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Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

gegeben durch z(n) = n

gegeben durch z(n) = n · b + δ(n) = n · (b + ∆) , (26) wobei gerade die letzte noch mit ihrer Referenzposition übereinstimmende Netzebene den Index n = 0 habe. Zur Veranschaulichung s.a. nebenstehendes Bild, wo Referenzpositionen blau und tatsächliche rot erscheinen. Für den tatsächlichen Abstand b ′ zweier Netzebenen folgt mit (25,26) b ′ = z(n + 1) − z(n) = b + ∆ = b + dδ(n) dn . Normiert man den Abstand b ′ auf den Referenzabstand b, so ergibt sich b ′ b 1 dδ(n) = 1+ · b dn b=const. = 1+ d dn δ(n) b = 1+ dp(n) dn , (27) wobei mit p(n) gerade die von DALI gefundenen (und damit bereits auf den Referenzabstand normierten) gemittelten PD gemeint sind. Einmal mehr zeigt das letzte Gleichheitszeichen in (27) übrigens, wie wichtig die Wahl der optimierten Abbildungsbedingungen ist, denn genau hier wird den Hochauflösungsaufnahmen unterstellt, dieselbe Periodizität aufzuweisen wie die Netzebenen im Kristall. Nun erfordert (24) aber die Eingabe des verzerrten Gitterparamters c ′ . Da aber c ′ = 2 · b ′ und c(x = 0) = cGaN = 2 · b ist, wenn mit b und b ′ die Netzebenenabstände der (0002) Ebenen bezeichnet werden, folgt mit (27): c ′ (x) = cGaN · 1 + dp(n) dn . (28) Es sei angemerkt, dass die entsprechende Auswertung auch mit Hilfe der LD erfolgen könnte, denn diese liefern, in 〈0001〉 Richtung gemessen, bis auf einen Proportionalitätsfaktor (s. Abschnitt 4.2.2) direkt die normierten Netzebenenabstände. Dennoch wählte ich hier das Verfahren auf Basis der PD, da einerseits beide Rechnungen äquivalente Ergebnisse liefern und andererseits die LD im nächsten Abschnitt Grundlage für die Auswertung sind und dort näher erklärt werden. Aus der Auftragung p(n) in Bild 9 rechts wurde bereits von DALI die Steigung dp dn = −0,0672 bestimmt. Diese ist negativ, weil die Streifen im Hochauflösungsbild, verglichen mit obiger Herleitung, in entgegengesetzter Reihenfolge indiziert wurden (d. h. abnehmender Index in Richtung Inselspitze). Indizierte man die Darstellung analog zur Herleitung, so würde die Steigung ihr Vorzeichen wechseln, konkret: Konsistenz liegt vor, wenn der Betrag von dp dn gebildet wird, an- sonsten folgte nach (28) für das InGaN-Gitter ein kleinerer Abstand der (0002) Ebenen, was im Widerspruch zur Beobachtung steht. Die Lösung von (24) ist selbst bei bekannten Parametern c ′ , a ′ und r nicht-trivial, da es sich um ein Polynom vierten Grades in x handelt, in dem alle Potenzen x 0 bis x 4 auch tatsächlich vorkommen. Aus diesem Grunde erfolgte die Lösung mit Hilfe der MAPLE-Funktion ” fsolve“. Da aber erst c ′ = 1,0672 ·cGaN bekannt ist, werden, der Arbeit [Pre06] folgend, bei der Berechnung von x für die beiden anderen Parameter r und a ′ folgende Annahmen als plausibel angesehen: 1. Unverzerrtes InGaN: Mit Sicherheit findet beim Aufwachsen von InGaN auf GaN, wie oben begründet wurde, Gitterfehlanpassung statt, aber dargelegt wurde auch, dass die Basalebene des GaN sich an der Grenzfläche zum InGaN weitet. Insbesondere wird der Einfluss des GaN-Gitters in Richtung Inselspitze abnehmen, so dass sich immer mehr die nach (22) gegebene Gitterkonstante für den spannungsfreien Fall einstellt, also a ′ (x) = individuellen Abstand einnehmen, der eben gerade durch die entsprechende Konzentration x und äußere Parameter wie Spannungen etc. festgelegt ist. Da aber in Bild 9 dp in sehr guter Näherung konstant ist, gehe ich vorerst dn davon aus, dass ein Übergang vom GaN-Gitter mit festem (0002) Ebenenabstand zu einem InGaN-Gitter mit ebenfalls festem, aber größeren (0002) Abstand stattfindet. 23

