Talent im Land – Begabte Kinder mit Migrationshintergrund im ...

Talent im Land
–
Begabte Kinder mit Migrationshintergrund
im Mathematikunterricht erkennen und fördern
1
Dr. Volker Ulm
Zentrum zur Förderung des mathematisch-
naturwissenschaftlichen Unterrichts
Workshop im Rahmen des Symposiums „Talent im Land – Migration als Chance“
Akademie für Lehrerfortbildung und Personalführung, Dillingen, 17.-18. März 2006
1. Fallbeispiele: Drei Schüler
Akira
3. Klasse, Mannheim
Japaner
still, verhaltensunauffällig
mathematisch begabt
erkennt in Situationen mathematische
Muster sehr rasch und nutzt sie für eigene
Überlegungen
sehr geringes Leistungsniveau in der Klasse
(z.B. Addition bis 20 wird noch nicht
von allen beherrscht)
23 von 26 Schülern sprechen zuhause nicht
Deutsch
Begabungen erkennen und fördern?
Stephan
5. Klasse, Bamberg
Rumäne, Aussiedler
sehr extrovertiert, hyperaktiv
aggressiv gegenüber Mitschülern
mathematisch begabt
nach Lehrplan werden Inhalte behandelt,
die er aus seiner Schulzeit in Rumänien bereits
sicher beherrscht
Begabungen erkennen und fördern?
Erkan
11. Klasse, Forchheim
Türke
mathematisch begabt
löst quadratische Gleichungen mit komplexen
Lösungen (z.B. x² + 6x + 13 = 0) mit
dem Satz von Vieta im Kopf
sieht komplizierten Termen das Grenzverhalten
für x → ∞ bzw. 0 x x → an
eher Außenseiter in der Klasse, sitzt alleine
geringes Leistungsniveau in der Klasse
Begabungen erkennen und fördern?
In allen drei Fällen stellen sich die Fragen:
Werden die Begabungen der Schüler zutreffend
erkannt?
Werden die Schüler entsprechend ihren
Begabungen gefördert?
Gehen die individuellen Begabungen der
jungen Menschen im schulischen „Gleichschritt-Betrieb“
nicht vielmehr unter?

2. Aspekte des Lernens
Nürnberger
Trichter
Wie praktisch
wäre doch ein
Gerät wie der
Nürnberger
Trichter:
Man setzt einen
Trichter
etwa in der Mitte des Kopfes oben an und
kann dann dem Schüler eingießen, was gelernt
werden soll.
Diese Vorstellung ist etwa 500 Jahre alt, sie
findet sich bereits in einer Sprichwörtersammlung
aus dem Jahre 1541. Und sie hat
sich bis heute halten können – nicht in dieser
bildlichen Form, aber in der Ansicht, es sei
vor allem Aufgabe des Lehrers, den „Geist“
richtig zusammenzumixen und ihn dann als
Wissen unverfälscht an die Schüler weiterzugeben.
Lernen verläuft anders, einen solchen Trichter
gibt es nicht – leider oder besser zum
Glück.
Werfen wir zunächst ein paar Schlaglichter
auf das komplexe Phänomen des Lernens.
a) Konstruktiver Prozess
Lernen ist ein konstruktiver Prozess. Wissen
kann nicht wie ein Gegenstand eins zu eins
vom Lehrer an die Schüler weitergereicht
werden (oder ihnen eingetrichtert werden),
sondern jeder Schüler muss sein Wissen und
sein Verständnis selbst konstruieren.
Lernen ist der Aufbau und die Modifikation
kognitiver Strukturen. Lernprozesse sind
Konstruktionsprozesse im Kopf jedes Einzelnen.
Diese Sichtweise lässt sich auch durch aktuelle
Forschungen im Bereich der Neurobiologie
stützen:
Im menschlichen Gehirn befinden sich weit
über 100 Milliarden Nervenzellen (Neuronen),
davon etwa 20 Milliarden in der Großhirnrinde.
Sie sind vielfach miteinander vernetzt.
Jedes Neuron erhält Input von bis zu
2
10000 anderen Neuronen und sendet an etwa
ebenso viele selbst Signale. Beim Lernen entstehen
nun keine neuen Neuronen. Vielmehr
ändern sich Stärken der Verbindungen zwischen
Nervenzellen, also die Fähigkeiten von
Neuronen, andere durch Aussendung elektrischer
Signale zu erregen. Das neuronale
Netz wird umkonstruiert.
b) Individueller Prozess
Damit ist auch klar: Lernen ist ein individueller
Prozess. Lernvorgänge laufen im Kopf
jedes Einzelnen ab. Sie sind von außen nur
bedingt beeinflussbar. Der Lernende generiert
Wissen und Verständnis, indem er individuelle
Erfahrungen vor dem Hintergrund
seines persönlichen Vorwissens und seiner
Vorerfahrungen interpretiert und verarbeitet.
