (b)<br />

B<br />

B B<br />

B<br />

B B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

(d)<br />

3x +2<br />

y<br />

6<br />

qqqq<br />

B<br />

B<br />

B<br />

q<br />

B<br />

B<br />

qqq<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

B<br />

qqqqqqqqq<br />

Bp<br />

p p<br />

p p<br />

p<br />

B p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

B p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

B p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

B p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

Bp<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p B p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p B p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p B p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p Bp<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp<br />

1<br />

;1<br />

(c)<br />

;1<br />

(a)<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 33<br />

2<br />

p pppppppppppppppppppp<br />

-<br />

x


Aufgabe 2.3<br />

B : jx + yj 1 , ;1 x + y 1 ,<br />

, ;x ; 1 y ;x +1:<br />

Aufgabe 2.4<br />

y<br />

6<br />

q<br />

pppp q<br />

pppp q<br />

pppp q<br />

pppp q<br />

pppp q<br />

pppp q<br />

ppp q<br />

pppp q<br />

pppp q<br />

ppp q<br />

ppp q<br />

ppp q<br />

pppp q<br />

pp q<br />

ppp q<br />

ppp q<br />

ppp q<br />

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ppp q<br />

pp q<br />

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ppp q<br />

p<br />

q j ln xj<br />

ppppp p<br />

q<br />

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p<br />

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p<br />

q<br />

ppp<br />

-<br />

ppp<br />

p<br />

p<br />

;1 p<br />

1<br />

p<br />

p p p pp<br />

p pp<br />

p ppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

ppppp<br />

ppppp<br />

qp q q q qpppppppppppppppppppppppppp<br />

ln jxj<br />

x<br />

y<br />

6<br />

@<br />

@@@@@@@@@@@@@@@@ B<br />

@<br />

@@@@@@@@@@@@@@@@<br />

1<br />

1 -<br />

;1<br />

;1<br />

@<br />

@<br />

y = f 1(x) =j ln xj und<br />

y = f 2(x) =lnjxj �<br />

y = f 3(x) =lnjx +2j � y = f 4(x) =1; ln jx +2j und y = f 5(x) = 1 ; ln jx +2j :<br />

y<br />

p p<br />

p p p<br />

p p p<br />

q p p q 6<br />

q q<br />

q q<br />

q q<br />

q q<br />

q q<br />

q q q<br />

qq q q q<br />

p<br />

ppppp ppppp ppppp ppppp pppp qq qq q q<br />

ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp p<br />

qq qq q q<br />

ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp pp r<br />

ppppp ppppp pppp 1<br />

ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp pp ;2 ;1<br />

pp p ppp r<br />

s<br />

pppp p p ;3 pp p p p p p p p p p ppp<br />

p pppp<br />

pppp<br />

p pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

pppp<br />

ppp<br />

p pp<br />

p ppppp<br />

ppppp<br />

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ppppp<br />

ppppp<br />

pppp<br />

p<br />

qq qq q<br />

qq qq q q<br />

qq qq qq q<br />

qq qq q q q<br />

qq q qq q q<br />

q q q<br />

q q q<br />

q q q<br />

q q q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

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q q<br />

q<br />

q q<br />

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q q<br />

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q q q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

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q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q q<br />

q q<br />

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q q<br />

q q q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

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q q<br />

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q q<br />

q<br />

q q q<br />

q q<br />

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q q<br />

q<br />

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q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q q<br />

q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

p<br />

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p<br />

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p<br />

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p<br />

q<br />

p<br />

q<br />

p<br />

q<br />

pp q q<br />

p<br />

q q<br />

p<br />

q q<br />

p<br />

q q<br />

p<br />

q q<br />

p<br />

q q<br />

pp q qpq<br />

p<br />

pq<br />

pp pq<br />

p<br />

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p<br />

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p<br />

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p<br />

p<br />

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p<br />

p<br />

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p<br />

p<br />

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p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp pp<br />

pp pp<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

pp<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

pp<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

pp pp<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp pp<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

pp<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp pp<br />

pp pp<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp pp<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp pp<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

pp<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp pp<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

