Bericht_Nr.060_M ...

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Bericht_Nr.060_M ...

Die

hutf>t

Gleidmng der Stromfunktion

L

2

für einen PunktP

'P

(X, Y)

j . Q = +

L

2

a (E) arc tg

"

Y

~ d E (3)

Zwismen der Dipolverteilung 1) (S) und der Quell-Senkenverteilung

besteht folgender Zusammenhang:

11 (E) = - 0 J (E) d S

Xl

BerüCksichtigt man diese Beziehung und die Bedingung (2),

so ergibt die partielle Integration von (3) den AusdruCk

, L

'I/Q=+Y

--:-2"

IL

-2"

1)(S) dS

(X-S)2 + Y2

Da jetzt hierbei die Dipolverteilung 1) (S) in der Funktion

unter dem Integralzeimen auftaumt, sieht man, daß bei der

Bestimmung der Zylinderquersdmitte aum, wie vorher

erwähnt, von der Dipolverteilung ausgegangen werden kann.

Die Stromfunktion einer ebenen Translationsströmung in

Rimtung der negativen X-Amse ist

'PT = -uo Y

(5)

Uo ist die Translationsgesmwindigkeit.

Die Addition von 'P Q und 'PT ergibt die Gesamtströmung

'P, und 'P = 0 stellt die Kontur des gesumten

Quersmnittes dar; sie ist -durm die Gleichung (6) gegeben.

, L

'['2"

'PQ + 'PT = - UoY + Y r

. L

-2

Durm eine geringe Umordnung ergibt sim

, L

12"

1

~ I

1) (S) d E

(X _ L

-2"

S)2 + Y2 = 1

1)(S) dS

(X S)L

- + Y2 =0

Diese Gleimung soll durm die Substitutionen

X S Y 1)(S)

x =

L72

~ =

1)

Ll2

Y = (~)

~

= :-

1')max.

in dimensionslose Form gebramt werden. Es ist nom die

Größe 1')max.zu bestimmen. Soll die Breite des zu beremnenden

Zylinderquersdmittes in der Y-Amse gleim B sein, so

kann man setzen:

1)max. = Uo

2" B = Uo

n

Der Koeffizient

" wird als Breitenkorrektur bezeimnet;

er bewirkt, daß die Breite des Quersmnitts in dimensionsloser

Form gleim 1 bzw. in dimensionsbehafteter Form

tatsämlim gleim der Breite B wird, die dem vorgegebenen

LlB-Verhältnis entsprimt. L ist die Länge der Dipolverteilung,

die in fast sämtlimen Fällen gleim der Länge des

Zylindersmnittes in der X-Amse gesetzt werden kann. Das

Verhältnis

verteilung

1

- =

E

wird

uoL L

der entspremenden Dipol-

2 n 1')max. = - B

"

etwas kleiner als LlB sein, da der Korrekturfaktor

" ein wenig größer als 1 ist. Damit ergibt sim die

Gleimung

Form:

des Zylinderquersmnittes in dimensionsloser

-;-

"

1 '

L/B f~1

.,. 1

"n

B

2

1') (~)d ~

(x - ~)2+ (0B) , =1

(4)

(6)

(6a)

(6b)

Wie bereits erwähnt, soll 1)mdurm Polynome ausgedrüCkt

werden, und zwar in der Form

n

1')(~) = 1- L am~m

(7)

m=1

Es ist somit notwendig, die Integrale

~n d~

J (X_~)2 + (0B )'

(n = 0, 1, 2 . . .)

im Intervall (- 1; + 1) zu integrieren und für versmiedene

x- und y-Werte zu bestimmen.

Die Integration ergibt für

n=O

,I-I

d~

(X_;}2 + (0B

=r-~ y

L7B

n=-

1

LI

I

~d ~

( Y

-I (X_~)2 +

LlB

I

) '

2

)

! I

arctg x - ~

] -I

-'!-

LlB

~ In { (x _ ~)2 + ( .~ ) ' } ]

= l 2 LlB _I

+xI

.J 1

-I

d~

-

' y

(x

-

~)2 + ( LlB

~ ~n-I

[

"

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