Schwebung einer Kugel im Magnetfeld - Fachbereich Elektrotechnik ...

Labor Energie- und Automatisierungstechnik
Versuch 10
Regelungstechnischer Versuch
Schwebung einer Kugel im Magnetfeld
Version: 01.09.2011
Prof. Dr.-Ing. S. Liu
Lehrstuhl für Regelungssysteme
Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
Technische Universität Kaiserslautern
I

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Ziele des Laborversuchs 1
2 Der Versuchsaufbau 3
2.1 Allgemeine Beschreibung des Versuchsaufbaus . . . . . . . . . . . 3
2.2 Der optische Aufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Modellbildung 9
3.1 Mathematische Beschreibung des Regelkreises . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Die Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.2 Das Stellglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.3 Die Meßeinrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.4 Das Strukturbild des Lageregelkreises . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Linearisierung und Vereinfachung des Strukturbildes . . . . . . . . 15
4 Reglerentwurf 19
4.1 Stabilität und Wurzelortskurve (WOK) . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Wurzelortskurven des Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Regelabweichung und Vorfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Realisierung der analogen Regler durch Operationsverstärkerschaltun-
gen 25
5.1 Eigenschaften von OPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Rechenschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.1 Subtrahierer und Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.2 Realisierung des P-,I- und D-Glieds . . . . . . . . . . . . . 27
5.2.3 Realisierung der analogen PID- und PD-Regler . . . . . . 29
6 Versuchdurchführung 31
6.1 Systemanalyse und Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.1.1 Modellbildung mit MATLAB/Simulink . . . . . . . . . . . 32
6.1.2 Reglerentwurf mit sisotool . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2.1 OP-Schaltung zur Realisierung der Regler . . . . . . . . . 33
6.2.2 Realisierung des Vorfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 Erprobung der Regler an der realen Strecke . . . . . . . . . . . . . 36
II

Literaturverzeichnis 38
III

1 Einleitung und Ziele des Laborversuchs
Der Versuch stellt ein klassisches Problem dar, das mit Hilfe der Regelungstech-
nik gelöst wird: ein metallischer Gegenstand soll durch die Variation des Spu-
lenstroms im Magnetfeld einer Spule in der Schwebe gehalten werden. Ziel des
Versuches ist es, die grundsätzliche Vorgehensweise des Reglerentwurfes am Bei-
spiel einer nichtlinearen und ohne Regelung instabilen Strecke zu demonstrieren.
Dazu müssen folgende Schritte durchgeführt werden:
1. Formulierung der regelungstechnischen Aufgabe
2. Mathematische Modellbildung
3. Linearisierung und Vereinfachung des Modells
4. Auswahl eines Reglers mit Hilfe des Wurzelortskurvenverfahrens
5. Durchführung der Simulation mit Matlab/Simulink
6. Erprobung des realen Regelkreises
Basierend auf dem Systemmodell sollen zwei analoge Standardregler, ein PID-
und ein PD-Regler, entworfen werden. Die Modellbildung erfolgt anhand prin-
zipieller Überlegungen und gemessener Kennlinien. Auf Basis des mathemati-
schen Modells wird das System in Matlab/Simulink nachgebildet. Die Bestim-
mung der Reglerparameter erfolgt mit Hilfe des Wurzelortskurvenverfahrens und
durch Simulation des Verhaltens des geschlossenen Regelkreises. Die analogen
Regler werden durch Operationsverstärkerschaltungen (OP-Schaltungen) reali-
siert. Die Reglerparameter sind durch Potentiometer in der Aussenbeschaltung
der OPs einstellbar.
Die Versuchsdurchführung beinhaltet die Aufgaben:
1. Ermittlung der Modellparameter des linearisierten Regelkreises
2. Entwurf eines PID Reglers mittels des Wurzelortskurvenverfahrens
3. Entwurf eines PD Reglers mittels des Wurzelortskurvenverfahrens und Be-
stimmung des Vorfilters
4. Ermittlung der Widerstände der OP-Schaltungen
1

5. Überprüfung der theoretischen Aussagen über das Regelkreisverhalten
Die Aufgaben A1 bis A8 sind vor der Versuchsdurchführung zu bear-
beiten!
2

2 Der Versuchsaufbau
2.1 Allgemeine Beschreibung des Versuchsaufbaus
In diesem Versuch soll eine hohle Eisenkugel der Masse m im Feld eines Elektro-
magneten in der Schwebe gehalten werden.
Abbildung 2.1 zeigt den Aufbau der Regelstrecke. Die dargestellte Ausführung
des Eisenrahmens wurde gewählt, um die Kugel mit einem nicht zu großen Ru-
hestrom in der Schwebe halten zu können. Die kegelförmige Ausbildung des
Eisenkerns unter der Spule sorgt für die horizontale Zentrierung der Kugel im
resultierenden Magnetfeld. Zur Erfassung der Kugelposition wird ein CCD Sen-
Abbildung 2.1: Aufbau des magnetischen Kreises
sor eingesetzt, der von einer Lampe als Lichtquelle bestrahlt wird. Um diesen
vor Umgebungseinflüssen zu Schützen, ist der Sensor in ein Gehäuse mit einer
Filterscheibe eingebaut. Das Licht kann hier nur durch einen schmalen Schlitz
eintreten, dessen Abmessungen in etwa denen des Sensors entsprechen. Abbil-
dung 2.2 zeigt den prinzipiellen Aufbau der Versuchsanordnung. Wie sich später
zeigen wird, erhält man durch eine Auswerteschaltung ein linear von der Ku-
3

gelposition abhängiges Ausgangssigal Uist. Dieses wird einem Regler zugeführt,
der über seine Ausgangsspannung UREG und einen Verstärker den Spulenstrom
i des Elektromagneten so einstellt, dass die Kugel in der vorgegebenen Ruhe-
lage verbleibt. Die zur Regelung der Kugellage notwendigen Stromänderungen
Abbildung 2.2: Grundsätzliche Versuchsanordnung
müssen schnell in die Spule eingeprägt werden, da eine große Verzögerung und
die damit verbundene Phasendrehung die Stabilität des Regelkreises gefährdet.
Ein unterlagerter Stromregelkreis, ausgeführt als Stromverstärker [4] mit einer
ausreichend hohen Versorgungsspannung, sorgt für ein schnelleres Einstellen des
geforderten Stromes als dies mit einer direkten Ansteuerung der Spule durch die
Reglerausgangsspannung möglich wäre.
Die Kugelposition wird durch die Erkennung der unteren Kante erfasst. Die von
der Lampe angestrahlte Kugel wirft einen Schatten auf dem Sensor. Dieser wird
dadurch in drei Bereiche aufgeteilt. Der obere Teil des Sensors liegt im Schatten
der Kugel, der untere wird durch das volle Licht der Lampe beleuchtet. Dazwi-
schen ist der untere Rand des Kugelschattens als Übergang von dunkel nach hell
auf dem Sensor erkennbar. Um diesen Übergang, und damit die Kugelposition,
4