c) Aktiver Prozess
Lernen ist somit eine Aktivität. Die individuellen
Konstruktionsprozesse erfolgen umso
effektiver und dauerhafter,
je intensiver sich der Einzelne mit den
zu lernenden Inhalten beschäftigt,
je mehr er mit ihnen im Geist hantiert,
je sorgfältiger er sie von verschiedenen
Seiten betrachtet und
je deutlicher er sie auf sein persönliches
Vorwissen bezieht.
d) Selbstgesteuerter Prozess
Lernen ist ein selbstgesteuerter Prozess. Lernen
erfordert eine bewusst organisierende
und steuernde Aktivität des Individuums.
Jetzt mag man einwenden: Inwieweit ist
selbstgesteuertes Lernen in der Schule möglich,
wenn doch Lehrpläne und Lehrkräfte
Inhalte und Ziele festlegen und durch die
Struktur der Schulorganisation Zeiten und
Abläufe geregelt sind?
Reine Selbststeuerung beim Lernen ist kaum
realisierbar. Auch ein Autodidakt braucht in
der Regel Medien, die andere erstellt haben.
Aber kognitive Lernprozesse können auch
nicht rein fremdgesteuert erfolgen.

Die Frage nach der Selbststeuerung von Lernen
ist deshalb keine Frage, die pauschal mit
„Ja“ oder „Nein“ beantwortet werden kann.
Vielmehr kann man eher von verschiedenen
Ausprägungen selbstgesteuerten Lernens
sprechen, evtl. differenziert nach Graden der
Selbststeuerung im Bereich der Zielsetzung,
Planung, Durchführung, Reflexion und Bewertung
eigener Lernprozesse. Für schulisches
Lernen ist diese Sichtweise durchaus
ertragreich, da sie einen Weg hin zu mehr
Selbststeuerung weist.
e) Situativer Prozess
Lernen wird durch die jeweilige Lernsituation
maßgeblich beeinflusst – sicher keine
neue Erkenntnis. Ein sinnstiftender Kontext,
eine anregende Geschichte, eine angenehme
Atmosphäre, all das kann das Lernen fördern
und ihm Bedeutung verleihen. Umgekehrt
kann eine Angst erzeugende Situation Lernen
hemmen. Unter Angst verengt sich das Denken,
man sucht einen möglichst schnellen
und direkten Ausweg aus der Angstsituation.
Phantasie und Kreativität werden dadurch
eingeschränkt.
f) Sozialer Prozess
Auch wenn Lernen ein individueller Vorgang
ist, so ist es doch gleichzeitig ein sozialer
Prozess – und zwar auf verschiedenen Ebenen:
Schulisches Lernen wird zum einen
durch den gesellschaftlichen Rahmen und
das soziokulturelle Umfeld des Individuums
maßgeblich bestimmt.
Zum anderen findet es im Klassenkontext
statt. Die Mitschüler und die Lehrkraft sind
in der Schule Partner im Lernprozess. Dies
gilt es bei der Gestaltung von Unterrichtssituationen
zu berücksichtigen und zu nutzen.
g) Lernen an Beispielen
Lernen erfolgt über Beispiele. Drei Beispiele
mögen dies deutlich machen:
Nahezu jeder erwachsene Deutsche verbindet
mit dem Begriff „Apfel“ konkrete Vorstel-
3
lungen von Äpfeln. Er erkennt einen Apfel
als solchen, auch wenn er das konkrete Stück
Obst vorher noch nie gesehen hat. Als Erwachsener
hatte man in seinem Leben vielleicht
bereits Hunderte oder Tausende von
Äpfeln vor Augen, kann sich an einzelne Äpfel
wohl kaum mehr erinnern, hat aber aus
den vielen Beispielen allgemeine Vorstellungen
von Äpfeln gebildet. Die zugehörigen
Lernprozesse beginnen bereits in den ersten
Lebensjahren, denn schon die meisten Zweijährigen
(er-)kennen Äpfel, obwohl ihnen
niemand Regeln zum Aussehen von Äpfeln
gegeben hat.
Ein zweites Beispiel: Die deutsche Grammatik
lässt sich als sehr komplexes Regelwerk
mit vielfältigen Ausnahmen beschreiben.
Verben bilden etwa ihr Partizip Perfekt in der
Regel durch Voranstellung der Silbe „ge-“
(z.B. schlafen – geschlafen, lesen – gelesen).
