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Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Bild 5:

Bild 5: Wellenaberrationen χ der Reflexe (0002) und 1¯100 für zwei ausgewählte Defoki. Stellt man den Defokus so ein, dass der Gradient von χ für den entsprechenden Reflex verschwindet, können die korrespondierenden Netzebenen delokalisierungsfrei abgebildet werden. besselförmiges Ausschmieren eines Punktes in der Bildebene zur Folge hat. Für das CM20 mit 200 kV und Cs = 0.5mm folgt aus ϑmax = 0,77 4 λ/Cs (s. [Ros05]) für den idealen Maximalwinkel ϑmax ≈ 0,371 ◦ . Wellenaberrationen und Delokalisierung. Um die Auswirkung von Aberrationen mathematisch zu erfassen, betrachtet man die Phasendifferenz χ zwischen der Wellenfunktion, die durch eine ideale Abbildung modifiziert wird und der tatsächlichen Wellenfunktion, die man durch das reale abbildende System propagieren lässt. Betrachtet man außer der sphärischen Aberration noch den Einfluss, den ein Defokus ∆f hervorruft, so erleidet die Objektaustrittswellenfunktion ϕOA(r) eine zusätzliche Phase, die sich additiv aus den Anteilen von Defokus und sphärischer Aberration zusammensetzt: χ(q) = χ(q) = χs(q) + χ∆f(q) = π 2 Csλ 3 q 4 + π∆fλq 2 . (19) Dabei ist q ein Vektor im Fourierraum. Ganz allgemein muss ϕOA(r) mit der das abbildende System charakterisierenden Punktverwaschungsfunktion P(r) gefaltet werden, um die Wellenfunktion ϕBE(r) in der Bildebene zu erhalten, deren Betragsquadrat die Intensität liefert. Nutzt man den Faltungssatz aus, so folgt −1 ϕBE(r) = ϕOA(r) ⊗ P(r) = F F[ϕOA](q) · e iχ(q) , (20) d.h. die Wirkung von P(r) äußert sich (bei Abwesenheit einer Blende) darin, dass die Wellenfunktion in der hinteren Brennebene der Objektivlinse, F[ϕOA], mit einem zusätzlichen Phasenfaktor F[P](q) = e iχ(q) multipliziert wird. Betrachtet sei hier nur der Einfluss der direkt auf die Probe folgenden Objektivlinse, da sie den wichtigsten Anteil an der Vergrößerung hat und ihre Qualität das Bild am stärksten bestimmt. Die inverse Fouriertransformation in (20) wird explizit in [Pre06] zu finden sein und führt für den Beitrag des Reflexes g zum Aufbau der Wellenfunktion in der Bildebene näherungsweise auf ϕ g g BE (r) ∼ ϕOA r − 1 2π ∇ q χ(q)| g . (21) Die zentrale Aussage von (21) ist, dass am Ort r im Bild Information erscheint, die vom Ort r − 1 2π ∇q χ(q)|g des Objektes stammt, also delokalisiert ist. Bei Abbildung mit mehreren Reflexen g mischen sich daher die Informationen verschiedener Probenstellen am selben Ort auf dem Schirm, falls der Gradient der Funktion χ(q) nicht verschwindet. Da das für die quantitative Analyse nicht in Frage kommt, ist in Bild 5 die Funktion χ(q) für zwei verschiedene Defoki gezeigt, die so gewählt sind, dass der Gradient ∇q χ gerade dort verschwindet, wo q die Werte von g0002 = 3,857 · 109 /m und g1¯100 = 3,621 · 109 /m annimmt. Der zu wählende Defokus folgt also aus Nullsetzen des Gradienten von (19), was auf ∆f0 = −λ2q2Cs führt und die Abweichung vom 11