gut erkennen zu können, muß der Schattenrand scharf sein. Deshalb benötigt
man eine starke Lichtquelle die möglichst paralleles Licht aussendet. Im Versuch
wird eine Halogenlampe mit Schwanenhalslichtleiter benutzt.
2.2 Der optische Aufnehmer
Abbildung 2.3: Aufbauschema eines CCD Sensors
Der optische Aufnehmer besteht aus einem CCD Sensor mit nachgeschalteter
Auswerteschaltung. CCD Sensoren sind integrierte Schaltungen mit zeilen- oder
matrixförmiger Anordnung von lichtempfindlichen Halbleiterbauteilen (Photodi-
oden) auf einem Siliziumsubstrat. In diesem Versuch wird ein Zeilensensor, der
TCD 133D von Toshiba, benutzt, da zur Erfassung der Kante eine Untersu-
chungsrichtung genügt. Durch die hohe Integrationsdichte erhält man in dieser
Richtung eine optische Auflösung von 14µm. Zur Erklärung der grundlegenden
Funktionsweise ist in Abbildung 2.3 der schematische Aufbau eines CCD Sensors
dargestellt.
Durch den Einfall von Photonen auf den lichtempfindlichen Teil des Sensors
werden Ladungsträger freigesetzt. Deren Anzahl ist proportional dem Produkt
aus Beleuchtungsstärke und Belichtungsdauer. Die während der Belichtungszeit
freiwerdenden Ladungsträger werden in einem Kondensator gesammelt. Alle ge-
5

adzahligen und alle ungeradzahligen Sammelkondensatoren sind jeweils mit ei-
nem analogen Schieberegister verbunden. Nach dem Ende der Belichtungszeit
werden alle Ladungen gleichzeitig in die Schieberegister übergeben. Während
des nächsten Belichtungsvorgangs werden aus den phasenverschoben getakteten
Schieberegistern abwechselnd die Ladungspakete einem Ausgangsverstärker zu-
geführt und in eine der Ladung proportionalen Spannung gewandelt. Die Punk-
tausleserate ist somit doppelt so hoch wie der Transfertakt.
Abbildung 2.4: Das Ausgangssignal des CCD Sensors
Der CCD Sensor TCD 133D besteht aus 2115 lichtempfindlichen Elementen, von
denen aber nur 2048 zur Bildauswertung zur Verfügung stehen. Die restlichen
sindReferenz-oderIsolierpunkte,diederinternenSignalaufbereitungdienen.Zur
Ansteuerung des Sensors sind drei verschiedene Taktsignale notwendig. fSH be-
stimmt die Belichtungsdauer, fCCD definiert die Taktfrequenz der Schieberegister
und fMCLK wird zur Erzeugung der phasenverschobenen Transfertakte benötigt.
Die Taktfrequenzen sind nicht unabhängig voneinander wählbar. So wird zum
Beispiel die Belichtungszeit durch die Auslesezeit aller Sensorelemente bestimmt.
TBEL =
1
0.5·fCCD
·2115 ≈ 2.4ms (2.1)
In Abbildung 2.4 ist der prinzipielle Verlauf des Sensorausgangssignals darge-
stellt. Das Ausgangssignal liegt zunächst auf einem Gleichspannungsspegel von
+5V. Durch die sequentielle Auslesung der Bildpunktspannungen ergibt sich ein
additiver Wechselanteil, der umgekehrt proportional zur Bildhelligkeit ist. Ein
optimal beleuchtetes Sensorelement besitzt eine Bildpunktspannung von -2V die
6

esultierende Ausgangsspannung beträgt +3V. Ein verdunkeltes Sensorelement
besitzt, außer einem Dunkelrauschen, keinen Spannungsanteil und liefert somit
Ausgangsspannung von +5V.Die genannten Spannungspegel sind allerdings nur
Näherungen. Die genauen Amplituden sind zum Beispiel von der Betriebsfre-
Abbildung 2.5: Blockschaltbild der Auswerteschaltung
quenz, der Belichtungszeit und der Beleuchtungsstärke abhängig. Die Auswerte-
schaltung wandelt das Ausgangssignal des Sensors in eine der Position der Kugel
proportionale Gleichspannung.
Abbildung 2.6: Die Verarbeitung des Sensorsignales in der Auswerteschaltung
7

Abbildung 2.5 zeigt ein Blockschaltbild der Auswertung des Sensorausgangssi-
gnals. Die wesentlichen Signalverläufe sind Abblidung 2.6 zu entnehmen. Das
Ausgangssignal des CCD Sensors CCDout wird einem Komparator [4] zur Erken-
nung der Kante zugeführt. Wenn das Sensorsignal einen vorgegebenen Schwell-
wert unterschreitet, wenn also an diesem Sensorelement die idealisierte Kante
aufgetreten ist, so fällt die Ausgangsspannung des Komparators auf 0V ab. Liegt
das Sensorsignal oberhalb der Komparatorschwelle, so entspricht die Ausgangs-
spannung der Versorgungsspannung des Komparators. Am Ausgang des Kompa-
rators liegt also das pulsweitenmodulierte Signal TPn, dessen Tastverhältnis der
verdunkelten Sensorfläche proportional ist und dessen Periodendauer der Belich-
tungszeit des Sensors entspricht.
Um ein dem Mittelwert des Komparatoraugangssignales proportionales Aus-
gangssignal Uist zu gewinnen, wird das pulsweitenmodulierte Signal in einem
Tiefpassfilter geglättet. Dieser ist, zur Verbesserung der Tiefpasscharakteristik,
als Reihenschaltung mehrerer Tiefpassstufen realisiert. Die Grenzfrequenz des
gesamten Tiefpasses beträgt fG = 125Hz.
8

