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Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

44 rückmann, glüge

44 rückmann, glüge und windzio Abbildung 6.3: Ideale Kennlinie eines 8-Bit A/D-Wandlers digitaler Ausgang 111 110 101 100 011 010 001 Code-Weite Idealer Übergang 1 LSB Nominalwert 000 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 URef Analoger Eingang Beispiel: Es ist sofort nachvollziehbar, dass z. B. ein vierstelliges Digitalinstrument im 20 V-Messbereich eine Auflösung von 10 mV haben muss. Eine übliche Fehlerangabe für diesen Messbereich im Datenblatt ist z. B. 2,5 % ± 5 Digit. Ein Ablesewert von U = 18,13 V hat damit eine Unsicherheit u = es = 0,025 · 18 V + 5 · 10 mV = 450 mV + 50 mV = 0,5 V. Eine sinnvolle Angabe des Messwertes ist dann U = (18, 1 ± 0, 5) V. Der Digitfehler spielt hier eine untergeordnete Rolle, wäre aber bei einem kleineren Ablesewert von z. B. 2,52 V mit entscheidend. Digitalinstrumente haben den Vorteil, dass man den Zahlenwert der Messgröße sofort sieht und nicht eine Skale ablesen und dabei meist noch interpolieren muss. Sie haben jedoch den Nachteil, dass zeitliche Änderungen des Messwertes nicht so leicht zu verfolgen sind. Zur Beobachtung von Änderungen sind viele Digitalinstrumente zusätzlich mit einem so genannten „Bar-Graph“ ausgestattet, d. h. einem Balken, der eine quasi-analoge (also eine nicht echt analoge) Anzeige gestattet. Weitere mögliche Funktionen sind die Anzeige von Maximal- und Minimalwerten. Die Bequemlichkeit der leichten Ablesbarkeit der Werte vom Digitalinstrument erkauft man sich also durch unbedingt notwendige zusätzliche Überlegungen, welche Stellenangaben tatsächlich noch sinnvoll sind.

7 Statistik zufälliger Fehler bei wieder- holten Messungen 7.1 Grundbegriffe der Statistik Bevor auf die statistische Auswertung der zufälligen Fehler einer mehrfach wiederholt gemessenen physikalischen Größe eingegangen wird, werden einige Grundbegriffe der Statistik erläutert und die zufallsbedingten Eigenschaften (Merkmale) von großen Gruppen (Stichproben oder Grundgesamtheiten) untersucht. Auch zufällige Fehler sind Zufallsgrößen, daher lassen sich aus der Statistik wichtige Folgerungen für die Berechnung des zufälligen Fehlers eines Messergebnisses ziehen (vgl. Abschn. 7.2). Grundgesamtheit und Stichprobe Die mathematische Statistik untersucht zufällige Ereignisse bezüglich eines (oder mehrerer) quantitativ erfassbaren Merkmals. Dazu ordnet sie dem zufälligen Ereignis eine Zahl zu, die man Zufallsvariable nennt. Die Zufallsvariable kann auf diskrete Merkmalswerte beschränkt sein, beispielsweise auf die sechs Augenzahlen beim Würfel. Sie kann aber auch stetige Merkmalswerte haben, beispielsweise die Höhe der Bäume in einem Waldstück. In der mathematischen Statistik heißt die Gesamtheit aller möglichen Realisierungen des betrachteten zufallsbedingten Merkmals die Grundgesamtheit, die aus endlich, aber auch aus unendlich vielen Elementen bestehen kann. Bei allen praktischen empirischen statistischen Untersuchungen ist man auf eine Auswahl aus der Grundgesamtheit beschränkt, eine Stichprobe. Diese umfasst immer nur eine endliche Anzahl von Realisierungen x i (i = 1, ..., n) eines messbaren, aber zufallsbedingten Merkmals. Die einzelnen Realisierungen x i haben unterschiedliche Werte des Merkmals, die nicht voraussagbar sind, jedoch aus den Kenngrößen der Stichprobe lassen sich im Allgemeinen Schlussfolgerungen für das Verhalten der Grundgesamtheit ziehen. 1 Aufgaben der Statistik: Aus der empirischen Verteilung der Merkmalswerte einer Stichprobe soll die theoretische Verteilung der Grundgesamtheit abgeschätzt werden, d. h., die Parameter der theoretischen Verteilung sind für eine optimale Anpassung der Stichproben- 1 Beispiele: • Für eine Einzelperson ist die Lebenserwartung ungewiss, aber für die gesamte Bevölkerung eines Landes ist die Lebenserwartung als statistischer Mittelwert angebbar. • Der Holzertrag der einzelnen Bäume in einem Wald ist unterschiedlich, aber nach Ermittlung des Holzertrags einer Stichprobe aus einem größeren Waldstück ist der Gesamtholzertrag berechenbar.

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