Fokus in Gaußscher Abbildung angibt. Gemäß der Theorie von Abbé muss zur Abbildung der entsprechenden Netzebenen (0002) und {1¯100} jeweils noch mindestens der Primärstrahl hinzugenommen werden, der nach Bild 5 offensichtlich aber ebenfalls keine Delokalisierung erfährt. 13 Da für die beiden Reflexe unterschiedliche Defoki zu wählen sind, kann streng genommen immer nur eine Netzebenenschar delokalisierungsfrei abgebildet werden. Die geringe Differenz von 6 nm der Defoki für die (0002) und {1¯100} Abbildung erlaubt allerdings nahezu eine delokalisierungsfreie Abbildung. Zusätzlich wird der Defokus am Mikroskop vom Fokus des geringsten Kontrasts aus bestimmt, dessen Einstellung ohnehin mit einem Fehler von wenigen Nanometeren behaftet ist. Die optimierten Abbildungsbedingungen müssen aber weitere Einflüsse wie Probendicke und Indiumkonzentration berücksichtigen, was auf verschiedene COLC für die Abbildung von (0002) und {1¯100} Ebenen führt, wie im Folgenden erklärt wird. Einfluss von Probendicke und Konzentration. Im vorherigen Abschnitt wurde die Modifikation der Phase der Wellenfunktion durch das abbildende System diskutiert, aber natürlich findet zuvor die Propagation der Elektronenwelle durch die Probe statt. Auch dort sammelt sie eine Phase P g(x,t) auf, die insbesondere abhängt von der Probendicke t und der chemischen Zusammensetzung x gemäß InxGa1−xN. Bezeichnet man mit P0000(x,t) und P g(x,t) die durch den Indiumgehalt x und die Probendicke t hervorgerufenen Phasen des ungebeugten Strahls und des Strahls g, so müssen unabhängig beide Gradienten verschwinden, wie in [RGP06] für die Abbildung mit (0000) und (0002) abgeleitet wird: ∇P0000(x,t) = 0 , ∇P g(x,t) = 0 . Erst dann stellt der gemessene Netzebenenabstand den tatsächlich in der Probe vorhandenen dar. Während t im untersuchten Probenbereich als zwar unbekannt, aber näherungsweise konstant gilt, liegt eine örtliche Änderung von x auf jeden Fall vor, da ein Übergang von der GaN-Schicht mit x = 0 zur darauffolgenden InxGa1−xN-Schicht stattfindet. Das aus [Pre06] stammende Bild 6 veranschaulicht die Abschätzung einer solchen Abbildungsbedingung exemplarisch für die Abbildung mit den Reflexen (0000) und {1¯100} für die Zonenachse 〈11¯20〉: für jedes Parameterpaar (t,h) wurde die Standardabweichung σx aller Phasen berechnet, welche man wie folgt erhält. Bei fester Probendicke t und fester COLC-Position (h ¯ h 022) wird die Konzentration x in Schritten von 1% von 0% bis 60% variiert und jeweils die Phase berechnet. Die Standardabweichung aller dieser Phasen ist schließlich logarithmisch als Graustufe in Bild 6(a) dargestellt, oben für Primärstrahl und unten für {1¯100}. Da t nun aber auf diesem Maßstab bis 50 nm völlig unbekannt ist, das Zentrum des Lauekreises aber am Mikroskop einstellbar ist, ist ein solcher COLC-Wert gesucht, für den folgendes gilt: • Bei Variation der Probendicke sollten die Werte für σx nur wenig streuen. • Dies sollte sowohl für den Primärstrahl, als auch für den zweiten Reflex, hier {1¯100}, gelten. • Da auch das Einstellen des COLC fehlerhaft ist oder die Probe gekrümmt sein kann, sollten die ersten beiden Bedingungen sogar auf einem möglichst breiten COLC-Intervall gelten. Um nun herauszufinden, für welche COLC-Position σx bei Variation der Probendicke t am wenigsten streut, werden in den Graphiken aus Bild 6(a) jeweils vertikale Linescans gemacht und die Standardabweichung σt für jeden Linescan berechnet. So erhält man für jeden COLC-Wert zwei Werte für σt, einmal für den Strahl (0000) und einmal für {1¯100}. Diese sind in Bild 6(b) wiederum gegen die COLC-Position aufgetragen, und es ist erkennbar, dass für (1,11,1 022) die obigen 13 Das ändert sich, wenn man im “Centered Darkfield“ (CDF) Modus arbeitet und den Reflex g auf die optische Achse bringt. Allerdings vertauschen sich beim richtigen Defokus in Bild 5 gerade die Rollen von Primärstrahl und g, so dass auch hier die Delokalisation eliminiert werden kann. 12

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