pp p<br />

p<br />

ppppp<br />

ppppp<br />

ppppp<br />

ppppp<br />

ppppp<br />

ppppp<br />

p<br />

ln jx +2j<br />

-<br />

x<br />

1 ; ln jx +2j<br />

x<br />

1 ; ln jx +2j<br />

34 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001


Aufgabe 3.1<br />

lim<br />

n!1<br />

; 2<br />

n<br />

=0� lim<br />

n!1<br />

1 ; 1<br />

n<br />

lim<br />

n!1 1 ; 2;n =1� lim<br />

n!;1 1 ; 2;n = ;1 �<br />

lim<br />

x!+0<br />

1<br />

=+1� lim<br />

x x!;0<br />

Aufgabe 3.2<br />

1<br />

= ;1 � lim<br />

x x!0<br />

2n<br />

(a) lim<br />

n!1<br />

2 ; 1<br />

3n2 2n<br />

= lim<br />

; 2n ; 1 n!1<br />

2 +<br />

3n2 +<br />

(b) lim<br />

n!1<br />

2n ; 1<br />

3n2 ; 2n ; 1<br />

n +1<br />

1 ; n<br />

=1� lim =1� lim = ;1 �<br />

n!1 n n!1 n<br />

1<br />

x<br />

2n +<br />

= lim<br />

n!1 3n2 +<br />

2n<br />

(c) lim<br />

n!1<br />

3 ; 1<br />

3n2 2n<br />

= lim<br />

; 2n ; 1 n!1<br />

3 +<br />

3n2 +<br />

(2n ; 1)(3n +2)<br />

(d) lim<br />

n!1 9n2 6n<br />

= lim<br />

; 2n ; 1 n!1<br />

2 +<br />

9n2 +<br />

(e) lim<br />

n!1<br />

(f ) lim<br />

n!1<br />

Aufgabe 3.3<br />

(g) lim<br />

n!1<br />

(h) lim<br />

n!1<br />

(i) lim<br />

n!1<br />

(j) lim<br />

n!1<br />

(k) lim<br />

n!1<br />

1 ; 1<br />

2n<br />

1+ 1<br />

n<br />

n<br />

1=n<br />

= lim<br />

n!1<br />

= lim<br />

n!1<br />

1 ; 1=2<br />

n<br />

r<br />

n<br />

existiert wesentlich nicht , lim<br />

x! 1 2x +2 ;x =+1 .<br />

n<br />

1+ 1<br />

n =1.<br />

(2n 2 ; 1)(3n +2)(n ; 6)<br />

(5n + 4)(3n 2 ; 2n ; 1)(n=2 ; 7)<br />

1 ; 3<br />

2n<br />

2 ; 3<br />

2n<br />

2 ; 3<br />

2n<br />

2n ; 3<br />

2n<br />

;4n=3<br />

;4n=3<br />

;4=3n<br />

;2=n<br />

= lim<br />

n!1<br />

= lim<br />

n!1<br />

= lim<br />

n!1<br />

= lim<br />

n!1<br />

1<br />

2n " r<br />

n<br />

= 2<br />

3 ,<br />

=0,<br />

3=2<br />

1 ;<br />

n<br />

1<br />

np 4<br />

4=3<br />

2 ; 3<br />

2n<br />

=+1 ,<br />

= 2<br />

3 ,<br />

= e ;1=2 ,<br />

r<br />

n<br />

= lim<br />

n!1<br />

n ;4=3<br />

1 ; 3=4<br />

n<br />

# ;4=3<br />

n ; 3<br />

4n<br />

6n 4 +<br />

15=2 n 4 +<br />

=1,<br />

= 4<br />

5 ,<br />

;4=3<br />

;3=2<br />

= e = e 2 ,<br />

! ;2<br />

n ;4=3<br />

=0 e =0,<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 35<br />

=1.


Aufgabe 4.1<br />

(a)<br />

(b)<br />

(c)<br />

(d)<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=0<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

2<br />

n =2<br />

=<br />

Aufgabe 4.2<br />

(a) 0 <<br />

(b) 0 <<br />

(c)<br />

1X<br />

n=0<br />

1X<br />

n=1<br />

3 ;n 4 n =<br />

3 n 4 ;n =<br />

1<br />

3<br />

4 2;n =4 2<br />

1X<br />

n=1<br />

1<br />

= 1 ,<br />

n<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

n<br />

1<br />

=<br />

1 ; 1=3<br />

1X<br />

n=0<br />

2<br />

2 n +1 <<br />

die Reihe S =<br />

1X<br />

n=0<br />

cos 2 3n<br />

2 n<br />

die Reihe S =<br />

1X<br />

n=1<br />

3n +1<br />

2n 2 +1<br />

die Reihe S =<br />

(d) Die Folge<br />

Reihe S =<br />

4<br />

3<br />

3<br />

4<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

<<br />

1X<br />

n=0<br />

1X<br />

n=1<br />

3n +1<br />

2n2 1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=1<br />

1<br />

4<br />

n<br />

= 1 ,<br />

= 3<br />

2 ,<br />

n<br />

1<br />

=<br />

1 ; 3=4<br />

n<br />

1<br />

=16<br />

1 ; 1=4<br />

2<br />

=<br />

2n 2<br />

2 n +1<br />

1X<br />

n=0<br />

1<br />

2<br />

cos 2 3n<br />

2 n<br />

3n<br />

2n 2 +1<br />

3n +1<br />

2n 2 +1<br />

1X<br />

n=0<br />

1<br />

2<br />

; 1=3,<br />

= 64<br />

3 .<br />

n<br />

1<br />

=<br />

1 ; 1=2<br />

=2 ) [Majorantenkriterium]<br />

konvergiert eigentlich mit 0


1X<br />

1X<br />

2<br />

(f )<br />

n=0<br />

;n<br />

n! =<br />

(1=2)<br />

n=0<br />

n<br />

n! = e1=2 : diese Exponentialreihe ist eigentlich konvergent .<br />

(g) F<strong>ur</strong> die Summanden an = n ;n 2 n hat man: n<br />

q<br />

janj = 2<br />

! 0 (n !1) ) [W<strong>ur</strong>zelkriterium] die<br />

n<br />

Reihe S =<br />

1X<br />

n=1<br />

n ;n 2 n ist eigentlich konvergent .<br />

n<br />

(h) Es ist an = 1 ; 1<br />

! e<br />

n<br />

;1 > 0 (n ! 1 ) ) die Reihe S = 1 ;<br />

n=1<br />

1<br />

konvergiert<br />

n<br />

nicht eigentlich �wegen an > 0 8n ist sie uneigentlich konvergent mit S = 1 .<br />

