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Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

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Bild 3: Kinematisch

Bild 3: Kinematisch berechnete Beugungsbilder in 〈1¯100〉 (links) und 〈11¯20〉 (rechts) Zonenachse g ℜ (Fg) ℑ (Fg) (0001) 0 0 (0002) 10,4724 -4,1567 (000¯2) 10,4724 4,1567 (1¯100) -7,6068 0 (11¯20) 9,4354 0 (1¯101) 2,4080 -6,0825 (11¯21) 0 0 (11¯22) 5,8074 -2,1626 Tabelle 1: Berechnete Strukturfaktoren in ˚ A mit Realteil ℜ und Imaginärteil ℑ. In Tabelle 1 sind einige nach [DT68] berechneten Strukturfaktoren Fg angegeben, insbesondere verschwinden in kinematischer Näherung F0001 und F 11¯21. Im Rahmen obiger Näherungen wurden die in Bild 3 gezeigten Beugungsbilder für eine Beschleunigungsspannung von 200 kV berechnet; zu sehen sind Bilder der Zonenachsen 〈1¯100〉 und 〈11¯20〉. Dargestellt sind Reflexe in der Nähe des Zentrums, für die unter Berücksichtigung des Strukturfaktors und des Anregungsfehlers signifikante Intensität bleibt. Alle Intensitäten wurden der Übersicht wegen mit einer arctan-Funktion moduliert, ansonsten repräsentiert der Kugelradius die Helligkeit eines Reflexes. (Für genauere Angaben siehe fourplot.m im in Anhang C angegebenen Verzeichnis.) 2.2.3 Blochwellenansatz und Zweistrahlbetrachtungen Generell ist die Gültigkeit der kinematischen Näherung auf dünne Proben beschränkt, da Mehrfachstreuprozesse, Bild 4: CBED-Muster (GaN) Wechselwirkungen von gebeugten Strahlen untereinander sowie die Schwächung der Intensität des Primärstrahls bei Propagation durch den Kristall unbeachtet bleiben. Dennoch zeigt das an einer sehr dünnen Probenstelle aufgenommene CBED-Beugungsmuster9 der Zonenachse 〈11¯20〉 in Bild 4, dass die Intensitäten der Reflexe (0002) und (000¯2) sich stark zugunsten von (0002) unterscheiden, was nach Tabelle 1 kinematisch nicht zu erwarten ist. Ganz allgemein gilt kinematisch die Friedelsche Regel Fg = F ∗ −g . Zusätzlich erscheinen die kinematisch verbotenen Reflexe (0001) und (000¯1), wenn auch schwach. Ein Ansatz, diese Schwächen der kinematischen Theorie zu beseitigen, wird in diesem Abschnitt skizziert. Die Behandlung von Teilchen mit Spin 1/2 in der relativistischen Quantenmechanik erfordert streng genommen die Lösung der Diracgleichung. Wie allerdings in [FHS86] gezeigt wird, genügt das Propagationsproblem unter TEM-Bedingungen der Klein-Gordon-Gleichung 10 , die man üblicherweise für den stationären Fall (d.h. Separation der Elektronenwellenfunktion zu ψ(r,t) = ϕ(r)χ(t)) aus (4) mittels der Korrespondenzen 9 Convergent Beam Electron Diffraction; Beugung mit auf die Probe fokussiertem Strahl. 10 Diese Näherung gilt, wenn nach [FHS86] u.a. die Feldstärken sich nicht signifikant über die Comptonwellenlänge der Elektronen ändert und der Spin nicht observiert wird. Die Klein-Gordon-Gleichung ist spinunabhängig und evtl. führen diese Überlegungen, quantitativ ausgeführt, zur Beantwortung der Frage, warum man nicht zwei Bilder sieht, wie es nach Stern-Gerlach-Experimenten zu erwarten sein könnte. 7

