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Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

über j. Um außerdem

über j. Um außerdem das charakteristische Polynom auf den Grad N zu reduzieren, wird gemäß [Gra03] nur Vorwärtsstreuung betrachtet, d.h. die Änderung der zur Probenoberflächennormalen n parallelen Komponente von k0 soll, verglichen mit k0, klein sein. Man kann also für ϕ(r) ansetzen (Näherung für hohe Energien) ϕ(r) = Aj ug,j e 2πi(kj+g)r mit kj ≈ k0 + γj n (|γjn| ≪ k0) (15) j,g Die Einschränkung der kj führt auf Bestimmungsgleichungen für die γj, Ug− + 2k0sg δ u = 2n h hg h,j k0 γj ug,j ⇔: ˜M g u = 2n h h,j k0 γjug,j , (16) h was formal eine Eigenwertgleichung darstellt. Das heißt, Lösungen von (16) sind Eigenvektoren uj mit den Fourierkoeffizienten der Blochfunktion als Komponenten sowie Eigenwerten 2n k0γj. Schreibt man (16) in Matrixform, ˜ Muj = 2n k0γjuj, so besteht das Ziel offensichtlich darin, ˜ M zu diagonalisieren, um die Eigenwerte (und damit die γj) von der Hauptdiagonalen ablesen zu können. Nach [Gra03] gibt es auf jeden Fall eine unitäre Transformation C † ˜ MC, die dieses tut und bei der die Spalten der Matrix C aus den Eigenvektoren uj bestehen. Was schließlich noch fehlt, ist ein Ausdruck, der die Amplituden Aj der einzelnen Blochwellen liefert. Dazu nutzt man als Randbedingung, dass in (15) γj = 0 für ϕ(z = 0), wenn beim Eintritt in die Probe z = 0 gilt (d.h. keine Anregung von Blochwellen bis dorthin). Es sind dann die Aj gerade durch die erste Spalte von C −1 gegeben. Eingesetzt in (15) und als Matrixgleichung geschrieben, erhält man mit der Diagonalmatrix Emj := e 2πiγjz δmj und der sog. Streumatrix S h Φ(z) = CEC −1 Φ(0) =: SΦ(0) , (17) wobei im Spaltenvektor Φ(z) die Lösungen für jeden Strahl g eingetragen sind. Analytische Lösungen sind für den Fall zweier Strahlen möglich und die folgenden Ergebnisse basieren auf den Beiträgen vom Primärstrahl (0000) und dem Reflex g. Das erscheint auf den ersten Blick sinnvoll, entsprechen alle hier ausgewerteten Bilder doch Zweistrahlabbildungen. Aber einen Denkfehler hat diese Überlegung dennoch: werden alle bis auf zwei Reflexe aus dem Beugungsbild ausgeblendet, heißt das noch nicht, dass h in (16) nur über diese beiden Reflexe läuft. Wählt man aber die Abbildungsbedingungen so, dass (0000) und g auf einer systematischen Reihe liegen, verglichen mit den anderen Reflexen also sehr intensiv erscheinen, so scheint die Beschränkung auf zwei Strahlen gerechtfertigt. Die wiederum etwas formale Auswertung von (16) und (17) findet sich größtenteils in [Gra03, S.362ff, 352ff]. Dieser Quelle folgend werde ich mich auf die Angabe der wichtigsten Ergebnisse beschränken, und zwar mit Hinblick auf das ursprüngliche Ziel, die Asymmetrie im Beugungsbild (Bild 4) zu erklären. Als Lösung12 für die Amplitude S des gebeugten Strahls g gilt unter Einbeziehung von Absorption folgende Beziehung: S(s,z0) = isin(πσz) σqg mit 1 qg = 1 − ξg eθg ′ −θg iξg ′ und σ = s 2 g + 1 qgq−g , (18) wobei θ,θ ′ die Phasen der Fourierkoeffizienten des hier als komplex angenommenen Kristallpotentials U(r) → U(r) + iU ′ (r) sind: Ug = |Ug|e iθ g, U ′ g = |U ′ g |eiθ ′ g. Mit ξ,ξ ′ sind Extinktionsund Absorptionslänge bezeichnet, 1/qg beschreibt die Streuung vom Primärstrahl nach g. Ent- scheidend ist hier, dass die Phasen der Fourierkoeffizienten explizit über qg in der Amplitude erscheinen und die Intensität also proportional zu 1 q gq ∗ g ∼ 2sin(θ ′ g − θg) ist, während bei kinema- tischer Rechnung nur das Betragsquadrat des Strukturfaktors gebildet wird und dessen Phase 12 In [Gra03] wird die Lösung ausführlich mit dem Darwin-Howie-Whelan-Formalismus gefunden und später (S.367) auf die Äquivalenz der Ergebnisse mit denen der Blochtheorie hingewiesen. 9