Aufgabe 4.3<br />

(i) F<strong>ur</strong> die Summanden an = n! an+1<br />

gilt:<br />

nn an<br />

(n !1) ) [Quotientenkriterium] die Reihe S =<br />

(j) f<strong>ur</strong> an = nn<br />

n!<br />

= (n +1)!nn<br />

hat man dementsprechend: an+1<br />

[Quotientenkriterium] die Reihe S =<br />

1X<br />

n=0<br />

an<br />

n n<br />

n!<br />

(n +1) n+1 n! =<br />

1X<br />

n=3<br />

= 1+ 1<br />

n<br />

1<br />

1+ 1<br />

n<br />

1X<br />

n ! 1<br />

< 1<br />

e<br />

n!<br />

ist eigentlich konvergent �<br />

nn n<br />

! e>1 (n !1) )<br />

ist nicht eigentlich konvergent �<br />

wegen an > 0 8 n ist sie uneigentlich konvergent mit S = 1 .<br />

(k) Mit an = (2n)!<br />

n!n!<br />

ist an+1<br />

an<br />

[Quotientenkriterium] die Reihe S =<br />

(2n +2)!n!n!<br />

=<br />

(n +1)!(n + 1)! (2n)!<br />

1X<br />

n=0<br />

(2n)!<br />

n!n!<br />

= 2(2n +1)<br />

n +1<br />

! 4 > 1 (n !1) )<br />

ist nicht eigentlich konvergent ,<br />

aber wegen an > 0 8 n ist sie uneigentlich konvergent mit S = 1 .<br />

(l) F<strong>ur</strong> n !1 ist 1<br />

1<br />

! 0 , somit sin<br />

n n<br />

X<br />

n n0<br />

sin 1<br />

n<br />

mit S = 1 .<br />

Aufgabe 4.4<br />

(a) f (x) =<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

X<br />

n n0<br />

1<br />

= 1 und die Reihe S =<br />

n<br />

x +1<br />

=1<br />

x +1<br />

f<strong>ur</strong> x +1> 0<br />

;(x +1)<br />

= ;1<br />

x +1<br />

f<strong>ur</strong> x +1< 0<br />

1<br />

n f<strong>ur</strong> gro e n � damit hat man f<strong>ur</strong> \gro e" n0 :<br />

9<br />

>=<br />

>� :<br />

1X<br />

n=1<br />

sin 1<br />

n<br />

ist uneigentlich konvergent<br />

f (x) ist an der Stelle x =1<br />

unstetig mit einer<br />

endlichen Sprungstelle .<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 37<br />

n


(b) Die Funktion g(x) = x3 ; 1<br />

x ; 1 = x2 + x +1 f<strong>ur</strong> x 6= 1 ist an der Stelle x =1 hebbar unstetig :<br />

mit der De nition g(x) :=x 2 + x +1 f<strong>ur</strong> alle x ist g(x) uberall stetig .<br />

(c) Da x ;2 ! +1 f<strong>ur</strong> x ! 0 und da der Grenzwert lim<br />

t!1 sin t wesentlich nicht existiert , ist die Funktion<br />

h(x) = sin x ;2 an der Stelle x =0 wesentlich unstetig .<br />

Aufgabe 4.5<br />

Gleichsetzen:<br />

x ; 2 ! = ln 1 ; x<br />

x +1<br />

= ; ln(x +1)<br />

fuhrt auf die Iterationsfolge:<br />

xn+1 =2;ln(xn +1): mit dem Startwert x 0 =<br />

1:2 liefert diese (nach etwas uber 20 Schrit-<br />

ten) den Wert x = 1:207940032 und damit<br />

den gesuchten Schnittpunkt S(1:207940032 j<br />

;0:792059968) .<br />

Aufgabe 5.1<br />

;1<br />

y<br />

6<br />

p<br />

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp<br />

x0 r<br />

s<br />

S<br />

; ;;;;;;;;;;;;;;;;<br />

f (x) =1+ln(1 ; x) : y = f ;1 (x) , x = f (y) =1+ln(1 ; y) , 1 ; y = e x;1 ,also:<br />

y = f ;1 (x) =1; e x;1<br />

Aufgabe 5.2<br />

.<br />

z 1 = lg 1000 = lg 10 3 =3� z 2 =ln p e =lne 1=2 =1=2 � z 3 = log 2 8 = log 2 2 3 =3,<br />

1<br />

z4 =log4 16 = log4 4;2 = ;2 � z5 =log16 Aufgabe 5.3<br />

g(y) = ay ; 1<br />

y<br />

1<br />

=<br />

y ey ln a ; 1 = 1<br />

y<br />

1X<br />

n=0<br />

1<br />

4 =log16 16;1=2 = ; 1<br />

2 .<br />

(y ln a) n<br />

n!<br />

; 1<br />

y ! 0 . Mit der De nition g(0) := ln a und g(y) = ay ; 1<br />

y<br />

Aufgabe 5.4<br />

f (x) =3lg(1+x)+2lg 0:1(x ; 1) 1:5 = 3<br />

!<br />

(ln a)2<br />

=lna + y<br />

2!<br />

(ln a)3<br />

+ y2<br />

3!<br />

f<strong>ur</strong> y 6= 0 wird g(y) uberall stetig.<br />

ln 10 ln(x2 ; 1) , und f (x) =1 f<strong>ur</strong> x 2 =11, d.h. x =<br />

-<br />

! ln a f<strong>ur</strong><br />

p 11 .<br />

38 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001<br />

x


Aufgabe 5.5<br />

lg f (t) =y =2; 3t )<br />

f (t) =10 2t;3 =10 ;3 e (2 ln 10) t = ce t<br />

mit c =10 ;3 =0:001 und<br />

= 2 ln 10 4:60517 :<br />

Aufgabe 5.6<br />

E ;<br />

k = e RT f<strong>ur</strong> E<br />

R<br />

=300und 0 T 300 :<br />

mit t = 1<br />

T ist<br />

0<br />

; lg e<br />

;10 lg e<br />

1<br />

300<br />

y =lgk<br />

6<br />

y =lgf (t)<br />

6<br />

2 10 2<br />

1 10 1<br />

0 10 0 =1<br />

f (t)<br />

s s<br />

;1 10 ;1<br />

;2 10 ;2<br />

;3 10 ;3<br />

;4 10 ;4<br />

;5 10 ;5<br />

;6 10 ;6<br />

6<br />

B BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB<br />

t


Aufgabe 6.1<br />

-<br />

6<br />

x<br />

y<br />

S<br />

S<br />

S<br />

S<br />

S<br />

S<br />

S<br />

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S<br />

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S<br />

S SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS<br />

r<br />

s<br />

D<br />

C<br />

B<br />

A<br />

;1<br />

;4<br />

;5<br />

;6 1<br />

2<br />

3 4<br />

;1<br />

;2<br />

;3<br />

;4<br />

2<br />

5<br />

6<br />

7<br />

8<br />

p<br />

p p<br />

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(a) A: Kreis (x +1) 2 +(y ; 2) 2 =9, (b) B: Ellipse (x +1)2<br />

