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Uebungen SoSe 2008

Uebungen SoSe 2008

Übung 2 -

Übung 2 - SoSe 2008 Systemtheorie 2 Prof.-Dr. Axel Gräser 2. Ein Glücksrad ist in drei Sektoren mit den Farben rot (R), grün (G) und blau (B) unterteilt. Eine Farbe gilt als gezogen, wenn der Pfeil nach Stillstand des Rades auf den entsprechenden Bereich zeigt. Die Konstruktion des Rades erlaubt es nicht, dass der Pfeil auf die Trennlinie zwischen zwei Farben zeigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Farbe rot gezogen wird, sei P(R) = r. Die Farbe grün wird mit der Wahrscheinlichkeit P(G) = 2r gezogen. Das Rad wird zweimal gedreht. (a) Führen Sie Ereignisse ein und zeichnen Sie den Ereignisbaum. (b) Berechnen Sie (in Abhängigkeit von r) die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse E1: Mindestens einmal rot E2: Genau einmal grün (c) Für welchen Wert von r ist die Wahrscheinlichkeit P(E2) am größten? (d) Untersuchen Sie für die Lösung aus Aufgabe c) die Ereignisse E1 und E2 auf Unabhängigkeit. Im Folgenden sei r = 1 5 (e) Das Glücksrad wird viermal gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint dabei jede Farbe mindestens einmal (Ereignis E3)? Tipp: Betrachten Sie zunächst das komplementäre Ereignis E3. Was ist dabei zu beachten? 2 / 2

Systemtheorie 2 Übung 3 im SoSe 2008 Weitere Informationen und diese Übung zum Download unter: http://www.elearning.uni-bremen.de Kontaktpersonen: Thorsten Lüth - Stefan Heyer - Torsten Heyer - Marco Cyriacks {lueth,sheyer,theyer,cyriacks}@iat.uni-bremen.de 1. (a) Geben Sie in allgemeiner Form die Verteilungsdichtefunktion einer diskreten Zufallsvariablen X sowie den Zusammenhang zwischen Verteilungsdichte und Verteilungsfunktion an. (b) Leiten Sie daraus die Verteilungsfunktion in allgemeiner Form her. Die Verteilungsdichte der diskreten Zufallsvariablen X ist wie folgt gegeben: X -2 -1 0 1 2 f(X) 1 8 (c) Stellen Sie Verteilungsdichtefunktion von X grafisch dar. (d) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X und stellen Sie diese grafisch dar. (e) Bestimmen Sie i. P(X > −2) ii. P(X ≤ −1 ∨ X = 2) iii. P(X ≤ 1,25) iv. P(X ≤ 2,3) v. P(−1,1 < X ≤ 1) vi. P(X > 0) (f) Bestimmen Sie Mittelwert und Varianz der Zufallsvariablen X (beides inkl. allgemeinem Ansatz und formalem Rechenweg). 2. Gegeben sei die folgende Funktion: ⎧ ⎨ ax fX(x) = ⎩ 2 0 ≤ x < 3 −bx + 1 0 3 ≤ x ≤ 4 sonst 1 / 2 2 8 2 8 2 8 1 8

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