Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

48 rückmann, glüge und windzio
Abbildung 7.5: Wahrscheinlichkeitsdichte
Veranschaulichen kann man sich diesen Übergang, wenn auf der
Ordinate die Häufigkeitsdichte h
xj /∆x aufgetragen wird (Abb. 7.5)
und für N → ∞ schließlich aus dem Histogramm die kontinuierliche
Funktion f (x) entsteht. Da gleichzeitig der Umfang n → ∞ geht,
erfolgt der Übergang von einer endlichen Stichprobe zur Grundgesamtheit
und f (x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung
der Grundgesamtheit.
Parameter von Zufallsverteilungen
Die Charakterisierung von Zufallsgrößen durch Häufigkeits-, Summenhäufigkeits-
oder Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen ist zwar sehr
anschaulich, aber für praktische Zwecke oft ungeeignet. Deshalb sucht
man nach einer kleinen Zahl geeigneter Parameter, mit denen die
Verteilung charakterisiert werden kann. Die wichtigsten Parameter
sind der Erwartungswert oder Mittelwert µ und die Streuung oder
Varianz σ 2 . Die positive Wurzel aus der Varianz heißt Standardabweichung
σ; sie ist für Fehlerangaben geeigneter als die Varianz, weil
sie die gleiche Einheit wie das Messergebnis hat. Die Definition dieser
Größen für die Grundgesamtheit erfolgt in nachstehender Weise:
Diskrete Zufallsgrößen x i mit Stetige Zufallsgröße x mit der
den relativen Häufigkeiten h(xi) Wahrscheinlichkeitsdichte f (x)
Mittelwert µ = ∞
Standardabweichung
∑ xih (xi)
i=1
∞
σ = ∑ (xi − µ)
i=1
ˆ∞
µ = x f (x) dx
−∞
(7.4)
2 h (xi)
ˆ∞
σ = (x − µ) 2 f (x)dx (7.5)
Für diese Parameter (Mittelwert, Varianz bzw. Standardabweichung)
von Zufallsgrößen kann man aus einer Stichprobe, d. h. einer endlichen
Zahl von Elementen (z. B. aus einer endlichen Zahl von mehrfach
wiederholten Messungen einer physikalischen Größe), die empirischen
Näherungswerte ¯x bzw. s berechnen.
Empirische Stichprobe der Elemente Stichprobe der Klassen x j mit
Näherungen x i vom Umfang n den absoluten Häufigkeiten k(x j)
Mittelwert ¯x = 1 n
Standardabweichung s =
n
∑ xi i=1
∑(xi− ¯x) 2
n−1
−∞
¯x ≈ 1
N
n ∑ xjk j=1
xj
s ≈ 1
N
n − 1 ∑ xj − ¯x
j=1
2
k xj
(7.6)
(7.7)
Zusammenfassend wird festgestellt, dass die mathematische Beschreibung
statistischer Vorgänge durch die Grundgesamtheit erfolgt, die
durch den Mittelwert µ und die Standardabweichung σ und gegebenenfalls
weitere Parameter charakterisiert wird. Praktisch ist man