Aber nicht bei allen Verben trifft dies zu: notieren
– notiert, spazieren – spaziert, addieren
– addiert, etc. Wem (außer Deutschlehrkräften)
ist die Regel bewusst, dass Verben, die
auf „-ieren“ enden, ihr Partizip Perfekt meist
ohne die Vorsilbe „ge-“ bilden? Dennoch
können wir diese Regel anwenden, ohne sie
explizit zu kennen. Wir haben sie im Zuge
des Erlernens der Muttersprache über Beispiele
gelernt (vgl. Spitzer 2003).
Diese Gedanken lassen sich auch auf den
Mathematikunterricht übertragen. Eine Regel
wie „Durch einen Bruch wird dividiert, indem
man mit dem Kehrbruch multipliziert.“
fasst prägnant zusammen, was über Beispiele
gelernt werden sollte. Natürlich sollte jeder
Schüler diese Regel in sein Heft notieren.
Allerdings gewinnt man nur über Beispiele
Verständnis zur Division von Brüchen – etwa,
indem man 10 Liter Wasser (real oder in
Gedanken) in 2-Liter-Krüge gießt und so fünf
Krüge füllen kann, oder indem man dieselbe
Menge Wasser in ¼-Liter-Gläser schüttet und
so vierzig Gläser befüllt.
Durch Beispiele entsteht Verständnis. Regeln
sind Beschreibungen dessen, was über Beispiele
gelernt wird.

3. Ein Modell für Lehr-Lernprozesse
Welche Folgerungen für schulischen Unterricht
können aus den dargestellten Aspekten
des Lernens gezogen werden?
Erinnern wir uns zunächst an den Begriff des
Modells:
Ein Modell ist eine vereinfachte, strukturtreue
Beschreibung eines komplexen Systems.
Denken wir als Beispiele etwa an Holzmodelle
pflanzlicher Blüten in der Biologiesammlung
einer Schule oder an Atommodelle in
der Physik. Modelle bilden ein System, das in
allen Details kaum zu überschauen ist, idealisiert
und abstrahiert ab. Dabei werden für die
jeweilige Situation wichtige Elemente hervorgehoben
und weniger wichtige unterdrückt.
So wird Komplexes handhabbar und
verstehbar.
Gibt es auch Modelle für die komplexen Prozesse
des Lehrens und Lernens in der Schule?
Das eingangs erwähnte Modell mit dem
Nürnberger Trichter ist wenig sinnvoll.
Vor dem Hintergrund der beschriebenen Facetten
von Lernprozessen erscheint folgendes
Modell tragfähiger:
Lehrender
Design
Lernumgebung
Angebot
Lernender
Rückmeldung
Bearbeitung
Da eine Lehrkraft Schülern Wissen nicht direkt
weitergeben kann, sie ihnen nichts eintrichtern
kann, stellt eine Lernumgebung das
Bindeglied zwischen allen Beteiligten her.
Kernaufgabe der Lehrkraft ist es, die Lernumgebung
zu entwerfen. Der Begriff
„Lernumgebung“ beschränkt sich dabei nicht
nur auf bloßes Material (z.B. Arbeitsblätter),
sondern schließt das gesamte Arrangement
von Medien, Unterrichtsmethoden und
Unterrichtstechniken ein.
Damit schafft die Lehrkraft ein Angebot für
die Schüler, eine Basis und ein Umfeld für
Lernprozesse.
Die Schüler arbeiten in und mit der Lernumgebung,
sie beschäftigen sich mit den Inhalten.
Dadurch gewinnt die Lehrkraft Rück-
4
meldungen über die Schüler, aber auch über
die Lernumgebung.
4. Folgerungen für die Gestaltung von
Lernumgebungen
Basierend auf den eingangs aufgezeigten
Aspekten des Phänomens „Lernen“ ergeben
sich fundamentale Forderungen an die Gestaltung
von Lernumgebungen. Sie sind methodisch
so zu konzipieren, dass sie
eigenständiges, selbstgesteuertes Arbeiten
der Schüler,
individuelles, aktives Handeln,
gemeinsames Forschen und Entdecken,
Diskutieren und Präsentieren von
Ideen,
kooperatives Erarbeiten von gemeinsamen
Ergebnissen
erfordern und fördern.
Inhaltlich sollten Lernumgebungen so gestaltet
sein, dass sie
sinnstiftende Kontexte bieten,
sich an tragfähigen Beispielen orientieren,
Problemsituationen unter verschiedenen
Blickwinkeln beleuchten.
5. Methodische Gestaltung des Unterrichts
Wie kann Unterricht konkret organisiert
werden, damit den dargestellten Forderungen
ausreichend gerecht wird? Wie können
Lernumgebungen gestaltet werden, die Phasen
individuellen Lernens mit Phasen der
Kooperation im sozialen Kontext sinnvoll
verbinden? Einen sehr natürlichen Weg zeigen
die beiden Schweizer P. Gallin und U.
