Aufgaben 1

Physik für E-Techniker I - Vorlesung bei Peter Deák
1. Aufgabenzettel
Funktionen und ihre Ableitungen
(1) Berechnung der ersten und zweiten Ableitung
Geben Sie für folgende Funktionen die erste Ableitung nach der/den Variablen an.
Berechnen Sie anschließend die zweiten Ableitungen zur Funktion aus Aufgaben Teil f). Was fällt auf,
wenn man die gemischten Ableitungen ( ∂2 f(x,y)
∂x∂y bzw. ∂2 f(x,y)
∂y∂x ) vergleicht?
a) f(x) = 2x3 + 3x2 d) f(x) = 4sin( x2
4 )
b) f(y) = y ln(y2 ) + 1,0102 e) f(x) = x4 + sin(x2 ) − ln(x) ex + 14
x
c) f(x,y) = √ + y x
sin(x) 2 f) f(x,y) = 10 y2 e x2
2 + 13,5 y
Vektor und Matrizen
(2) Translationsvektor, Vektoraddition
4 ) + cos2 ( x
Gegeben seien zwei Verschiebungsvektoren a und b mit dem Betrag |a| = 3 m bzw. |b| = 4 m. Wie
müssen die beiden Vektoren zueinander stehen, um eine Gesamtverschiebung von 7 m, 1 m, 5 m zu
erzielen.
(3) Vektoreigenschaften, Skalar und Vektorprodukt
Gegeben seien die folgenden Vektoren:
⎛ ⎞ ⎛
1
a = ⎝ 4 ⎠ , b = ⎝
3
0
0
3
⎞
⎛
⎠ , c = ⎝
0
−3
4
⎞
⎛
⎠ und d = ⎝
a) Welchen Betrag haben die Vektoren?
b) Normieren Sie die Vektoren. (Ein normierter Vektor besitzt einen Betrag |v| = 1. Die Richtung des
Vektors bleibt bei der Normierung erhalten.)
c) Welche der Vektoren sind orthogonal zueinander (d.h. vw = 0)?
d) Berechnen Sie a × b und a × c. Welche Eigenschaft haben die resultierenden Vektoren?
e) Sind das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt kommutativ? (v (×) w = w (×) v ?)
f) Sind das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt assoziativ?(u (×) [v (×) w] = [u (×) v] (×) w ?)
(4) spezielle Matrizen - Drehmatrix
Gegeben sei folgende Matrix:
⎛
A = ⎝
cos α −sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
a) Berechnen Sie die Determinante dieser Matrix (|A|).
b) Zeigen Sie, dass die Matrix einen Vektor um den Winkel α dreht wobei die z-Achse die Drehachse ist,
w = Av?
⎞
⎠
4
1
0
⎞
⎠

Textaufgaben
(5) Das Alter des Universums
Das Universum ist durch den Urknall (Big Bang) entstanden. Die Galaxien, die dabei die größte Anfangsgeschwindigkeit
bekommen haben, haben sich seitdem am weitesten wegbewegt. Wir nehmen an,
dass ihre Geschwindigkeiten konstant seien. Wenn eine etwa 3 · 10 21 km entfernte Galaxie, sich ungefähr
1,5 · 10 11 km pro Jahr weiter von uns entfernt, wie alt ist dann das Universum.
(6) Flugzeug im Wind
Ein Flugzeug fliegt mit einer Reisegeschwindigkeit v eine (gerade) Strecke d hin und zurück. Es weht
ein Wind mit der Geschwindigkeit w genau in Flugrichtung bzw. gegen die Flugrichtung auf dem Rückweg.Gleicht
der Gewinn an Flugzeit beim Hinflug den Verlust beim Rückweg aus? (Setze beispielsweise
v = w.)

d
dx f(x) = f ′ (x)
f(x) = 2x 3 + 3 · x 2
f(x) = a · x n f ′ (x) = n · a · x n−1
d
dx f(x) = f ′ (x) = 6x 2 + 6x
f(y) = yln(y 2 ) + 1, 0102
(u(x) · v(x)) ′ = u(x) · v ′ (x) + u ′ (x) · v(x)
y 2
• d
1
dx · ln(x) = x
• (u(v(x))) ′ = u ′ (v(x) · v ′ (x))
d
dy (yln(y2 ) + 1, 0102) = 1 · ln(y 2 ) + 1
y · 2y = ln(y2 ) + 2

