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Vektorfelder Lie-Ableitung.pdf

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Vektorfeld X ∈XG als

Vektorfeld X ∈XG als Derivation auf G , d.h. nach der Summenregel X f g= Xf Xg für ,∈ℝ und obiger Produktregel X fg = f ⋅Xg Xf ⋅g . Man kann nun auch umgekehrt zeigen, daß jede Derivation in einem Punkt x einem Vektor in T x und jede Derivation auf G einem Vektorfeld in XG entspricht, d.h. man unterscheidet überhaupt nicht mehr zwischen Vektorfeldern und Derivationen. Daher schreibt man ein Vektorfeld X ∈XG häufig nicht in der Form X =∑ i=1 n als X =∑ i=1 implizit mit. i X ∂ ∂ x i , und denkt sich die Beziehungen Richtungsvektor in x = Derivation in x bzw. Vektorfeld auf G = Derivation auf G n X i e i , sondern In der Physik bezeichnet man eine Funktion in G häufig auch als (reelles) Skalarfeld auf G , ein Vektorfeld bleibt ein Vektorfeld. Die obigen Begriffe und Definitionen kann man nun leicht von einem Gebiet auf Gebiete erweitern, die in k-dimensionalen glatten Flächen im ℝ n bzw. in n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten liegen. Die Zusatzaufgabe besteht in diesen Fällen natürlich darin, die Vektorfelder bezüglich der dann wechselnden Koordinaten und damit auch der wechselnden Basen für Tangentialräume und Derivationen auszudrücken. Kotangentialraum, Kovektorfelder, 1-Formen Oben haben wir den Tangentialraum T x , x∈G definiert. * Entsprechend definieren wir den Kotangentialraum T x:={∣:T x ℝ linear } als den Dualraum von T x . Eine Basis dieses Raumes sind e 1 x=1,0 ,,0 ,,e n x=0,,0,1 . Wie vorher * faßt man die Kotangentialräume T x zum Kotangentialbündel T * * G= T x x∈G zusammen und definiert ein Kovektorfeld bzw. eine 1-Form als Abbildung :G T * * G mit x∈T x solche Abbildung läßt sich analog zur obigen Vektorfeldsituation in der Basisdarstellung . Eine n =∑ i=1 i e i schreiben und nennt stetig, differenzierbar, etc. wenn sämtliche Koeffizientenfunktionen i dies sind. Den Raum der (unendlich oft) differenzierbaren Kovektorfelder auf G bezeichnet man auch mit 1 G . * Ein Kovektor x∈T x ist ja definitionsgemäß eine reellwertige Funktion auf T x , wir können ihn also auf einen Vektor X x∈T x anwenden und erhalten als Wert eine Zahl x X x . Sind nun ein Kovektorfeld ∈ 1 G und ein Vektorfeld X ∈XG gegeben, so setzen wir < , X > x:= X x:= x X x und erhalten eine differenzierbare Funktion < , X >= X ∈ G . Diese Operation, die aus einem Kovektorfeld und einem Vektorfeld eine Funktion macht, nennt man auch inneres Produkt oder auch Kontraktion . Demgegenüber haben wir früher das äußere Produkt kennengelernt, welches aus zwei 1-Formen

,∈ 1 G die 2-Form ∧∈ 2 G und allgemeiner aus einer k-Form ∈ k G und einer l-Form ∈ l G eine (k+l)-Form ∧∈ k l G machte. Ist f ∈ G eine differenzierbare Funktion, so bilden wir in einem Punkt x∈G die ∂ f ∂ f Ableitungsmatrix d f x= x ,, 1 ∂ x ∂ x n x∈T * x . Da für die Koordinatenfunktionen x i offenbar gilt d x i x=e i x . Wir können daher schreiben n ∂ f d f x=∑ i=1 ∂ x i xd xi x bzw. n ∂ f d f =∑ d xi i i=1 ∂ x und schreiben auch eine allgemeine 1-Form statt in der Basisdarstellung =∑ i e i=1 i äquivalenten Darstellung =∑ i d x i=1 i n . n in der Der Ableitungsoperator d macht also aus einer Funktion in G eine 1-Form in 1 G . Manchmal schreibt man auch 0 G statt G . Damit haben wir die Ableitung als Funktion d : 0 G 1 G . Für eine k-Form = ∑ i1i d x k 1i1i kn i1∧∧d x ik∈ k G hatten wir definiert d = ∑ d i1i ∧d x k 1i1i kn i1∧∧d x ik ∈ k1 G und den Ableitungsoperator d : k G k1 G auch äußere Ableitung genannt. Wendet man den Operator d zweimal an, so folgte aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen d d =0 . Die Abbildungskette 0 G 1 G n G mit den Abbildungen d nennt man auch den de-Rham-Komplex auf G . Mit Hilfe der äußeren Ableitung wird der allgemeine Stokesschen Satz formuliert. Lie Ableitung Sind zwei Vektorfelder X ,Y ∈XG und eine Funktion f ∈ G gegeben, so bilden wir den Kommutator [ X ,Y ] f := X Y f −Y X f durch mehrfaches Ableiten in Richtung von X und Y. A priori könnte man denken, daß dabei zweite Ableitungen von f auftreten, die folgende Rechnung zeigt aber, daß dies nicht der Fall ist: [ X ,Y ] f := X Y f −Y X f = X ∑ i=1 n Y i ∂ f ∂ x i−Y ∑ n i=1 X i ∂ f i = (Produktregel!) ∂ x

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