Ruf mit ihrem methodischen Konzept „Ich,
du, wir“ auf (vgl. Gallin, Ruf 1998):

ICH: Individuelles Arbeiten
Jeder einzelne Schüler macht sich eigenständig
mit einer Thematik oder Problemstellung
vertraut, stellt Bezüge zum eigenen
Ich, zum individuellen Vorwissen her und
geht eigene Schritte in Richtung einer Lösung.
DU: Lernen mit einem Partner
Jeder Schüler tauscht sich mit einem Partner
aus, erklärt seine Ideen, vollzieht die Gedanken
des anderen nach und dringt so
tiefer in das Themengebiet ein. In Partnerarbeit
wird weiter an der Problemlösung
gearbeitet.
WIR: Kommunikation im Klassenteam
Die Resultate der Arbeitsgruppen werden
im Klassenplenum präsentiert und diskutiert.
Aus den Beiträgen aller wird ein gemeinsames
Ergebnis erarbeitet.
6. Begabungen erkennen und fördern
Ein derartiges Beschäftigen mit Mathematik,
das auf individuelle Lernwege, eigenständiges
Experimentieren, Forschen und Entdecken
Wert legt, kommt begabten Schülern in
besonderer Weise entgegen:
Die eröffneten Freiräume für eigenständiges
Arbeiten gestatten es überhaupt
erst, individuelle Begabungen zu
zeigen. (Wenn alle im „Gleichschritt“
laufen müssen, geht individuelle Kreativität
unter.)
Die Freiheit, eigene Lernwege zu gehen,
fördert die Entfaltung mathematischer
Begabungen: Schüler sind gefordert,
mathematisch kreativ zu sein, mathematische
Phantasie zu entwickeln,
eigene Ideen zu verfolgen und aufzuschreiben.
Damit wird eine tragfähige Leistungsdiagnose
überhaupt erst möglich.
Die sozialen Aspekte des Lernens in der
Du- und der Wir-Phase fördern Schlüsselqualifikationen
wie Kommunikationsfähigkeit
und Kooperationsfähig-
5
keit: Die Schüler müssen einander zuhören,
zusammenarbeiten, sich wechselseitig
unterstützen, eigene Ideen verständlich
darstellen, miteinander diskutieren,
mit diskrepanten Ansichten umgehen
und Kompromisse schließen.
7. Das Konzept der Lernumgebungen am
eigenen Leib erleben
The best way to learn is to do, to ask and to do.
The best way to teach is to make students ask
and do.
Don’t preach facts – stimulate acts.
(Paul Halmos)
Nachfolgend finden sich sechs Beispiele von
Lernumgebungen. Die Workshopteilnehmer
sind eingeladen, damit individuell und kooperativ
„Mathematik zu betreiben“.
Auf welche Aspekte kommt es bei dem
Workshop an?
Gemäß obigem Zitat des amerikanischen
Mathematikers Paul Halmos
können alle Teilnehmer des Workshops
das Konzept der Lernumgebungen
durch eigenes Tun selbst hautnah erfahren.
Stichwort „Offenheit“: Jeder, der Aufträge
formuliert, steht vor der Frage,
wie offen er die Aufgaben gestaltet.
Man kann Situationen und Arbeitsaufträge
sehr offen beschreiben, um damit
freies Forschen und Entdecken anzuregen.
Man kann Aufgaben aber auch
sehr detailliert fassen, um so den Lernweg
einzuschränken bzw. – positiv
formuliert – um Hilfen und Anleitungen
zu geben. Die Lernumgebungen
sollen für diese Problematik etwas sensibilisieren.
Drittens sollen die Lernumgebungen
auch fachliche Anregungen geben. Die
mathematischen Inhalte stammen alle

aus der Sekundarstufe I. Damit aber
kein Missverständnis entsteht: Die
Formulierungen der Aufträge sind in
der vorliegenden Art nicht an „durchschnittliche“
Schüler gerichtet, sondern
an mathematisch besonders begabte
Schüler bzw. an die Workshopteilnehmer
als Mathematiklehrkräfte.
Stichwort „Lerntagebuch“: Hierbei geht
es um die Frage: Welche Funktion hat
das Heft der Schüler?
Nach dem Konzept von P. Gallin und
U. Ruf wird das Heft der Schüler nicht
als makelloses Exzerpt eines Lehrbuchs
gesehen, sondern als Medium, in dem
das gesamte Denken und Arbeiten der
Schüler dokumentiert wird. Das Heft ist
eine „Werkstatt des geistigen Tuns“.
