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Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

9 Korrelierte Größen

9 Korrelierte Größen und Ausgleichs- rechnung 9.1 Fehlerfortpflanzungsgesetz für korrelierte Größen Im Unterschied zu Abschn. ?? werden keine Voraussetzungen in Bezug auf die Unabhängigkeit der Einzelgrößen gemacht. Beispielsweise sind im Praktikum bei der Messdatenauswertung bei verschiedenen Versuchen die letztlich gesuchten Größen und ihre Messunsicherheiten aus dem Quotienten F = a/b der Geradenparameter a und b (y = ax + b) und ihren Standardabweichungen sa und sb zu bestimmen, deren Werte grafisch (siehe Abschn. 10.1) oder durch einen Geradenausgleich (siehe Abschn. 9.2) ermittelt werden können. Da a und b immer stark (negativ) korreliert sind1 , kann uF nicht nach Gl. (8.4) berechnet werden. Zur Berechnung der hier gültigen Fehlerfortpflanzung wird im Unterschied zu Abschn. 8.1 nicht von den Mittelwerten F = F ( ¯x, ¯y) ausgegangen sondern von den n Funktionswerten F i = F (x i, y i) (i = 1, ..., n) , welche aus den n Messdatenpaaren (x i, y i) gebildet werden. Die gesuchte Varianz s 2 F der F i ist nach Gl. (7.7) s 2 1 F = n − 1 ∑ Fi − F 2 . (9.1) Da alle Abweichungen der xi von den ¯x bzw. der yi von den ¯y klein sein sollen, kann man als eine geeignete Näherung für die Fi die Entwicklung nach Taylor bis zu den linearen Gliedern verwenden: F i = F (x i, y i) ≈ F ( ¯x, ¯y) + ∂F ∂x (x i − ¯x) + ∂F ∂y (y i − ¯y) . (9.2) Die partiellen Ableitungen sind an den Punkten ¯x und ¯y zu nehmen. Die Mittelwertbildung dieser F i erlaubt den bisher noch ausstehenden Beweis für F = F ( ¯x, ¯y) : In der Beziehung F = 1 n ∑ Fi = 1 i ∑ F ( ¯x, ¯y) + ∂F ∂x (xi − ¯x) + ∂F ∂y (y i − ¯y) (9.3) 1 Bei einer Anpassungsgerade bewirkt ein größerer Anstieg einen kleineren Wert beim y-Achsenschnittpunkt.

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