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Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

70 rückmann, glüge

70 rückmann, glüge und windzio mit den Varianzen in Übereinstimmung mit Gl. (9.12) und der Kovarianz sab = − 1 D ∑ xi s2 . (9.21) i 9.3 Ausgleichsrechnung bei Messergebnissen ungleicher Genauigkeit (Gewogenes Mittel) Es sei eine physikalische Größe x nach k verschiedenen Methoden gemessen worden. Aus jeder der k Messreihen ergeben sich Mittelwerte ¯x j mit den Messunsicherheiten u j. Gewogenes Mittel: Da jede Messreihe eine unterschiedliche Genauigkeit besitzt, wird jeder Messreihe ein Gewicht p j zugeordnet und das gewogene Mittel ¯xg bzw. die Messunsicherheit ug wie folgt berechnet: ¯xg = ∑ j ∑ j p j ¯x j p j , ug = ± ∑ j ∑ j 2 pju j Die Gewichte p j gewinnt man nach der Formel p j = C u 2 j p j (j = 1, . . . k) . (9.22) , (9.23) wobei C beliebig gewählt werden kann. Am günstigsten wählt man C = u 2 1 , wobei u1 die größte vorkommende Messunsicherheit ist. Dann wird p1 = 1. Der Einführung der Gewichte liegt folgender Gedankengang zugrunde: Angenommen, die unterschiedlichen Messunsicherheiten seien vorwiegend durch die statistischen Fehleranteile, also durch die Vertrauensbereiche, bestimmt, dann können die verschieden großen Messunsicherheiten auf eine unterschiedliche Zahl von Einzelmessungen bei den verschiedenen Messreihen zurückgeführt werden. Die ermittelten Gewichte p j bedeuten dann, dass die Messreihe mit dem kleineren Wert u j ≈ ¯s j auf Grund einer größeren Zahl von Einzelmessungen zustande kommt, da ¯s j = s/ √ n j (vgl. Gl. (7.18)) und bei gleicher Standardabweichung s die Gewichtsfaktoren für alle Messreihen p j ∼ n j sind. Der Gewichtsfaktor bewirkt, dass der zugehörige Mittelwert ¯x j behandelt wird, als ob er p j -mal gemessen wurde. Diese für statistische Fehler erklärte Wahl der Gewichtsfaktoren wird auf die Messunsicherheiten übertragen. Beispiel: Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels wurde mit einer Stoppuhr, mit einer elektrisch gesteuerten Messuhr (Relaisschaltung) und mit einem elektronischen Zeitmesser (Lichtschranke, ohne mechanische Schaltkontakte) gemessen. Es ergeben sich folgende Werte:

hinweise zum praktikum und zur auswertung von messergebnissen 71 Stoppuhr elektr. Messuhr elektr. Zeitmesser T1 = 1,4177 s T2 = 1,4182 s T3 = 1,4183 s u1 = 0,0009 s u2 = 0,0004 s u3 = 0,0002 s p1 = 1 p2 = 5 p3 = 20 T = 1,4177 s + 5 · 1,4182 s + 20 · 1,4183 s 26 = 1,41826 s ug = 1,8 · 10 −4 s Tg = (1,4183 ± 0,0002) s Tipp: In der Praxis rechnet man mit Taschenrechnern mit Speicherfunktion bequemer mit den Formeln u 2 g = ∑ 1 u2 −1 j und ¯xg = u 2 g ∑ ¯x j u 2 j welche aus den Gleichungen (9.22) und (9.23) folgen und, wie man sich mit den Messwerten aus dem zuvor durchgerechneten Beispiel leicht überzeugen kann, zum selben Ergebnis führen. ,

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