9<br />

+ (y ; 2)2<br />

16<br />

=1,<br />

(c) C: Hyperbel (x +1)2<br />

9<br />

; (y ; 2)2<br />

16<br />

=1, (d) D: Hyperbel ; (x +1)2<br />

9<br />

+ (y ; 2)2<br />

16<br />

=1.<br />

40 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001


Aufgabe 6.2<br />

4. Linker Halbkreis um (1� ;2) v0m Radius 3:<br />

(x ; 1) 2 +(y +2) 2 =9 mit<br />

;2 x 2 � ;5 y 1 , oder:<br />

y = ;2<br />

q 9 ; (x ; 1) 2 mit<br />

;2 x 1 , oder:<br />

x =1;<br />

q 9 ; (y +2) 2 mit<br />

;5 y 1 , oder:<br />

( x = 1 + 3 cos '<br />

y = ;2 +3sin'<br />

)<br />

� 2<br />

'<br />

3<br />

2 .<br />

-<br />

6<br />

x<br />

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pq<br />

pq<br />

5. 3. Kreisquadrant um (;2� 1) vom Radius 4 :<br />

(x +2) 2 +(y ; 1) 2 =16 mit<br />

;6 x ;2 � ;3 y 1 ,<br />

oder:<br />

y =1;<br />

q 16 ; (x +2) 2 mit<br />

;6 x ;2 , oder:<br />

x = ;2 ;<br />

q 16 ; (y ; 1) 2<br />

mit ;3 y 1 , oder:<br />

( x = ;2 + 4 cos '<br />

y = 1 + 4 sin '<br />

)<br />

mit '<br />

3<br />

2 :<br />

-<br />

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J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 41


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- x<br />

6. Untere Halfte der Ellipse um (2� ;1) mit der x -Halbachse a =3 und y -Halbachse b =2:<br />

(x ; 2) 2<br />

+<br />

9<br />

(y +1)2<br />

=1� ;1 x 5 � ;3 y ;1 � oder:<br />

4<br />

y = ;1 ; 2<br />

s<br />

s<br />

(x ; 2)2<br />

1 ; � ;1 x 5 � oder:<br />

9<br />

(y +1)2<br />

x =2 3 1 ; � ;3 y ;1 � oder:<br />

4<br />

( )<br />

x = 2 + 3 cos '<br />

� ; ' 0 ( oder ' 2 )�<br />

y = ;1 +2sin'<br />

7. obere Halfte des linken Zweiges der Hyperbel um (2� ;1) mit der x -Halbachse a =3,dery -Halbachse<br />

b =2 und einer <strong>z<strong>ur</strong></strong> x -Achse parallelen Hyperbelachse:<br />

(x ; 2) 2<br />

;<br />

9<br />

(y +1)2<br />

=1� x ;1�y ;1 � oder:<br />

4<br />

s<br />

2 (x ; 2)<br />

y = ;1 +2<br />

; 1� x ;1 � oder:<br />

9<br />

s<br />

(y +1)2<br />

x =2; 3 1+ � y ;1� oder:<br />

4<br />

( )<br />

x =2; 3cosht<br />

� t 0�<br />

y = ;1 +2sinht<br />

42 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001


8. linke Halfte des oberen Zweiges der Hyperbel um (2� ;1) mit der x -Halbachse a =3,dery -Halbachse<br />

b =2 und einer <strong>z<strong>ur</strong></strong> y -Achse parallelen Hyperbelachse:<br />

; (x ; 2)2<br />

+<br />

9<br />

(y +1)2<br />

=1� x 2 �y 1 � oder:<br />

4<br />

s<br />

(x ; 2)2<br />

y = ;1 +2 1+ � x 2 � oder:<br />

9<br />

s<br />

2 (y +1)<br />

x =2; 3 ; 1 � y 1 � oder:<br />

4<br />

( )<br />

x = 2 + 3 sinh t<br />

� t 0 :<br />

y = ;1 + 2 cosh t<br />

Aufgabe 6.3<br />

q<br />

1. B1 : ; 16 ; (x +3) 2 y 6 � ;5 x ;1 :<br />

q<br />

y ; 16 ; (x +3) 2<br />

beschreibt den Bereich<br />

oberhalb des Halbkreises<br />

um (;3� 0) vom Radius 4: p ;7 p ;5<br />

;3<br />

s<br />

;1<br />

p<br />

p<br />

p<br />

p<br />

1<br />

-<br />

B 1<br />

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q qq q<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 43<br />

y<br />

6<br />

6<br />

;4<br />

x


2. B 2 : 4 (x ; 1) 2 +(4(y ; 2) 2<br />

(x ; 1)<br />

1<br />

2<br />

+(y ; 2)<br />

4<br />

2<br />

beschreibt den Bereich<br />

au erhalb der Ellipse um (1� 2)<br />

mit der x -Halbachse a =2<br />

und y -Halbachse b =1 und<br />

(x ; 1) 2<br />

+<br />

16<br />

(y ; 2)2<br />

1<br />

4<br />

ist das Innere der Ellipse um (1� 2)<br />

mit der x -Halbachse<br />

a =4 und der y -Halbachse b =2:<br />

Aufgabe 7.1<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

x = r cos ' sin #<br />

y = r cos ' sin #<br />

z = r cos #<br />

Aufgabe 7.2<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

9<br />

>=<br />

>� )<br />

16 :<br />

( x 2 + y 2 + z 2 = r 2<br />

x 2 + y 2 = r 2 sin 2 #<br />

4<br />

y<br />

6<br />

B 2<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

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q<br />

qq<br />

q<br />

q<br />

q<br />

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q<br />

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q<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

