Aufgaben und Lösungen

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Aufgaben und Lösungen

Aufgaben und Lösungen

Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung “Analysis I“

Andreas Moor

Wintersemester 2008/2009


Anwesenheitsaufgaben

Übung am 27.01.2009

Übung 13

Einleitung

Es wird eine 20-minütige ” Mikroklausur“ geschrieben.

ÜBUNGEN MATHEMATIK

Andreas Moor

Sei (a, b) ⊂ R und f : (a, b) → C eine Funktion und c ∈ (a, b). Wann besitzt f

einen linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert in c? Wann heißt f linksseitig

bzw. rechtsseitig stetig in c?

Sei f : R → R mit

f(x) =


0 für x ≤ 0

x 2 + 1 für x > 0 .

Existieren ihr linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert in 0? Ist f linksseitig bzw.

rechtsseitig stetig in 0?

Sei f : R → C eine Funktion. Wann hat f den Grenzwert b ∈ C in ∞ bzw −∞?

Sei f : D → R eine Funktion und a Berührpunkt von D \ {a}. Wann heißt f

differenzierbar in a?

Auflösung:

Sei (a, b) ⊂ R und f : D → C eine Funktion und c ∈ (a, b) ein Berührpunkt von

(a, b) − := (a, b) ∩ (−∞, c) bzw. von (a, b) + := (a, b) ∩ (c, ∞). Dann sagt man, daß

der linksseitige bzw. rechtsseitige Grenzwert existiert, falls der Grenzwert

lim

x→c

x∈(a,b) −

f(x) bzw. lim

x→c

x∈(a,b) +

f(x)

existiert.

Für den linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert schreibt man auch

lim

x↗c f(x) = f(c−) bzw. lim f(x) = f(c+).

x↘c

Gehört c zu (a, b), so heißt f in a linksseitig stetig (rechtsseitig stetig), falls der

linksseitige (rechtsseitige) Grenzwert existiert und

gilt.

f(c) = f(c−) (f(c) = f(c+))

2


Anwesenheitsaufgaben

Übung am 27.01.2009

ÜBUNGEN MATHEMATIK

Andreas Moor

Es gilt: R− := R ∩ (−∞, 0), R + := R ∩ (0, ∞). Damit und mit Definition von f

folgt:

f(0−) = lim f(x)

f(0+) = lim

x→0

x∈R +

x→0

x∈R −

f(x)=0 ∀ x∈R−

= lim

x→0 0 = 0,

f(x) f(x)=x2 +1 ∀ x∈R +

= lim

x→0 (x 2 + 1) = 1.

Außerdem gilt 0 ∈ R und, nach Definition von f, f(0) = 0. Wegen f(0) = 0 =

f(0−) aber f(0) = 0 = 1 = f(0+) ist f linksseitig aber nicht rechtsseitig stetig in

0.

Sei f : R → C eine Funktion. Dann heißt b ∈ C der Grenzwert von f in ∞, falls

∀ ε > 0 ∃ N ∈ R mit

|f(x) − b| < ε ∀ x ∈ R mit x > N.

Existiert dieser Grenzwert, so schreibt man

b = lim

x→∞ f(x).

Außerdem heißt b ∈ C der Grenzwert von f in −∞, falls ∀ ε > 0 ∃ N ∈ R mit

|f(x) − b| < ε ∀ x ∈ R mit x < N.

Existiert dieser Grenzwert, so schreibt man

b = lim

x→−∞ f(x).

Sei f : D → R eine Funktion und a ∈ D Häufungspunkt von D, d. h. a ∈ D ist

Berührpunkt von D \ {a}. f heißt genau dann in a differenzierbar, falls

existiert.

f(x) − f(a)

lim

x→a x − a

x∈D\{a}

= m

Desweiteren sollen Fragen zur Vorlesung und Hausaufgaben beantwortet werden.

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Anwesenheitsaufgaben

Übung am 27.01.2009

Aufgaben

Aufgabe 1

Grenzwerte in ±∞.

ÜBUNGEN MATHEMATIK

Andreas Moor

i) Sei f : R → R eine stetige Funktion und 0 der Grenzwert von f in ∞ bzw. −∞.