Die Schüler schreiben alles, was sie sich
zu einem Auftrag überlegen, in ihr Heft
– also nicht nur Endergebnisse, sondern
auch Wege und Irrwege, sogar Gefühle
beim Arbeiten. Das Heft begleitet die
Schüler bei ihrem Tun wie ein Tagebuch,
deshalb der Begriff „Lerntagebuch“.
Darüber könnte man viel erzählen. Eindrucksvoller
ist es aber, wenn man
dieses Konzept am eigenen Leib erlebt.
Deshalb ist jeder Workshopteilnehmer
eingeladen, bei seinem Arbeiten die
ausliegenden Hefte wie Lerntagebücher
zu benutzen. Es ist kein weiteres
Schmierpapier nötig!
6
8. Abschließende Präsentation, Reflexion
und Diskussion
In der letzten Phase des Workshops findet
zweierlei statt: Zum einen stellen die Arbeitsgruppen
ihre mathematischen Ergebnisse
im Plenum vor. Zum anderen wird das
Konzept der Lernumgebungen vor dem Hintergrund
der bei der individuellen und kooperativen
Beschäftigung mit den ausgewählten
Themen gewonnenen persönlichen
Erfahrungen reflektiert. Dabei wird insbesondere
die Frage diskutiert, wie damit Wege
zur adäquaten Förderung begabter Schüler
mit Migrationshintergrund gegangen werden
können.
Literatur
Gallin, P., Ruf, U. (1998): Dialogisches Lernen in
Sprache und Mathematik, Kallmeyer, Seelze
Miller, C., Ulm, V. (2006): Experimentieren und
Entdecken mit dynamischen Arbeitsblättern, Buch
und CD, Friedrich Verlag, Seelze
Spitzer, M. (2003): Lernen, Spektrum Akademischer
Verlag, Heidelberg
Ulm, V. (2005): Mathematikunterricht für individuelle
Lernwege öffnen, Kallmeyer, Seelze
Wittmann, E. Ch. (1995): Mathematics Education
as a “Design Science”, Educational Studies in
Mathematics 29, S. 355-374

Muster fortsetzen
1. Muster aus Quadraten
Mit Quadraten wird eine Folge von Mustern erzeugt: Ausgehend von einem großen Quadrat werden jeweils
an freie Ecken kleinere Quadrate angesetzt. Von Schritt zu Schritt werden die Seitenlängen der Quadrate um
den konstanten Faktor k kleiner.
a) Überlege dir zu dieser Folge von Figuren möglichst vielfältige mathematische Fragestellungen und
schreibe diese auf.
b) Löse einige deiner Probleme aus a).
c) Wie kann der Verkleinerungsfaktor k gewählt werden, wenn sich die einzelnen Quadrate nicht überlappen
sollen?
2. Muster aus Dreiecken
Statt Quadraten werden nun als Variation gleichseitige Dreiecke betrachtet.
a) Überlege dir zu dieser Folge von Figuren wie in Aufgabe 1 vielfältige mathematische Fragestellungen
und notiere diese.
b) Bearbeite die von dir gestellten Probleme.
b) Wie kann der Verkleinerungsfaktor k gewählt werden, wenn sich die einzelnen Dreiecke nicht überlappen
sollen?
3. Bauwerke aus Würfeln, …
Variiere deine Überlegungen weiter, z. B. indem du Würfel statt Quadraten betrachtest.
7

Turm von Hanoi
1. Eine Geschichte von Edouard Lucas
Im Jahr 1883 erfand der französische Mathematiker Edouard Lucas (1842-1891) folgende
Geschichte:
Im Großen Tempel von Benares unter dem Dom, der die Mitte der Welt markiert, ruht eine Messingplatte.
In dieser sind drei Diamantnadeln befestigt, jede eine Elle hoch und so stark wie der Körper einer
Biene. Bei der Erschaffung der Welt hat Gott vierundsechzig Scheiben aus purem Gold auf eine
der Nadeln gesteckt: Die größte Scheibe ruht unten direkt auf der Messingplatte und alle übrigen sind,
immer kleiner werdend, darüber geschichtet. Das ist der Turm von Brahma.
Tag und Nacht sind die Priester unablässig damit beschäftigt, den festgeschriebenen und unveränderlichen
Gesetzen von Brahma folgend, die Scheiben von einer Diamantnadel auf eine andere zu setzen.
Dabei darf der oberste Priester nur jeweils eine Scheibe auf einmal umsetzen, und zwar so, dass
sich nie eine größere Scheibe auf einer kleineren befindet. Sobald dereinst alle vierundsechzig Scheiben
von der Nadel, auf die Gott sie bei der Erschaffung der Welt gesetzt hat, auf eine der anderen
Nadeln gebracht sein werden, werden der Turm samt dem Tempel und allen Brahmanen zu Staub
zerfallen und die Welt wird mit einem Donnerschlag untergehen.