Â=0 p −→ ˆp + e = ˆp = i ∇ und E −→ E + eV (r) erhält. Dabei wurde ein verschwindendes Vektorpotential A angenommen und mit E die Energie des einfallenden Primärelektrons bezeichnet. V (r) ist die Beschleunigungsspannung. Führt man noch p0 = h K0 für den Impuls des Primärelektrons ein, so gilt mit (4) 2 2 2 2 2 2 4 c ∆ + E + 2EeV (r) + e V (r) − m c ϕ(r) = 0 ; E 2 = p0 2 c 2 + m 2 c 4 ⇔ ∆ + 4π 2 K 2 0 + 2EeV (r) + e2V (r) 2 2c2 ϕ(r) = 0 , (11) was formal der Klein-Gordon-Gleichung für den stationären Fall und A = 0 entspricht. Um nun konsistent mit der Literatur zu werden, wird in (11) auf beiden Seiten 4π2V0 · 2eE h2c2 ϕ(r) addiert und wegen eV (r) ≪ E der quadratische Term vernachlässigt, so dass sich (11) gut annähern lässt durch ∆ + 4π 2 ( K 2 0 + 2eE h2c2V0) 2 2eE ϕ(r) = −4π h2c2(V (r) − V0)ϕ(r) ⇔: ∆ + 4π 2 2 k0 ϕ(r) = −4π 2 U(r)ϕ(r) . (12) In dieser governing equation“ (12) ist ” k 2 0 := K2 2eE 0 + h2c2V0 das Betragsquadrat des Wellenvektors des Primärstrahls im Kristall, weiterhin wurde das (reelle) mittlere innere Potential 11 V0 und das Kristallpotential U(r) := 2eE h2c2(V (r) − V0) eingeführt. Zur Lösung von (12) nutzt man einmal mehr die Gitterperiodizität aus: Nach dem Blochtheorem können die Wellenfunktionen des Elektrons im periodischen Potential V (r) geschrieben werden als Produkt aus einer ebenen Welle und einer gitterperiodischen Funktion u(r), also ϕk (r) = u(r)e k 2πikr . Die Periodizität von V (r) und u(r) führt auf die Fourier-Reihenentwicklungen mit k g und h als ReL-Vektoren V (r) − V0 = V e h 2πi hr ⇒ U(r) = U e h 2πihr und u(r) = k ug e 2πigr , (13) h=0 h=0 wenn V0 gerade als nullte Fourierkomponente von V (r) angesehen wird. Setzt man dies in (12) ein, ergibt sich (vgl. z.B. [Gra03, S.321]) als Bestimmungsgleichung für jede einzelne Blochwelle k 2 0 − ( k + g) 2 ug + Ug− u h h e 2πi(k+g)r = 0 . (14) g Ph Ug− +[ h h k 2 0−(k+ h) 2 i ] δhg uh =: P Mg u h h h h=g Hierin muss jeder Summand der äußeren Summe verschwinden, wenn (14) für jedes r erfüllt sein soll. Die Matrixschreibweise M g h u h macht deutlich, dass mit (14) ein Gleichungssystem zur Bestimmung aller im Kristall möglichen Ausbreitungsvektoren kj und Fourierkoeffizienten ug,j der Blochfunktion in (13) gefunden wurde, wobei jeder Reflex g eine Gleichung liefert. Allerdings ist das charakteristische Polynom zur Bestimmung der kj unter Einbeziehung von N Strahlen vom Grade 2N, weil die Diagonalelemente Mgg quadratisch in k sind. Schon für die Betrachtung zweier Strahlen kommt man also ohne Näherungen nicht aus. Die Gesamtwellenfunktion im Kristall ist schließlich durch die lineare Kombination aller Blochwellen gegeben, folgt also mit noch zu findenden Koeffizienten Aj aus der Summation 11 V (r) wird zunächst als reell angenommen, die Erweiterung auf komplexe Größen bereitet im Nachhinein keine Schwierigkeit. V0 wird aber immer nur von der Fourierreihe des Realteils von V (r) abgespalten. 8 g

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