q<br />

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q<br />

q<br />

q<br />

qq<br />

q<br />

q<br />

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q<br />

q<br />

q<br />

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q<br />

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q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

s<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

2<br />

q<br />

q q q q q q q qq<br />

q q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q<br />

q q q qq<br />

q qq<br />

q qq<br />

qq<br />

qq<br />

q qq<br />

qq<br />

q q q q q<br />

;3 ;1<br />

1<br />

3 5<br />

)<br />

) x 2 + y 2<br />

xP = 3 cos sin =<br />

3 2 3<br />

2 � xQ<br />

p<br />

6<br />

= 2cos sin =<br />

4 3 2 �<br />

yP = 3 sin sin =<br />

3 2 3p3 2 � yQ<br />

p<br />

6<br />

= 2 sin sin = ;<br />

4 3 2 �<br />

zP = 3 cos 2 = 0 � zQ = 2cos 3 = 1�<br />

d = 1<br />

r<br />

p6 2<br />

; 3 +<br />

2<br />

Aufgabe 7.3<br />

( 3=x = r cos '<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

;1 =y = r sin '<br />

cos ' = 3<br />

p 10<br />

sin ' = ; 1<br />

p 10<br />

9<br />

>=<br />

>�<br />

)<br />

p p 2<br />

6+3 3 +4=3:961 .<br />

) r2 p<br />

=10, d.h. r = 10 , und<br />

) ' = ;0:1024 :<br />

der Punkt P (3� ;1) hat die Polarkoordinaten (r�')= p 10 � ;0:1024 .<br />

q x 2 + y 2 + z 2 = r 3 sin 2 # .<br />

44 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001<br />

9<br />

>=<br />

>�<br />

)<br />

-<br />

x


Aufgabe 7.4<br />

(a)<br />

(b)<br />

(c)<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

2=x = r cos '<br />

1=y = r sin '<br />

; 2=z<br />

9<br />

>=<br />

>� )<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

r =<br />

q x 2 + y 2 =<br />

cos ' = 2<br />

p 5<br />

sin ' = 1 p 5<br />

9<br />

>=<br />

>�<br />

p 5 und<br />

) ' =0:1476 :<br />

der Punkt Q(2� 1 ; 2) hat die Zylinderkoordinaten (r�'�z)=<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

1=y = r cos '<br />

; 2=z = r sin '<br />

2=x<br />

9<br />

>=<br />

>� )<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

r =<br />

q y 2 + z 2 =<br />

cos ' = 1 p 5<br />

sin ' = ; 2 p 5<br />

p 5 und<br />

9<br />

>=<br />

>�<br />

) ' = ;0:3524 :<br />

der Punkt Q(2� 1 ; 2) hat die Zylinderkoordinaten (r�'�x)=<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

)<br />

2=x = r cos ' sin #<br />

1=y = r cos ' sin #<br />

; 2=z = r cos #<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

cos ' = 2<br />

p 5<br />

sin ' = 1 p 5<br />

9<br />

>=<br />

>�<br />

9<br />

>=<br />

>� )<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

r =<br />

) ' =0:14758 :<br />

q x 2 + y 2 + z 2 =3 und<br />

cos # = ; 2<br />

3 )<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

p 5 � 0:1476 �;2 �<br />

p 5 � ;0:3524 � 2 �<br />

[da 0 # ]: # =0:73228 �<br />

r<br />

sin # = 1 ; 4<br />

9 =<br />

p<br />

5<br />

3<br />

der Punkt Q(2� 1� ;2) hat die Polarkoordinaten (r�#� ' )= 3 � 0:73228 � 0:14758 .<br />

