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Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Studienarbeit Quantitative Analyse von InxGa1?x N-Inseln mittels ...

Warum aber wird der

Warum aber wird der zusätzliche Basisvektor a3 = −a1 − a2 eingeführt, wo doch jeder Punkt im euklidischen Raum bereits durch Vielfache der Basisvektoren a1, a2, c erreichbar ist, wie (1) zeigt? Die Antwort darauf geben die Kristallsymmetrien. Symmetriebetrachtungen. Die wesentlichen Symmetrieoperationen findet man am einfachsten, indem man den Kristall entlang −c auf die Basalebene projiziert, wie es ausschnittsweise Bild 1(c) zeigt. Dabei wurde der Kristall so in c-Richtung zwischen den Atomen Ga1 und N1 ab- ” geschnitten“, dass zwischen den beiden nichtäquivalenten Atomsäulen (s. Indizes in Bild 1(b)) unterschieden werden kann, da einmal Stickstoff, einmal Gallium den Abschluss bildet. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt im Zentrum des schwarzen, kleineren Hexagons, was sich besser zur Ableitung der Symmetrien eignet: 1. Drehung: Eine Drehung in 120◦-Schritten um c lässt den Kristall invariant, was in der Zeichnung durch gekennzeichnet ist. Nach Hermann-Mauguin beschreibt man eine dreizählige Drehachse durch das Symbol3 3. 2. Schraubung: Es darf ebenfalls um 60◦ um c gedreht werden, wenn gleichzeitig eine Translation um 1 2c erfolgt, was in der Zeichnung mit markiert ist. Als Symbol verwendet man 63 für die sechszählige Drehung und die Translation um 3 1 6c = 2c. Analog steht für eine 180◦-Drehung und Translation um 1 2c, Symbol ist also 21. 3. Spiegelungen: Senkrecht auf der Blattebene entlang der durchgezogenen schwarzen Linie findet sich eine Spiegelebene, die durch das Symbol m erfasst wird. Zwei weitere Ebenen ergeben sich durch 120◦-Rotation um c, wurden der Übersichtlichkeit wegen aber nicht eingezeichnet. 4. Gleitspiegelebenen: Die schwarz-punktierte Linie und die c-Achse definieren ebenfalls eine Spiegelebene, allerdings wird der Kristall erst wieder in sich selbst überführt, wenn nach der Spiegelung eine Translation um 1 2c stattfindet, was symbolisch durch c repräsentiert wird. Wie unter 3. erwähnt, erhält man auch hier 2 weitere Gleitspiegelebenen durch Rotation um 120◦ . Zusammengefasst werden diese Operationen4 durch das Raumgruppensymbol P63mc, wobei P für eines der sieben primitiven Translationsgitter steht, zu denen auch das hexagonale des GaN zählt. Als fundamental für die Intensität im Beugungsbild wird sich noch das Fehlen eines Inversionszentrums in der Einheitszelle erweisen, da Inversion mit einer Vertauschung der Atomsorten einherginge und daher keine Symmetrieoperation darstellt. Je nach Orientierung der in Bild 1(b) punktiert markierten Ga-N Einheiten relativ zur Wachstumsrichtung bei der Epitaxie unterscheidet man zwischen Ga-“ und N-polaren“ Proben. Bei der hier analysierten ” ” mittels MOVPE5 hergestellten Probe ist c parallel zur Wachstumsrichtung und das Material damit Ga-polar. Bei N-Polarität sind c und Wachstumsrichtung antiparallel. Miller-Bravais Indizierung. Schreibt man nun jeden Vektor in der Form [u vtw] := ua1 + va2 + ta3 + wc mit t ! = −u − v , (2) so sieht man anhand des blau skizzierten Hexagons in Bild 1(c), dass die dort eingezeichneten 12 Richtungen zwei Familien à sechs Mitgliedern bilden, die durch punktierte und normale Pfeile unterschieden sind: innerhalb jeder Familie gehen die Vektoren durch zyklisches Vertauschen bzw. Vorzeichenkonjugation der ersten drei Indizes ineinander über. Aus o. g. Symmetrien folgt nun sofort, dass aufgrund der unter 2. genannten Sechszähligkeit sich die Projektionen entlang der Richtungen einer Familie nicht unterscheiden, so dass man stellvertretend für je sechs Richtungen nur noch 〈1¯100〉 und 〈11¯20〉 schreibt. 3 Eine (kompakte) Übersicht über die Symbolik findet sich in [BG90, S.300-309] 4 Streng genommen müssten die Drehungen und Translationen mit entgegengesetztem Vorzeichen noch analysiert werden. 5 Metallorganische Dampfphasenepitaxie (engl. Metal Organic Vapor Phase Epitaxy). 3