f(x, y) =
√ x + yx
sin(x) 2
√ x
sin(x)
δ 2
δ
δyδx f(x) = δx x2 = 2x
d
d
dxsinx = cosx dxcosx = −sinx
= 2x · cos x2
4
d x2
dx (4sin 4
x
x2 d x
+ cos2 4 ) = 2x · cos 4 + dx · cos2 4
d x x
x2
+ dx · cos 4 · cos 4 = 2x · cos 4
d
dx ex = e x
= 2x · cos x2
4
x sin 4 + (− 4 · cos x
4
− sin x
4
4 · cos x
4 )
1 x x
− 2sin 4 cos 4
d
dx (x4 + sinx2 − ln(x) · ex + 14) = 4 · x3 + 2x · cosx2 − ( 1
x · ex + ln(x) · ex )
= 4x3 + 2xcosx2 − ex ( 1
x + ln(x))
δ 2
δxδy 10y2e x2
2 + 13, 5y = δ
δy (10xy2e x2
2 ) = 20yxe x2
2
δ 2
δyδx 10y2e x2
2 + 13, 5y = δ
x2
δx (20ye 2 + 13, 5) = 20yxe x2
2

→ a
→
b
0 3m 4m
+ +
0 0 0
7m
=
0
0 −3m 4m 1m
+
+ =
0 0 0 0
0 3m 0 3m
+ + =
0 0 4m 4m
3m
=
4m
√ 9m2 + 16m2 = √ 25m2 = 5m
→ ⎛
⎞
1
a = ⎝
4 ⎠
3 = √ 12 + 42 + 32 = √ 26
→
⎛
⎞
0
b = ⎝
0 ⎠
3 = √ 9 = 3
→ ⎛
c = ⎝
0
⎞
−3 ⎠
4 = √ 25 = 5

→
⎛
d = ⎝
4
1
9
⎞
⎠
= √ 17

→ nv= →
v
→ v
⎛
1
⎞
⎝ 4 ⎠
→
na=
3
→ ⎛
0
⎞
⎝ 0 ⎠
nb=
3
→ ⎛
0
⎝ −3
nc=
4
√ 26
3
5
= →
v
v
⎞
⎠
→ nd=
→ v · → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞w=
0
→ v · → w= ⎝
v1
v2
v3
⎠ · ⎝
w1
w2
w3
⎛
⎝
4
1
0
√ 17
⎠ = v1 · w1 + v2 · w2 + v3 · w3
→
b →
d
→
b · →
d =
⎛
⎝
0
0
3
⎞
⎛
⎠ · ⎝
4
1
0
⎞
⎠ = 0 · 4 + 0 · 1 + 3 · 0 = 0
→ a → c
⎛
→ →
a · c = ⎝
1
4
3
⎞
⎛
⎠ · ⎝
0
−3
4
⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
→ →
v × w= ⎝
v1
v2
v3
⎠ × ⎝
⎠ = 1 · 0 + 4 · (−3) + 3 · 4 = 0 − 12 + 12 = 0
w1
w2
w3
⎠ = ⎝
v2w3 − v3w2
v3w1 − v1w3
v1w2 − v2w1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 12
→ →
a × b = ⎝ 4 ⎠ × ⎝ 0 ⎠ = ⎝ −3 ⎠
3 3 0
⎞
⎠
⎞
⎠

⎛
1
4
⎞
⎛
0
−3
⎞
⎛
25
−4
→ →
a × c = ⎝ ⎠ × ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠
3 4 −3
→ a ·( → a × →
b ) = 0 →
b ·( → a × →
b ) = 0
⎛
⎝
v1
v2
v3
⎞
⎛
⎠ · ⎝
⎞
→ v · → w= → w · → v
w1
w2
w3
⎞
⎛
⎠ = ⎝
w1
w2
w3
⎞
⎛
⎠ · ⎝
v1w1 + v2w2 + v3w3 = v1w1 + v2w2 + v3w3
0 = 0
⇒
⎛
A = ⎝
cos α − sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
⎞
⎠
v1
v2
v3
⎞
⎠
|A| = detA = cosα · cosα · 1 − 0 · cosα · 0 + (−sinα) · 0 · 0 − 0 · 0 · cosα + 0 · sinα ·
0 − sinα · (−sinα) = cos 2 α + sin 2 α = 1

→ →
w= · ⎛v
· → v = ⎝
cos α − sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
⎞
⎠ ·
⎛
⎝ v1
v2
v3
⎞
⎠ =
⎛
⎝ cosα · v1 − sinα · v2
sinα · v1 + cosα · v2
3·10 10 km
1,5·1011 km
Jahre
= 3·1010 km·Jahre
1,5·10 11 km
→ w, → v , d = 0
= 2 · 1010 Jahre
( → w + → v )d = ( → v − → w)d
→ w + → v + → w= → v
2 → w= 0
→ w= 0
⇒
v3
⎞
⎠