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Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

50 rückmann, glüge

50 rückmann, glüge und windzio 3 Die Gaußsche Normalverteilung spiegelt also die Statistik der zufälligen Fehler wider. • Die Messwerte haben für den Wert ¯x die größte Häufigkeit. • Die Messwerte streuen symmetrisch um den Wert ¯x . • Kleine Abweichungen |x i − ¯x| sind häufiger als größere. Es gibt zwar keinen mathematisch stringenten Beweis, aber die praktischen Erfahrungen zeigen, dass aufgrund der Unabhängigkeit der unterschiedlichen Ursachen für die zufälligen Fehler die Grundgesamtheit aller Messwerte einer physikalischen Größe x durch die Gauß- oder Normalverteilung beschrieben werden kann. Sie wird mathematisch dargestellt durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ϕ (x) = 1 √ exp − 2πs (x − ¯x)2 2s2 Diese Funktion hat folgende Eigenschaften: • Beim Wert ¯x hat sie ein Maximum • Bezüglich des Wertes ¯x ist sie symmetrisch. • Für große Werte |x − ¯x| geht sie gegen Null. (7.8) • Für ¯x ± s besitzt sie Wendepunkte und ist daher schmaler für kleine s. • Die Normierung ist 4 Die Abweichungen vi werden auch als scheinbare Fehler bezeichnet. definiert als ˆ∞ −∞ ϕ (x) dx = 1 . (7.9) Diese Eigenschaften der Normalverteilung sind aber gerade die oben genannten Charakteristika, wie sie für die zufälligen Fehler aus dem Histogramm für die Messwerte (Abb. 7.6) abgeleitet wurden. Die Größen ¯x und s der Stichprobe entsprechen den Größen µ und σ der Grundgesamtheit vgl. Gl. (7.4) - Gl. (7.7). 3 Die Messwerte xi jeder physikalischen Größe sind zufallsbedingt, sie streuen um den wahrscheinlichsten Wert ¯x. Die Abweichungen vi der einzelnen Messwerte vom wahrscheinlichsten Wert 4 werden v i = x i − ¯x (7.10) Die v i sind, wie die Messwerte selbst, Zufallsgrößen, die ebenfalls normalverteilt sind gemäß ϕ (v) = 1 √ exp − 2πs v2 2s2 bzw. = 1 √ exp − 2πσ v2 2σ2 (7.11) Die Funktion (Abb. 7.7, links) hat ihr Maximum bei v = 0 und Wendepunkte bei −s und +s (bzw. σ ).

hinweise zum praktikum und zur auswertung von messergebnissen 51 Aus den Abweichungen vi berechnet man als Maß für den zufälligen Fehler der Messwerte die empirische Standardabweichung (vgl. Gl. (7.7)), meist kurz Standardabweichung genannt: s = ± ∑ v2 i = ± n − 1 ∑ (x i − ¯x) 2 n − 1 . (7.12) Diese wird auch als mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung bezeichnet und gibt Auskunft über die Streuung der Messwerte, d. h. über die Genauigkeit der Messmethode. Statistische Sicherheit Das Integral Φ (v) = ˆv −∞ ϕ v ′ dv ′ (7.13) heißt Gaußsche Fehlerfunktion (Abb. 7.7, rechts), deren Werte in einschlägigen Tabellenwerken angegeben sind. Da ϕ (v) dv die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass ein Fehler in das Intervall (v, v + dv) fällt, liefert ˆv2 v 1 ϕ (v) dv = Φ (v2) − Φ (v1) (7.14) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei Einzelmessungen Fehler im Intervall v1 bis v2 auftreten, das entspricht der schraffierten Fläche F in Abb. 7.7, links. Mit Hilfe der Fehlerfunktion kann man mit Gl. (7.14) auch die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, dass ein einzelner Messwert in einem der folgenden Intervalle um den „wahren“ Wert µ der Grundgesamtheit (bzw. um den Mittelwert ¯x) liegt: µ ± σ 68,3 % µ ± 2σ 95,4 % µ ± 3σ 99,7 % Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnet man als die statistische Sicherheit. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit im Wiederholungsfall der Messwert in das entsprechende Intervall fallen wird. Abbildung 7.7: Gaußverteilung und Fehlerfunktion (s = σ) Tabelle 7.1: statistische Sicherheit

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