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Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

82 rückmann, glüge

82 rückmann, glüge und windzio wobei E der Elastizitätsmodul und J das Flächenträgheitsmoment ist. Zur Überprüfung der L3-Abhängigkeit werden die Messwerte si, Li auf Potenzpapier dargestellt und der Exponent (vgl. Gl. (10.18)) ermittelt (Abb. 10.5). Bestimmung von y0: Am Schnittpunkt mit der y-Achse wird die Länge ly0 in Millimetern abgelesen ly0 = lEy lg y0 lg y0 = ly0 /lEy . (10.19) Die Bestimmung der Konstanten y0 ist nur so einfach möglich, wenn der Schnittpunkt x = 10 0 in der grafischen Darstellung ablesbar ist, andernfalls liest man bei x = 10 i (i = ganze Zahl) den Wert ly i = lEy · lg y i ab. Dann ergibt sich aus y i = y0x p = y010 ip lg y i = lg y0 + ip lg y0 = ly i l Ey − i ∆ly ∆lx · l Ex l Ey Bestimmung von p: Die Anstiegsbestimmung kann entweder aus den abgelesenen Wertepaaren (y1, x1) bzw. (y2, x2) oder aus den direkt in Millimetern gemessenen Längen ∆ly und ∆lx erfolgen p = p = ∆ lg y ∆ lg x = lg y1 − lg y2 lg x1 − lg x2 ∆ lg y ∆ly = ∆ lg x lEy . : ∆lx lEx (10.20) (10.21) Für das Beispiel (Abb. 10.5) führt dies zu dem Wert des Exponenten der L-Abhängigkeit (vgl. Gl. (10.18)) p = p = lg 1,65−lg 0,20 lg 3,00−lg 1,50 = 3,04 73 mm 60 mm 80 mm : 200 mm = 3,04 Die theoretisch erwartete L 3 Abhängigkeit ist also im Rahmen der Messgenauigkeit bestätigt. 10.8 Wahrscheinlichkeitspapier Für die statistische Auswertung großer Stichproben oder für die grafische Ermittlung des Mittelwertes und der Standardabweichung kann Wahrscheinlichkeitspapier verwendet werden. Die Abszisse des Papiers hat eine lineare Skale und die Ordinate trägt eine Skale, die sich aus der Fehlerfunktion Φ(v) (vgl. Abschn. 7.1) ergibt. Die Fehlerfunktion erhält man durch Integration der Dichte der Normalverteilung und sie gibt die Häufigkeit der zufälligen Fehler an, die unterhalb v liegen. In Form einer Doppelskale (Abb. 10.6) wird ein Überblick über die Funktionswerte der Fehlerfunktion für σ = 1 y = Φ (v) = 1 √ 2π ˆx −∞ e − v′2 2 dv (10.22)

hinweise zum praktikum und zur auswertung von messergebnissen 83 und die dazu inverse Funktion v = Φ −1 (y) gegeben. Nach den Ausführungen über die zufälligen Fehler (vgl. Abschn. 7.2) genügen diese der Normalverteilung und ihre Summenhäufigkeitsverteilung ist die Fehlerfunktion, deshalb muss die Umkehrfunktion v = Φ −1 (y) als Abbildungsfunktion der Skale gewählt werden, um die Summenhäufigkeitsverteilung als Gerade darzustellen. Auf der Ordinate und Abszisse werden deshalb die Skalen des Wahrscheinlichkeitspapiers nach folgenden Gleichungen abgetragen ly = lEy Φ−1 (y) − Φ−1 (y0) (10.23) lv = lEv(v − v0) . (10.24) Den ausgezeichneten Punkt P0 auf dem Wahrscheinlichkeitspapier legt man in die halbe Höhe des Skalenbereiches und ordnet ihm den Wert y0 = 0,5 (oder 50 %) zu. Die Teilung des Wahrscheinlichkeitspapiers entspricht bis auf den frei wählbaren Faktor der Einheitslänge lEy der oben skizzierten Skale (Abb. 10.6). Die Werte Φ −1 (y) werden linear abgetragen und mit den zugehörigen y-Werten bezeichnet. Das in dieser Weise konstruierte Wahrscheinlichkeitspapier liegt ebenfalls gedruckt vor. Die Wahl der Abszissenskale wird den vorliegenden Zahlenwerten der Stichprobe angepasst. v = Φ −1 (y) −∞ −2,0 −1,5 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 ∞ 0 0,023 0,067 0,159 0,309 0,500 0,691 0,814 0,933 0,977 1 y = Φ(v) Durchmesser Häufigkeiten Summenhäufigkeit d i/mm absolute k(d i) relative h(d i) H(d i)/% 65,130 13 0,104 10,4 65,151 16 0,128 23,2 65,168 16 0,128 36,0 65,180 88 0,176 53,6 65,199 27 0,216 75,2 65,220 18 0,144 89,6 65,270 13 0,104 100,00 Als Beispiel wird die Messung des Durchmessers von 125 Kugellagerkugeln gewählt. Die Messwerte zwischen 65,130 und 65,270 mm ergaben die in Tab. 10.1 ausgewiesenen Häufigkeiten. Für die grafische Darstellung (Abb. 10.7) wurde die linear geteilte Abszisse dem Variabilitätsbereich der Durchmesserwerte angepasst. Die Ordinate ist in Prozenten angegeben und entsprechend der inversen Fehlerfunktion geteilt. Man entnimmt für y = 50 % den arithmetischen Abbildung 10.6: Funktionswerte der Fehlerfunktion Tabelle 10.1: Kugellagerkugeln

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