Aufgabe 7.5<br />

Aus der Polargleichung r = 4cos'<br />

sin 2 '<br />

( )<br />

x = r cos '<br />

ergibt sich mit<br />

:<br />

y = r sin '<br />

y = r sin ' = 4cos' 4x<br />

= , also<br />

sin ' y<br />

y = 2 p y<br />

6<br />

t<br />

4<br />

;;<br />

' =<br />

2<br />

t<br />

4<br />

q - x (' =0)<br />

@<br />

' = ; @@@@@@@@@@@<br />

' = ;<br />

2<br />

x . F<strong>ur</strong> ' = ; ist<br />

4<br />

4<br />

p<br />

r =4 2 �x=4�y= ;4<br />

@<br />

und f<strong>ur</strong> ' ! 0 ist r !1,somit<br />

@R<br />

x !1 und y ! 1:<br />

t<br />

;4<br />

q q q q q qq<br />

q q qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

qq<br />

q qq<br />

q q qq<br />

q q qq<br />

q q q q q q q q<br />

q<br />

pppppppp q pp<br />

q<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 45<br />

9<br />

>=<br />

>�


Aufgabe 8.1<br />

(a) (x sin x) 0 = sin x + x cos x ,<br />

(b)<br />

(c)<br />

0<br />

@<br />

1<br />

x<br />

sin x2<br />

s x ; 1<br />

x +1<br />

1<br />

A<br />

(d) p 2 ; x2 0 = ;x<br />

p ,<br />

2 ; x2 q<br />

(e) ln j2 ; x2j 0<br />

= ; 1<br />

x2 sin x2 + 2 cos x 2 ,<br />

0<br />

=<br />

p<br />

x +1<br />

2 p x ; 1 ;<br />

p<br />

x ; 1<br />

2 p x +1<br />

x +1<br />

1<br />

= p ,<br />

(x +1) x2 ; 1<br />

0<br />

= ;x<br />

,<br />

2 ; x2 (f) sin 2 p x 0 = sin p x cos p x<br />

p x<br />

(g) x = f ;1 (y) = cot y )<br />

arccot x 0<br />

= f 0 (x) =<br />

(h) ; x cot x +lnj sin xj<br />

(i) 2 x;1<br />

Aufgabe 8.2<br />

1. P (V�T) = nRT<br />

V<br />

,<br />

1<br />

(cot y) 0 = ; sin2 y = ;<br />

0 =<br />

x<br />

sin 2 x ,<br />

0 = e (x;1) ln 2 0 =2 x;1 ln 2 .<br />

) @P<br />

@V<br />

grad P = ; nRT nR<br />

�<br />

V 2 V<br />

2. r(x� y� z) =<br />

@P<br />

= ;nRT �<br />

V 2 @T<br />

= nR<br />

V )<br />

sin 2 y<br />

sin 2 y + cos 2 y<br />

�dP= ; nRT nR<br />

dV + dT .<br />

V 2 V<br />

q @r x @r<br />

x2 + y2 + z2 ) = �<br />

@x r @y<br />

y @r<br />

= �<br />

r @z<br />

grad r = 1<br />

1<br />

(x� y� z) � dr = ( xdx + ydy + zdz) , und<br />

r r<br />

@2r @<br />

=<br />

@x2 @x<br />

@ 2 r<br />

@x@y<br />

Aufgabe 8.3<br />

ln P = ; A<br />

RT<br />

x<br />

r<br />

= ; x<br />

r 2<br />

@r<br />

@y<br />

+ C ) dP<br />

dT<br />

1 x<br />

= ;<br />

r r2 @r 1<br />

=<br />

@x r<br />

= ;xy<br />

r 3 � @2 r<br />

@x@z<br />

A A<br />

= e; RT<br />

RT 2 +C .<br />

1 ; x2<br />

r 2<br />

!<br />

= ;xz<br />

r 3 � @2 r<br />

@y @z<br />

� @2r 1<br />

=<br />

@y2 r<br />

= z<br />

r )<br />

= ;yz .<br />

r3 1<br />

= ; ,<br />

1+x2 1 ; y2<br />

r2 !<br />

� @2r 1<br />

=<br />

@z2 r<br />

1 ; z2<br />

r2 !<br />

�<br />

46 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001


Aufgabe 8.4<br />

~x = cos t� sin t� t 2 ) ~x ~x =1+t 2 � j~x j =<br />

d~x<br />

dt<br />

= ; sin t� cos t� 2t � d (~x ~x )<br />

dt<br />

Aufgabe 8.5<br />

=2t�<br />

p 1+t 2 und<br />

d j~x j<br />

dt =<br />

t<br />

p 1+t 2 .<br />

An der Stelle x 0 haben die K<strong>ur</strong>ve y = a x und die Gerade y = x :<br />