2. Das Spiel von Edouard Lucas
Verbunden mit der Geschichte erschien 1883 auch ein Spiel:
Auf dem ersten Pfosten befindet sich ein Turm aus Scheiben, die in der Mitte ein Loch haben. Am Ende des
Spiels soll sich der Turm in gleicher Anordnung auf dem zweiten Pfosten befinden. Dabei sind zwei Spielregeln
zu beachten:
(1) Man darf immer nur eine Scheibe von einem Pfosten nehmen und auf einen anderen stecken.
(2) Man darf eine Scheibe nicht auf eine kleinere legen.
Spiele dieses Spiel mit 2, 3, 4, 5 Scheiben. Wie viele Spielzüge brauchst du mindestens?
Versuche, Gesetzmäßigkeiten zu erkennen.
3. Das Spiel mit n Scheiben
Suche nach Wegen, wie du die minimale Zahl der Spielzüge bei n Scheiben bestimmen kannst.
4. Wie lange brauchen die Priester?
In der Geschichte von Edouard Lucas haben die Priester 64 Scheiben. Angenommen, die Priester arbeiten
Tag und Nacht und legen pro Sekunde eine Scheibe um. Wie lange dauert es dann, bis „die Welt mit einem
Donnerschlag untergeht“? Vergleiche dies mit dem aktuellen Alter der Erde.
5. Der Turm von Hanoi im Internet
Suche im Internet zum Stichwort „Turm von Hanoi“ Materialien. Es gibt Seiten, auf denen du das Spiel am
Bildschirm spielen kannst.
6. Vier Pfosten
Variiere das Spiel, indem du vier Pfosten verwendest.
8

Fibonacci-Zahlen
Der italienische Mathematiker Leonardo von Pisa (ca. 1170-1240), bekannter unter dem Namen Fibonacci
(Sohn des Bonaccio), war der wohl bekannteste europäische Mathematiker des Mittelalters. Er erhielt seine
Ausbildung in Bugia (Algerien) und erweiterte seine mathematischen Kenntnisse durch Reisen in den östlichen
Mittelmeerraum. In seinem 1202 erschienenen Rechenbuch „Liber abaci“ warf er folgendes Problem
auf:
1. Fortpflanzung von Kaninchen
Ein junges Kaninchenpaar wird in ein allseitig ummauertes Gehege gesperrt. Das
Paar und alle seine Nachkommen vermehren sich folgendermaßen:
Jedes Kaninchenpaar bringt im Alter von zwei Monaten erstmals ein
weiteres Paar zur Welt.
Jedes Paar hat von da an jeden Monat ein neues Paar als Nachkommen.
Wie entwickelt sich die Zahl der Kaninchenpaare im Lauf der Zeit?
2. Fibonacci-Zahlen
Die oben gefundene Zahlenfolge heißt Folge der Fibonacci-Zahlen:
F1 = 1; F2 = 1; F3 = 2; F4 = 3; F5 = 5; …
Stelle eine Formel zur rekursiven Beschreibung dieser Zahlenfolge auf.
3. Ein Muster aus Quadraten
a) Untersuche das nebenstehende Muster aus Quadraten. Wie setzt es
sich fort?
b) Die beiden kleinsten Quadrate haben die Seitenlänge 1. Bestimme
die Seitenlängen der größeren Quadrate.
c) Begründe anhand des Quadratemusters, dass für die Fibonacci-
2
Zahlen gilt: F 1
2
2
+ F2
+ ... + Fn
= Fn
⋅ Fn+
1
d) Beweise diese Formel auch mit vollständiger Induktion.
4. Eine seltsame Flächenverwandlung
a) Ein Quadrat wird in vier Teile zerschnitten und diese werden wie skizziert zu einem Rechteck zusammengesetzt.
3
5
3
5
5 3
Berechne den Flächeninhalt des Quadrats und des Rechtecks.
Kläre den scheinbar ergebenden Widerspruch auf!
9
3
3
5 8
5

) Das Puzzle ist verallgemeinerungsfähig. Statt 3, 5 und 8 werden drei beliebige aufeinander folgende
Fibonacci-Zahlen Fn-2, Fn-1 und Fn verwendet. Das Quadrat wird wiederum in vier Teile zerschnitten
und diese werden zu einem Rechteck zusammengesetzt:
Fn-2
Fn-1
Zeige, dass der Unterschied zwischen der Rechtecksfläche und der Quadratfläche
F + ⋅ F −
2
− F ist. Berechne diesen Unterschied in einigen Beispielen
n 1 n 1 n
c) Zeige mit vollständiger Induktion die sog. Simpson-Identität:
F + ⋅ F −
2
− F =
n
( −1)
für alle n ≥ 2
n 1
n 1
n
5. Rampe: Eine perfekte Flächenverwandlung
Bei den obigen Zerteilungen des Quadrats ließ sich die Quadratfläche nie in eine exakt gleich große Rechtecksfläche
verwandeln. Das Verhältnis, in dem die Quadratseiten geteilt wurden, hat jeweils nicht gepasst.