3 Modellbildung
Häufig steht man bei technischen Systemen vor der Aufgabe, das Zeitverhalten
bestimmter Größen eines Systems in gezielter Weise zu beeinflussen. Auftretende
Störungen sind jedoch im allgemeinen nicht im einzelnen bekannt, ihr Zeitverlauf
ist nicht vorhersagbar. Es ist deshalb notwendig, die Ausgangsgröße zu messen
und aufgrund der so gewonnenen Informationen die Eingangsgröße des Systems
in geeigneter Weise zu verändern.
Abbildung 3.1: Strukturbild des allgemeinen Regelkreises
In Abbildung 3.1 ist das Blockschaltbild eines allgemeinen Regelkreises darge-
stellt. Das gegebene System wird als Regelstrecke oder kurz Strecke bezeichnet
seine Ausgangsgröße heißt Regelgröße x. Die Regelgröße wird durch eine geeigne-
te Messeinrichtung beobachtet. Diese liefert die erfasste Regelgröße xR. Der als
Führungsgröße w eingespeiste Sollwert wird mit der erfassten Regelgröße vergli-
chen und das Ergebnis des Soll-Istwert-Vergleiches ist die Regeldifferenz xd. Die
Korrektureinrichtung, der Regler, wirkt über das Stellglied durch die Verände-
rung der Stellgröße u auf die Stecke ein.
Eine präzise und anschauliche Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines
Systems liefert das Strukturbild. Um dieses zu gewinnen, ist zunächst die Zuord-
nung zwischen den realen Baugruppen, siehe Abbildung 2.2, und den Blöcken des
allgemeinen Regelkreises, siehe Abbildung 3.1, notwendig.
Dieser Vergleich liefert den in Abbildung 3.2 dargestellten Regelkreis der Ver-
suchsanordnung. Dabei ist der Stromverstärker das Stellglied, die Strecke wird
9

durch Eisenkern, Spule und Kugel gebildet und die Messeinrichtung besteht aus
CCD Sensor und Auswerteschaltung.
Abbildung 3.2: Regelkreis der Versuchsanordnung
3.1 Mathematische Beschreibung des Regelkreises
Zur Bestimmung der Systemgleichungen, die das dynamische Verhalten der ein-
zelnen Übertragungsglieder beschreiben, gibt es zwei Möglichkeiten. Bei der theo-
retischen Analyse wird das Modell aus den bekannten physikalischen Zusam-
menhängen ermittelt. Dies ist gewöhnlich mit erheblichem Rechenaufwand ver-
bunden. Bei der experimentellen Analyse (Streckenidentifikation) wird das Sy-
stemmodell mit Hilfe prinzipieller Überlegungen und anhand von Messungen am
System gewonnen.
3.1.1 Die Strecke
Im schwebenden Zustand müssen sich die auf die Kugel einwirkenden Kräfte,
die Gewichtskraft FG und die Magnetkraft FM, kompensieren. Das dynamische
Verhalten der Kugel mit der Masse m lässt sich vereinfacht durch die Differenti-
algleichung
m¨x = FG −FM
beschreiben. Die aktuelle Kugelposition ergibt sich damit aus
x(t) = 1
m ·
t
τ2
0
0
(3.1)
(FG −FM(τ1))dτ1dτ2 +Anfangswertterme (3.2)
10

Abbildung 3.3: Idealisierte Anordnung zur Bestimmung der Magnetkraft
InderinAbbildung3.3dargestelltenAnordnungistdieFlussdichteBnäherungs-
weise proportional dem Spulenstrom i und abhängig vom magnetischen Wider-
stand RM des Kreises und der Querschnittsfläche A der Spule. Der magnetische
Widerstand steigt linear mit der Länge l, also in der idealisierten Anordnung mit
dem Abstand x von Spule und Eisenkörper.
i [A]
−0.3
−0.35
−0.4
−0.45
−0.5
−0.55
−0.6
−0.65
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x [mm]
Abbildung 3.4: Spulenstrom abhängig vom Lagesollwert der Kugel
B =
N ·i
RM ·A
mit RM =
11
x
µ0µr ·A
(3.3)

DieKraftFM zwischenzweiparallelenMagnetpolenistproportionaldemProdukt
ausdemQuadratderFlussdichteB undderwirksamenFlächeAundistabhängig
von der Permeabilität µ. Da die Größen N, A und µ bei vertikaler Bewegung
der Kugel konstant sind, ist die Magnetkraft FM, die der Elektromagnet für
nicht zu kleine x auf den, zur Vereinfachung der Herleitung als quaderförmig
angenommemen, Eisenkörper ausübt nur von i 2 und x 2 abhängig.
FM = 1B
2
2A µ0
= kM · i2
x 2
(3.4)
Wirken Magnet- und Gewichtskraft einander entgegengesetzt, so erhält man im
Gleichgewichtsfall
mg = kM · i2
x 2
i =
x·
mg
kM
(3.5)
Deshalb ist der zur Schwebung des Eisenkörpers notwendige Strom dem Ab-
stand x proportional. Da eine Berechnung des Magnetfeldes der realen Anord-
nung zumindest mit elementaren Mitteln nicht möglich ist, wird die Gültigkeit
der Gleichung (3.5) auch im Falle der gegebenen Anordnung angenommen. Zur
Bestätigung dieser Annahme wird bei konstanten Reglereinstellungen der Strom
i gemessen, der notwendig ist, um die Kugel bei verschiedenen Abständen zum
Eisenkern in der Schwebe zu halten.
Der lineare Zusammenhang zwischen i und x wird durch den in Abbildung 3.4
dargestellten Verlauf der Funktion i = f(x) bestätigt. Der Proportionalitäts-
faktor kM kann nun aus Gleichung (3.5) und der Funktion i = f(x) bestimmt
werden. Damit kann die Kugeldynamik durch das in Abbildung 3.5 dargestellte
nichtlineare Übertragungsglied modelliert werden.
Abbildung 3.5: Das nichtlineare Übertragungsglied der Kugeldynamik
12