Sei f(a) > 0 für ein a ∈ R. Zeigen Sie, daß die Funktion f ihr Maximum annimmt.

ii) Zeigen Sie, daß die Funktion f : R → R mit

ihr Maximum annimmt.

f(x) = sin(x)

x 2 + 1

Lösung

Der zweite Teil wird auf den ersten zurückgeführt.

i) Da 0 = lim f(x), gilt:

x→−∞

Da 0 = lim

x→∞ f(x), gilt:

∀ ε > 0 ∃ N− ∈ R mit |f(x)| < ε ∀ x ∈ R mit x < N−.

∀ ε > 0 ∃ N+ ∈ R mit |f(x)| < ε ∀ x ∈ R mit x > N+.

Wähle ε = f(a)

> 0, da f(a) > 0. Dann definieren die oben bestimmten Zahlen

2

N−, N+ ∈ R, deren Existenz durch die Definition gesichert ist, ein kompaktes Intervall

I := [N−, N+]. Da f stetig ist, nimmt sie auf I ihr Maximum und Minimum

an, denn stetige Funktionen nehmen auf Kompakta immer ihren Maximum und

Minimum an.

Es bleibt nun zu zeigen, daß x0 ∈ R, wobei x0 durch f(x0) = sup f(R) definiert

ist, denn dann folgt sofort: sup f(R) = max f(R).

Da auf I Maximum und Minimum angenommen werden, ist die Menge f(I) beschränkt

und insbesondere nach oben beschränkt. Das Maximum von f(I) ist insbesondere

das Supremum von f(I). Wegen max f(I) = sup f(I) ≥ f(a) > 0 ist

max f(I) > 0. Da I durch das ε = f(a)

bestimmt ist, gilt:

2

|f(x)| < ε = f(a)

2

Daraus folgt: x0 = sup f(R) ∈ I ⊂ R.

< f(a) ≤ max f(I) ∀ x ∈ R mit x /∈ I.

ii) Wir benutzen folgende, teils aus Vorlesung und Übung bekannte, teils plausible

und leicht zu beweisende Tatsachen:


1

lim = 0

x→±∞ x2 4


Anwesenheitsaufgaben

Übung am 27.01.2009




Es folgt dann:

x 2 + 1 > 0 ∀ x ∈ R

sin(x) ∈ [−1, 1] ∀ x ∈ R

sin(x) > 0 ∀ x ∈ (0, π)

ÜBUNGEN MATHEMATIK

Andreas Moor

∃ a ∈ R : f(a) = sin(a)

a2 > 0

+ 1

(man nehme dafür ein beliebiges a ∈ (0, π)). Da sin : R → R mit x ↦→ sin(x)

und g : R → R mit g(x) = x2 + 1 stetig sind und g(x) = 0 ∀ x ∈ R, ist

f : R → R mit f(x) = sin(x) sin(x)

= g(x) x2 stetig. Es bleibt zu zeigen, daß

+1

lim f(x) = 0,

x→±∞

denn dann folgt mit dem ersten Teil der Aufgabe: f nimmt auf R ihr Maximum

an.

Dazu machen wir erst eine Abschätzung:

Da lim

1

x→±∞ x2 = 0, gilt:




sin(x)

x2




+ 1





1

x2




+ 1

∀ ε > 0 ∃ N−, N+ ∈ R mit




1

− 0

x2

= 1

x 2 + 1

Mit der oberen Abschätzung folgt nun:



∀ ε > 0 ∃ N−, N+ ∈ R mit |f(x) − 0| =

sin(x)

x2




+ 1

Dies ist aber nichts anderes als

Aufgabe 2

Uneigentliche Grenzwerte.

lim f(x) = 0.

x→±∞

1

< .

x2 = 1

x 2 < ε ∀ x /∈ [N−, N+] .

< 1

x 2 < ε ∀ x /∈ [N−, N+] .

i) Sei f : R → R eine Funktion. Wann besitzt f in a ∈ R den uneigentlichen Grenzwert

∞ (−∞)?

ii) Sei f : (a, b) → R eine stetige Funktion, die in a den uneigentlichen Grenzwert

−∞ und in b den uneigentlichen Grenzwert ∞ besitzt. Zeigen Sie, daß f surjektiv

ist.