Prüfe, ob man dennoch die Quadratseiten so in Teile a und b zerlegen kann, dass sich das Quadrat wie skizziert
in ein flächengleiches Rechteck verwandeln lässt!
a
b
a
Fn-1
b
Fn-1 Fn-1
b
Fn-2
a
6. Rampe: Explizite Darstellung der Fibonacci-Folge
In Aufgabe 2 wurde die Fibonacci-Folge rekursiv beschrieben. Sie lässt sich auch explizit darstellen (sog.
Binet-Formel):
Fn
=
1
⎡⎛
1+
5 ⎞
⎢⎜
⎟
5 ⎢⎜
⎟
⎣⎝
2 ⎠
10
n
n
⎛1 − 5 ⎞ ⎤
− ⎜ ⎟ ⎥
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎥
⎦
Weise nach, dass dies tatsächlich eine Darstellung der Fibonacci-Folge ist.
Fn-1
a
Fn
b a+b
a
b

1. Dreieckszahlen
Figurierte Zahlen
Setze das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennst du? Die Zahl der Punkte im n-ten Dreieck heißt
Dreieckszahl Dn.
2. Quadratzahlen
Setze das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennst du? Die Zahl der Punkte im n-ten Quadrat heißt
Quadratzahl Qn.
Stelle eine Beziehung zwischen Dreieckszahlen und Quadratzahlen her.
Beweise: Für die Summe der ersten n ungeraden Zahlen gilt
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n².
3. Rechteckszahlen
Setze das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennst du? Die Zahl der Punkte im n-ten Rechteck heißt
Rechteckszahl Rn.
Stelle eine Beziehung zwischen Dreieckszahlen und Rechteckszahlen her.
Beweise: Die n-te Dreieckszahl ist Dn = ½ n·(n+1).
Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt
1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ½ n·(n+1).
Für die Summe der ersten n geraden Zahlen gilt
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n·(n+1).
11

4. Tetraederzahlen
a) Setze das Muster fort. Welche Zusammenhänge erkennst du? Die Zahl der Bälle in der n-ten Pyramide
heißt Tetraederzahl Tn.
Stelle eine Beziehung zwischen Dreieckszahlen und Tetraederzahlen her.
b) Überlege dir zu den Ballpyramiden möglichst vielfältige mathematische Fragestellungen und schreibe
diese auf. Löse (einige) deine(r) Probleme.
c) Kopfgeometrie: Untersuche, wie viele Kugeln bei den Pyramiden im Inneren liegen, also von außen
nicht sichtbar sind.
5. Pascalsches Dreieck
Im Pascalschen Dreieck stehen außen Einsen, jede Zahl im Inneren ist die Summe der beiden direkt darüber
stehenden Zahlen.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
a) Betrachte die schräg verlaufenden Zahlenreihen. Welche Entdeckungen kannst du hier machen? Stelle
Bezüge zwischen dem Pascalschen Dreieck und den Ballpyramiden her.
b) Im Pascalschen Dreieck steht in der n-ten Zeile an k-ter Stelle die Zahl ⎛ n⎞
n!
⎜ ⎟ = ,
⎝k
⎠ k!
( n − k)!
wobei die Zählung jeweils bei 0 begonnen wird.
Folgere daraus eine Darstellung der Dreieckszahlen Dn und der Tetraederzahlen Tn. Vergleiche deine
Ergebnisse mit Ihren anderen Resultaten aus 4).
6. Fünfeckszahlen, Sechseckszahlen, …
Erweitere deine bisherigen Untersuchungen von Dreiecks- und Quadratzahlen auf Fünfeckszahlen, Sechseckszahlen,
etc. Welche Muster und Zusammenhänge findest du?
Literatur: Die Idee und die Abbildung mit den Ballpyramiden wurde entnommen aus:
Schmidt, Günter: Heuristische Strategien im Mathematikunterricht, in: Glatfeld, M. (Hrsg.): Finden, Erfinden, Lernen – Zum Umgang
mit Mathematik unter heuristischem Aspekt, Europäische Hochschulschriften, Frankfurt a. M. 1990
12

1. Treppen
Treppen und Türme
Baue Treppen aus Würfeln und bestimme die Anzahl der verwendeten Würfel.
Wie wächst die Anzahl der Würfel? Beschreibe deine Beobachtungen.