3.1.2 Das Stellglied
Zur Identifizierung des Stromverstärkers mit der unterlagerten Stromregelung
wird die Sprungantwort betrachtet. Dazu wurde der Stromverstärker durch eine
Strom [A]
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 20 40 60 80 100 120
Zeit [ms]
Abbildung 3.6: die Sprungantwort des Stromverstärkers bei Eingangsspannung
8V
Rechteckschwingung niedriger Frequenz und unterschiedlicher Amplitude erregt.
Für kleine Eingangsspannungen besitzt der Stromverstärker VZ2 ähnliches Ver-
halten und hat VZ1 ähnliches Verhalten bei großen Anregungsspannungen. Nach
Abbildung 3.4 bewirkt ein Spulenstrom von ungefähr 0.5A ein Schweben der
Kugel bei x = 20mm. Die Sprungantwort des Stromverstärkers bei einer Ein-
gangsspannung von 8V hat einen stationären Endwert von ca. 0.5A und kann
durch eines VZ1-Glied modelliert werden.
GST = kST
1+TSTs
(3.6)
Die Bestimmung der Zeitkonstante TST kann nach [1] durch Anlegen einer Tan-
gente an die Sprungantwort im Nullpunkt erfolgen. Da diese Tangente häufig
jedoch nur ungenau angelegt werden kann, soll hier zur Bestimmung der Zeitkon-
stante die Zeitspanne, nach der die Amplitude auf 63% des statischen Endwertes
angestiegen ist, verwendet wird.
13

Aufgabe A1: Die Parameter des Stromverstärkers
• Bestimmen Sie aus Abbildung 3.6 die Parameter kST und TST der
Übertragungsfunktion des Stromverstärkers.
3.1.3 Die Meßeinrichtung
Die Reihenschaltung von CCD Sensor, Komparator und Tiefpassstufe wird zu
einem Übertragungsglied, dem optischen Aufnehmer, zusammen gefasst. Die
GrenzfrequenzderTiefpassstufeistdiedominierendeZeitkonstantederAuswerte-
schaltung. Nach der Identifizierung ist der optische Aufnehmer als VZ1 Glied mit
der Zeitkonstante TOPT = 7ms modellierbar. Zur Bestimmung des Verstärkungs-
faktors dient die Steigung der in Abbildung 3.8 dargestellten Kennlinie des Weg-
aufnehmers.
GOPT(s) = kOPT
1+TOPTs
(3.7)
Der optische Aufnehmer wird somit durch das in Abbildung 3.7 dargestellte
Übertragungsglied modelliert.
U ist
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
k
1 + T
OPT
OPT
s
Uist
Abbildung 3.7: Der optische Aufnehmer als VZ1 Glied
1.5
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
x [mm]
Abbildung 3.8: Die Kennlinie des Wegaufnehmers Uist = f(x)
14

Aufgabe A2: Die Parameter des Wegaufnehmers
• Bestimmen Sie aus der Abbildung 3.8 den Parameter des optischen
Aufnehmers kOPT.
3.1.4 Das Strukturbild des Lageregelkreises
Unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ergibt sich das in Abbildung 3.9
dargestellte Strukturbild des nichtlinearen Regelkreises.
Abbildung 3.9: Das Strukturbild des Lageregelkreises
3.2 Linearisierung und Vereinfachung des Strukturbildes
Die Behandlung von nichtlinearen Regelkreisen ist schwierig, da sie auf die Be-
handlung nichtlinearer Differentialgleichungen zurückgeht. So können nichtlinea-
re Regelkreise nicht mit den Methoden des Laplacebereiches bearbeitet werden,
da für nichtlineare Übertragungsglieder keine Übertragungsfunktion angegeben
werden kann. Deshalb versucht man sie durch lineare Übertragungsglieder an-
zunähern.
VondenverschiedenenLinearisierungsverfahrengehörtdasderLinearisierungum
einen Arbeitspunkt zu den am häufigsten verwendeten. Gerade bei vielen Rege-
lungen führen die zeitveränderlischen Größen eines Systems nur geringe Schwan-
kungenumeinenfestenBetriebszustandaus.IstdienichtlineareFunktionfdiffe- renzierbar,sokanndienichtlineareKennliniedurchdieTangenteimArbeitspunkt
(AP) ersetzt werden [2]. Man betrachtet dann das Verhalten des Regelkreises für
Abweichungen aus der Ruhelage.
15

Eine beliebige zeitveränderliche Größe y(t) wird ersetzt durch
y(t) = y0 +∆y(t)
Ist eine Ausgangsgröße von mehreren Eingangsgrößen abhängig, y = f(x1,x2),
dann ist
y0 +∆y = f(x10 +∆x1,x20 +∆x2)
Die Entwicklung der rechten Seite dieser Gleichung nach dem Taylorschen Satz
führt auf
y0 +∆y = f(x10,x20)+ ∂f
·∆x1 +
∂x1
∂f
·∆x2 +O
∂x2
n
In unserem Fall wird durch die Linearisierung um eine geforderte Ruhelage der
Kugel die nichtlineare Funktion FM = f(i,x) durch eine in x und i lineare Nähe-
rung ersetzt. Deshalb wird ∆FM im AP durch das totale Differential
∆FM = ∂f(i,x)
∂i
·∆i+ ∂f(i,x)
∂x
·∆x
x=x0
i=i 0
angenähert. Nach Gleichung (3.5) gilt
x=x0
i=i 0
= ki ·∆i+kx ·∆x (3.8)
x0 = i0 ·
kM
mg
mg
i0 = x0 ·
kM
Aufgabe A3: Die Parameter der Kugeldynamik
• Bestimmen Sie mit Hilfe der Gleichungen (3.8) und (3.9) die Para-
meterki undkx derlinearisiertenBeziehungFM = f(i,x)allgemein
als Funktion von m, g, i0 bzw. x0.
• DieKugelsollineinemAPvonx0 = 20mminderSchwebegehalten
werden. Ermitteln Sie aus Abbildung 3.4 den dazu notwendigen
Strom i0.
• Berechnen Sie ki und kx für Kugelmasse von m = 12.7g.
(3.9)
Abbildung 3.10 zeigt das Strukturbild des linearisierten Regelkreises, wobei
∆Usoll = Usoll − U0 und U0 ist die Spannung bei der Position x0. Das negative
Vorzeichen von kx wird dem folgenden Summenpunkt zugeschlagen, das negative
Vorzeichen der Magnetkraft ∆FM der Kugeldynamik. Zur Vereinfachung werden
16

Abbildung 3.10: Das Strukturbild des linearisierten Regelkreises
die Übertragungsglieder der linearisierten Kugeldynamik zusammengefasst und
durch ein Übertragungsglied mit der Übertragungsfunktion
ersetzt.
GLIN(s) = ∆x(s)
∆i(s) =
−ki
ms 2 −|kx|
Abbildung 3.11: Der vereinfachte linearisierte Regelkreis
(3.10)
DurchZusammenfassenderÜbertragungsgliedervonStromverstärker,linearisier-
ter Kugeldynamik und optischem Aufnehmer ergibt sich die Übertragungsfunk-
tion des offenen unkorrigierten Regelkreises zu
Go(s) = kST
1+TSTs ·
kOPT
1+TOPTs
17
ki −|kx| · m
|kx| s2 . (3.11)
−1

