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Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Bild 6: Zur Minimierung

Bild 6: Zur Minimierung des Einflusses der Probendicke auf die Phase der Wellenfunktion für die Reflexe (0000) und 1¯100 in der Zonenachse 〈11¯20〉. Erläuterungen siehe Text. (a) (b) Reflex Zonenachse 〈1¯100〉 Zonenachse 〈11¯20〉 ∆f0 COLC ∆f0 COLC (0002) −47nm (¯7 ¯7 142,2) −47 nm (1212 02,2) {1¯100} −− −− −41 nm (1,11,1 022) Tabelle 2: Abbildungsbedingungen für die quantitative Analyse. (∆f0 bezieht sich auf die Abweichung vom Gauß-Fokus) drei Forderungen am besten erfüllt sind. Es sei darauf hingewiesen, dass diese Abschätzung nicht mehr gilt, wenn die Konzentration 80% übersteigt, wie weitere in [Pre06] zu findende Rechnungen ergeben. Analog von A. Pretorius berechnet ist die Wahl von COLC (¯7 ¯7 142,2) für die Abbildung mit den Reflexen (0000) und (0002) für die Zonenachse 〈1¯100〉, und COLC (1212 02,2) für die Zonenachse 〈11¯20〉. Tabelle 2 fasst die Abbildungsbedingungen noch einmal zusammen. 2.3 Elastische Eigenschaften von InGaN Bei der Herstellung der Probe wird zunächst eine reine GaN-Schicht gewachsen und dann zusätzlich Indium angeboten. Der Übergang vom GaN zu InxGa1−xN kann nach [BS05] auf dreierlei Weise erfolgen: Entweder bilden sich (besonders bei stark unterschiedlichen Gitterkonstanten) sofort auf der Oberfläche dreidimensinale Inseln aus InGaN (Volmer-Weber-Wachstum) oder die Oberfläche wird vollständig benetzt und es erfolgt schichtweises Wachstum (Frank-van-der- Merwe-Wachstum). Oft tritt (ebenfalls bei unterschiedlichen Gitterkonstanten von Substrat und Deponat) außerdem als Zwischenform Stranski-Krastanov-Wachstum auf, bei dem zuerst wenige Atomlagen zweidimensional aufwachsen und sich aber dann zum Abbau von Spannungen dreidimensionale Inseln bilden. Für die Eigenschaften eines Gemisches InxGa1−xN wird im Folgenden die Gültigkeit der Regel von Vegard vorausgesetzt. Diese ursprünglich nur für Gitterparameter aufgestellte Regel wird hier gleichsam für die elastischen Konstanten angesetzt. Man erhält also die entsprechende Eigenschaft eines Gemisches aus der linearen Interpolation der Eigenschaften der reinen Materialien: α(x) = x · αInN + (1 − x) · αGaN , (22) 13

C11 C33 C44 C12 C13 a [nm] c [nm] GaN 367 405 95 135 103 0,3189 0,5185 InN 223 224 48 115 92 0,35374 0,57027 Tabelle 3: Materialkonstanten von InN und GaN aus [Pre06]. Cij in GPa. wobei α eine der genannten Eigenschaften repräsentiere und die Gleichung für den spannungsfreien Fall gelte. In Tabelle 3 sind die hier relevanten Konstanten αInN, αGaN für reines InN bzw. GaN zusammengestellt. Die Anpassung des InxGa1−xN-Gitters auf das GaN-Gitter wird offensichtlich mit einem Spannungsfeld einhergehen, da sich die a-Gitterkonstanten theoretisch um etwa 10% unterscheiden. Geht man zunächst davon aus, dass keine Versetzungen oder Stapelfehler entstehen, ergeben sich qualitativ folgende Verhältnisse: An der Grenzfläche zum GaN wird der a-Gitterparameter des InGaN auf den des GaN komprimiert. Bei sehr dünnen TEM-Proben ist ggf. Relaxation in Zonenachse möglich. Mit fortschreitendem Wachstum relaxiert das Kristallgitter immer weiter auf die durch (22) abgeschätzten Gitterkonstanten, wenn nicht (versetzungsfreies) Frank-vander-Merwe-Wachstum stattfindet. Der c-Gitterparameter ergibt sich schließlich aus folgenden Überlegungen der Elastizitätstheorie. Quantitativ erfasst man die Verzerrung ǫ von starren Objekten aufgrund eines Spannungsfeldes σ durch das verallgemeinerte Hookesche Gesetz σgh = Cghijǫij ⇒ ǫij = C −1 ghij σgh (Einstein-Summenkonvention) . (23) Das heißt, die Verzerrung ist über die invertierte Elastizitätsmatrix mit dem Spannungsfeld verknüpft. Sieht man nun von Scherung und Torsion ab und nimmt an, dass das Material in Wachstumsrichtung c relaxieren kann, so ist ǫij =: ǫiδij diagonal. Identifiziert man ǫ1 als Verzerrung in 〈1¯100〉, ǫ2 in 〈11¯20〉 und ǫ3 als Verzerrung in [0002] Richtung, so existieren als von Null verschiedene Einträge im Spannungstensor σgh nur σ11 und σ22. Aufgrund der Probenpräparation, sprich Dünnung auf wenige Nanometer, könnte ggf. eine Relaxation parallel zur Zonenachse erfolgen. Wegen der Kristallsymmetrien sollte ansonsten σ11 ≈ σ22 sein. Einer Relaxation in Zonenachse trägt daher die Einführung des Relaxationsparameters r ∈ [0... 1] Rechnung, d.h. σ11 = r · σ22 für die Zonenachse 〈1¯100〉 und σ22 = r · σ11 für 〈11¯20〉 (s.a. [Pre06]). Weiter [Pre06] folgend, ergibt sich die relative Verrückung in 〈11¯20〉 Zonenachse zu ǫ1 = a ′ (x)−a(x) a(x) , wobei a ′ (x) der zu messende tatsächliche Gitterparameter ist (ǫ2 analog). Wertet man nun (23) unter den erläuterten Annahmen vollständig aus, so findet sich in [Pre06] als Zusammenhang zwischen x,c ′ ,a ′ für den tatsächlichen, also ebenfalls zu messenden Gitterparameter c ′ (x) die grundlegende Formel c ′ (x) = c(x) 1 + (r + 1)C13(x)(C12(x) − C11(x)) C11(x)C33(x) − C13(x) 2 − rC12(x)C33(x) + rC13(x) 2 a ′ (x) − a(x) a(x) . (24) Dabei sind die ungestrichenen Größen mittels Tabelle 3 und (22) zu bestimmen. Es wird hier schließlich deutlich, warum in Abschnitt 2.2 die Abbildung mit Elektronen so detailliert diskutiert wurde: die simultane Kenntnis von c ′ und a ′ ist für die eindeutige Bestimmung der Konzentration x nach (24) erforderlich, bleibt uns aber verwehrt. Welche Annahmen für a ′ gerechtfertigt sind bzw. wie a ′ aus weiteren Aufnahmen rekonstruiert werden kann, wird also ein zentraler Punkt der Auswertung sein. 14

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