a(x) = x ·aInN +(1 −x) ·aGaN. Gleichung (24) ist dann von r unabhängig. Eine Relaxation an der InGaN/GaN Grenzfläche könnte ebenfalls erfolgen, wenn sich dort Versetzungen bilden ( ” misfit dislocations“), was bei dieser Probe allerdings nicht beobachtet wurde. 2. Vollverspannte InGaN-Schicht: Hier wird angenommen, dass die basalen Gitterparameter der InGaN-Einheitszellen sich beim Aufwachsen auf GaN auf die basalen GaN-Gitterparameter komprimieren. Aufgrund der Präparation sind zwei Fälle zu unterscheiden: (a) Dünne Proben, r = 0: In Abschnitt 2.3 wurde der Relaxationsparameter r ∈ [0... 1] eingeführt, der die Spannung σ11 in Zonenachse 〈1¯100〉 als Faktor r der Spannung σ22 in 〈11¯20〉 Richtung angibt. Dabei wird r umso kleiner sein, je dünner die Probe ist, d.h. durch das Abtragen von Material bis auf einige Nanometer bei der Probenpräparation können die wenigen noch vorhandenen Netzebenen relaxieren. (b) Dicke Proben, r = 1: Hier besteht keine Relaxation in Zonenachse, so dass σ11 = σ22 ist. Die Berechnung der drei beschriebenen Fälle für das hier diskutierte Beispiel ergibt die folgenden Konzentrationen, wobei xf für das verzerrungsfreie InGaN (Fall 1) steht, x0 und x1 stehen für vollverspanntes InGaN bei dünnen Proben (Fall 2 (a), r = 0) und bei dicken Proben (Fall 2 (b), r = 1): xf = 67,3% , x0 = 55,2% , x1 = 40,8% . Zur Interpretation wurde die Abhängigkeit zwischen c ′ (x) und x in (24) für x ∈ [0... 1] mit MAPLE für alle drei Fälle gelöst und das Ergebnis in Bild 10(b) dargestellt. Zu sehen ist, dass bei jedem Gitterparameter c ′ (x) sich die höchste Konzentration für den verzerrungsfreien Fall ergibt (grüne Kurve), gefolgt vom Wert für dünne Proben (blaue Kurve). Die geringste Konzentration ergibt sich bei Annahme dicker Proben (rote Kurve), oder besser gesagt bei symmetrischer Spannungsverteilung in den Richtungen 〈11¯20〉 und 〈1¯100〉. Dabei hängt die Diskrepanz zwischen den drei Werten offenbar empfindlich von c ′ (x) ab. Eingezeichnet in Bild 10(b) sind ebenfalls die eben ermittelten drei Konzentrationen, die sich graphisch aus dem Schnittpunkt zwischen den drei Graphen und einer vertikalen Geraden an der nach (28) gegebenen Abszisse ergeben. Dass dieses Vorgehen erlaubt ist, folgt aus der beobachteten Konstanz von dp dn , auf der die Herleitung von (28) beruht (s. S.22 unten). Diese Beobachtung widerspricht der Erwartung, dass das Gitter der InxGa1−xN-Insel bei konstantem x in der Basalebene zunächst an der Grenzfläche komprimiert wird, mit fortschreitendem Wachstum aber immer mehr in den Richtungen 〈11¯20〉 und 〈1¯100〉 relaxieren kann, woraus sofort mit (24) folgen würde, dass der c-Gitterparameter in Wachstumsrichtung 〈0001〉 abnimmt. Dann müßte aber der Anstieg der Kurve p(n) (s. z. B. Bild 7 rechts) in Richtung Inselspitze abnehmen, wie man (28) entnimmt. Anschaulich entspräche diese Theorie einem Übergang von einer dicken Probe bei voller Verspannung an der Grenzfläche zu einer dünneren, immer noch verzerrten InGaN-Schicht im unteren Teil der Insel und endlich Relaxation zur Gleichgewichtsgitterkonstanten für InxGa1−xN in der Inselspitze. Nähme man dabei eine konstante Konzentration an, entspräche dieser Übergang Schnittpunkten der Kurven in Bild 10(b) mit einer horizontalen Geraden, die auf dem grauen Pfeil oder parallel dazu verliefe. Dies ginge mit einer signifikanten Änderung von c ′ einher. Keine der ausgewerteten Kurven p(n) zeigte ein solches Verhalten, so dass davon auszugehen ist, dass die Indiumkonzentration in Richtung Inselspitze zunimmt, sofern die o. g. Zuordnung des Relaxationsgrades zu den einzelnen Bereichen der Insel stimmt. Bevor nun in den nächsten Abschnitten diese Vermutung überprüft wird, werden die in Tabelle 4 ermittelten Konzentrationen der anderen analysierten Inseln kommentiert. Das bereits oben erhaltene Ergebnis ist fettgedruckt mit enthalten. 24

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