Aufgabe A4: Pole der Übertragungsfunktion
• BerechnenSiedieausderKugeldynamikresultierendenreellenPole
p1 und p2 von Go(s).
• Berechnen Sie den vom Stellglied herrührenden Pol p3.
• Berechnen Sie den von der Meßeinrichtung verursachten Pol p4.
• Woran ist die Instabilität der Strecke erkennbar ?
18

4 Reglerentwurf
4.1 Stabilität und Wurzelortskurve (WOK)
An einen Regelkreis sind nach [1] vier Grundforderungen zu stellen:
1. Stabilität
2. Stationäre Genauigkeit
3. Dämpfung
4. Schnelligkeit
Ein Grundproblem der Regelkreissynthese besteht darin, dass die Forderugen 1
und 2, sowie die Forderungen 3 und 4 gegensätzlich sind.
EindynamischesLTI-System(lineartime-invariantsystem)istgenaudannstabil,
wenn sämtliche Polstellen der Übertragungsfunktion des Systems negative Real-
teile haben [2]. Um die Stabilität des Regelkreises beurteilen zu können, muss die
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises berechnet werden.
Aussage über die Stabilität des geschlossenen Kreises werden meist einfacher aus
der Kenntnis des offenen Regelkreises gewonnen, z.B. mit Hilfe des Wurzelorts-
kurvenverfahrens. Die Wurzelortskurven sind die Bahnen in der s-Ebene, die die
Pole der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises abhängig von der
Verstärkung des offenen Kreises beschreiben.
FW(s) = Fo(s)
1+Fo(s)
(4.1)
DiePolederÜbertragungsfunktionFW(s)sinddieWurzelndercharakteristischen
Gleichung
wenn
1+Fo(s) = 0 für k = 0......∞ (4.2)
Fo(s) = k ·
m
v=1 (s−nv)
n
u=1 (s−pu)
(4.3)
Dabei ergibt sich die Übertragungsfunktion Fo(s) durch die Reihenschaltung der
Übertragungsglieder Regler, Stellglied, Strecke, Meßeinrichtung.
Zunächst muss der Reglertyp und das dynamische Verhalten des Reglers festge-
legt werden. Zur Reglerauswahl genügen meist Skizzen der Wurzelortskurve und
überschlägige Betrachtungen. Dann werden die kritischen Verstärkungsfaktoren
19

an den Stabilitätsgrenzen ermittelt und die Verstärkung des Reglers festgelegt.
Weitere Betrachtungen erlauben gegebenenfalls die Abschätzung der erzielten
Schnelligkeit und Dämpfung des Regelkreises. Die Regeln zur Ermittlung der
Wurzelortskurven sind [1] zu entnehmen.
4.2 Wurzelortskurven des Reglers
Im Versuch besitzt die Übertragungsfunktion des offenen unkorrigierten Re-
gelkreises nach Gleichung (3.11) insgesamt 4 Polstellen. Die zwei Pole p1 und
p2 = −p1 ergeben sich durch die Kugeldynamik, die reellen Pole p3 und p4 resul-
tierenausderDynamikvonStromverstärkerundoptischemAufnehmer.Essollen
nun die folgenden vier klassischen Regelertypen hinsichtlich der Stabilisierbarkeit
der Strecke untersucht werden: ein P-Regler, ein PI-Regler, ein realer PD-Regler
und ein realer PID-Regler.
Ein P-Regler besitzt nach [1] die Übertragungsfunktion
GP(s) = kR
Aufgabe A5: Wurzelortskurve der offenen Strecke mit P-Regler
• Skizzieren Sie in Abbildung 4.1 die Wurzelortskurve des Regel-
kreises mit einem P-Regler und der Streckenübertragungsfunktion
Go(s) nach Gleichung (3.11). Begründen Sie warum der P-Regler
nicht zur Stabilisierung des Regelkreises geeignet ist.
Abbildung 4.1: Wurzelortskurve mit P Regler
Ein PI-Regler besitzt die Übertragungsfunktion
20
(4.4)

GPI(s) = kR · s−nR
s
Aufgabe A6: Wurzelortskurve der offenen Strecke mit PI-Regler
• Skizzieren Sie in Abbildung 4.2 die Wurzelortskurve des Regel-
kreises mit einem PI-Regler und der Streckenübertragungsfunktion
Go(s) nach Gleichung (3.11). Begründen Sie warum der PI-Regler
nicht zur Stabilisierung des Regelkreises geeignet ist.
Abbildung 4.2: Wurzelortskurve mit PI Regler
Abbildung 4.3: Wurzelortskurve mit PD Regler
21
(4.5)

Ein realer PD-Regler besitzt die Übertragungsfunktion
GPD(s) = kR · s−nR
s−pR
mit : pR < nR < 0 (4.6)
Aufgabe A7: Wurzelortskurve der offenen Strecke mit PD-
Regler
• Skizzieren Sie in Abbildung 4.3 die Wurzelortskurve des Regelkrei-
ses mit einem PD-Regler und der Streckenübertragungsfunktion
Go(s) nach Gleichung (3.11). Begründen Sie warum der PD-Regler
zur Stabilisierung des Regelkreises geeignet ist.
Ein realer PID-Regler besitzt die Übertragungsfunktion
GPID(s) = kR · (s−nR1)(s−nR2)
s(s−pR)
mit : nR2 < nR1 < 0 pR < nR2
(4.7)
Er ist prinzipiell geeignet, den Regelkreis bei verschwindender Regelabweichung
zustabilisieren.DerinAbbildung4.4dargestellteAusschnittderWurzelortskurve
des Systems mit PID-Regler wurde mit Matlab erstellt.
Imaginary Axis
200
150
100
50
0
−50
−100
−150
Root Locus
−300 −200 −100 Real Axis 0 100 200
Abbildung 4.4: Wurzelortskurve mit PID Regler
22