1. denselben y -Wert: ax0 = x0 , und<br />

2. denselben Anstieg: ax0 ln a =1.<br />

) [1. in 2.] : ln a =1=x0 , d.h. a = e1=x0 ,<br />

x<br />

1=x0 ) [mit 1.] : x0 = e = e und a = e<br />

0<br />

1=e :<br />

die K<strong>ur</strong>ve y = ax und die Gerade y = x beruhren sich<br />

genau im Fall a = e1=e =1:44466786 � der Beruhrpunkt ist<br />

y<br />

6<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

;<br />

(x0 �x0 )=(e� e) =(2:718281828 � 2:718281828) . ;<br />

;<br />

;<br />

- x<br />

;<br />

y = a<br />

y = x<br />

t<br />

1<br />

r<br />

x0 x<br />

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp<br />

Aufgabe 8.6<br />

f 0 f (x) ; f (0)<br />

(0) = lim<br />

x!0 x ; 0<br />

= lim x sin<br />

x!0<br />

1<br />

x = 0 , und f<strong>ur</strong> x 6= 0 ist f 0 (x) = x 2 sin 1<br />

x<br />

0<br />

= 2x sin 1<br />

x ;<br />

cos 1<br />

. Da der Grenzwert lim cos<br />

x x!0<br />

1<br />

wesentlich nicht existiert, existiert auch der Grenzwert lim f<br />

x x!0<br />

0 (x)<br />

wesentlich nicht� insbesondere ist damit lim f<br />

x!0<br />

0 (x) 6= f 0 (0) , d.h. die Ableitung f 0 (x) ist an der Stelle<br />

x =0 unstetig .<br />

Aufgabe 9.1<br />

ln x<br />

(a) lim<br />

x!1 x =<br />

(b) lim<br />

x!1<br />

ln x<br />

1 ; x<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

=0 (das wei man!) , oder:<br />

L'H: 0<br />

0 1=x<br />

= lim<br />

x!1 1 =0�<br />

L'H: 0<br />

0 1=x<br />

= lim = ;1 ,<br />

x!1 ;1<br />

p p [ t =<br />

(c) lim x ln x<br />

x!0<br />

p x ]<br />

= lim<br />

t!0<br />

t ln t =<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

=0 (das wei man!) , oder:<br />

ln t L'H:<br />

=lim<br />

t!0 1=t<br />

1 1<br />

= lim<br />

t!0<br />

1=t<br />

=0�<br />

;1=t2 x<br />

1<br />

(d) lim<br />

= lim<br />

=1 (die L'Hospital'sche Regel ist hier nicht anwendbar!) ,<br />

x!1 x + sin x x!1 sin x<br />

1+<br />

x<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 47


x<br />

(e) lim<br />

x!0 x +sinx =<br />

(f) lim<br />

x!1 e;x2<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

= lim<br />

x!0<br />

1+<br />

1<br />

L'H: 0<br />

0<br />

= lim<br />

x!0<br />

sin x<br />

x<br />

1<br />

1+cosx<br />

= 1<br />

� oder:<br />

2<br />

= 1<br />

2 �<br />

x 4 +3x +1 =0 (das wei man!) , oder:<br />

x<br />

= lim<br />

x!1<br />

4 +3x +1<br />

ex2 L'H: 1 1<br />

= lim<br />

x!1<br />

(g) lim<br />

x!1 x;x = lim<br />

x!1 e;x ln x ; lim x ln x<br />

= e x!1 = e ;1 =0,<br />

(h) lim x<br />

x!0<br />

p x [t = p x]<br />

= e<br />

(i) lim x<br />

x!1<br />

(j) lim<br />

x!0<br />

1<br />

x ; 1 = e lim<br />

x!1<br />

1<br />

sin x<br />

2 lim t ln t s.o.<br />

t!0<br />

0<br />

= e =1,<br />

ln x<br />

tan x<br />

(k) lim = lim<br />

x! =2 tan 3x x! =2<br />

tan x<br />

(l) lim<br />

x!0 tan 3x<br />

Aufgabe 9.2<br />

x ; 1 s.o.<br />

= e 1 = e ,<br />

1 ; cos x<br />

; cot x = lim<br />

x!0 sin x<br />

= lim<br />

x!0<br />

cos 3x<br />

cos x<br />

(a) F = F (a� b) = ab� @F<br />

@a<br />

a = 6<br />

20<br />

� b =<br />

100 100<br />

F<br />

@F<br />

@a<br />

a + @F<br />

@b<br />

"pessimistisch\: F<br />

F<br />

F<br />

0:5 p 545<br />

100<br />

(b) V = V (r�h)= 1<br />

sin x<br />

sin 3x<br />

sin x<br />

sin 3x<br />

= b� @F<br />

@b<br />

cos 3x<br />

cos x<br />

2 2x 3<br />

+<br />

x2 e 2xex2 L'H: 0<br />

0 sin x<br />

= lim<br />

x!0 cos x =0,<br />

! L'H: 1 1<br />

= lim<br />

x!1<br />

L'H: 0<br />

0<br />

;3 sin 3x<br />

= ;1 lim<br />

x! =2 ; sin x =3,<br />

L'H: 0<br />

0<br />

= 1 lim<br />

x!0<br />

cos x<br />

3 cos 3x<br />

= 1<br />

3 .<br />

= a : f<strong>ur</strong> a = 2� b= 4 also: F = 8� @F<br />

@a<br />

ergibt sich "optimistisch\:<br />

b = 64<br />

und damit der relative Fehler<br />

100<br />

s<br />

2<br />

@F<br />

+<br />

@a<br />

@F<br />

@b<br />

12% .<br />

und damit "optimistisch\: V<br />

V<br />

16<br />

3<br />

3 r2 h� r =2�h=4� r = 6<br />

2 p 218<br />

�<br />

100<br />

V<br />

V<br />

16<br />

3<br />

2 p 218<br />

100<br />

26<br />

100 �<br />

F<br />

F<br />

2 q ( a) 2 +( b) 2 = 4 p 545<br />

100<br />

30% .<br />

20<br />

� h =<br />

100<br />

V 26<br />

V 100<br />

100<br />

) V = @V<br />

@r<br />

4x<br />

+0=0,<br />

x2 2xe<br />

= 4� @F<br />

@b<br />

8<br />

100 =8%,<br />

und damit<br />

= @V<br />

@h<br />

= 16<br />

3<br />

= 26% , und "pessimistisch\:<br />

= 2 . Mit<br />

48 J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001


Aufgabe 10.1<br />

f (x� y) = 1 ; xy + x 3 y + ( Glieder der Ordnung > 4 )<br />

= f (0� 0) + fx(0� 0) x + fy(0� 0) y + 1<br />

2 fxx(0� 0) x 2 + fxy(0� 0) xy+<br />

) [ Koe zientenvergleich ] :<br />

+ 1<br />

2 fyy(0� 0) y 2 + 1<br />

6 fxxx(0� 0) x 3 + 1<br />

2 fxxy(0� 0) x 2 y + 1<br />

2 fxyy(0� 0) xy 2 +<br />

+ 1<br />

6 fyyy(0� 0) y 3 + 1<br />

24 fxxxx(0� 0) x 4 + 1<br />

6 fxxxy(0� 0) x 3 y + 1<br />

4 fxxyy(0� 0) xy 3 +<br />

+ 1<br />

6 fxyyy(0� 0) xy 3 + 1<br />

24 fyyyy(0� 0) y 4 + ( Glieder der Ordnung > 4 )<br />

f (0� 0) = 1� fx(0� 0) = 0 � fy(0� 0) = 0 � fxx(0� 0) = 0 � fxy(0� 0) = ;1 ,<br />

fyy(0� 0) = 0 �fxxx(0� 0) = 0 � fxxy(0� 0) = 0 � fxyy(0� 0) = 0 � fyyy(0� 0) = 0 ,<br />

fxxxx(0� 0) = 0 �� fxxxy(0� 0) = 6 � fxxyy(0� 0) = 0 �fxyyy(0� 0) = 0 �fyyyy(0� 0) = 0 .<br />