unberücksichtigt bleibt. Die Differenz θg ′ −θg ist für zentralsymmetrische Kristalle Null, für Kristalle ohne Inversionszentrum können die Phasen aber unterschiedlich sein und von g abhängen, so dass die Ursache für die unterschiedlichen Intensitäten wohl in der quantitativen Auswertung von (18) liegt und man sich insbesondere die Ug, U ′ g anschauen muss, was im Rahmen dieser Arbeit allerdings unvollendet blieb. Bereits Tabelle 1 zeigt, dass die Phasen der Fourierkoeffizienten des Realteils des Potentials von (0002) und (000¯2) unterschiedlich sind. Allerdings scheint die Einführung eines komplexen Potentials auch für dünne Proben notwendig zu sein, da sonst die reziproke Absorptionslänge ξ ′ in (18) veschwände. Dies widerspricht tendenziell der Beobachtung, dass die Asymmetrie bei dünnen Proben schon sehr gut erkennbar ist. Eine Möglichkeit, die Asymmetrie auch ohne Absorption zu erklären, könnte in der Einbeziehung von mehr als zwei Strahlen liegen, was aber numerisch zu erfolgen hätte. Zusammengefasst wurde in diesem Abschnitt eine Theorie vorgestellt, die in der Lage ist, die Unterscheidbarkeit von (0002) und (000¯2) zu erklären, so dass das hellere Erscheinen von (0002) an dünnen Probenstellen nicht auf Verkippung der Probe o. ä. beruht. Etwas unbefriedigend ist, dass zwar die abstrakte Ableitung von (17) bis auf das Korrespondenzprinzip und (4) zurückgeht, am Ende aber aus Zeit- und Platzgründen nur die Lösung (18) unter Einbeziehung von zwei Strahlen im Falle von Absorption angegeben werden konnte. 2.2.4 Wahl der Abbildungsbedingungen. Im Folgenden soll dargestellt werden, warum eine quantitative Analyse der Gitterverzerrung in InGaN/GaN Strukturen bei dem hier verwendeten Mikroskop CM 20 (Philips) auf eine Zweistrahlabbildung angewiesen ist und wie der Einfluss der unbekannten Parameter Probendicke und Indiumkonzentration auf die Abbildung minimiert werden kann. Linsenfehler. Wie in [BS93, S.1039ff] gezeigt wird, sind stark inhomogene Magnetfelder für eine vergrößerte Abbildung mit Elektronen geeignet, wenn diese sich unter kleinen Winkeln zur optischen Achse bewegen (Paraxialstrahlen). Prinzipiell unterscheiden sich somit die Wirkungsweisen solcher magnetischer Linsen und den Linsen der Lichtoptik, da die Ablenkung der Elektronen auf der Lorentzkraft beruht, die senkrecht auf ihrem Geschwindigkeitsvektor steht. Die daraus resultierende Spiralbahn erzeugt u.a. Effekte wie vergrößerungsabhängige Bilddrehung und ggf. Verletzung der Umkehrbahrkeit des Strahlengangs. Von den in [Rus50, S.159ff] aus der Variation der optischen Weglänge abgeleiteten acht Bildfehlern dritter Ordnung sphärische Aberration Bildfeldwölbung anisotroper Astigmatismus (axialer) Astigmatismus Verzeichnung anisotropes Koma Koma Bildzerdrehung sei nur auf die linken drei Bildfehler kurz eingegangen, da sie gemäß [Rei84] die bedeutendsten sind: Astigmatismus entsteht durch nicht-rotationssymmetrische Linsenfelder und elektrische Aufladung der Polschuhe oder der Probe und äußert sich z. B. darin, dass das Diffraktogramm einer amorphen Probenstelle nicht rotationssymmetrisch ist. Allerdings kann dieser Effekt durch entsprechende Bauteile (Quadrupol-/Oktupollinsen) korrigiert werden. Koma tritt auf, wenn der Wellenvektor K0 schräg zur optischen Achse steht. Die Beugungsscheibchen weisen dann einen von der opt. Achse wegweisenden Schweif auf; auch hier kann dieser Effekt durch Justage des Primärstrahls auf die opt. Achse minimiert werden. Die sphärische Aberration bleibt beim CM20 allerdings unkorrigiert: Die Brechkraft der Linsen nimmt mit dem Abstand von der opt. Achse zu, d.h. die Brennweite ist abhängig vom Winkel ϑ, den die Elektronentrajektorie mit der opt. Achse bildet. Ein Punkt in der Probe wird daher als Scheibchen abgebildet, dessen Radius nach [Ros05] über r = MCsϑmax gegeben ist (M: Vergrößerung, Cs: sphärische Aberrationskonstante). Aus diesem Grund wird ϑmax durch Einfügen von Blenden in der hinteren Brennebene der Linsen stark begrenzt, was wiederum ein 10

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