4.3 Regelabweichung und Vorfilter
Nach Untersuchung der Wurzelortskurven des Regelkreises mit verschieden Reg-
lern ist klar, dass nur PD- und PID Regler die Kugel stabilisieren können. Der
RegelkreismitPD-ReglerkanndieRegelabweichungaberleidernichteliminieren,
weil der offene Regelkreis Go(s) kein I-Verhalten hat. Um den stationären Feh-
ler des Regelkreis mit dem PD-Regler auszuregeln, soll ein Vorfilter V entworfen
werden [2].
Für stückweise stationäre Führungsgrößen kann eine Sollwertfolge des Regelkrei-
ses durch Einsatz eines Vorfilters V erreicht werden, siehe Abbildung 4.5. In dem
hier betrachteten Fall ist V ein reines P-Glied. Man spricht dennoch von einem
Vorfilter, weil bei einer allgemeineren Betrachtung für V eine Übertragungsfunk-
tion V(s) eingesetzt werden kann, die die Führungsgröße filtert [3]. k0 ist die
Abbildung 4.5: Regelkreis mit Vorfilter
stationäre Verstärkung der offenen Kette. Der stationäre Endwert der Regelgröße
bei geschlossenem Regelkreises ergibt sich unter Anwendung des Grenzwertsatzes
zu:
mit
xR(∞) = lims·
s→0 ˜ω
·H(s) = ˜ω ·
s
k0
1+k0
(4.8)
H(s) = R(s)Go(s)
. (4.9)
1+R(s)Go(s)
˜ω
s ist die Laplacetransformierte des sprungförmigen Signals ˜ω. Wenn xR(∞) mit
ω identisch ist, ist der stationäre Regelfehler null. Mit ˜ω = Vω, erhält man
folgendes Ergebnis:
xR(∞) = ω = Vω · ⇒ V =
1+k0
1+k0
k0
k0
(4.10)
Durch das Vorfilter wird die Führungsgröße so skaliert, dass der Regelkreis mit
einer gegenüber der modifizierten Sollwertvorgabe bleibenden Regelabweichung
keine Regelabweichung gegenüber der ursprünglichen Führungsgröße hat. Diese
23

Vorgehensweise hat den Vorteil, dass das Filter keine eigene Dynamik erhält, der
Sollwert also mit einem proportional wirkenden Filter erreicht werden kann.
24

5 Realisierung der analogen Regler durch
Operationsverstärkerschaltungen
Für die Regelung der schwebenden Kugel sind analoge Regler durch die Ope-
rationsverstärker-Schaltungen (OP-Schaltungen) zu realisieren. Der Operations-
verstärker, wie in Abbildung 5.1 gezeigt, kann, abhänging von der Aussenbeschal-
tung, für analoge Rechenoperationen wie Addieren/Subtrahieren oder Integrieren
und Differenzieren eingesetzt werden. Die mathematischen Operationen werden
hierbei auf die Eingangsspannungen angewendet [6]. Die Ausgangsspannung des
OPs ist ein Vielfaches des Rechenergebnisses, daher die Bezeichnung Operati-
onsverstärker.
Abbildung 5.1: Schaltplansymbol des Operationsverstärkers
5.1 Eigenschaften von OPs
Der OP in Abbildung 5.1 hat 5 Anschlüsse: Zwei Eingänge, einen Ausgang und
jeweils einen Anschluss für positive und negative Versorgungsspannung. Für
die Stromversorgung werden zwei Spannungsquellen (+Vcc und −Vcc) benötigt,
damit der Verstärker, bezogen auf ’Gnd’ positive und negative Ausgangsspan-
nungen liefern kann.
Ideale OPs besitzen folgende wichtige Eigenschaften:
1. Die Eigenschaften des mit einem idealen OP realisierten Rechenverstärkers
sind ausschliesslich durch die äußere Beschaltung bestimmt.
2. Ein idealer OP ist eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle mit der Leer-
laufspannungsverstärkung v0 → ∞.
25

3. Die Eingangsspannungsdifferenz UD verschwindet bei idealen, gegengekop-
pelten OPs.
4. Die Differenz-Eingangimpedanz zwischen den Eingängen ist unendlich groß
→ eingangseitig fliessen keine Ströme in den OP hinein oder heraus.
5. Die Ausgangsspannung des OPs ist von der Belastung unabhängig. Der
Ausgangswiderstand ist Null
5.2 Rechenschaltungen
Im Folgenden werden einige praktische OP-Schaltungen vorgestellt.
5.2.1 Subtrahierer und Addierer
Abbildung 5.2 zeigt die Schaltung eines Subtrahierers. Nach den Eigenschaften
Abbildung 5.2: Schaltung des Subtrahierers
des idealen OPs gilt folgende Gleichung:
Für
UDIFF =
R3
(1+
R3 +R3
R2
R1
R1 = R2 = R3 = R4
)·Usoll − R2
·Uist
R1
ist die Ausgangsspannung gleich der Differenz der Eingangsspannungen.
UDIFF = Usoll −Uist
26
(5.1)
(5.2)

Abbildung 5.3: Schaltung des Addierers (invertierend)
Abbildung 5.3 zeigt die Schaltung eines Addierers. Für Rv1 = Rv2 = Re stellt
sich eine Ausgangsspannung
ein.
5.2.2 Realisierung des P-,I- und D-Glieds
Ureg = −(U1 +U2) (5.3)
Die einzelnen Komponenten des PD- und des PID-Reglers sind auch durch eine
OP-Schaltung realisierbar.
Abbildung 5.4: Schaltung des P-Glieds
Abbildung 5.4 zeigt die Schaltung eines invertierenden Verstärkers, also eines
P-Glieds. Das Verhältnis zwischen Ein- und Ausgangsspannung ist:
Ua1 = − R22
·Ue1
R21
27
(5.4)

Abbildung 5.5 zeigt die Schaltung eines Integrators, also eines I-Glieds. Für die
Ausgangsspannung gilt:
Abbildung 5.5: Schaltung des I-Glieds
Ua2 = − 1
R31C31
Ue2 dt (5.5)
Aufgabe A8: Die Übertragungsfunktion des I-Glieds
• Leiten Sie die Übertragungsfunktion zwischen Ein- und Ausgangs-
spannung nach Gleichung (5.5) her. Verwenden Sie hierfür Knoten-
und Maschengleichungen.
Ein idealer Differentiator ist in der Praxis nicht realisierbar. Abbildung 5.6 zeigt
die Schaltung eines realen Differenzierers (D-Glieds). Durch den Vorwiderstand
R41 wird die Verstärkung für hohe Frequenzen begrenzt.
Abbildung 5.6: Schaltung des D-Glieds
Die Übertragungsfunktion zwischen Ein- und Ausgangsspannung ist:
28