Aufgabe 10.2<br />

(a) 1 ; x 2 + x 4 ; x 6 + x 8<br />

(b)<br />

(c)<br />

(d)<br />

1X<br />

n=1<br />

5 ;(n+1) (2x ; 1) n = 1<br />

f<strong>ur</strong> alle x mit j2x ; 1j < 5 �<br />

1X<br />

n=0<br />

1X<br />

n=1<br />

1<br />

n!<br />

Aufgabe 10.3<br />

F (x) =<br />

(x ; 1) n<br />

(n ; 1)!<br />

5<br />

=<br />

1X<br />

n=1<br />

1X<br />

n=0<br />

2x ; 1<br />

5<br />

n<br />

2<br />

; x =<br />

ln x n<br />

= e ln x = x f<strong>ur</strong> alle x>0 �<br />

=(x ; 1)<br />

x cos x ; sin x<br />

x 2<br />

= ; 1 1<br />

+<br />

2! 3!<br />

=<br />

1X<br />

n=1<br />

n n +1<br />

(;1)<br />

=<br />

x<br />

1X<br />

n=0<br />

(x ; 1) n<br />

n!<br />

1 ; x2<br />

2!<br />

1 1<br />

x + ;<br />

4!<br />

+ x4<br />

4!<br />

(n +2)! xn ) F (n) (0) =<br />

n<br />

= 1<br />

5<br />

1<br />

1+x 2<br />

0<br />

B<br />

@<br />

=(x ; 1) e x;1<br />

; x6<br />

6!<br />

1<br />

2x ; 1<br />

1 ;<br />

5<br />

!<br />

f<strong>ur</strong> jxj < 1 �<br />

; 1<br />

f<strong>ur</strong> alle x .<br />

;<br />

x 2<br />

x ; x3<br />

3!<br />

5! x3 + ; 1 1<br />

+<br />

6! 7! x5 + =<br />

8<br />

><<br />

>:<br />

1<br />

C<br />

A<br />

+ x5<br />

5!<br />

= ; 2x ; 1<br />

10 (x ; 3)<br />

; x7<br />

7!<br />

0 f<strong>ur</strong> alle geraden n 2 IN 0 �<br />

(;1) n<br />

f<strong>ur</strong> alle ungeraden n 2 IN :<br />

n +2<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 49<br />

!<br />

=


Aufgabe 10.4<br />

(c) f (x) = 1<br />

1+x =<br />

f (1:1)<br />

(d) f (x) = 2<br />

=<br />

x2 1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2+(x ; 1)<br />

= 1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

; (x ; 1) + (x ; 1)2<br />

4 8<br />

1<br />

1+ x;1<br />

2<br />

= 1<br />

2<br />

1X<br />

n=0<br />

f<strong>ur</strong> jx ; 1j 1� )<br />

(;1) n<br />

2n (x ; 1) n<br />

; 1<br />

4 10;1 + 1<br />

8 10;2 =0:47625 exakt: f (1:1) = 0:47619 ::: :<br />

2<br />

h i =2<br />

1 ; 2(x +1); (x +1) 2<br />

1X<br />

n=0<br />

h in 2<br />

2(x +1); (x +1)<br />

f<strong>ur</strong> jx ; 1j < 2 �<br />

f<strong>ur</strong> 2(x +1); (x +1) 2 < 1 � d.h. f<strong>ur</strong> ; p 2


(h) f (x) = 3p x = (x ; 8) + 8 1=3<br />

=2 1+ 1<br />

(x ; 8)<br />

8<br />

1X<br />

! n<br />

1=3 1<br />

=2<br />

(x ; 1)<br />

n 8<br />

n<br />

f<strong>ur</strong> jx ; 8j < 8 �<br />

n=0<br />

2+ 1<br />

1<br />

(x ; 8) ; (x ; 8)2<br />

12 288<br />

1=3<br />

=<br />

f<strong>ur</strong> jx ; 8j 1� )<br />

f (8:1) 2+ 1<br />

12 10;1 ; 1<br />

288 10;2 = 2:00829861 exakt: 3p 8:1 =2:00829885 ::: :<br />

Aufgabe 10.5<br />

(a) f (x� y) =<br />

1<br />

1+x + x2 =<br />

+ y2 (b) f (x� y� z) =ze ;r mit<br />

r =<br />

1+x + x 2 + (y ; 1) + 1<br />

1<br />

2 =<br />

= 1<br />

1<br />

" # =<br />

2 x<br />

x2 (y ; 1)2<br />

1+ +(y ; 1) + +<br />

2 2 2<br />

= 1 1X<br />

(;1)<br />

2<br />

n=0<br />

n<br />

" # n<br />

x<br />

x2 (y ; 1)2<br />

+(y ; 1) + + f<strong>ur</strong> alle x mit<br />

2 2 2<br />

" #<br />

1 x<br />

x2 (y ; 1)2<br />

1 ; +(y ; 1) + + +<br />

2 2 2 2<br />

x<br />

2<br />

+(y ; 1)<br />

2 !<br />

=<br />

= 1 1 1<br />

1<br />

; x ; (y ; 1) ;<br />

2 4 2 8 x2 + 1<br />

1<br />

x(y ; 1) + (y ; 1)2<br />

2 4<br />

q x 2 + y 2 + z 2 =<br />

= 1+<br />

=<br />

1X<br />

n=0<br />

1+ 1<br />

2<br />

r<br />

(x ; 1) + 1 2<br />

h 2(x ; 1) + (x ; 1) 2 + y 2 + z 2<br />

1=2<br />

n<br />

+ y 2 + z 2 =<br />

i 1=2<br />

! h 2(x ; 1) + (x ; 1) 2 + y 2 + z 2<br />

h 2(x ; 1) + (x ; 1) 2 + y 2 + z 2<br />

=1+ (x ; 1) + 1<br />

2 y2 + 1<br />

2 z2<br />

f (x� y� z) z e ;1;f g = e ;1 z<br />

= 1<br />

e<br />

1X<br />

n=0<br />

i ; 1<br />

=<br />

i n<br />

f<strong>ur</strong> alle x� y� z mit<br />

8 4(x ; 1)2 =<br />

f<strong>ur</strong> jx ; 1j� jyj� jzj 1� )<br />

(;1) n<br />

f g<br />

n!<br />

n<br />

e ;1 z 1 ; (x ; 1) + 1<br />

2 y2 + 1<br />

2 z2 + 1<br />

z ; (x ; 1) z + 1<br />

2 (x ; 1)2 =<br />

2 (x ; 1)2 z ; 1<br />

2 y2 z ; 1<br />

2 z3<br />

:<br />

h i < 1 �<br />

f<strong>ur</strong> jxj � jy ; 1j 1 :<br />

h i < 1 �<br />

J<strong>ur</strong>gen Maetzke, Losungen, Feb. 2001 51