2. Doppeltreppen
Baue Doppeltreppen aus Würfeln und bestimme die Anzahl der verwendeten Würfel.
Wie wächst die Anzahl Würfel? Beschreibe deine Beobachtungen.
Kannst du Zusammenhänge zwischen den Doppeltreppen und den einfachen Treppen feststellen?
3. Würfeltürme
Baue vor dir auf dem Tisch Türme aus Würfeln.
Einige Seiten der Würfel sind sichtbar, andere sind unsichtbar.
Erkennst du Gesetzmäßigkeiten? Erkläre diese.
Wie bestimmst du die Zahlen, wenn das Abzählen zu mühsam wird?
4. Würfelschlangen
Baue nun Würfelschlangen. Einige Seiten der Würfel sind sichtbar, andere sind unsichtbar.
Welche Gesetzmäßigkeiten erkennst du? Erkläre diese.
Wie bestimmst du die Zahlen, wenn das Abzählen zu mühsam wird?
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5. Würfelmauern
a) Stelle gleiche Untersuchungen über sichtbare und unsichtbare Quadrate bei zweistöckigen Mauern an.
b) Baue Mauern nach eigenen Regeln und suche Gesetzmäßigkeiten.
6. Spielwürfel
Die Türme werden nun aus Spielwürfeln gebaut. Die einzelnen Würfelseiten zeigen wie üblich die Augenzahlen
1 bis 6. Alle sichtbaren Augenzahlen des Turmes werden zusammengezählt.
a) Welches ist die größte mögliche Augensumme, welches ist die kleinste mögliche Augensumme? Finde
dazu Gesetzmäßigkeiten.
b) Verändere die Aufgabe, indem du Würfelschlangen, Würfelmauern oder andere Würfelbauten betrachtest.
Welches ist jeweils die größtmögliche bzw. kleinstmögliche Augensumme?
Literatur: Die Idee und die Bilder wurden entnommen aus:
Affolter, W. u. a.: mathbu.ch 7, Mathematik im 7. Schuljahr, Klett und Balmer Verlag, Zug 2004
14

1. Zahl und Spiegelzahl
Zahlenmuster im Dezimalsystem
Wenn man die Ziffern einer Zahl in umgekehrter Reihenfolge aufschreibt, erhält man die Spiegelzahl. Beispiele:
Die Spiegelzahl zu 51 ist 15, die Spiegelzahl zu 6543 ist 3456.
a) Wähle eine beliebige dreistellige Zahl und ihre Spiegelzahl. Berechne den Unterschied zwischen beiden
Zahlen.
b) Führe die Rechnung in a) für verschiedene dreistellige Zahlen aus. Welche Beobachtungen machst du?
Schreibe alle deine Beobachtungen auf.
c) Versuche deine, Beobachtungen zu begründen. Wie nutzt du dabei das Stellenwertsystem?
2. ANNA-Zahlen
ANNA-Zahlen sind vierstellige Zahlen, die wie das Wort ANNA aufgebaut sind; also z.B. 3773, 1991 oder
8448. Zu zwei verschiedenen Ziffern lassen sich genau zwei ANNA-Zahlen bilden (z.B. 3773 und 7337).
a) Bilde zu zwei verschiedenen Ziffern die beiden ANNA-Zahlen und subtrahiere die kleinere von der
größeren.
b) Führe deine Rechnung in a) für verschiedene solcher Paare von ANNA-Zahlen aus. Welche Ergebnisse
kannst du erhalten?
c) Finde zu einem Ergebnis möglichst viele Aufgaben nach dem Muster aus a).
d) Dividiere alle deine Ergebnisse durch 891. Was fällt dir auf?
e) Versuche, deine Beobachtungen zu begründen. Wie nutzt du dabei das Stellenwertsystem?
f) Übertrage alle deine bisherigen Überlegungen auf „NANA-Zahlen“.
3. ABABAB-Zahlen
Nimm eine beliebige zweistellige Zahl und schreibe diese dreimal hintereinander. So entsteht eine Zahl der
Form ABABAB.
a) Warum sind solche Zahlen immer durch 3 teilbar?
b) Warum sind sie immer durch 7 und durch 37 teilbar?
(Tipp: Schreibe die Zahl ABABAB als Produkt.)
c) Durch welche weiteren Zahlen sind sie noch stets teilbar?
4. Besondere Quadrate
a) Berechne: 11 ⋅11 =
111 ⋅111 =
1111 ⋅1111 =
11111 ⋅11111 = etc.
b) Welches Muster erkennst du? Versuche, deine Beobachtungen zu begründen.
(Nach: Enzensberger, H. M.: Der Zahlenteufel, Carl Hanser Verlag, München Wien 1997, S. 23)
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