Ua3
Ue3
= − sR42C41
1+sR41C41
(5.6)
Das Übertragungsverhalten des realen D-Glieds entspricht der Reihenschaltung
eines ideale D-Glieds mit einem VZ1-Glied (Tiefpaßfilter).
5.2.3 Realisierung der analogen PID- und PD-Regler
Abbildung 5.7 zeigt die Realisierung eines PID-Reglers mit einer OP-Schaltung.
Die Schaltung besteht aus einem invertierenden Verstärker in Reihe mit der Par-
allelschaltung aus P-Glied, I-Gleid und D-Glied, in Reihe mit einem Addierer.
Falls die Widerstände R15, R16, R17 und R18 gleich sind, erhält man folgende
Abbildung 5.7: Schaltung des realen PID-Reglers
Übertragungsfunktion des PID-Reglers:
mit
Gpid = − Rv
(
RA
Rp
+
R14
1
+
sRiC1
sRd2C2
)
1+sRdC2
k(Kp +
= −
T2
)s
T3
2 +k( Kp
+
T3
1
)s+
T1
k
T1T3
s(s+ 1
)
k = Rv
, Kp =
RA
Rp
, T1 = RiC1, T2 = Rd2C2 und T3 = RdC2
R14
29
T3
(5.7)

Abbildung 5.8: Schaltung des realen PD-Reglers
DeranalogePD-ReglerhateineähnlicheStrukturwiederPID-Regler.DieÜbert-
ragungsfunktion des PD-Regler aus Abbildung 5.8 ist:
Kp
Gpd = −k(Kp + T2
(s+ )
KpT3 +T2
)
T3 (s+ 1
)
Achtung: Die angegebenen Übertragungsfunktionen der analogen Reg-
ler haben negative Verstärkungen. Da die Strecke auch einen negativen
Faktor erhält, ist dieses Verhalten gewollt.
30
T3
(5.8)

6 Versuchdurchführung
Die Versuchsdurchführung gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil sollen Re-
gelstrecke, Stellglied und Sensorik in MATLAB modelliert, der Reglerentwurf
durchgeführt und das Verhalten des geschlossenen Regelkreises simuliert werden.
Es folgen die Umsetzung der entworfenen Regler an der realen Strecke und die
Überprüfung des Regelergebnisses.
6.1 Systemanalyse und Reglerentwurf
MATLAB/Simulink ist ein mächtiges Werkzeug zur Simulation und Analyse von
dynamischen Systemen sowie zur Synthese von Reglern. MATLAB stellt diverse
Methoden zur (numerischen) Berechnung und Visualisierung der dynamischen
Eigenschaften von Systemen bereit, was den Reglerentwurf und die Regelkrei-
sanalyse stark unterstützt [8]. Simulink ist eine MATLAB-Toolbox, die zur Si-
mulation des dynamischen Verhaltens auf Basis von Blockschaltbildern genutzt
werden kann.
Einige, für die Modellbildung und Reglerentwurf wertvolle Befehle, sind
• tf zur Erstellung eines Systemmodells als polynomiale Übertragungs-
funktion,
• zpk zur Erstellung eines Systemmodells als Übertragungsfunktion in
NST/PST/Verst.-Form,
• series zur Ermittlung des Gesamtmodells zweier in Reihe geschalteter
Systeme,
• rlocus zur Darstellung der Wurzelortskuve und
• sisotool zum Aufruf des single-input/single-output system design tools.
Aufgabe V1: Bedienung von MATLAB
• Starten Sie MATLAB durch Doppelklick auf des Programm-Icon
auf dem Desktop.
• Finden Sie heraus, wie die o.g. Befehle zu verwenden sind, indem
Sie help Befehl im Command Window eintippen.
31

6.1.1 Modellbildung mit MATLAB/Simulink
Die gesamte Regelstrecke soll nun in MATLAB nachgebildet werden. Die einzel-
nen sind gegeben durch
GST = 3.8
s+64.1
GLIN = −40
s 2 −981
GOPT = 42429
s+143
Übertragungsfunktion des Stromverstärkers
Übertragungsfunktion der linearisierten Regelstrecke
Übertragungsfunktion des optischen Aufnehmers.
Aufgabe V2: Modellbildung in der MATLAB-Umgebung
• StellenSiedieÜbertragungsfunktiondesStromverstärkersGST auf.
• Stellen Sie die Übertragungsfunktion des optischen Aufnehmers
GOPT auf.
• Stellen Sie die Übertragungsfunktion der linearisierte Strecke GLIN
auf.
• StellenSiedieÜbertragungsfunktiondesoffenenunkorrigiertenRe-
gelkreises Go mit GST, GOPT und GLIN auf
6.1.2 Reglerentwurf mit sisotool
Die Auslegung des PD- und des PID-Reglers soll nun mit Hilfe von sisotool
erfolgen. Wir konzentrieren uns hierzu auf die WOK des Systems. Sind alle
Realteile der Pole negative, so ist der Regelkreis theoretisch stabil. Für die
Praxis ist ein deutlicher Abstand zur Imaginärachse als Stabilitätsreserve
empfehlenswert.
Regler I: realer PID-Regler
Gleichung (6.1) gibt die Übertragungsfunktion des PID-Reglers an.
GPID(s) = −1·k1 · (s−n1)(s−n2)
s(s−p1)
(6.1)
Das negative Vorzeichen ist notwendig, um die negative Verstärkung der Ku-
geldynamik zu kompensieren.
32

Aufgabe V3: Betrachten Sie nun für folgende Pol/Nullstellen
die WOK mit sisotool und ermitteln Sie einen geeigneten
Verstärkungsfaktor k1
n1 = −3.7 n2 = −20 p1 = −238
• Betrachten Sie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkrei-
ses indem Sie im Menü Analysis ” Response to Step Command“
auswählen.
• Dokumentieren Sie die Sprungantwort.
Regler II: realer PD-Regler mit Vorfilter
Übertragungsfunktion des PD-Reglers ist in Gleichung (6.2) gegeben.
GPD(s) = −1·k2 · s−n
s−p
Aufgabe V4: Betrachten Sie nun für folgende Pol/Nullstellen
die WOK mit sisotool und ermitteln Sie einen geeigneten
Verstärkungsfaktor k2
n = −27 p = −238
• Betrachten Sie die Sprungantwort des Regelkreises.
• Bestimmen Sie den Verstärkungsfaktor V des Vorfilters durch Be-
trachtung des stationären Endwertes der Sprungantwort.
• Dokumentieren Sie die Sprungantwort und bewerten Sie den Re-
gelkreis im Vergleich zum PID-Regler (stationäre und dynamische
Eigenschaften)
6.2 Implementierung
6.2.1 OP-Schaltung zur Realisierung der Regler
(6.2)
Die beide Regler sind durch eine OP-Schaltung realisiert. Abbildung 6.1 zeigt die
komplette Schaltung des Reglers. Wird der Schalter S1 geschlossen, arbeitet die
Schaltung als PID-Regler. Wenn S1 geöffnet ist, ist sie ein PD-Regler. Rv, Rp,
Ri und Rd sind Drehpotentiometer und jeweils mit einem 10-Gang-Drehknopf
einstellbar.
33

