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Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

62 rückmann, glüge

62 rückmann, glüge und windzio • Multiplikative Funktionen: F = a · x · y · z oder F = b · x · y/z (a, b sind Konstanten). Die Absolutbeträge der relativen Messun- sicherheiten werden addiert. = ± uF F | ux ¯x uy uz | + | | + | ¯y ¯z | (8.6) • Multiplikative Funktionen mit Potenzen: F = c · x l · y m /z n (c ist eine Konstante). Die nach den Potenzen gewichteten Absolutbeträge der relativen Messunsicherheiten werden addiert. uF F = ± |l ux ¯x uy uz | + |m | + |n ¯y ¯z | (8.7) Ausgehend von Gl. (8.4) erhält man die Formeln Gl. (8.5) bis Gl. (8.7) in pythagoreischer Addition. Beispiel 1 : Größtfehlerabschätzung • Der Durchmesser d und die Höhe h wurden zur Volumenbestimmung eines Zylinders gemessen. Wie groß ist die Messunsicherheit des Volumens? d = dc ± u d = (17,0 ± 0,2) mm h = hc ± u h = (46,8 ± 0,4) mm • Volumen: Vc = π 4 d2 chc = π 4 172 · 46,8 mm 3 = 10623 mm 3 • Messunsicherheit: uV = ± |2 ud dc | + | uh hc | · Vc uV = ± 2 0,2 0,4 + · 10623 mm 17,0 46,8 3 = 341 mm 3 • Endergebnis: V = Vc ± uV = (10,6 ± 0,3) cm 3 . Beispiel 2: Kombination der Standardformeln Zusammengesetzte Ausdrücke wie F = aw · bx cy + dz (w, x, y und z sind unabhängige Einzelmessgrößen) können nach Gl. (8.3) bzw. Gl. (8.4) behandelt werden, was aber zu recht komplizierten Ausdrücken führen kann. Einfacher wird die Kombination von Gl. (8.5) und Gl. (8.6), hier beispielsweise in pythagoreischer Addition: uF 2 ¯F = uw 2 + ¯w mit Nenner = c ¯y + d ¯z und u 2 Nenner = cuy ux 2 uNenner + ¯x Nenner 2 + (duz) 2 . Die Anwendung von Gl. (8.4) würde auch zu diesem Ergebnis führen. 2

hinweise zum praktikum und zur auswertung von messergebnissen 63 Bei der kombinierten Anwendung der drei Standardformeln ist darauf zu achten, dass in der Funktion F keine der Messgrößen mehr als einmal vorkommt (z. B. gleichzeitig in Zähler und Nenner wie bei F = x/ (y + x) ), weil sonst eine mögliche Kompensation von Abweichungen unberücksichtigt bliebe und uF beträchtlich überschätzt werden könnte (und zwar noch mehr als bei Anwendung der Größtfehlerformel Gl. (8.3)!). In dem Fall muss mit Gl. (8.3) bzw. Gl. (8.4) gerechnet werden. 3 3 Bei der Brennweitenbestimmung f = bg/(b + g) nach dem Abbildungsgesetz für dünne Linsen mit b als Bildweite und g als Gegenstandsweite treten im Zähler und im Nenner dieselben Größen auf. Hier liefert die Kombination der Standardformeln ein falsches Ergebnis, da die Größen korreliert sind. Zur Ermittlung der Messunsicherheit der Brennweite muss korrekt über die Ableitungen gegangen werden.

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