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Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

76 rückmann, glüge

76 rückmann, glüge und windzio Abbildung 10.2: Logarithmische Skale Ist ∆x der Zahlenwert des Messfehlers, so muss ∆x > ∆l sein, und für den Maßstab lE folgt lE ≥ ∆l 0,2 mm ≈ ∆x ∆x . (10.4) Beispiel: Für eine Zeitmessung mit dem Fehler ∆x = 0,001 s soll noch die dritte Dezimale grafisch darstellbar sein. Es ergibt sich eine Einheitslänge von lE ≥ 0,2 mm 0,001 s = 200 mm s Haben die darzustellenden Zahlenwerte nur einen kleinen Variabilitätsbereich, so kann mit dieser Einheitslänge gearbeitet werden. Ist aber der Variabilitätsbereich der Zahlenwerte groß (vgl. Beispiel oben), so führt diese Wahl der Einheitslänge zu einer unhandlichen Zeichung, und die Aufgabe kann grafisch nicht gelöst werden. 3. Zweckmäßigkeit der Teilung: Für Ablesungen, Interpolationen u. ä. ist es bequem, wenn die Skale gut ablesbar ist. Die Einheitslänge sollte zu lE = 1, 2, 4, 5, 10 mm oder Vielfachen davon gewählt werden, weil dann das Eintragen und Ablesen der Zwischenwerte einfach ist. Beispiel: Es sind drei Einheitslängen auf einer Strecke von 100 mm auf dem Millimeterpapier abgetragen. Einer Einheitslänge entspricht dann die Strecke von lE = 33,333 . . . mm. Schwierig lassen sich bei dieser Einheitslänge Bruchteile ablesen, z. B. 0,7 lE. Eine Dreierteilung ist unzweckmäßig. 10.4 Nichtlineare Skalen Für die Konstruktion einer nichtlinearen Skale bleiben die oben genannten Festlegungen (vgl. Abschn. 10.2) gültig, aber durch die Wahl der Abbildungsfunktion g(x) wird eine andere Zuordnung getroffen. Bei den linearen Skalen sind die Längen lx den Zahlenwerten x proportional, bei den nichtlinearen Skalen sind die Längen lx den Zahlenwerten y = g(x) proportional, d. h. lx = lE(y − y0) = lE (g(x) − g(x0)) . (10.5) Schreibt man an die so konstruierte Skale nicht die Werte y sondern die Werte x, dann entsteht eine Nichtlinearität der Anordnung der x-Werte (Abb. 10.2). .

hinweise zum praktikum und zur auswertung von messergebnissen 77 Im Praktikum sind vor allem nichtlineare Skalen mit der Abbildungsfunktion des dekadischen Logarithmus g(x) = lg x von Bedeutung. Für ihn gilt aufgrund der Potenzgesetze (n = ganze Zahl) g(10 n+1 ) − g(10 n ) = lg 10 n+1 − lg 10 n = (n + 1) lg 10 − n lg 10 = 1 . Ordnet man dem Anfangspunkt P0 der Skale den Funktionswert g(10 n ) zu, erhält man für die Einheitslänge der logarithmischen Tei- lung P0P1 = lE g(10 n+1 ) − g(10 n ) = 1 . (10.6) Bei einer logarithmisch geteilten Skale wächst beim Fortschreiten um eine Einheitslänge lE der Funktionswert x um eine Größenordnung Die Wahl der Einheitslänge lE einer nichtlinearen Skale ist willkürlich und erfolgt nach den gleichen praktischen Kriterien wie bei der linearen Skale (vgl. Abschn. 10.3). 10.5 Grafischer Geradenausgleich und Anstiegsdreieck Die mathematisch einfachste Funktion ist die lineare Abhängigkeit y = ax + b zweier Variabler x und y, die bei Darstellung auf normalem Millimeterpapier mit linearen Skalen eine Gerade ergibt. Als Beispiel wird die Bestimmung der Urspannung U0 (Spannung ohne Belastung) und des Innenwiderstandes R i eines galvanischen Elementes durch die grafische Auswertung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Messgrößen gewählt. Bei Belastung des Elementes mit dem Strom I beträgt die Spannung U an den Ausgangsklemmen des Elementes U = U0 − R i I (10.7) d. h. zwischen den Messgrößen U und I besteht ein linearer Zusammenhang. In der grafischen Darstellung U = f (I) (Abb. 10.3) wird durch die Messpunkte (I i, U i) mit i = 1, . . . , n nach Augenmaß eine ausgleichende Gerade (ausgezogene Linie) gelegt. Dabei ist zu beachten, dass die Gerade wegen der Forderung ¯y = a ¯x + b (folgt aus Gl. (9.8) für s i = s und nach Multiplikation mit s 2 /n) durch den sog. Schwerpunkt (I, U) der Messpunkte mit den Koordinaten I = 1/n ∑ I i und U = 1/n ∑ U i geführt werden muss. Den Innenwiderstand R i erhält man direkt als (negativen) Anstieg a der Geraden aus den Punkten (Ia, Ua) und (I b, U b) des Anstiegsdreiecks oder aus den in Millimetern gemessenen Längen ∆I l und ∆IU: a = ∆U ∆I = U b − Ua I b − Ia a = −∆IU IEU : ∆I l I El = −78,8 mm = (0,32 − 2,49) V V = −1,55 (1,51 − 0,11) mA mA 35,8 mm 84,5 mm V : = −1,555 59, mm/V mA oder (10.8) . (10.9) Die beiden Punkte des Anstiegsdreiecks wähle man möglichst weit auseinanderliegend, um den relativen Ablesefehler möglichst klein zu halten.

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