Abbildung 6.1: die Schaltung des Reglers
Abbildung 6.2: das Drehpotentiometer Abbildung 6.3: der 10 Gang Drehknopf
Die Daten der Bauelemente der Schaltung sind im Folgenden aufgelistet.
Bauteil Wert(kΩ) Bauteil Wert(kΩ)
RA 100 Rv 0 ∼100
R14 10 Rp 0 ∼ 50
Rd2 100 Rd 0 ∼ 20
Ri 0∼ 200 C1 = C2 1 µF
Tabelle 1: Bauteile der Schaltung aus Abbildung 6.1
Die übrige Widerstände sind alle gleich.
Aufgabe V5: Bestimmen Sie die Parameter für den analogen
PID-Regler
• Berechnen Sie die Widerstände Rv, Rp, Ri und Rd nach Aufgabe
V3 und Gleichung (5.7).
34

Aufgabe V6: Bestimmen Sie die Parameter für den analogen
PD-Regler
• Berechnen Sie die Widerstände Rv, Rp und Rd nach Aufgabe V4
und Gleichung (5.8).
6.2.2 Realisierung des Vorfilters
Für den PD-Regler ist ein geeignetes Vorfilter notwendig. Abbildung 6.4 zeigt die
Schaltung des Vorfilters. Das Vorfilter ist ein P-Glied. Rf ist ein Potentiometer
Abbildung 6.4: die Schaltung des Vorfilters
zur Einstellung des Verstärkungsfaktors. OP2 ist als invertierender Verstärker
mit einem Verstärkungsfaktor V = 1 beschaltet, um eine nichtinvertierende
Verstärkung zu erhalten.
R3 = 1.8kΩ Rf 0 ∼ 2kΩ R1 = R2
In der vorliegenden Reglerrealisierung ist die Schaltung des Vorfilters immer in
Reihe mit dem Regler geschaltet. Das bedeutet, dass das Vorfilter auch Einwir-
kung auf den PID-Regler hat. Daher soll der Verstärkungsfaktor V auf 1 einge-
stellt werden, wenn die Schaltung als PID-Regler arbeitet.
Aufgabe V7: Bestimmen Sie den Widerstand Rf
• Berechnen Sie den Widerstand Rf so, dass sich V = 1 ergibt.
• Berechnen Sie den Widerstand Rf so, so dass sich die von Ihnen in
Aufgabe V4 berechnete Verstärkungsfaktor V ergibt.
35

6.3 Erprobung der Regler an der realen Strecke
Die gesamte Schaltung für die Regelung ist auf einer Platine realisiert. Diese
ist in einer Schaltschrankbox mit Frontplatte untergebracht. Einstellungen und
Messungen können über die Frontplatte durchgeführt werden. Der Sollwert für
die Lage der Kugel wird über ein Drehpotentiometer eingestellt (sieh Abbildung
6.5). Auf der rechten Seite der Frontplatte können die aktuellen Werte der Poten-
tiometer abgegriffen werden, sie dient zur Überprüfung der Regelereinstellungen.
Abbildung 6.5: die Zeichnung der Frontplatte
Aufgabe V8: Testen Sie Ihren PID-Regler
• Stellen Sie die Widerstände Rf (V=1), Rv, Rp, Ri und Rd nach
vorheriger Rechnung ein und überprüfen Sie die Werte mit einem
Multimeter.
• Geben Sie den Lagesollwert x = 20mm ein.
• Testen Sie Ihren PID-Regler.
• Testen Sie den Stabilitätsbereich des Reglers durch die Lagesoll-
wertänderung.
36

Aufgabe V9: Testen Sie Ihren PD-Regler
• Stellen Sie die Widerstände Rf, Rv, Rp, Ri und Rd nach vorheriger
Rechnung ein. Überprüfen Sie die Werte mit einem Multimeter.
• Geben Sie den Lagesollwert x = 20mm ein.
• Testen Sie Ihren PD-Regler.
• Testen Sie den Stabilitätsbereich des Reglers durch die Lagesoll-
wertänderung.
Achtung: Bei der Messung der Widerstände muss die Versor-
gungsspannung der Schaltung ausgeschaltet werden!
Hinweis: Die Messung von Widerstandswerten in einer Schal-
tung ist in der Regel nicht möglich. Überlegen, warum die
Messung bei der hier vorliegenden Schaltung dennoch zulässig
ist.
Aufgabe V10: der Vergleich der beiden Regler
• Vergleichen Sie Ihre beiden Regler und beurteilen Sie ihre Per-
formance (z.B. stationäre Genauigkeit, Schnelligkeit, Stabilitätsbe-
reich...)
37

Literatur
[1] O. Föllinger: Regelungstechnik
Einführung in die Methoden und ihre Anwendung
Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1994
[2] S. Liu: Skript zur Vorlesung Regelungstechnik I
Technische Universität Kaiserslautern
[3] Lunze: Regelungstechnik 1 5.Auflage
Springer-Verlag, 2005
[4] Tietze, Schenk: Halbleiterschaltungstechnik
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
[5] Datenblatt CCD-Sensor Typ TCD 133D, Toshiba
[6] H. Meyer: Operationsverstärker und ihre Anwendung 2. Auflage
Pflaum Verlag München, 1994
[7] O.Beucher: MATLAB und Simulink 2. Auflage
Pearson Studium München 2002
[8] S. Liu und C. Tuttas: Skript zur Vorlesung CAE in der Regelungstechnik
Technische Universität Kaiserslautern
[9] J. Hoffmann: Matlab und Simulink
Beispielorientierte Einführung in die Simulation dynamischer Systeme
Addison-Wesley, Bonn, 1998
38