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Aufgaben 1

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Physik für E-Techniker I - Vorlesung bei Peter Deák 1. Aufgabenzettel Funktionen und ihre Ableitungen (1) Berechnung der ersten und zweiten Ableitung Geben Sie für folgende Funktionen die erste Ableitung nach der/den Variablen an. Berechnen Sie anschließend die zweiten Ableitungen zur Funktion aus Aufgaben Teil f). Was fällt auf, wenn man die gemischten Ableitungen ( ∂2 f(x,y) ∂x∂y bzw. ∂2 f(x,y) ∂y∂x ) vergleicht? a) f(x) = 2x3 + 3x2 d) f(x) = 4sin( x2 4 ) b) f(y) = y ln(y2 ) + 1,0102 e) f(x) = x4 + sin(x2 ) − ln(x) ex + 14 x c) f(x,y) = √ + y x sin(x) 2 f) f(x,y) = 10 y2 e x2 2 + 13,5 y Vektor und Matrizen (2) Translationsvektor, Vektoraddition 4 ) + cos2 ( x Gegeben seien zwei Verschiebungsvektoren a und b mit dem Betrag |a| = 3 m bzw. |b| = 4 m. Wie müssen die beiden Vektoren zueinander stehen, um eine Gesamtverschiebung von 7 m, 1 m, 5 m zu erzielen. (3) Vektoreigenschaften, Skalar und Vektorprodukt Gegeben seien die folgenden Vektoren: ⎛ ⎞ ⎛ 1 a = ⎝ 4 ⎠ , b = ⎝ 3 0 0 3 ⎞ ⎛ ⎠ , c = ⎝ 0 −3 4 ⎞ ⎛ ⎠ und d = ⎝ a) Welchen Betrag haben die Vektoren? b) Normieren Sie die Vektoren. (Ein normierter Vektor besitzt einen Betrag |v| = 1. Die Richtung des Vektors bleibt bei der Normierung erhalten.) c) Welche der Vektoren sind orthogonal zueinander (d.h. vw = 0)? d) Berechnen Sie a × b und a × c. Welche Eigenschaft haben die resultierenden Vektoren? e) Sind das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt kommutativ? (v (×) w = w (×) v ?) f) Sind das Skalarprodukt oder das Vektorprodukt assoziativ?(u (×) [v (×) w] = [u (×) v] (×) w ?) (4) spezielle Matrizen - Drehmatrix Gegeben sei folgende Matrix: ⎛ A = ⎝ cos α −sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1 a) Berechnen Sie die Determinante dieser Matrix (|A|). b) Zeigen Sie, dass die Matrix einen Vektor um den Winkel α dreht wobei die z-Achse die Drehachse ist, w = Av? ⎞ ⎠ 4 1 0 ⎞ ⎠

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