Reziprokes Gitter. Die Einführung des reziproken Raums ( ” ReL“ 6 ) wird für die Orientierung im Beugungsbild unerlässlich sein, daher folgt auch dazu eine Zusammenstellung der wichtigsten Details: Will man zu jeder durch (hkil) gegebenen Ebene einen Vektor ghkil im ReL definieren, dessen Länge dem reziproken Ebenenabstand entspricht, so muss auch für diesen Raum eine Viererbasis gefunden werden. Für diese (etwas formale) Aufgabe, verbunden mit der Definition eines Skalarproduktes für das schiefwinklige Miller-Bravais System, sei auf [Gra03, Kap. 1] verwiesen. Heraus kommt, dass sich erneut ein hexagonales System ergibt, dessen Basisvektoren zu denen aus Bild 1(b) parallel sind. Es ergibt sich für die ReL-Basisvektoren und die Länge eines ReL-Vektors g = (hkil): a ∗ j = 2aj 3a2 , c∗ = c 4(h2 − hk + k2 + 2(h + k) 2 ) , |g| =: g = c2 9a2 + l2 , (3) c2 wobei j = 1,2,3 ist und nur für i ! = −h − k in (hkil) ein echter ReL-Punkt vorliegt, analog zu (2). Das oben über Familien von Vektoren Gesagte gilt gleichsam im ReL, und es folgt aus (3) sofort, dass wir zwei Ebenenfamilien der Multiplizität sechs definieren können, die mit {1¯100} und {11¯20} bezeichnet werden. 2.2 Durchstrahlungsmikroskopie mit Elektronen 2.2.1 Welleneigenschaften von Elektronen Grundlage für das Verständnis der Elektronenmikroskopie ist der Wellencharakter der Elektronen, der zuerst von deBroglie 1924 definiert wurde. Die Wellenlänge der Elektronen berechnet sich wie folgt: Das Elektron werde im Minkowski-Raum beschrieben durch die Vierervektoren r (Raumzeit), p (Impuls) und u (Geschwindigkeit) und habe die Masse7 m; ct r = , u = r dr E/c , p = m · u = , dτ p wobei c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet, E die Gesamtenergie, τ die Eigenzeit im Ruhesystem des Elektrons und die Vektoren r und p in kartesischen Koordinaten gegeben seien. Damit folgt schnell unter Berücksichtigung der Minkowski-Metrik (s. z.B. [Noa98]): p 2 = E 2 /c 2 − p 2 ! = m 2 u 2 = m 2 c 2 ⇐⇒ E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 Nach Durchlaufen einer Potentialdifferenz Φ gewinnt das Elektron die kinetische Energie eΦ (e: Elementarladung), so dass mit E = eΦ+mc 2 und der deBroglie-Beziehung |p| = h/λ =: h| k| (h: Planck-Konstante, k: Wellenvektor) aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung (4) für die Wellenlänge λ folgt: e 2 Φ 2 + 2eΦmc 2 = h2 c 2 ⇐⇒ λ = λ2 hc √ e 2 Φ 2 + 2eΦmc 2 Die in dieser Arbeit verwendete Beschleunigungsspannung von 200 kV führt auf (4) = λ(Φ) . (5) λ(200kV) ≈ 2,51 · 10 −12 m = 2,51pm , (6) was nach der Abbildungstheorie für die Lichtoptik von Abbé die Größenordnung noch auflösbarer Details in der Probe darstellte, wenn alle von einem Punkt ausgehenden Strahlen durch eine perfekte Linse abgebildet würden, die mit der optischen Achse einen Winkel von maximal 90◦ bilden. Wie in Abschnitt 2.2.4 begründet wird, ist dies im TEM nicht der Fall, u.a. führen Aberrationen sowie mechanische und elektrische Instabilitäten der Linsen dazu, dass das hier verwendete Mikroskop bereits die {11¯20} Ebenen nicht mehr auflösen kann, die nach (3) den Abstand d11¯20 = g −1 ≈ 0,1595nm haben! 11¯20 6 Für Reciprocal Lattice, nach [Hei70]. 7 Ich folge in dieser Arbeit der Konvention, Masse als eine relativistische Invariante zu betrachten, d.h. als eine fundamentale Eigenschaft von Materie, die damit insbesondere unabhängig vom Bezugssystem ist. Vergl. [Noa98], [Ber01]. 4

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