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Anwesenheitsaufgaben

Übung am 27.01.2009

ÜBUNGEN MATHEMATIK

Andreas Moor

Lösung

Das Wissen der Definitionen und die Vorstellung des Sachverhaltes sind hier vorteilhaft.

i) Sei f : R → R eine Funktion. Wir sagen, daß f in a ∈ R den uneigentlichen

Grenzwert ∞ (−∞) besitzt, falls zu jedem E ∈ R ∃ δ > 0 mit

f(x) > E (f(x) < E)

∀ x ∈ B(a, δ).

Wir schreiben im Falle der Existenz des uneigentlichen Grenzwertes:



lim f(x) = ∞ lim f(x) = −∞

x→a x→a

ii) Da lim

x→a f(x) = −∞, folgt:

∀ y ∈ R ∃ δ− > 0 mit f(x) < y ∀ x ∈ (a, δ−) = B(a, δ−) ∩ (a, b).

Dies ist jedoch dazu äquivalent, daß

∀ y ∈ R ∃ δ− > 0 mit f(x) − y < 0 ∀ x ∈ (a, δ−).

Da, weiterhin, lim

x→b f(x) = ∞, folgt:

∀ y ∈ R ∃ δ+ > 0 mit f(x) > y ∀ x ∈ (δ+, b) = B(b, δ+) ∩ (a, b).

Dies ist jedoch dazu äquivalent, daß

∀ y ∈ R ∃ δ+ > 0 mit f(x) − y > 0 ∀ x ∈ (δ+, b).

Sei nun y ∈ R beliebig. Wähle dann x− ∈ (a, δ−), x+ ∈ (δ+, b), dann gilt:

f(x−) − y < 0 < f(x+) − y.

Da f nach Voraussetzung und y als konstante Funktion stetig sind, folgt, daß die

Differenz f(x) − y stetig ist (wegen der Rechenregeln für stetige Funktionen). Mit

dem Zwischenwertsatz folgt nun, daß zu 0 ∈ [f(x−) − y, f(x+) − y] ein x ∈ [x−, x+]

existiert mit f(x) − y = 0. Dies ist aber die Surjektivität von f.

Aufgabe 3

Wann heißt eine Funktion f : D → C gleichmäßig stetig? Zeigen Sie, daß Lipschitzstetige

Funktionen auch gleichmäßig stetig sind.

Lösung

Eine Funktion f : D → C heißt gleichmäßig stetig, falls gilt:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0, sodaß ∀ x, y ∈ D : |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε.

Eine Funktion f : D → C heißt Lipschitz-stetig, falls gilt:

∀ x, y ∈ D ∃ L > 0, sodaß |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|.

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Anwesenheitsaufgaben

Übung am 27.01.2009

ÜBUNGEN MATHEMATIK

Andreas Moor

Es ist nun leicht, die Aussage zu zeigen. Sei f Lipschitz-stetig und ε > 0 vorgegeben.

Gilt nun |x − y| < δ, so folgt:

|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| < L · δ = ε für δ = ε

L ,

was nichts anderes als die gleichmäßige Stetigkeit von f ist.

Aufgabe 4

Man bestimme, falls existent,

Lösung

Es gilt:

weil ∞

z

k=0

k

(k+2)!

e

lim

z→0

z − 1

z

lim

z→0

= lim

z→0

ez − 1

.

z

= lim 1 +

z→0


∞ z

n=0

n

− 1 n!

z

1 +

= lim

z→0

∞ z

n=1

n

− 1 n!

z

∞ z

= lim

z→0

n=1

n−1

n!


∞ zn−1

= lim

z→0

1 + z

= 1 + lim

z→0 z

= 1 + 0 · lim

z→0

= 1,

n=2

n!

∞ zn−2

n=2


k=0


k=0

n!

z k

(k + 2)!

z k

(k + 2)!

konvergent für alle z ∈ C ist, also als eine Funktion von z Lipschitz-stetig ist

(Satz 2.7.9) und somit auch stetig ist (Satz 3.1.2), denn es gilt mit Quotientenkriterium

mit ck = zk

(k+2)! :

|ck+1|

lim

k→∞ |ck|

= lim

k→∞

|z| k+1 (k + 2)!

= lim

(k + 3)!|z| k k→∞

7

|z|

k + 3

= 0 ∀ z ∈ C.

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