Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

46 rückmann, glüge und windzio
Abbildung 7.1: Stichprobenwerte
Abbildung 7.2: Stabdiagramm
werte zu berechnen. Weiterhin ist die Veränderung der Verteilung
der Merkmalswerte bei Änderung von Nebenbedingungen zu beschreiben
(Parameterabhängigkeit der Verteilung) oder eine Korrelation
zwischen verschiedenen Merkmalen gleicher Dinge oder zwischen
dem gleichen Merkmal verschiedener Dinge nachzuweisen.
Speziell auf die zufälligen Fehler von Messergebnissen angewandt
muss die Statistik zeigen, dass die Grundgesamtheit der zufälligen
Fehler eine spezielle theoretische Verteilung aufweist und ein Verfahren
angeben, mit dessen Hilfe aus der endlichen Anzahl von Messwerten
einer Stichprobe empirische Näherungswerte für die Messgröße
und ihre Streuung ermittelt werden können.
Häufigkeits- und Summenhäufigkeitsverteilung
Untersucht man eine Stichprobe vom Umfang n bezüglich des Merkmals
x, dann erhält man eine Tabelle der beobachteten Elemente xi („Urliste der Elemente“); die Messwerte streuen in einem bestimmten
Bereich (Abb. 7.1).
Die Streuung der Merkmalswerte einer Stichprobe kann in einer
Häufigkeitsverteilung veranschaulicht werden. Kommt in einer
Stichprobe vom Umfang n der Merkmalswert xj gerade k-mal vor,
dann heißt k
xj die absolute und h xj = k xj /n die relative
Häufigkeit dieses Merkmalswertes. Sind die Merkmalswerte diskret,
ergibt die grafische Darstellung ein Stabdiagramm (Abb. 7.2).
Klasseneinteilung: Ist die Zahl der diskreten Merkmalswerte sehr
groß, sodass ein Stabdiagramm unübersichtlich ist, wird eine Klasseneinteilung
der Merkmalswerte nach folgender Vorschrift vorgenommen:
• Der Bereich der möglichen Merkmalswerte wird in N gleichgroße
Intervalle der Breite ∆x eingeteilt, sogenannte Klassen.
• Die Mitte der Klasse wird durch eine möglichst einfache (ganze)
Zahl charakterisiert, die Klassenmitte x j (j = 1, ..., N).
• Für jede Klasse xj wird die absolute Häufigkeit k
xj der Merk-
malswerte im Intervall x j − ∆x
2 ..... x j + ∆x
2 bestimmt.
• Die auf die Klassengrenzen entfallenden Merkmalswerte werden
je zur Hälfte der rechten und der linken Klasse zugeordnet.
Es gibt keine allgemeingültige Vorschrift für die Wahl einer Klasseneinteilung.
Plausibel ist aber, dass sie nicht zu eng sein darf, weil
sonst wegen der geringen Häufigkeiten die Schwankungen zu groß
werden. Aber sie darf auch nicht zu weit sein, sonst geht die in der
Verteilung der Merkmalswerte enthaltene Information verloren. Eine
sinnvolle Klassenzahl N und Klassenbreite ∆x ist
N ≈ 5 lg n und ∆x ≈ 1
N (xmax − xmin) , (7.1)
wo xmax der größte und xmin der kleinste Wert der Zufallsgröße x
und n der Umfang der Stichprobe ist. In der Praxis ergibt dies zwischen
10 bis 20 Klassen. Zur Darstellung der Häufigkeitsverteilung